Planímetro - Planimeter

Um planímetro , também conhecido como platômetro , é um instrumento de medição usado para determinar a área de uma forma bidimensional arbitrária.

Construção

Existem vários tipos de planímetros, mas todos operam de maneira semelhante. A forma precisa como são construídos varia, sendo os principais tipos de planímetros mecânicos polares, lineares e planímetros de Prytz ou "machadinha". O matemático suíço Jakob Amsler-Laffon construiu o primeiro planímetro moderno em 1854, o conceito foi iniciado por Johann Martin Hermann em 1814. Muitos desenvolvimentos seguiram o famoso planímetro de Amsler, incluindo versões eletrônicas.

O tipo Amsler (polar) consiste em uma articulação de duas barras. No final de um link está um ponteiro, usado para traçar o contorno da forma a ser medida. A outra extremidade da articulação gira livremente sobre um peso que a impede de se mover. Perto da junção dos dois elos está uma roda de medição de diâmetro calibrado, com uma escala para mostrar a rotação fina, e uma engrenagem helicoidal para uma escala auxiliar de contra-rotação. Conforme o contorno da área é traçado, esta roda rola na superfície do desenho. O operador define a roda, vira o contador para zero e, em seguida, traça o ponteiro ao redor do perímetro da forma. Quando o traçado estiver concluído, as escalas na roda de medição mostram a área da forma.

Quando a roda de medição do planímetro se move perpendicularmente ao seu eixo, ela rola e esse movimento é registrado. Quando a roda de medição se move paralelamente ao seu eixo, a roda desliza sem rolar, então esse movimento é ignorado. Isso significa que o planímetro mede a distância que sua roda de medição percorre, projetada perpendicularmente ao eixo de rotação da roda de medição. A área da forma é proporcional ao número de voltas pelas quais a roda de medição gira.

O planímetro polar é restrito por projeto a áreas de medição dentro de limites determinados por seu tamanho e geometria. No entanto, o tipo linear não tem restrição em uma dimensão, pois pode rolar. Suas rodas não devem escorregar, porque o movimento deve ser restringido a uma linha reta.

Desenvolvimentos do planímetro podem estabelecer a posição do primeiro momento da área ( centro de massa ), e até o segundo momento da área .

As imagens mostram os princípios de um planímetro linear e polar. O ponteiro M em uma extremidade do planímetro segue o contorno C da superfície S a ser medida. Para o planímetro linear, o movimento do "cotovelo" E é restrito ao eixo y . Para o planímetro polar, o "cotovelo" é conectado a um braço com seu outro ponto final O em uma posição fixa. Conectada ao braço ME está a roda de medição com seu eixo de rotação paralelo a ME. Um movimento do braço ME pode ser decomposto em um movimento perpendicular a ME, fazendo com que a roda gire, e um movimento paralelo a ME, fazendo a roda derrapar, sem contribuir para sua leitura.

Princípio

O funcionamento do planímetro linear pode ser explicado medindo a área de um retângulo ABCD (ver imagem). Movendo-se com o ponteiro de A para B, o braço EM move-se através do paralelogramo amarelo, com área igual a PQ × EM. Esta área também é igual à área do paralelogramo A "ABB". A roda de medição mede a distância PQ (perpendicular a EM). Movendo-se de C para D, o braço EM move-se através do paralelogramo verde, com área igual à área do retângulo D "DCC". A roda de medição agora se move na direção oposta, subtraindo essa leitura da anterior. Os movimentos ao longo de BC e DA são os mesmos, mas opostos, então eles se cancelam sem nenhum efeito líquido na leitura da roda. O resultado líquido é a medição da diferença das áreas amarelas e verdes, que é a área do ABCD.

Derivação matemática

O funcionamento de um planímetro linear pode ser justificado pela aplicação do teorema de Green às componentes do campo vetorial N, dado por:

${\ displaystyle \! \, N (x, y) = (por, x),}$

onde b é a coordenada y do cotovelo E.

Este campo vetorial é perpendicular ao braço de medição EM:

${\ displaystyle {\ overrightarrow {EM}} \ cdot N = xN_ {x} + (yb) N_ {y} = 0}$

e tem um tamanho constante, igual ao comprimento m do braço de medição:

${\ displaystyle \! \, \ | N \ | = {\ sqrt {(por) ^ {2} + x ^ {2}}} = m}$

Então:

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ oint _ {C} (N_ {x} \, dx + N_ {y} \, dy) = \ iint _ {S} \ left ({\ frac {\ partial N_ {y}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial N_ {x}} {\ parcial y}} \ direita) \, dx \, dy \\ [8pt] = {} & \ iint _ { S} \ left ({\ frac {\ partial x} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial (by)} {\ partial y}} \ right) \, dx \, dy = \ iint _ { S} \, dx \, dy = A, \ end {alinhado}}}$

Porque:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y}} (yb) = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ sqrt {m ^ {2} -x ^ {2}}} = 0,}$

O lado esquerdo da equação acima, que é igual à área A delimitada pelo contorno, é proporcional à distância medida pela roda de medição, com fator de proporcionalidade m , o comprimento do braço de medição.

A justificativa para a derivação acima está em notar que o planímetro linear registra apenas o movimento perpendicular ao seu braço de medição, ou quando

${\ displaystyle N \ cdot (dx, dy) = N_ {x} dx + N_ {y} dy}$é diferente de zero. Quando esta quantidade é integrada sobre a curva fechada C, o teorema de Green e a área seguem.

Coordenadas polares

A conexão com o teorema de Green pode ser entendida em termos de integração em coordenadas polares : em coordenadas polares, a área é calculada pela integral onde a forma sendo integrada é quadrática em r, o que significa que a taxa na qual a área muda em relação à mudança no ângulo varia quadraticamente com o raio. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int _ {\ theta} {\ tfrac {1} {2}} (r (\ theta)) ^ {2} \, d \ theta,}$

Para uma equação paramétrica em coordenadas polares, onde r e θ variam em função do tempo, isso se torna

${\ displaystyle \ int _ {t} {\ tfrac {1} {2}} (r (t)) ^ {2} \, d (\ theta (t)) = \ int _ {t} {\ tfrac { 1} {2}} (r (t)) ^ {2} \, {\ ponto {\ theta}} (t) \, dt.}$

Para um planímetro polar, a rotação total da roda é proporcional à medida que a rotação é proporcional à distância percorrida, que em qualquer ponto no tempo é proporcional ao raio e à mudança de ângulo, como na circunferência de um círculo ( ). ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int _ {t} r (t) \, {\ dot {\ theta}} (t) \, dt,}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ int r \, d \ theta = 2 \ pi r}$

Este último integrando pode ser reconhecido como a derivada do integrando anterior (em relação a r ) e mostra que um planímetro polar calcula a integral de área em termos da derivada , que é refletida no teorema de Green, que equivale a uma integral de linha de um função em um contorno (unidimensional) para a integral (bidimensional) da derivada. ${\ displaystyle \ scriptstyle r (t) \, {\ dot {\ theta}} (t)}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ tfrac {1} {2}} (r (t)) ^ {2} {\ dot {\ theta}} (t)}$

Veja também

• Curvímetro
• Planímetro de ponto
• Instrumento matemático
• Integraph
• Fórmula de cadarço

Referências

• Bryant, John; Sangwin, Chris (2007), "Capítulo 8: Em busca de cabides" , How Round is your Circle ?: Where Engineering and Mathematics Meet , Princeton University Press, pp. 138-171, ISBN 978-0-691-13118-4
• Gatterdam, RW (1981), "O planímetro como um exemplo do teorema de Green", The American Mathematical Monthly , 88 (9): 701–704, doi : 10.2307 / 2320679 , JSTOR  2320679
• Hodgson, John L. (1 de abril de 1929), "Integration of flow meter diagrams", Journal of Scientific Instruments , 6 (4): 116-118, Bibcode : 1929JScI .... 6..116H , doi : 10.1088 / 0950 -7671/6/4/302
• Horsburgh, EM (1914), Napier Tercentenary Celebration: Handbook of the Exhibition of Napier Relics e de livros, instrumentos e dispositivos para facilitar cálculos , The Royal Society of Edinburgh
• Jennings, G. (1985), Modern Geometry with Applications , Springer
• Lowell, LI (1954), "Comments on the polar planimeter", The American Mathematical Monthly , 61 (7): 467–469, doi : 10.2307 / 2308082 , JSTOR  2308082
• Wheatley, JY (1908), The polar planimeter , New York: Keuffel & Esser, ISBN 9785878586351

links externos

• Planímetro de machado
• P. Kunkel: site de Whistleralley, The Planimeter
• Larry's Planimeter Platter
• Página do planímetro de Wuerzburg
• Página do planímetro de Robert Foote
• Modelo de computador de um planímetro
• Explicações do planímetro de Tanya Leise e como a roda do planímetro gira
• Faça um planímetro simples
• Foto: Geógrafos usando planímetros (1940-1941)
• O. Knill e D. Winter: Teorema de Green e o Planímetro