Sólido platônico - Platonic solid
No espaço tridimensional , um sólido platônico é um regulares , convexo poliedro . É construído por faces congruentes (idênticas em forma e tamanho), regulares (todos os ângulos e todos os lados iguais), faces poligonais com o mesmo número de faces que se encontram em cada vértice. Cinco sólidos atendem a estes critérios:
Tetraedro | Cubo | Octaedro | Dodecaedro | Icosaedro |
Quatro faces | Seis faces | Oito rostos | Doze faces | Vinte faces |
Os geômetros estudaram os sólidos platônicos por milhares de anos. Eles são nomeados em homenagem ao antigo filósofo grego Platão, que formulou a hipótese em um de seus diálogos, o Timeu , que os elementos clássicos eram feitos desses sólidos regulares.
História
Os sólidos platônicos são conhecidos desde a antiguidade. Foi sugerido que certas bolas de pedra esculpidas criadas pelo povo neolítico tardio da Escócia representam essas formas; no entanto, essas bolas têm botões arredondados em vez de serem poliédricos, o número de botões frequentemente difere do número de vértices dos sólidos platônicos, não há bola cujos botões correspondam aos 20 vértices do dodecaedro e o arranjo dos botões não era sempre simétrico.
Os antigos gregos estudaram extensivamente os sólidos platônicos. Algumas fontes (como Proclus ) atribuem a Pitágoras sua descoberta. Outras evidências sugerem que ele pode ter estado familiarizado apenas com o tetraedro, o cubo e o dodecaedro e que a descoberta do octaedro e do icosaedro pertence a Teeteto , um contemporâneo de Platão. Em qualquer caso, Teeteto deu uma descrição matemática de todos os cinco e pode ter sido responsável pela primeira prova conhecida de que nenhum outro poliedro regular convexo existe.
Os sólidos platônicos são proeminentes na filosofia de Platão , seu homônimo. Platão escreveu sobre eles no diálogo Timeu c. 360 aC, em que ele associa cada um dos quatro elementos clássicos ( terra , ar , água e fogo ) a um sólido regular. A Terra estava associada ao cubo, o ar ao octaedro, a água ao icosaedro e o fogo ao tetraedro. Havia uma justificativa intuitiva para essas associações: o calor do fogo parece cortante e penetrante (como pequenos tetraedros). O ar é feito do octaedro; seus componentes minúsculos são tão suaves que mal se consegue sentir. A água, o icosaedro, flui da mão de alguém quando é pega, como se fosse feita de bolinhas minúsculas. Em contraste, um sólido altamente não esférico, o hexaedro (cubo) representa a "terra". Esses pequenos sólidos desajeitados fazem com que a sujeira se desintegre e se rompa quando coletada em grande diferença para o fluxo suave da água. Além disso, acreditava-se que o cubo sendo o único sólido regular que tessela o espaço euclidiano causava a solidez da Terra.
Sobre o quinto sólido platônico, o dodecaedro, Platão observou obscuramente: "... o deus [o] usou para organizar as constelações em todo o céu". Aristóteles acrescentou um quinto elemento, aithēr (éter em latim, "éter" em inglês) e postulou que os céus eram feitos desse elemento, mas não tinha interesse em combiná-lo com o quinto sólido de Platão.
Euclides descreveu completamente matematicamente os sólidos platônicos nos Elementos , o último livro (Livro XIII) do qual é dedicado às suas propriedades. As proposições 13-17 no Livro XIII descrevem a construção do tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro nessa ordem. Para cada sólido, Euclides encontra a razão entre o diâmetro da esfera circunscrita e o comprimento da borda. Na Proposição 18, ele argumenta que não há mais poliedros regulares convexos. Andreas Speiser defendeu a visão de que a construção dos 5 sólidos regulares é o objetivo principal do sistema dedutivo canonizado nos Elementos . Muitas das informações no Livro XIII são provavelmente derivadas do trabalho de Teeteto.
No século 16, o astrônomo alemão Johannes Kepler tentou relacionar os cinco planetas extraterrestres conhecidos na época aos cinco sólidos platônicos. Em Mysterium Cosmographicum , publicado em 1596, Kepler propôs um modelo do Sistema Solar no qual os cinco sólidos eram colocados uns dentro dos outros e separados por uma série de esferas inscritas e circunscritas. Kepler propôs que as relações de distância entre os seis planetas conhecidos naquela época poderiam ser entendidas em termos dos cinco sólidos platônicos encerrados em uma esfera que representava a órbita de Saturno . Cada uma das seis esferas correspondia a um dos planetas ( Mercúrio , Vênus , Terra , Marte , Júpiter e Saturno). Os sólidos foram ordenados com o mais interno sendo o octaedro, seguido pelo icosaedro, dodecaedro, tetraedro e, finalmente, o cubo, ditando assim a estrutura do sistema solar e as relações de distância entre os planetas pelos sólidos platônicos. No final, a ideia original de Kepler teve que ser abandonada, mas de sua pesquisa surgiram suas três leis da dinâmica orbital , a primeira das quais era que as órbitas dos planetas são elipses em vez de círculos, mudando o curso da física e da astronomia. Ele também descobriu os sólidos Kepler .
Coordenadas cartesianas
Para sólidos platônicos centrados na origem, as coordenadas cartesianas simples dos vértices são fornecidas abaixo. A letra grega φ é usada para representar a proporção áurea 1 + √ 5/2 ≈ 1,6180.
As coordenadas do tetraedro, dodecaedro e icosaedro são fornecidas em dois conjuntos de orientação, cada um contendo metade do sinal e a permutação da posição das coordenadas.
Essas coordenadas revelam certas relações entre os sólidos platônicos: os vértices do tetraedro representam metade daqueles do cubo, como {4,3} ou , um dos dois conjuntos de 4 vértices em posições duais, como h {4,3} ou . Ambas as posições tetraédricas formam o octaedro estrelado composto .
As coordenadas do icosaedro estão relacionadas a dois conjuntos alternados de coordenadas de um octaedro truncado não uniforme , t {3,4} ou, também chamado de octaedro snub , como s {3,4} ou, e visto no composto de duas icosaedras .
Oito dos vértices do dodecaedro são compartilhados com o cubo. Completar todas as orientações leva ao composto de cinco cubos .
Propriedades combinatórias
Um poliedro convexo é um sólido platônico se e somente se
- todas as suas faces são polígonos congruentes convexos regulares ,
- nenhuma de suas faces se cruzam, exceto em suas bordas, e
- o mesmo número de faces encontra-se em cada um de seus vértices .
Cada sólido platônico pode, portanto, ser denotado por um símbolo { p , q } onde
- p é o número de arestas (ou, equivalentemente, vértices) de cada face, e
- q é o número de faces (ou, equivalentemente, arestas) que se encontram em cada vértice.
O símbolo { p , q }, chamado de símbolo Schläfli , fornece uma descrição combinatória do poliedro. Os símbolos Schläfli dos cinco sólidos platônicos são fornecidos na tabela abaixo.
Poliedro | Vértices | Arestas | Rostos | Símbolo Schläfli | Configuração do vértice | |
---|---|---|---|---|---|---|
tetraedro | 4 | 6 | 4 | {3, 3} | 3.3.3 | |
cubo | 8 | 12 | 6 | {4, 3} | 4.4.4 | |
octaedro | 6 | 12 | 8 | {3, 4} | 3.3.3.3 | |
dodecaedro | 20 | 30 | 12 | {5, 3} | 5.5.5 | |
icosaedro | 12 | 30 | 20 | {3, 5} | 3.3.3.3.3 |
Todas as outras informações sobre combinatia destes sólidos, tais como o número total de vértices ( V ), as bordas ( E ), e as faces ( F ), pode ser determinada a partir de p e q . Uma vez que qualquer aresta une dois vértices e tem duas faces adjacentes, devemos ter:
A outra relação entre esses valores é dada pela fórmula de Euler :
Isso pode ser provado de várias maneiras. Juntas, essas três relações determinam completamente V , E e F :
Trocar p e q troca F e V enquanto deixa E inalterado. Para uma interpretação geométrica dessa propriedade, consulte § Poliedros duplos .
Como uma configuração
Os elementos de um poliedro podem ser expressos em uma matriz de configuração . As linhas e colunas correspondem a vértices, arestas e faces. Os números diagonais indicam quantos de cada elemento ocorrem em todo o poliedro. Os números não-diagonais dizem quantos dos elementos da coluna ocorrem no ou no elemento da linha. Pares duplos de poliedros têm suas matrizes de configuração giradas 180 graus uma da outra.
{p, q} | Configurações platônicas | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ordem do grupo : g = 8 pq / (4 - ( p - 2) ( q - 2)) |
g = 24 | g = 48 | g = 120 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Classificação
O resultado clássico é que existem apenas cinco poliedros regulares convexos. Dois argumentos comuns abaixo demonstram que não mais do que cinco sólidos platônicos podem existir, mas demonstrar positivamente a existência de qualquer sólido é uma questão separada - que requer uma construção explícita.
Prova geométrica
{3,3} Defeito 180 ° |
{3,4} Defeito 120 ° |
{3,5} Defeito 60 ° |
{3,6} Defeito 0 ° |
{4,3} Defeito 90 ° |
{4,4} Defeito 0 ° |
{5,3} Defeito 36 ° |
{6,3} Defeito 0 ° |
Um vértice precisa de pelo menos 3 faces e um defeito de ângulo . Um defeito de ângulo de 0 ° preencherá o plano euclidiano com uma camada regular. Pelo teorema de Descartes , o número de vértices é 720 ° / defeito . |
O seguinte argumento geométrico é muito semelhante ao dado por Euclides nos Elementos :
- Cada vértice do sólido deve ser um vértice de pelo menos três faces.
- Em cada vértice do sólido, o total, entre as faces adjacentes, dos ângulos entre seus respectivos lados adjacentes deve ser estritamente menor que 360 °. A quantidade menor que 360 ° é chamada de defeito de ângulo .
- Os polígonos regulares de seis ou mais lados têm apenas ângulos de 120 ° ou mais, portanto, a face comum deve ser o triângulo, o quadrado ou o pentágono. Para essas diferentes formas de rostos, o seguinte é válido:
- Faces triangulares
- Cada vértice de um triângulo regular tem 60 °, então uma forma pode ter 3, 4 ou 5 triângulos que se encontram em um vértice; estes são o tetraedro, o octaedro e o icosaedro, respectivamente.
- Faces quadradas
- Cada vértice de um quadrado tem 90 °, então só há um arranjo possível com três faces em um vértice, o cubo.
- Faces pentagonais
- Cada vértice é 108 °; novamente, apenas um arranjo de três faces em um vértice é possível, o dodecaedro.
Prova topológica
Uma prova puramente topológica pode ser feita usando apenas informações combinatórias sobre os sólidos. A chave é a observação de Euler de que V - E + F = 2, e o fato de que pF = 2 E = qV , onde p representa o número de arestas de cada face eq é o número de arestas que se encontram em cada vértice. Combinando essas equações, obtém-se a equação
A manipulação algébrica simples fornece
Uma vez que E é estritamente positivo, devemos ter
Usando o fato de que p e q devem ser ambos pelo menos 3, pode-se facilmente ver que existem apenas cinco possibilidades para { p , q }:
- {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.
Propriedades geométricas
Ângulos
Existem vários ângulos associados a cada sólido platônico. O ângulo diedro é o ângulo interno entre quaisquer dois planos de face. O ângulo diedro, θ , do sólido { p , q } é dado pela fórmula
Às vezes, isso é mais convenientemente expresso em termos de tangente por
A quantidade h (chamada de número de Coxeter ) é 4, 6, 6, 10 e 10 para o tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, respectivamente.
A deficiência angular no vértice de um poliedro é a diferença entre a soma dos ângulos faciais naquele vértice e 2 π . O defeito, δ , em qualquer vértice dos sólidos platônicos { p , q } é
Por um teorema de Descartes, isso é igual a 4 π dividido pelo número de vértices (ou seja, o defeito total em todos os vértices é 4 π ).
O análogo tridimensional de um ângulo plano é um ângulo sólido . O ângulo sólido, Ω , no vértice de um sólido platônico é dado em termos do ângulo diedro por
Isso decorre da fórmula de excesso esférico para um polígono esférico e do fato de que a figura do vértice do poliedro { p , q } é um q -gon regular .
O ângulo sólido de uma face subtendida a partir do centro de um sólido platônico é igual ao ângulo sólido de uma esfera inteira (4 π esteradianos) dividido pelo número de faces. Isso é igual à deficiência angular de seu dual.
Os vários ângulos associados aos sólidos platônicos são tabulados abaixo. Os valores numéricos dos ângulos sólidos são dados em esteradianos . A constante φ =1 + √ 5/2é a proporção áurea .
Poliedro |
Ângulo diédrico ( θ ) |
bronzeado θ/2 |
Defeito ( δ ) |
Ângulo sólido do vértice ( Ω ) | Ângulo
sólido da face |
---|---|---|---|---|---|
tetraedro | 70,53 ° | ||||
cubo | 90 ° | ||||
octaedro | 109,47 ° | ||||
dodecaedro | 116,57 ° | ||||
icosaedro | 138,19 ° |
Raios, área e volume
Outra virtude da regularidade é que todos os sólidos platônicos possuem três esferas concêntricas:
- a esfera circunscrita que passa por todos os vértices,
- a esfera média que é tangente a cada aresta no ponto médio da aresta, e
- a esfera inscrita que é tangente a cada face no centro da face.
Os raios destas esferas são chamados a circumradius , o midradius , eo inradius . Essas são as distâncias do centro do poliedro aos vértices, pontos médios das arestas e centros das faces, respectivamente. O circumradius R e o inradius r do sólido { p , q } com o comprimento da aresta a são dados por
onde θ é o ângulo diedro. O midradius ρ é dado por
onde h é a quantidade usada acima na definição do ângulo diedro ( h = 4, 6, 6, 10 ou 10). A proporção do circumradius para o radius é simétrica em p e q :
A área de superfície , A , de um sólido platônico { p , q } é facilmente calculado como área de uma regulares p -gon vezes o número de faces F . Isto é:
O volume é calculado como F vezes o volume da pirâmide cuja base é um p- gon regular e cuja altura é o raio r . Isso é,
A tabela a seguir lista os vários raios dos sólidos platônicos junto com sua área de superfície e volume. O tamanho geral é fixado tomando o comprimento da borda, a , igual a 2.
Poliedro, a = 2 |
Raio | Área de superfície, A |
Volume | |||
---|---|---|---|---|---|---|
In-, r | Mid-, ρ | Circum-, R | V | Bordas da unidade | ||
tetraedro | ||||||
cubo | ||||||
octaedro | ||||||
dodecaedro | ||||||
icosaedro |
As constantes φ e ξ acima são dadas por
Entre os sólidos platônicos, tanto o dodecaedro quanto o icosaedro podem ser vistos como a melhor aproximação da esfera. O icosaedro tem o maior número de faces e o maior ângulo diedro, ele abraça sua esfera inscrita com mais força, e sua área de superfície para relação de volume é mais próxima de uma esfera do mesmo tamanho (ou seja, a mesma área de superfície ou O dodecaedro, por outro lado, tem o menor defeito angular, o maior ângulo sólido do vértice e preenche ao máximo sua esfera circunscrita.
Ponto no espaço
Para um ponto arbitrário no espaço de um sólido platônico com circumradius R , cujas distâncias para o centróide do sólido platônico e seus n vértices são L e de d i respectivamente, e
- ,
temos
Para todos os cinco sólidos platônicos, temos
Se d i são as distâncias dos n vértices do sólido platônico a qualquer ponto de sua esfera circunscrita, então
Propriedade Rupert
Um poliedro P é dito ter a Rupert propriedade se um poliedro da mesma ou maior tamanho e a mesma forma que P pode passar através de um furo na P . Todos os cinco sólidos platônicos têm essa propriedade.
Simetria
Poliedros duplos
Cada poliedro tem um poliedro dual (ou "polar") com faces e vértices trocados . O dual de cada sólido platônico é outro sólido platônico, de modo que podemos organizar os cinco sólidos em pares duais.
- O tetraedro é autodual (ou seja, seu dual é outro tetraedro).
- O cubo e o octaedro formam um par duplo.
- O dodecaedro e o icosaedro formam um par duplo.
Se um poliedro tem o símbolo Schläfli { p , q }, então seu dual tem o símbolo { q , p }. Na verdade, toda propriedade combinatória de um sólido platônico pode ser interpretada como outra propriedade combinatória do dual.
Pode-se construir o poliedro dual tomando os vértices do dual como os centros das faces da figura original. Conectar os centros das faces adjacentes no original forma as arestas do dual e, assim, troca o número de faces e vértices enquanto mantém o número de arestas.
De forma mais geral, pode-se dualizar um sólido platônico em relação a uma esfera de raio d concêntrica com o sólido. Os raios ( R , ρ , r ) de um sólido e os de seu dual ( R *, ρ *, r *) são relacionados por
Dualizar em relação à midsphere ( d = ρ ) é freqüentemente conveniente porque a midsphere tem a mesma relação com ambos os poliedros. Tomando d 2 = Rr, obtém-se um sólido dual com o mesmo circumradius e inradius (isto é, R * = R e r * = r ).
Grupos de simetria
Em matemática, o conceito de simetria é estudado com a noção de um grupo matemático . Cada poliedro tem um grupo de simetria associado , que é o conjunto de todas as transformações ( isometrias euclidianas ) que deixam o poliedro invariante. A ordem do grupo de simetria é o número de simetrias do poliedro. Freqüentemente, distingue-se entre o grupo de simetria completo , que inclui reflexos , e o grupo de simetria adequado , que inclui apenas rotações .
Os grupos de simetria dos sólidos platônicos são uma classe especial de grupos de pontos tridimensionais conhecidos como grupos poliédricos . O alto grau de simetria dos sólidos platônicos pode ser interpretado de várias maneiras. Mais importante ainda, os vértices de cada sólido são todos equivalentes sob a ação do grupo de simetria, assim como as arestas e faces. Diz-se que a ação do grupo de simetria é transitiva nos vértices, arestas e faces. Na verdade, esta é uma outra maneira de definir a regularidade de um poliedro: um poliedro é regular, se e somente se é vértice uniforme , borda uniforme , e face-uniforme .
Existem apenas três grupos de simetria associados aos sólidos platônicos, em vez de cinco, uma vez que o grupo de simetria de qualquer poliedro coincide com o de seu dual. Isso é facilmente visto examinando a construção do poliedro duplo. Qualquer simetria do original deve ser uma simetria do dual e vice-versa. Os três grupos poliédricos são:
- o grupo tetraédrico T ,
- o grupo octaédrico O (que também é o grupo de simetria do cubo), e
- o grupo icosaédrico I (que também é o grupo de simetria do dodecaedro).
As ordens dos grupos apropriados (rotação) são 12, 24 e 60, respectivamente - exatamente o dobro do número de arestas nos respectivos poliedros. As ordens dos grupos de simetria completos são o dobro novamente (24, 48 e 120). Veja (Coxeter 1973) para uma derivação desses fatos. Todos os sólidos platônicos, exceto o tetraedro, são centralmente simétricos, o que significa que são preservados sob reflexão através da origem .
A tabela a seguir lista as várias propriedades de simetria dos sólidos platônicos. Os grupos de simetria listados são os grupos completos com os subgrupos de rotação dados entre parênteses (da mesma forma para o número de simetrias). A construção do caleidoscópio de Wythoff é um método para construir poliedros diretamente de seus grupos de simetria. Eles são listados para referência, o símbolo de Wythoff para cada um dos sólidos platônicos.
Poliedro |
Símbolo Schläfli |
Símbolo Wythoff |
Poliedro duplo |
Grupo de simetria (reflexão, rotação) | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Poliédrico | Schön. | Cox. | Esfera. | Pedido | ||||
tetraedro | {3, 3} | 3 | 2 3 | tetraedro | Tetraédrico |
T d T |
[3,3] [3,3] + |
* 332 332 |
24 12 |
cubo | {4, 3} | 3 | 2 4 | octaedro | Octaédrico |
O h O |
[4,3] [4,3] + |
* 432 432 |
48 24 |
octaedro | {3, 4} | 4 2 3 | cubo | |||||
dodecaedro | {5, 3} | 3 | 2 5 | icosaedro | Icosaédrico |
Eu h eu |
[5,3] [5,3] + |
* 532 532 |
120 60 |
icosaedro | {3, 5} | 5 | 2 3 | dodecaedro |
Na natureza e na tecnologia
O tetraedro, o cubo e o octaedro ocorrem naturalmente nas estruturas cristalinas . Isso de forma alguma esgota o número de formas possíveis de cristais. No entanto, nem o icosaedro regular nem o dodecaedro regular estão entre eles. Uma das formas, chamada de piritoedro ( cujo nome deriva do grupo de minerais de que é típica), tem doze faces pentagonais, dispostas no mesmo padrão que as faces do dodecaedro regular. As faces do piritoedro, entretanto, não são regulares, então o piritoedro também não é regular. Alótropos de boro e muitos compostos de boro , como carboneto de boro , incluem icosaedra B 12 discreto em suas estruturas cristalinas. Os ácidos carborano também têm estruturas moleculares que se aproximam dos icosaedros regulares.
No início do século 20, Ernst Haeckel descreveu (Haeckel, 1904) uma série de espécies de Radiolaria , alguns de cujos esqueletos têm a forma de vários poliedros regulares. Os exemplos incluem Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus e Circorrhegma dodecahedra . As formas dessas criaturas devem ser óbvias por seus nomes.
Muitos vírus , como o vírus do herpes , têm a forma de um icosaedro regular. As estruturas virais são construídas com subunidades de proteínas idênticas repetidas e o icosaedro é a forma mais fácil de montar usando essas subunidades. Um poliedro regular é usado porque pode ser construído a partir de uma única proteína unitária básica usada continuamente; isso economiza espaço no genoma viral .
Em meteorologia e climatologia , modelos numéricos globais de fluxo atmosférico são de interesse crescente, os quais empregam grades geodésicas baseadas em um icosaedro (refinado por triangulação ) em vez da grade de longitude / latitude mais comumente usada . Isso tem a vantagem de uma resolução espacial uniformemente distribuída sem singularidades (ou seja, os pólos) às custas de uma dificuldade numérica um pouco maior.
A geometria das estruturas espaciais é freqüentemente baseada em sólidos platônicos. No sistema MERO, os sólidos platônicos são usados para a convenção de nomenclatura de várias configurações de estrutura espacial. Por exemplo,1/2O + T refere-se a uma configuração feita de uma metade do octaedro e um tetraedro.
Vários hidrocarbonetos platônicos foram sintetizados, incluindo cubano e dodecaedro e não tetraedro .
Sólidos platônicos são freqüentemente usados para fazer dados , porque dados com essas formas podem ser feitos justos . Dados de 6 lados são muito comuns, mas os outros números são comumente usados em jogos de RPG . Esses dados são comumente referidos como d n, onde n é o número de faces (d8, d20, etc.); veja a notação dos dados para mais detalhes.
Essas formas freqüentemente aparecem em outros jogos ou quebra-cabeças. Quebra-cabeças semelhantes a um Cubo de Rubik vêm em cinco formas - veja poliedros mágicos .
Cristais líquidos com simetrias de sólidos platônicos
Para a fase de material intermediário chamada de cristais líquidos , a existência de tais simetrias foi proposta pela primeira vez em 1981 por H. Kleinert e K. Maki. Em alumínio, a estrutura icosaédrica foi descoberta três anos depois por Dan Shechtman , que lhe rendeu o Prêmio Nobel de Química em 2011.
Poliedros e politopos relacionados
Poliedros uniformes
Existem quatro poliedros regulares que não são convexos, chamados poliedros de Kepler-Poinsot . Todos eles têm simetria icosaédrica e podem ser obtidos como estrelações do dodecaedro e do icosaedro.
cuboctaedro |
icosidodecaedro |
Os próximos poliedros convexos mais regulares após os sólidos platônicos são o cuboctaedro , que é uma retificação do cubo e do octaedro, e o icosidodecaedro , que é uma retificação do dodecaedro e do icosaedro (a retificação do tetraedro autoduual é um octaedro regular). Ambas são quase regulares , o que significa que são uniformes em vértices e arestas e têm faces regulares, mas nem todas as faces são congruentes (vêm em duas classes diferentes). Eles formam dois dos treze sólidos arquimedianos , que são os poliedros uniformes convexos com simetria poliédrica. Seus duais, o dodecaedro rômbico e o triaconaedro rômbico , são transitivos na borda e na face, mas suas faces não são regulares e seus vértices vêm em dois tipos cada; eles são dois dos treze sólidos catalães .
Os poliedros uniformes formam uma classe muito mais ampla de poliedros. Essas figuras são uniformes no vértice e têm um ou mais tipos de polígonos regulares ou em estrela para as faces. Isso inclui todos os poliedros mencionados acima, juntamente com um conjunto infinito de prismas , um conjunto infinito de antiprismas e 53 outras formas não convexas.
Os sólidos Johnson são poliedros convexos que têm faces regulares, mas não são uniformes. Entre eles estão cinco dos oito deltaedros convexos , que têm faces idênticas e regulares (todos triângulos equiláteros), mas não são uniformes. (Os outros três deltaedros convexos são o tetraedro platônico, o octaedro e o icosaedro.)
Tesselações regulares
platônico | ||||
---|---|---|---|---|
{3,3} | {4,3} | {3,4} | {5,3} | {3,5} |
Diedro regular | ||||
{2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} ... |
Hosohedral regular | ||||
{2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} ... |
As três tesselações regulares do plano estão intimamente relacionadas aos sólidos platônicos. Na verdade, pode-se ver os sólidos platônicos como tesselações regulares da esfera . Isso é feito projetando cada sólido em uma esfera concêntrica. As faces se projetam em polígonos esféricos regulares que cobrem exatamente a esfera. Tilings esféricas fornecer dois conjuntos adicionais infinitas de pavimentações regulares, o hosohedra , {2, n } com 2 vértices nos pólos, e lune rostos, e a dupla diedros , { n , 2} com 2 caras hemisféricas e vértices regularmente espaçados no equador. Essas tesselações seriam degeneradas no verdadeiro espaço 3D como poliedros.
Pode-se mostrar que todo mosaico regular da esfera é caracterizado por um par de inteiros { p , q } com1/p + 1/q > 1/2. Da mesma forma, um mosaico regular do plano é caracterizado pela condição1/p + 1/q = 1/2. Existem três possibilidades:
{4, 4} | {3, 6} | {6, 3} |
---|
De maneira semelhante, pode-se considerar tesselações regulares do plano hiperbólico . Estes são caracterizados pela condição1/p + 1/q < 1/2. Existe uma família infinita de tais tesselações.
{5, 4} | {4, 5} | {7, 3} | {3, 7} |
---|
Dimensões superiores
Em mais de três dimensões, os poliedros se generalizam em politopos , com os politopos regulares convexos de dimensão superior sendo os equivalentes dos sólidos platônicos tridimensionais.
Em meados do século 19, o matemático suíço Ludwig Schläfli descobriu os análogos quadridimensionais dos sólidos platônicos, chamados de 4 politopos regulares convexos . Existem exatamente seis dessas figuras; cinco são análogos aos sólidos platônicos 5 células como {3,3,3}, 16 células como {3,3,4}, 600 células como {3,3,5}, tesserato como {4,3, 3}, e 120 células como {5,3,3}, e um sexto, as 24 células autoduais, {3,4,3}.
Em todas as dimensões superiores a quatro, existem apenas três politopos regulares convexos: o simplex como {3,3, ..., 3}, o hipercubo como {4,3, ..., 3} e o politopo cruzado como {3,3, ..., 4}. Em três dimensões, eles coincidem com o tetraedro como {3,3}, o cubo como {4,3} e o octaedro como {3,4}.
Projeção estereográfica
Aqui está a projeção estereográfica de cada sólido platônico.
Tetraedro |
Cubo |
Octaedro |
Dodecaedro |
Icosaedro |
Veja também
Referências
Fontes
- Atiyah, Michael ; Sutcliffe, Paul (2003). "Poliedros em Física, Química e Geometria". Milan J. Math . 71 : 33–58. arXiv : math-ph / 0303071 . Bibcode : 2003math.ph ... 3071A . doi : 10.1007 / s00032-003-0014-1 . S2CID 119725110 .
- Boyer, Carl ; Merzbach, Uta (1989). A History of Mathematics (2ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-54397-7.
- Coxeter, HSM (1973). Polytopes regulares (3ª ed.). Nova York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
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links externos
- Sólidos platônicos na Encyclopaedia of Mathematics
- Weisstein, Eric W. "sólido platônico" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
- Livro XIII da de Euclides Elements .
- Poliedros 3D interativos em Java
- Sólidos platônicos em poliedros visuais
- Solid Body Viewer é um visualizador de poliedros 3D interativo que permite salvar o modelo nos formatos SVG, STL ou OBJ.
- Sólidos platônicos de dobramento / desdobramento interativo em Java
- Modelos de papel dos sólidos platônicos criados usando redes geradas pelo software Stella
- Modelos de papel gratuitos de sólidos platônicos (redes)
- Grime, James; Steckles, Katie. "Sólidos Platônicos" . Numberphile . Brady Haran .
- Ensino de matemática com modelos de arte criados por alunos
- Ensinando matemática com instruções do professor de arte para fazer modelos
- Quadros de imagens de sólidos platônicos de superfícies algébricas
- Sólidos platônicos com algumas derivações de fórmula
- Como fazer quatro sólidos platônicos de um cubo