Conjectura de Poincaré - Poincaré conjecture


Da Wikipédia, a enciclopédia livre
Para compactos superfícies 2-dimensional sem limite , se cada circuito pode ser continuamente apertada a um ponto, em seguida, a superfície é topologicamente homeomorfos para uma 2-esfera (geralmente chamado apenas uma esfera). A conjectura de Poincaré, provado por Grigori Perelman , afirma que o mesmo é verdadeiro para os espaços em 3 dimensões.
Nenhum dos dois laços de cor sobre este toro pode ser continuamente apertados com um ponto. Um toro não é homeomorfo a uma esfera.

Em matemática , a conjectura de Poincaré ( / ˌ p w Æ k ɑː r / ; francês:  [pwɛkaʁe] ) é um teorema sobre a caracterização do 3-esfera , que é o hiperesfera que circunda a esfera unidade em quatro dimensões espaço. Os estados conjectura:

Cada simplesmente ligado , fechado 3- colector é homeomorfos para o 3-esfera .

Uma forma equivalente da conjectura envolve uma forma mais grosseira de equivalência de homeomorphism chamado equivalência homotopy : se um 3-colector é homotopy equivalente para o 3-esfera, em seguida, ele é necessariamente homeomorfos a ele.

Originalmente conjecturado por Henri Poincaré , o teorema diz respeito a um espaço que localmente se parece com espaço tridimensional comum, mas está ligado, finita em tamanho, e não tem qualquer limite (a fechou 3-colector ). A conjectura Poincaré afirma que, se um tal espaço tem a propriedade adicional que cada lacete no espaço pode ser continuamente apertada a um ponto, em seguida, ele é necessariamente uma esfera tridimensional. As conjecturas análogas para todas as dimensões mais elevadas já tinha sido demonstrada.

Depois de quase um século de esforço por matemáticos, Grigori Perelman apresentou uma prova da conjectura em três artigos disponibilizados em 2002 e 2003 no arXiv . A prova construída sobre o programa de Richard S. Hamilton usar o fluxo de Ricci para tentar resolver o problema. Hamilton depois introduzida uma modificação do fluxo de Ricci padrão, chamado fluxo de Ricci com a cirurgia para excisar sistematicamente as regiões singulares como elas se desenvolvem, de uma maneira controlada, mas não foi capaz de provar que este método "convergente" em três dimensões. Perelman completou esta parte da prova. Várias equipes de matemáticos verificado que a prova de Perelman foi correta.

A conjectura de Poincaré, antes de ser provado, foi uma das mais importantes questões em aberto na topologia . Em 2000, foi nomeado um dos sete Millennium Prize Problems , para o qual o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de US $ 1.000.000 para a primeira solução correta. O trabalho de Perelman sobreviveu revisão e foi confirmado em 2006, levando a que fosse oferecida uma medalha Fields , que ele recusou. Perelman recebeu o Prémio Millennium em 18 de março de 2010. Em 1 de julho de 2010, ele recusou o prêmio dizendo que ele acreditava que sua contribuição em provar a conjectura de Poincaré não foi maior do que Hamilton. A partir de 2018, a conjectura de Poincaré é o único resolvido problema do Milênio .

Em 22 de dezembro de 2006, a revista Ciência honrado prova da conjectura de Poincaré como o "científico de Perelman Breakthrough of the Year ", pela primeira vez esta honra foi dado na área da matemática.

História

A pergunta de Poincaré

No início do século 20, Henri Poincaré foi trabalhar sobre os fundamentos da topologia que mais tarde seria chamado topologia combinatória e topologia algébrica . Ele estava particularmente interessado no que propriedades topológicas caracteriza uma esfera .

Poincaré afirmou em 1900 que homologia , uma ferramenta ele tinha imaginado com base em trabalhos anteriores por Enrico Betti , foi suficiente para dizer se uma 3-variedade foi uma 3-esfera . No entanto, em um artigo 1904 ele descreveu um contra-exemplo a esta alegação, um espaço chamado agora a esfera homologia Poincaré . A esfera de Poincaré foi o primeiro exemplo de uma esfera de homologia , de um colector que tinha a mesma homologia como uma esfera, de que muitos outros têm sido desde construído. Para estabelecer que a esfera de Poincaré foi diferente a partir do 3-esfera, Poincaré introduzido um novo invariante topológico , o grupo fundamental , e mostrou que a esfera de Poincaré teve um grupo fundamental da ordem de 120, enquanto que o 3-esfera teve um grupo fundamental trivial. Desta forma ele foi capaz de concluir que estes dois espaços eram, de fato, diferente.

No mesmo artigo, Poincaré perguntou-se uma 3-colector com a homologia de uma 3-esfera e grupo fundamental também trivial teve que ser um 3-esfera. Nova condição, ou seja de Poincaré "grupo fundamental trivial" -Pode ser reapresentadas como "cada loop pode ser reduzido a um ponto."

A formulação original era a seguinte:

Considere-se um compacto V colector 3-dimensional sem limite. É possível que o grupo fundamental da V poderia ser trivial, embora V não é homeomorfo à esfera 3-dimensional?

Poincaré não declarou se ele acreditava esta condição adicional iria caracterizar a 3-esfera, mas, no entanto, a afirmação de que ele é conhecido como a conjectura de Poincaré. Aqui é a forma padrão da conjectura:

Cada simplesmente ligado , fechado 3- colector é homeomorfos para o 3-esfera.

soluções tentadas

Este problema parecia permaneceu dormente até JHC Whitehead reavivou o interesse na conjectura, quando em 1930 ele reivindicou primeira prova e depois retraído ele. No processo, descobriu alguns exemplos interessantes de simplesmente-ligados (ou seja, homotopically equivalentes a um ponto de facto contrácteis) não compactos 3-variedades não homeomorphic para R 3 , cujo protótipo é agora chamado o colector Whitehead .

Nos anos 1950 e 1960, outros matemáticos tentaram provas da conjectura apenas para descobrir que eles continham falhas. Matemáticos influentes, como G. de Rham, Bing , Haken , Moise , e Papakyriakopoulos tentou provar a conjectura. Em 1958 Bing provou ser uma versão mais fraca da conjectura Poincaré: se cada curva fechada simples de um compacto de 3-colector está contido em uma 3-esfera, em seguida, o colector é homeomorfos para o 3-esfera. Bing também descreveu algumas das armadilhas na tentativa de provar a conjectura de Poincaré.

Włodzimierz Jakobsche mostrou em 1978 que, se a conjectura Bing-Borsuk é verdade em dimensão 3, em seguida, a conjectura de Poincaré também deve ser verdade.

Com o tempo, a conjectura ganhou a reputação de ser particularmente complicado de resolver. John Milnor comentou que, por vezes, os erros em falsas provas pode ser "bastante sutis e difíceis de detectar." O trabalho sobre a conjectura de uma melhor compreensão de 3-variedades. Especialistas na área eram muitas vezes relutantes em anunciar provas, e tendem a ver qualquer anúncio com ceticismo. Os anos 1980 e 1990 testemunhou algumas provas falaciosos bem divulgadas (que não foram realmente publicados em peer-reviewed formulário).

Uma exposição de tentativas de provar esta conjectura pode ser encontrada no livro não técnico Prémio de Poincaré por George Szpiro .

dimensões

A classificação das superfícies fechadas dá uma resposta afirmativa para a questão análogo em duas dimensões. Para dimensões maiores do que três, um pode representar a conjectura de Poincaré Generalizada: é uma homotopy n -sphere homeomorfos para o n -sphere? Uma suposição mais forte é necessário; em dimensões maiores e quatro não são simplesmente-ligado, fechado colectores que não são Homotopia equivalente a um n -sphere.

Historicamente, enquanto a conjectura em dimensão três pareciam plausíveis, a conjectura generalizada foi pensado para ser falsa. Em 1961, Stephen Smale chocado matemáticos por provar a conjectura de Poincaré Generalizado de dimensões superiores a quatro e estendeu suas técnicas para provar fundamental teorema h-cobordismo . Em 1982, Michael Freedman provou a conjectura de Poincaré em quatro dimensões. O trabalho de Freedman deixou em aberto a possibilidade de que haja um homeomorphic quatro colector suave para a quatro esfera que não é difeomorfa a quatro esfera. Esta chamada conjectura de Poincaré suave, em dimensão quatro, permanece aberto e é pensado para ser muito difícil. Milnor de esferas exóticas mostram que a conjectura de Poincaré suave é falsa em sete dimensão, por exemplo.

Estes sucessos anteriores em dimensões superiores deixou o caso de três dimensões no limbo. A conjectura de Poincaré foi essencialmente verdadeiro tanto em dimensão quatro e todas as dimensões mais elevadas por razões substancialmente diferentes. Na dimensão três, a conjectura teve uma reputação incerto até que a conjectura da geometrização colocá-lo em um quadro que rege todas as 3-variedades. John Morgan escreveu:

É minha opinião que, antes de Thurston trabalho 's em hiperbólicas 3-variedades e. . . o Geometrização conjecturar não houve consenso entre os especialistas sobre se a conjectura de Poincaré era verdadeira ou falsa. Depois do trabalho de Thurston, não obstante o fato de que ele não tinha relação direta com a conjectura de Poincaré, um consenso desenvolvida que a conjectura de Poincaré (e conjectura da geometrização) eram verdadeiras.

O programa de Hamilton e solução de Perelman

Vários estádios do fluxo de Ricci sobre um colector bidimensional

O programa de Hamilton foi iniciado em seu artigo 1982, no qual ele apresenta o fluxo de Ricci em um colector e mostrou como usá-lo para provar alguns casos especiais da conjectura de Poincaré. Nos anos seguintes, ele estendeu o seu trabalho, mas foi incapaz de provar a conjectura. A solução real não foi encontrado até Grigori Perelman publicou seus papéis.

No final de 2002 e 2003, Perelman postou três artigos sobre o arXiv . Nestes documentos, ele esboçou uma prova da conjectura de Poincaré e uma conjectura mais geral, conjectura da geometrização de Thurston , completando o programa de fluxo de Ricci descrito anteriormente por Richard S. Hamilton .

De maio a julho de 2006, vários grupos apresentaram trabalhos que preencheram os detalhes de prova da conjectura de Poincaré de Perelman, como segue:

  • Bruce Kleiner e John W. Lott postou um artigo sobre o arXiv em Maio de 2006, preencheu os detalhes da prova da conjectura da geometrização de Perelman.
  • Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu publicou um artigo na edição de de Junho de 2006 Asian Journal of Mathematics com uma exposição da prova completa do Poincaré e conjecturas geometrização. Eles inicialmente implicou a prova era a sua própria realização baseada na "teoria Hamilton-Perelman", mas depois retratou a versão original do seu papel, e postou uma versão revista, em que se refere ao seu trabalho como a exposição mais modesta" de Hamilton A prova de -Perelman". Eles também publicou uma errata revelar que eles tinham esquecido de citar corretamente o trabalho anterior de Kleiner e Lott publicado em 2003. Na mesma edição, o conselho editorial AJM emitiu um pedido de desculpas pelo que chamou de "incautions" no papel Cao-Zhu.
  • John Morgan e Gang Tian postou um artigo sobre o arXiv em Julho de 2006, que deu uma prova detalhada de apenas a Conjectura de Poincaré (que é um pouco mais fácil do que a conjectura da geometrização completo) e expandiu a um livro.

Todos os três grupos descobriram que as lacunas em papéis de Perelman foram menores e poderiam ser preenchidos usando suas próprias técnicas.

Em 22 de agosto de 2006, a ICM concedido Perelman a Medalha Fields pelo seu trabalho sobre a conjectura, mas Perelman recusou a medalha. John Morgan falou na ICM sobre a conjectura de Poincaré em 24 de agosto de 2006, declarando que "em 2003, Perelman resolveu a Conjectura de Poincaré".

Em dezembro de 2006, a revista Ciência honrou a prova da Conjectura de Poincaré como a Revelação do Ano e caracterizou-o em sua capa.

fluxo de Ricci com cirurgia

O programa de Hamilton para provar a conjectura de Poincaré envolve primeiramente colocando uma métrica Riemanniana no desconhecido simplesmente conectado fechou 3-manifold. A idéia é tentar melhorar essa métrica; por exemplo, se a métrica pode ser melhorado o suficiente para que ele tenha curvatura constante, então ele deve ser o 3-esfera. A métrica é melhorada usando os fluxos de Ricci equações;

onde g é a métrica e R sua curvatura Ricci, e espera-se que como o tempo t aumenta o colector torna-se mais fácil de entender. Fluxo de Ricci expande a parte curvatura negativa do colector e contrai a parte positiva curvatura.

Em alguns casos Hamilton foi capaz de mostrar que isso funciona; por exemplo, se o colector tem curvatura de Ricci positivo em todos os lugares que mostrou que o colector fica extinto em tempo finito sob fluxo de Ricci, sem quaisquer outras particularidades. (Por outras palavras, o colector colapsa para um ponto no tempo finito, que é fácil para descrever a estrutura pouco antes de os colapsos múltiplas.) Esta facilidade implica a conjectura de Poincaré no caso de curvatura de Ricci positivo. No entanto, em geral, as equações de fluxo de Ricci levar a singularidades da métrica após um tempo finito. Perelman mostrou como para continuar após dessas singularidades: muito aproximadamente, ele reduz o colector ao longo das singularidades, dividindo o tubo de distribuição em diversas partes, e, em seguida, continua com o fluxo de Ricci em cada uma destas peças. Este procedimento é conhecido como fluxo de Ricci com cirurgia.

Um caso especial de teoremas de Perelman sobre o fluxo de Ricci com a cirurgia é dada como segue.

O fluxo de Ricci com cirurgia em um orientada 3-colector fechado é bem definido para todos os tempos. Se o grupo fundamental é um produto livre de grupos finitos e grupos cíclicos , em seguida, o fluxo de Ricci com cirurgia é extinta em tempo finito, e em todos os momentos todos os componentes do distribuidor são somas de ligado S 2 feixes mais de S 1 e quocientes de S 3 .

Este resultado implica a conjectura de Poincaré, porque é fácil de verificar se há possíveis manifolds listados na conclusão.

A condição do grupo fundamental acaba por ser necessário (e suficiente) para extinção de tempo finito, e em particular inclui o caso do grupo fundamental trivial. É o mesmo que dizer que a decomposição principal do colector não tem componentes acíclicos, e acaba por ser equivalente à condição de que todas as peças geométricas do colector têm geometrias com base nas duas geometrias Thurston S 2 × R e S 3 . Ao estudar o limite do colector de grande tempo, Perelman provou conjectura geometrização de Thurston para qualquer grupo fundamental: em grandes vezes o colector tem uma decomposição de espessura fina , cuja peça de espessura tem uma estrutura hiperbólica, e cuja peça fina é um colector de gráfico , mas esta complicação adicional não é necessário para provar apenas a conjectura de Poincaré.

Solução

Em 13 de novembro de 2002, matemático russo Grigori Perelman postou a primeira de uma série de três Eprints no arXiv delineando uma solução da conjectura de Poincaré. A prova de Perelman usa uma versão modificada de um fluxo de Ricci programa desenvolvido por Richard S. Hamilton . Em agosto de 2006, Perelman foi concedido, mas se recusou, a Medalha Fields (no valor de $ 15.000 CAD) para a sua prova. Em 18 de março de 2010, o Clay Mathematics Institute concedido Perelman US $ 1 milhão Prêmio Millennium , em reconhecimento da sua prova. Perelman rejeitou o prêmio também.

Perelman provou a conjectura deformando o colector usando o fluxo de Ricci (que se comporta de forma semelhante à equação de calor que descreve a difusão de calor por meio de um objecto). O fluxo de Ricci normalmente deforma o colector para uma forma arredondada, com excepção de alguns casos, onde ela se estende o tubo de distribuição para além da própria para o que são conhecidos como singularidades . Perelman e Hamilton, em seguida cortar o colector para os singularidades (um processo chamado "cirurgia") fazendo com que as peças separadas, de modo a formar em formas de bola semelhante. Principais passos na prova envolver mostrando como manifolds se comportam quando são deformados pelo fluxo de Ricci, examinando que tipo de singularidades desenvolver, determinar se este processo a cirurgia pode ser concluída e estabelecendo que a cirurgia não precisa ser repetido infinitas vezes.

O primeiro passo é a deformar o colector usando o fluxo de Ricci . O fluxo de Ricci foi definida por Richard S. Hamilton como uma maneira de deformar colectores. A fórmula para o fluxo de Ricci é uma imitação da equação de calor , que descreve a maneira como o calor flui na forma de um sólido. Como o fluxo de calor, fluxo de Ricci tende para um comportamento uniforme. Ao contrário do fluxo de calor, o fluxo de Ricci poderia funcionar em singularidades e deixar de funcionar. A singularidade num colector é um local onde não é diferenciável: como um canto ou uma cúspide ou uma beliscadura. O fluxo de Ricci só foi definida para várias diferenciáveis lisas. Hamilton usou o fluxo de Ricci para provar que algumas variedades compactas foram difeomorfa a esferas e esperava aplicá-la a provar a conjectura de Poincaré. Ele precisava entender as singularidades.

Hamilton criou uma lista de possíveis singularidades que poderiam formar, mas ele estava preocupado que algumas singularidades pode levar a dificuldades. Ele queria cortar o colector para as singularidades e cole em maiúsculas, e depois executar o fluxo de Ricci novamente, então ele precisava entender as singularidades e mostrar que certos tipos de singularidades não ocorrem. Perelman descoberto as singularidades eram todos muito simples: cilindros essencialmente tridimensionais feitos de esferas estendido ao longo de uma linha. Um cilindro comum é feita tomando círculos esticados ao longo de uma linha. Perelman provou isso usando algo chamado de "volume reduzido", que está intimamente relacionado com um valor próprio de uma determinada equação elíptica .

Por vezes, uma operação complicada em contrário reduz a multiplicação por um escalar (um número). Tais números são chamados valores próprios dessa operação. Autovalores estão intimamente relacionados com freqüências de vibração e são usados na análise de um problema famoso: você pode ouvir a forma de um tambor? Essencialmente um valor próprio é como uma nota a ser desempenhado pelo colector. Perelman provou esta nota sobe à medida que o colector é deformada pelo fluxo de Ricci. Isto ajudou a eliminar algumas das singularidades mais problemáticos que tiveram em causa Hamilton, particularmente a solução charuto solitão, que parecia ser uma cadeia saindo de um colector com nada do outro lado. Em essência Perelman mostrou que todas as vertentes que formam pode ser cortado e tampados e nenhum pau para fora em apenas um lado.

Completando a prova, Perelman toma qualquer simplesmente conectado colector tridimensional compacto, sem limite e começa a executar o fluxo de Ricci. Este deforma o colector em pedaços redondos com fios correndo entre eles. Ele corta os fios e continua deformando o colector até que finalmente ele é deixado com uma coleção de esferas tridimensionais redondas. Então ele reconstrói o colector de originais, ligando as esferas juntamente com cilindros tridimensionais, transforma-os em uma forma redonda e vê que, apesar de toda a confusão inicial, o colector era de fato homeomorfo a uma esfera.

Uma pergunta imediata que se colocava era como se poderia ter certeza de que infinitamente muitos cortes não eram necessárias. Esta questão foi levantada devido ao corte potencialmente progredindo sempre. Perelman provou este não pode acontecer usando superfícies mínimas no colector. Uma superfície mínima é, essencialmente, uma película de sabão. Hamilton tinham mostrado que a área de uma superfície mínima diminui à medida que o colector é submetido a fluxo de Ricci. Perelman verificado que aconteceu com a área da superfície mínima quando o colector foi cortado. Ele provou que, eventualmente, a área é tão pequena que qualquer corte depois que a área é que pequeno só pode ser decepar esferas tridimensionais e não peças mais complicadas. Isto é descrito como uma batalha com um Hydra por Sormani no livro de Szpiro citados abaixo. Esta última parte da prova apareceu em terceiro e último artigo de Perelman sobre o assunto.

Forma do universo por Conjectura de Poincaré

Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker universo corresponde a um raio-evoluindo vez de um espaço S3. Ele afirma que se este universo é modificado no M3, no final da aceleração pode produzir uma transição de fase mudando M3 para um espaço de curvatura constante que corresponde precisamente a uma fase de Sitter associada com S3. Outro ponto de vista é que, desde a conjectura da geometrização (a generalização da conjectura de Poincaré) requer que se compreenda todas as geometrias localmente homogêneas sobre fechadas três manifolds, usando Ricci fluem pode-se considerar a classificação Bianchi usado para estudar modelos cosmológicos. O que se pode acrescentar a este cenário é que essa transição pode exigir uma torção, a fim de torná-S3 (ou outros modelos cosmológicos Bianchi) paralelizável.

Referências

Outras leituras

links externos