Grupo de pontos - Point group
A flor Bauhinia blakeana na bandeira da região de Hong Kong tem simetria C 5 ; a estrela em cada pétala tem simetria D 5 . |
O símbolo Yin e Yang tem simetria C 2 de geometria com cores invertidas |
Em geometria , um grupo de pontos é um grupo de simetrias geométricas ( isometrias ) que mantém pelo menos um ponto fixo. Os grupos de pontos podem existir em um espaço euclidiano com qualquer dimensão, e cada grupo de pontos na dimensão d é um subgrupo do grupo ortogonal O ( d ). Os grupos de pontos podem ser realizados como conjuntos de matrizes ortogonais M que transformam o ponto x no ponto y :
- y = Mx
onde a origem é o ponto fixo. Os elementos do grupo de pontos podem ser rotações ( determinante de M = 1) ou então reflexos , ou rotações impróprias (determinante de M = −1).
Grupos de pontos discretos em mais de uma dimensão vêm em famílias infinitas, mas do teorema de restrição cristalográfica e um dos teoremas de Bieberbach , cada número de dimensões tem apenas um número finito de grupos de pontos que são simétricos em alguma rede ou grade com esse número. Esses são os grupos de pontos cristalográficos .
Grupos de pontos quirais e aquirais, grupos de reflexão
Os grupos de pontos podem ser classificados em grupos quirais (ou puramente rotacionais) e grupos aquirais . Os grupos quirais são subgrupos do grupo ortogonal especial SO ( d ): eles contêm apenas transformações ortogonais que preservam a orientação, ou seja, aquelas do determinante +1. Os grupos aquirais também contêm transformações do determinante -1. Em um grupo aquiral, as transformações de preservação de orientação formam um subgrupo (quiral) de índice 2.
Grupos finitos de Coxeter ou grupos de reflexão são aqueles grupos de pontos gerados puramente por um conjunto de espelhos refletivos que passam pelo mesmo ponto. Um grupo de Coxeter de classificação n tem n espelhos e é representado por um diagrama de Coxeter-Dynkin . A notação de Coxeter oferece uma notação entre colchetes equivalente ao diagrama de Coxeter, com símbolos de marcação para grupos de pontos rotacionais e de subsimetria. Os grupos de reflexão são necessariamente aquirais (exceto para o grupo trivial que contém apenas o elemento de identidade).
Lista de grupos de pontos
Uma dimensão
Existem apenas dois grupos de pontos unidimensionais, o grupo de identidade e o grupo de reflexão.
Grupo | Coxeter | Diagrama de Coxeter | Pedido | Descrição |
---|---|---|---|---|
C 1 | [] + | 1 | Identidade | |
D 1 | [] | 2 | Grupo de reflexão |
Duas dimensões
Grupos de pontos em duas dimensões , às vezes chamados de grupos de rosetas .
Eles vêm em duas famílias infinitas:
- Grupos cíclicos C n de grupos de rotação n- dobrados
- Grupos diédricos D n de n- rotação e grupos de reflexão
Aplicando os restrição teorema de cristalografia restringe n para valores 1, 2, 3, 4, e 6 para ambas as famílias, obtendo-se 10 grupos.
Grupo | Internacional | Orbifold | Coxeter | Pedido | Descrição |
---|---|---|---|---|---|
C n | n | n • | [ n ] + | n | Cíclico: rotações n- dobradas. Grupo abstrato Z n , o grupo de inteiros sob o módulo de adição n . |
D n | n m | * n • | [n] | 2 n | Diédrico: cíclico com reflexos. Grupo abstrato Dih n , o grupo diedro . |
O subconjunto de grupos de pontos refletivos puros, definido por 1 ou 2 espelhos, também pode ser fornecido por seu grupo Coxeter e polígonos relacionados. Estes incluem 5 grupos cristalográficos. A simetria dos grupos refletivos pode ser duplicada por um isomorfismo , mapeando os dois espelhos um sobre o outro por um espelho bifurcado, dobrando a ordem de simetria.
Reflexivo | Rotacional | Polígonos relacionados |
|||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Grupo | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | Pedido | Subgrupo | Coxeter | Pedido | |||
D 1 | A 1 | [] | 2 | C 1 | [] + | 1 | Digon | ||
D 2 | A 1 2 | [2] | 4 | C 2 | [2] + | 2 | Retângulo | ||
D 3 | A 2 | [3] | 6 | C 3 | [3] + | 3 | Triângulo Equilátero | ||
D 4 | 2 AC | [4] | 8 | C 4 | [4] + | 4 | Quadrado | ||
D 5 | H 2 | [5] | 10 | C 5 | [5] + | 5 | Pentágono regular | ||
D 6 | G 2 | [6] | 12 | C 6 | [6] + | 6 | Hexágono regular | ||
D n | I 2 (n) | [n] | 2 n | C n | [n] + | n | Polígono regular | ||
D 2 × 2 | A 1 2 × 2 | [[2]] = [4] | = | 8 | |||||
D 3 × 2 | A 2 × 2 | [[3]] = [6] | = | 12 | |||||
D 4 × 2 | AC 2 × 2 | [[4]] = [8] | = | 16 | |||||
D 5 × 2 | H 2 × 2 | [[5]] = [10] | = | 20 | |||||
D 6 × 2 | G 2 × 2 | [[6]] = [12] | = | 24 | |||||
D n × 2 | I 2 (n) × 2 | [[n]] = [2n] | = | 4 n |
Três dimensões
Grupos de pontos em três dimensões , às vezes chamados de grupos de pontos moleculares, devido ao seu amplo uso no estudo de simetrias de pequenas moléculas .
Eles vêm em 7 famílias infinitas de grupos axiais ou prismáticos e 7 grupos poliédricos ou platônicos adicionais. Na notação Schönflies , *
- Grupos axiais: C n , S 2 n , C n h , C n v , D n , D n d , D n h
- Grupos poliédricos : T, T d , T h , O, O h , I, I h
A aplicação do teorema de restrição cristalográfica a esses grupos produz 32 grupos de pontos cristalográficos .
|
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(*) Quando as entradas internacionais são duplicadas, a primeira é para n pares , a segunda para n ímpar . |
Grupos de reflexão
Os grupos de pontos de reflexão, definidos por 1 a 3 planos de espelho, também podem ser dados por seu grupo de Coxeter e poliedros relacionados. O grupo [3,3] pode ser duplicado, escrito como [[3,3]], mapeando o primeiro e o último espelhos um sobre o outro, dobrando a simetria para 48 e isomórfico para o grupo [4,3].
Schönflies | Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | Pedido | Poliedros regulares e prismáticos relacionados |
|||
---|---|---|---|---|---|---|---|
T d | A 3 | [3,3] | 24 | Tetraedro | |||
T d × Dih 1 = O h | A 3 × 2 = BC 3 | [[3,3]] = [4,3] | = | 48 | Octaedro estrelado | ||
O h | 3 AC | [4,3] | 48 | Cubo , octaedro | |||
Eu h | H 3 | [5,3] | 120 | Icosaedro , dodecaedro | |||
D 3h | A 2 × A 1 | [3,2] | 12 | Prisma triangular | |||
D 3h × Dih 1 = D 6h | A 2 × A 1 × 2 | [[3], 2] | = | 24 | Prisma hexagonal | ||
D 4h | BC 2 × A 1 | [4,2] | 16 | Prisma quadrado | |||
D 4h × Dih 1 = D 8h | BC 2 × A 1 × 2 | [[4], 2] = [8,2] | = | 32 | Prisma octogonal | ||
D 5h | H 2 × A 1 | [5,2] | 20 | Prisma pentagonal | |||
D 6h | G 2 × A 1 | [6,2] | 24 | Prisma hexagonal | |||
D nh | I 2 (n) × A 1 | [n, 2] | 4 n | prisma n -gonal | |||
D nh × Dih 1 = D 2nh | I 2 (n) × A 1 × 2 | [[n], 2] | = | 8 n | |||
D 2h | A 1 3 | [2,2] | 8 | Cubóide | |||
D 2h × Dih 1 | A 1 3 × 2 | [[2], 2] = [4,2] | = | 16 | |||
D 2h × Dih 3 = O h | A 1 3 × 6 | [3 [2,2]] = [4,3] | = | 48 | |||
C 3v | A 2 | [1,3] | 6 | Hosoedro | |||
C 4v | 2 AC | [1,4] | 8 | ||||
C 5v | H 2 | [1,5] | 10 | ||||
C 6v | G 2 | [1,6] | 12 | ||||
C nv | I 2 (n) | [1, n] | 2 n | ||||
C nv × Dih 1 = C 2 nv | I 2 ( n ) × 2 | [1, [ n ]] = [1,2n] | = | 4 n | |||
C 2 v | A 1 2 | [1,2] | 4 | ||||
C 2 v × Dih 1 | A 1 2 × 2 | [1, [2]] | = | 8 | |||
C s | A 1 | [1,1] | 2 |
Quatro dimensões
Os grupos de pontos quadridimensionais (quirais e aquirais) estão listados em Conway e Smith, Seção 4, Tabelas 4.1-4.3.
A lista a seguir fornece os grupos de reflexão quadridimensionais (excluindo aqueles que deixam um subespaço fixo e que são, portanto, grupos de reflexão de dimensões inferiores). Cada grupo é especificado como um grupo de Coxeter e, como os grupos poliédricos de 3D, pode ser nomeado por seu 4-politopo regular convexo relacionado . Grupos rotacionais puros relacionados existem para cada um com metade da ordem e podem ser representados pela notação de Coxeter entre colchetes com um expoente '+', por exemplo [3,3,3] + tem três pontos de giração de 3 vezes e ordem de simetria 60. Grupos simétricos frente-verso como [3,3,3] e [3,4,3] podem ser duplicados, mostrados como colchetes duplos na notação de Coxeter, por exemplo [[3,3,3]] com sua ordem dobrada para 240 .
Grupo / notação de Coxeter | Diagrama de Coxeter | Pedido | Politopos relacionados | ||
---|---|---|---|---|---|
A 4 | [3,3,3] | 120 | 5 células | ||
A 4 × 2 | [[3,3,3]] | 240 | Composto duplo de 5 células | ||
4 AC | [4,3,3] | 384 | 16 células / Tesseract | ||
D 4 | [3 1,1,1 ] | 192 | Demitesseractic | ||
D 4 × 2 = BC 4 | <[3,3 1,1 ]> = [4,3,3] | = | 384 | ||
D 4 × 6 = F 4 | [3 [3 1,1,1 ]] = [3,4,3] | = | 1152 | ||
F 4 | [3,4,3] | 1152 | 24 células | ||
F 4 × 2 | [[3,4,3]] | 2304 | Composto duplo de 24 células | ||
H 4 | [5,3,3] | 14400 | 120 células / 600 células | ||
A 3 × A 1 | [3,3,2] | 48 | Prisma tetraédrico | ||
A 3 × A 1 × 2 | [[3,3], 2] = [4,3,2] | = | 96 | Prisma octaédrico | |
BC 3 × A 1 | [4,3,2] | 96 | |||
H 3 × A 1 | [5,3,2] | 240 | Prisma icosaédrico | ||
A 2 × A 2 | [3,2,3] | 36 | Duoprismo | ||
A 2 × AC 2 | [3,2,4] | 48 | |||
A 2 × H 2 | [3,2,5] | 60 | |||
A 2 × G 2 | [3,2,6] | 72 | |||
AC 2 × AC 2 | [4,2,4] | 64 | |||
AC 2 2 × 2 | [[4,2,4]] | 128 | |||
BC 2 × H 2 | [4,2,5] | 80 | |||
AC 2 × G 2 | [4,2,6] | 96 | |||
H 2 × H 2 | [5,2,5] | 100 | |||
H 2 × G 2 | [5,2,6] | 120 | |||
G 2 × G 2 | [6,2,6] | 144 | |||
I 2 (p) × I 2 (q) | [p, 2, q] | 4 pq | |||
I 2 (2p) × I 2 (q) | [[p], 2, q] = [2p, 2, q] | = | 8 pq | ||
I 2 (2p) × I 2 (2q) | [[p]], 2, [[q]] = [2 p , 2,2 q ] | = | 16 pq | ||
I 2 (p) 2 × 2 | [[p, 2, p]] | 8 p 2 | |||
I 2 (2p) 2 × 2 | [[[p], 2, [p]]] = [[2p, 2,2p]] | = | 32 p 2 | ||
A 2 × A 1 × A 1 | [3,2,2] | 24 | |||
BC 2 × A 1 × A 1 | [4,2,2] | 32 | |||
H 2 × A 1 × A 1 | [5,2,2] | 40 | |||
G 2 × A 1 × A 1 | [6,2,2] | 48 | |||
I 2 (p) × A 1 × A 1 | [p, 2,2] | 8 p | |||
I 2 (2p) × A 1 × A 1 × 2 | [[p], 2,2] = [2p, 2,2] | = | 16 p | ||
I 2 (p) × A 1 2 × 2 | [p, 2, [2]] = [p, 2,4] | = | 16 p | ||
I 2 (2p) × A 1 2 × 4 | [[p]], 2, [[2]] = [2p, 2,4] | = | 32 p | ||
A 1 × A 1 × A 1 × A 1 | [2,2,2] | 16 | 4- ortotopo | ||
A 1 2 × A 1 × A 1 × 2 | [[2], 2,2] = [4,2,2] | = | 32 | ||
A 1 2 × A 1 2 × 4 | [[2]], 2, [[2]] = [4,2,4] | = | 64 | ||
A 1 3 × A 1 × 6 | [3 [2,2], 2] = [4,3,2] | = | 96 | ||
A 1 4 × 24 | [3,3 [2,2,2]] = [4,3,3] | = | 384 |
Cinco dimensões
A tabela a seguir fornece os grupos de reflexão de cinco dimensões (excluindo aqueles que são grupos de reflexão de dimensão inferior), listando-os como grupos de Coxeter . Grupos quirais relacionados existem para cada um com metade da ordem e podem ser representados pela notação de Coxeter entre colchetes com um expoente '+', por exemplo [3,3,3,3] + tem quatro pontos de giro de 3 vezes e ordem de simetria 360 .
Grupo / notação de Coxeter |
Diagramas de Coxeter |
Pedido | Polopos regulares e prismáticos relacionados |
||
---|---|---|---|---|---|
A 5 | [3,3,3,3] | 720 | 5-simplex | ||
A 5 × 2 | [[3,3,3,3]] | 1440 | Composto duplo 5 simplex | ||
5 AC | [4,3,3,3] | 3840 | 5-cubo , 5-ortoplexo | ||
D 5 | [3 2,1,1 ] | 1920 | 5-demicube | ||
D 5 × 2 | <[3,3,3 1,1 ]> | = | 3840 | ||
A 4 × A 1 | [3,3,3,2] | 240 | Prisma de 5 células | ||
A 4 × A 1 × 2 | [[3,3,3], 2] | 480 | |||
BC 4 × A 1 | [4,3,3,2] | 768 | prisma tesserato | ||
F 4 × A 1 | [3,4,3,2] | 2304 | Prisma de 24 células | ||
F 4 × A 1 × 2 | [[3,4,3], 2] | 4608 | |||
H 4 × A 1 | [5,3,3,2] | 28800 | Prisma de 600 ou 120 células | ||
D 4 × A 1 | [3 1,1,1 , 2] | 384 | Demitesseract prism | ||
A 3 × A 2 | [3,3,2,3] | 144 | Duoprismo | ||
A 3 × A 2 × 2 | [[3,3], 2,3] | 288 | |||
A 3 × AC 2 | [3,3,2,4] | 192 | |||
A 3 × H 2 | [3,3,2,5] | 240 | |||
A 3 × G 2 | [3,3,2,6] | 288 | |||
A 3 × I 2 (p) | [3,3,2, p] | 48p | |||
BC 3 × A 2 | [4,3,2,3] | 288 | |||
AC 3 × AC 2 | [4,3,2,4] | 384 | |||
BC 3 × H 2 | [4,3,2,5] | 480 | |||
AC 3 × G 2 | [4,3,2,6] | 576 | |||
BC 3 × I 2 (p) | [4,3,2, p] | 96p | |||
H 3 × A 2 | [5,3,2,3] | 720 | |||
H 3 × BC 2 | [5,3,2,4] | 960 | |||
H 3 × H 2 | [5,3,2,5] | 1200 | |||
H 3 × G 2 | [5,3,2,6] | 1440 | |||
H 3 × I 2 (p) | [5,3,2, p] | 240p | |||
A 3 × A 1 2 | [3,3,2,2] | 96 | |||
AC 3 × A 1 2 | [4,3,2,2] | 192 | |||
H 3 × A 1 2 | [5,3,2,2] | 480 | |||
A 2 2 × A 1 | [3,2,3,2] | 72 | prisma duoprisma | ||
A 2 × AC 2 × A 1 | [3,2,4,2] | 96 | |||
A 2 × H 2 × A 1 | [3,2,5,2] | 120 | |||
A 2 × G 2 × A 1 | [3,2,6,2] | 144 | |||
BC 2 2 × A 1 | [4,2,4,2] | 128 | |||
BC 2 × H 2 × A 1 | [4,2,5,2] | 160 | |||
BC 2 × G 2 × A 1 | [4,2,6,2] | 192 | |||
H 2 2 × A 1 | [5,2,5,2] | 200 | |||
H 2 × G 2 × A 1 | [5,2,6,2] | 240 | |||
G 2 2 × A 1 | [6,2,6,2] | 288 | |||
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 | [p, 2, q, 2] | 8pq | |||
A 2 × A 1 3 | [3,2,2,2] | 48 | |||
AC 2 × A 1 3 | [4,2,2,2] | 64 | |||
H 2 × A 1 3 | [5,2,2,2] | 80 | |||
G 2 × A 1 3 | [6,2,2,2] | 96 | |||
I 2 (p) × A 1 3 | [p, 2,2,2] | 16p | |||
A 1 5 | [2,2,2,2] | 32 | 5- ortotopo | ||
A 1 5 × (2 ! ) | [[2], 2,2,2] | = | 64 | ||
A 1 5 × (2! × 2 ! ) | [[2]], 2, [2], 2] | = | 128 | ||
A 1 5 × (3 ! ) | [3 [2,2], 2,2] | = | 192 | ||
A 1 5 × (3! × 2 ! ) | [3 [2,2], 2, [[2]] | = | 384 | ||
A 1 5 × (4 ! ) | [3,3 [2,2,2], 2]] | = | 768 | ||
A 1 5 × (5 ! ) | [3,3,3 [2,2,2,2]] | = | 3840 |
Seis dimensões
A tabela a seguir fornece os grupos de reflexão de seis dimensões (excluindo aqueles que são grupos de reflexão de dimensões inferiores), listando-os como grupos de Coxeter . Grupos rotacionais puros relacionados existem para cada um com metade da ordem e podem ser representados pela notação de Coxeter entre colchetes com um expoente '+', por exemplo [3,3,3,3,3] + tem cinco pontos de rotação de 3 vezes e ordem de simetria 2520.
Grupo Coxeter |
Diagrama de Coxeter |
Pedido | Polopos regulares e prismáticos relacionados |
|
---|---|---|---|---|
A 6 | [3,3,3,3,3] | 5040 (7!) | 6-simplex | |
A 6 × 2 | [[3,3,3,3,3]] | 10080 (2 × 7!) | Composto duplo 6-simplex | |
6 AC | [4,3,3,3,3] | 46080 (2 6 × 6!) | 6-cubo , 6-orthoplex | |
D 6 | [3,3,3,3 1,1 ] | 23040 (2 5 × 6!) | 6-demicube | |
E 6 | [3,3 2,2 ] | 51840 (72 × 6!) | 1 22 , 2 21 | |
A 5 × A 1 | [3,3,3,3,2] | 1440 (2 × 6!) | Prisma 5-simplex | |
BC 5 × A 1 | [4,3,3,3,2] | 7680 (2 6 × 5!) | Prisma de 5 cubos | |
D 5 × A 1 | [3,3,3 1,1 , 2] | 3840 (2 5 × 5!) | Prisma 5-demicube | |
A 4 × I 2 (p) | [3,3,3,2, p] | 240p | Duoprismo | |
BC 4 × I 2 (p) | [4,3,3,2, p] | 768p | ||
F 4 × I 2 (p) | [3,4,3,2, p] | 2304p | ||
H 4 × I 2 (p) | [5,3,3,2, p] | 28800p | ||
D 4 × I 2 (p) | [3,3 1,1 , 2, p] | 384p | ||
A 4 × A 1 2 | [3,3,3,2,2] | 480 | ||
BC 4 × A 1 2 | [4,3,3,2,2] | 1536 | ||
F 4 × A 1 2 | [3,4,3,2,2] | 4608 | ||
H 4 × A 1 2 | [5,3,3,2,2] | 57600 | ||
D 4 × A 1 2 | [3,3 1,1 , 2,2] | 768 | ||
A 3 2 | [3,3,2,3,3] | 576 | ||
A 3 × AC 3 | [3,3,2,4,3] | 1152 | ||
A 3 × H 3 | [3,3,2,5,3] | 2880 | ||
BC 3 2 | [4,3,2,4,3] | 2304 | ||
BC 3 × H 3 | [4,3,2,5,3] | 5760 | ||
H 3 2 | [5,3,2,5,3] | 14400 | ||
A 3 × I 2 (p) × A 1 | [3,3,2, p, 2] | 96p | Prisma de duoprisma | |
BC 3 × I 2 (p) × A 1 | [4,3,2, p, 2] | 192p | ||
H 3 × I 2 (p) × A 1 | [5,3,2, p, 2] | 480p | ||
A 3 × A 1 3 | [3,3,2,2,2] | 192 | ||
AC 3 × A 1 3 | [4,3,2,2,2] | 384 | ||
H 3 × A 1 3 | [5,3,2,2,2] | 960 | ||
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r) | [p, 2, q, 2, r] | 8pqr | Triaprismo | |
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 2 | [p, 2, q, 2,2] | 16pq | ||
I 2 (p) × A 1 4 | [p, 2,2,2,2] | 32p | ||
A 1 6 | [2,2,2,2,2] | 64 | 6- ortotopo |
Sete dimensões
A tabela a seguir fornece os grupos de reflexão de sete dimensões (excluindo aqueles que são grupos de reflexão de dimensões inferiores), listando-os como grupos de Coxeter . Grupos quirais relacionados existem para cada um com metade da ordem, definido por um número par de reflexões, e podem ser representados pela notação de Coxeter entre colchetes com um expoente '+', por exemplo [3,3,3,3,3,3] + tem seis pontos de giro de 3 vezes e ordem de simetria 20160.
Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | Pedido | Politopos relacionados | |
---|---|---|---|---|
A 7 | [3,3,3,3,3,3] | 40320 (8!) | 7-simplex | |
A 7 × 2 | [[3,3,3,3,3,3]] | 80640 (2 × 8!) | Composto duplo 7-simplex | |
7 AC | [4,3,3,3,3,3] | 645120 (2 7 × 7!) | 7-cubo , 7-ortoplexo | |
D 7 | [3,3,3,3,3 1,1 ] | 322560 (2 6 × 7!) | 7-demicube | |
E 7 | [3,3,3,3 2,1 ] | 2903040 (8 × 9!) | 3 21 , 2 31 , 1 32 | |
A 6 × A 1 | [3,3,3,3,3,2] | 10080 (2 × 7!) | ||
AC 6 × A 1 | [4,3,3,3,3,2] | 92160 (2 7 × 6!) | ||
D 6 × A 1 | [3,3,3,3 1,1 , 2] | 46080 (2 6 × 6!) | ||
E 6 × A 1 | [3,3,3 2,1 , 2] | 103680 (144 × 6!) | ||
A 5 × I 2 (p) | [3,3,3,3,2, p] | 1440p | ||
BC 5 × I 2 (p) | [4,3,3,3,2, p] | 7680p | ||
D 5 × I 2 (p) | [3,3,3 1,1 , 2, p] | 3840p | ||
A 5 × A 1 2 | [3,3,3,3,2,2] | 2880 | ||
AC 5 × A 1 2 | [4,3,3,3,2,2] | 15360 | ||
D 5 × A 1 2 | [3,3,3 1,1 , 2,2] | 7680 | ||
A 4 × A 3 | [3,3,3,2,3,3] | 2880 | ||
A 4 × AC 3 | [3,3,3,2,4,3] | 5760 | ||
A 4 × H 3 | [3,3,3,2,5,3] | 14400 | ||
BC 4 × A 3 | [4,3,3,2,3,3] | 9216 | ||
4 AC × 3 AC | [4,3,3,2,4,3] | 18432 | ||
BC 4 × H 3 | [4,3,3,2,5,3] | 46080 | ||
H 4 × A 3 | [5,3,3,2,3,3] | 345600 | ||
H 4 × BC 3 | [5,3,3,2,4,3] | 691200 | ||
H 4 × H 3 | [5,3,3,2,5,3] | 1728000 | ||
F 4 × A 3 | [3,4,3,2,3,3] | 27648 | ||
F 4 × BC 3 | [3,4,3,2,4,3] | 55296 | ||
F 4 × H 3 | [3,4,3,2,5,3] | 138240 | ||
D 4 × A 3 | [3 1,1,1 , 2,3,3] | 4608 | ||
D 4 × AC 3 | [3,3 1,1 , 2,4,3] | 9216 | ||
D 4 × H 3 | [3,3 1,1 , 2,5,3] | 23040 | ||
A 4 × I 2 (p) × A 1 | [3,3,3,2, p, 2] | 480p | ||
BC 4 × I 2 (p) × A 1 | [4,3,3,2, p, 2] | 1536p | ||
D 4 × I 2 (p) × A 1 | [3,3 1,1 , 2, p, 2] | 768p | ||
F 4 × I 2 (p) × A 1 | [3,4,3,2, p, 2] | 4608p | ||
H 4 × I 2 (p) × A 1 | [5,3,3,2, p, 2] | 57600p | ||
A 4 × A 1 3 | [3,3,3,2,2,2] | 960 | ||
BC 4 × A 1 3 | [4,3,3,2,2,2] | 3072 | ||
F 4 × A 1 3 | [3,4,3,2,2,2] | 9216 | ||
H 4 × A 1 3 | [5,3,3,2,2,2] | 115200 | ||
D 4 × A 1 3 | [3,3 1,1 , 2,2,2] | 1536 | ||
A 3 2 × A 1 | [3,3,2,3,3,2] | 1152 | ||
A 3 × AC 3 × A 1 | [3,3,2,4,3,2] | 2304 | ||
A 3 × H 3 × A 1 | [3,3,2,5,3,2] | 5760 | ||
BC 3 2 × A 1 | [4,3,2,4,3,2] | 4608 | ||
BC 3 × H 3 × A 1 | [4,3,2,5,3,2] | 11520 | ||
H 3 2 × A 1 | [5,3,2,5,3,2] | 28800 | ||
A 3 × I 2 (p) × I 2 (q) | [3,3,2, p, 2, q] | 96pq | ||
BC 3 × I 2 (p) × I 2 (q) | [4,3,2, p, 2, q] | 192pq | ||
H 3 × I 2 (p) × I 2 (q) | [5,3,2, p, 2, q] | 480pq | ||
A 3 × I 2 (p) × A 1 2 | [3,3,2, p, 2,2] | 192p | ||
BC 3 × I 2 (p) × A 1 2 | [4,3,2, p, 2,2] | 384p | ||
H 3 × I 2 (p) × A 1 2 | [5,3,2, p, 2,2] | 960p | ||
A 3 × A 1 4 | [3,3,2,2,2,2] | 384 | ||
AC 3 × A 1 4 | [4,3,2,2,2,2] | 768 | ||
H 3 × A 1 4 | [5,3,2,2,2,2] | 1920 | ||
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r) × A 1 | [p, 2, q, 2, r, 2] | 16pqr | ||
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 3 | [p, 2, q, 2,2,2] | 32pq | ||
I 2 (p) × A 1 5 | [p, 2,2,2,2,2] | 64p | ||
A 1 7 | [2,2,2,2,2,2] | 128 |
Oito dimensões
A tabela a seguir fornece os grupos de reflexão de oito dimensões (excluindo aqueles que são grupos de reflexão de dimensões inferiores), listando-os como grupos de Coxeter . Grupos quirais relacionados existem para cada um com metade da ordem, definido por um número par de reflexões, e podem ser representados pela notação de Coxeter entre colchetes com um expoente '+', por exemplo [3,3,3,3,3,3, 3] + tem sete pontos de giro de 3 vezes e ordem de simetria 181440.
Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | Pedido | Politopos relacionados | |
---|---|---|---|---|
A 8 | [3,3,3,3,3,3,3] | 362880 (9!) | 8-simplex | |
A 8 × 2 | [[3,3,3,3,3,3,3]] | 725760 (2 × 9!) | Composto duplo 8-simplex | |
8 AC | [4,3,3,3,3,3,3] | 10321920 (2 8 8!) | 8-cubo , 8-ortoplexo | |
D 8 | [3,3,3,3,3,3 1,1 ] | 5160960 (2 7 8!) | 8-demicube | |
E 8 | [3,3,3,3,3 2,1 ] | 696729600 (192 × 10!) | 4 21 , 2 41 , 1 42 | |
A 7 × A 1 | [3,3,3,3,3,3,2] | 80640 | Prisma 7-simplex | |
BC 7 × A 1 | [4,3,3,3,3,3,2] | 645120 | Prisma de 7 cubos | |
D 7 × A 1 | [3,3,3,3,3 1,1 , 2] | 322560 | Prisma 7-demicube | |
E 7 × A 1 | [3,3,3,3 2,1 , 2] | 5806080 | 3 21 prisma, 2 31 prisma, 1 42 prisma | |
A 6 × I 2 (p) | [3,3,3,3,3,2, p] | 10080p | duoprismo | |
BC 6 × I 2 (p) | [4,3,3,3,3,2, p] | 92160p | ||
D 6 × I 2 (p) | [3,3,3,3 1,1 , 2, p] | 46080p | ||
E 6 × I 2 (p) | [3,3,3 2,1 , 2, p] | 103680p | ||
A 6 × A 1 2 | [3,3,3,3,3,2,2] | 20160 | ||
AC 6 × A 1 2 | [4,3,3,3,3,2,2] | 184320 | ||
D 6 × A 1 2 | [3 3,1,1 , 2,2] | 92160 | ||
E 6 × A 1 2 | [3,3,3 2,1 , 2,2] | 207360 | ||
A 5 × A 3 | [3,3,3,3,2,3,3] | 17280 | ||
BC 5 × A 3 | [4,3,3,3,2,3,3] | 92160 | ||
D 5 × A 3 | [3 2,1,1 , 2,3,3] | 46080 | ||
A 5 × AC 3 | [3,3,3,3,2,4,3] | 34560 | ||
5 AC × 3 AC | [4,3,3,3,2,4,3] | 184320 | ||
D 5 × AC 3 | [3 2,1,1 , 2,4,3] | 92160 | ||
A 5 × H 3 | [3,3,3,3,2,5,3] | |||
BC 5 × H 3 | [4,3,3,3,2,5,3] | |||
D 5 × H 3 | [3 2,1,1 , 2,5,3] | |||
A 5 × I 2 (p) × A 1 | [3,3,3,3,2, p, 2] | |||
BC 5 × I 2 (p) × A 1 | [4,3,3,3,2, p, 2] | |||
D 5 × I 2 (p) × A 1 | [3 2,1,1 , 2, p, 2] | |||
A 5 × A 1 3 | [3,3,3,3,2,2,2] | |||
AC 5 × A 1 3 | [4,3,3,3,2,2,2] | |||
D 5 × A 1 3 | [3 2,1,1 , 2,2,2] | |||
A 4 × A 4 | [3,3,3,2,3,3,3] | |||
BC 4 × A 4 | [4,3,3,2,3,3,3] | |||
D 4 × A 4 | [3 1,1,1 , 2,3,3,3] | |||
F 4 × A 4 | [3,4,3,2,3,3,3] | |||
H 4 × A 4 | [5,3,3,2,3,3,3] | |||
4 AC × 4 AC | [4,3,3,2,4,3,3] | |||
D 4 × AC 4 | [3 1,1,1 , 2,4,3,3] | |||
F 4 × BC 4 | [3,4,3,2,4,3,3] | |||
H 4 × BC 4 | [5,3,3,2,4,3,3] | |||
D 4 × D 4 | [3 1,1,1 , 2,3 1,1,1 ] | |||
F 4 × D 4 | [3,4,3,2,3 1,1,1 ] | |||
H 4 × D 4 | [5,3,3,2,3 1,1,1 ] | |||
F 4 × F 4 | [3,4,3,2,3,4,3] | |||
H 4 × F 4 | [5,3,3,2,3,4,3] | |||
H 4 × H 4 | [5,3,3,2,5,3,3] | |||
A 4 × A 3 × A 1 | [3,3,3,2,3,3,2] | prismas duoprism | ||
A 4 × AC 3 × A 1 | [3,3,3,2,4,3,2] | |||
A 4 × H 3 × A 1 | [3,3,3,2,5,3,2] | |||
BC 4 × A 3 × A 1 | [4,3,3,2,3,3,2] | |||
AC 4 × AC 3 × A 1 | [4,3,3,2,4,3,2] | |||
BC 4 × H 3 × A 1 | [4,3,3,2,5,3,2] | |||
H 4 × A 3 × A 1 | [5,3,3,2,3,3,2] | |||
H 4 × BC 3 × A 1 | [5,3,3,2,4,3,2] | |||
H 4 × H 3 × A 1 | [5,3,3,2,5,3,2] | |||
F 4 × A 3 × A 1 | [3,4,3,2,3,3,2] | |||
F 4 × BC 3 × A 1 | [3,4,3,2,4,3,2] | |||
F 4 × H 3 × A 1 | [3,4,2,3,5,3,2] | |||
D 4 × A 3 × A 1 | [3 1,1,1 , 2,3,3,2] | |||
D 4 × AC 3 × A 1 | [3 1,1,1 , 2,4,3,2] | |||
D 4 × H 3 × A 1 | [3 1,1,1 , 2,5,3,2] | |||
A 4 × I 2 (p) × I 2 (q) | [3,3,3,2, p, 2, q] | triaprismo | ||
BC 4 × I 2 (p) × I 2 (q) | [4,3,3,2, p, 2, q] | |||
F 4 × I 2 (p) × I 2 (q) | [3,4,3,2, p, 2, q] | |||
H 4 × I 2 (p) × I 2 (q) | [5,3,3,2, p, 2, q] | |||
D 4 × I 2 (p) × I 2 (q) | [3 1,1,1 , 2, p, 2, q] | |||
A 4 × I 2 (p) × A 1 2 | [3,3,3,2, p, 2,2] | |||
BC 4 × I 2 (p) × A 1 2 | [4,3,3,2, p, 2,2] | |||
F 4 × I 2 (p) × A 1 2 | [3,4,3,2, p, 2,2] | |||
H 4 × I 2 (p) × A 1 2 | [5,3,3,2, p, 2,2] | |||
D 4 × I 2 (p) × A 1 2 | [3 1,1,1 , 2, p, 2,2] | |||
A 4 × A 1 4 | [3,3,3,2,2,2,2] | |||
BC 4 × A 1 4 | [4,3,3,2,2,2,2] | |||
F 4 × A 1 4 | [3,4,3,2,2,2,2] | |||
H 4 × A 1 4 | [5,3,3,2,2,2,2] | |||
D 4 × A 1 4 | [3 1,1,1 , 2,2,2,2] | |||
A 3 × A 3 × I 2 (p) | [3,3,2,3,3,2, p] | |||
BC 3 × A 3 × I 2 (p) | [4,3,2,3,3,2, p] | |||
H 3 × A 3 × I 2 (p) | [5,3,2,3,3,2, p] | |||
AC 3 × AC 3 × I 2 (p) | [4,3,2,4,3,2, p] | |||
H 3 × BC 3 × I 2 (p) | [5,3,2,4,3,2, p] | |||
H 3 × H 3 × I 2 (p) | [5,3,2,5,3,2, p] | |||
A 3 × A 3 × A 1 2 | [3,3,2,3,3,2,2] | |||
BC 3 × A 3 × A 1 2 | [4,3,2,3,3,2,2] | |||
H 3 × A 3 × A 1 2 | [5,3,2,3,3,2,2] | |||
AC 3 × AC 3 × A 1 2 | [4,3,2,4,3,2,2] | |||
H 3 × BC 3 × A 1 2 | [5,3,2,4,3,2,2] | |||
H 3 × H 3 × A 1 2 | [5,3,2,5,3,2,2] | |||
A 3 × I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 | [3,3,2, p, 2, q, 2] | |||
BC 3 × I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 | [4,3,2, p, 2, q, 2] | |||
H 3 × I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 | [5,3,2, p, 2, q, 2] | |||
A 3 × I 2 (p) × A 1 3 | [3,3,2, p, 2,2,2] | |||
BC 3 × I 2 (p) × A 1 3 | [4,3,2, p, 2,2,2] | |||
H 3 × I 2 (p) × A 1 3 | [5,3,2, p, 2,2,2] | |||
A 3 × A 1 5 | [3,3,2,2,2,2,2] | |||
AC 3 × A 1 5 | [4,3,2,2,2,2,2] | |||
H 3 × A 1 5 | [5,3,2,2,2,2,2] | |||
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r) × I 2 (s) | [p, 2, q, 2, r, 2, s] | 16pqrs | ||
I 2 (p) × I 2 (q) × I 2 (r) × A 1 2 | [p, 2, q, 2, r, 2,2] | 32pqr | ||
I 2 (p) × I 2 (q) × A 1 4 | [p, 2, q, 2,2,2,2] | 64pq | ||
I 2 (p) × A 1 6 | [p, 2,2,2,2,2,2] | 128p | ||
A 1 8 | [2,2,2,2,2,2,2] | 256 |
Veja também
- Grupos de pontos em duas dimensões
- Grupos de pontos em três dimensões
- Grupos de pontos em quatro dimensões
- Cristalografia
- Grupo de pontos cristalográficos
- Simetria molecular
- Grupo espacial
- Difração de raios X
- Treliça Bravais
- Espectroscopia infravermelha de carbonilas metálicas
Notas
Referências
-
HSM Coxeter : Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- HSM Coxeter e WOJ Moser. Geradores e relações para grupos discretos 4ª ed, Springer-Verlag. Nova york. 1980
- NW Johnson : Geometries and Transformations , (2018) Capítulo 11: Grupos de simetria finita