Grupos de pontos em três dimensões - Point groups in three dimensions

Grupos de pontos em três dimensões

Simetria involucional C s , (*) [] =	Simetria cíclica C nv , (* nn) [n] =	Simetria diedral D nh , (* n22) [n, 2] =
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32)
Simetria tetraédrica T d , (* 332) [3,3] =	Simetria octaédrica O h , (* 432) [4,3] =	Simetria icosaédrica I h , (* 532) [5,3] =

Em geometria , um grupo de pontos em três dimensões é um grupo de isometria em três dimensões que deixa a origem fixa, ou correspondentemente, um grupo de isometria de uma esfera . É um subgrupo do grupo ortogonal O (3), o grupo de todas as isometrias que deixam a origem fixa, ou correspondentemente, o grupo das matrizes ortogonais . O próprio O (3) é um subgrupo do grupo euclidiano E (3) de todas as isometrias.

Grupos de simetria de objetos são grupos de isometria. Consequentemente, a análise de grupos de isometria é a análise de possíveis simetrias . Todas as isometrias de um objeto 3D limitado têm um ou mais pontos fixos comuns. Escolhemos a origem como um deles.

O grupo de simetria de um objeto às vezes também é chamado de grupo de simetria completo , ao contrário de seu grupo de rotação ou grupo de simetria adequado , a intersecção de seu grupo de simetria completo e o grupo de rotação SO (3) do próprio espaço 3D. O grupo de rotação de um objeto é igual ao seu grupo de simetria completo se e somente se o objeto for quiral .

Os grupos de pontos em três dimensões são muito usados ​​em química , especialmente para descrever as simetrias de uma molécula e de orbitais moleculares que formam ligações covalentes e, neste contexto, também são chamados de grupos de pontos moleculares .

Os grupos finitos de Coxeter são um conjunto especial de grupos de pontos gerados puramente por um conjunto de espelhos refletivos que passam pelo mesmo ponto. Um grupo de Coxeter de classificação n tem n espelhos e é representado por um diagrama de Coxeter-Dynkin . A notação de Coxeter oferece uma notação entre colchetes equivalente ao diagrama de Coxeter, com símbolos de marcação para grupos de pontos rotacionais e de subsimetria.

Estrutura de grupo

SO (3) é um subgrupo de E ⁺ (3) , que consiste em isometrias diretas , ou seja, isometrias preservando a orientação ; contém aqueles que deixam a origem fixa.

O (3) é o produto direto de SO (3) e o grupo gerado por inversão (denotado por sua matriz - I ):

O (3) = SO (3) × { I , - I }

Assim, há uma correspondência 1 para 1 entre todas as isometrias diretas e todas as isometrias indiretas, por meio de inversão. Também há uma correspondência 1 para 1 entre todos os grupos de isometrias diretas H em O (3) e todos os grupos K de isometrias em O (3) que contêm inversão:

K = H × { I , - I }

H = K ∩ SO (3)

Por exemplo, se H é C ₂ , então K é C _2h , ou se H é C ₃ , então K é S ₆ . (Veja mais abaixo as definições desses grupos.)

Se um grupo de isometrias diretas H tem um subgrupo L de índice 2, então, além do grupo correspondente contendo inversão, há também um grupo correspondente que contém isometrias indiretas, mas sem inversão:

M = L ∪ (( H ∖ L ) × {- I })

onde isometría ( A , I ) é identificada com um . Um exemplo seria C ₄ para H e S ₄ por M .

Assim H é obtida a partir de H , invertendo os isometries em H ∖ L . Este grupo M é como resumo isomorfo com grupo H . Por outro lado, para todos os grupos de isometria que contêm isometrias indiretas, mas sem inversão, podemos obter um grupo de rotação invertendo as isometrias indiretas. Isso é esclarecedor ao categorizar grupos de isometria, veja abaixo.

Em 2D o grupo cíclico de k vezes de rotações C _k é, para cada inteiro positivo k um subgrupo normal de O (2, R ) e SO (2, R ). Consequentemente, em 3D, para cada eixo, o grupo cíclico de rotações k em torno desse eixo é um subgrupo normal do grupo de todas as rotações em torno desse eixo. Uma vez que qualquer subgrupo do índice dois é normal, o grupo de rotações ( C _n ) é normal tanto no grupo ( C _{n v} ) obtido pela adição de ( C _n ) planos de reflexão através de seu eixo e no grupo ( C _{n h} ) obtido adicionando a ( C _n ) um plano de reflexão perpendicular ao seu eixo.

Isometrias 3D que deixam a origem fixa

As isometrias de R ³ que deixam a origem fixa, formando o grupo O (3, R ), podem ser categorizadas da seguinte forma:

• SO (3, R ):
  • identidade
  • rotação em torno de um eixo através da origem por um ângulo diferente de 180 °
  • rotação em torno de um eixo através da origem por um ângulo de 180 °;
• o mesmo com inversão ( x é mapeado para - x ), ou seja, respectivamente:
  • inversão
  • rotação em torno de um eixo por um ângulo diferente de 180 °, combinado com reflexão no plano através da origem perpendicular ao eixo
  • reflexão em um plano através da origem.

A 4ª e a 5ª em particular, e em um sentido mais amplo também a 6ª, são chamadas de rotações impróprias .

Veja também a visão geral semelhante, incluindo traduções .

Conjugação

Ao comparar o tipo de simetria de dois objetos, a origem é escolhida para cada um separadamente, ou seja, eles não precisam ter o mesmo centro. Além disso, dois objetos são considerados do mesmo tipo de simetria se seus grupos de simetria forem subgrupos conjugados de O (3) (dois subgrupos H ₁ , H ₂ de um grupo G são conjugados , se houver g ∈ G tal que H ₁ = g ⁻¹ H ₂ g ).

Por exemplo, dois objetos 3D têm o mesmo tipo de simetria:

• se ambos têm simetria de espelho, mas com respeito a um plano de espelho diferente
• se ambos tiverem simetria rotacional tripla, mas com respeito a um eixo diferente.

No caso de planos de espelho e / ou eixos de rotação múltiplos, dois grupos de simetria são do mesmo tipo de simetria se e somente se houver uma rotação mapeando toda a estrutura do primeiro grupo de simetria para aquele do segundo. (Na verdade, haverá mais de uma rotação, mas não um número infinito como quando há apenas um espelho ou eixo.) A definição de conjugação também permitiria uma imagem espelhada da estrutura, mas isso não é necessário, a própria estrutura é aquiral. Por exemplo, se um grupo de simetria contém um eixo de rotação triplo, ele contém rotações em duas direções opostas. (A estrutura é quiral para 11 pares de grupos espaciais com um eixo de parafuso.)

Grupos de isometria infinita

Existem muitos grupos de isometria infinitos ; por exemplo, o " grupo cíclico " (o que significa que é gerado por um elemento - não deve ser confundido com um grupo de torção ) gerado por uma rotação por um número irracional de voltas em torno de um eixo. Podemos criar grupos abelianos não cíclicos adicionando mais rotações ao redor do mesmo eixo. Existem também grupos não abelianos gerados por rotações em torno de diferentes eixos. Esses são geralmente (genericamente) grupos livres . Eles serão infinitos, a menos que as rotações sejam especialmente escolhidas.

Todos os grupos infinitos mencionados até agora não são fechados como subgrupos topológicos de O (3). Discutimos agora subgrupos topologicamente fechados de O (3).

Uma esfera não marcada tem simetria O (3).

Todo O (3) é o grupo de simetria da simetria esférica ; SO (3) é o grupo de rotação correspondente. Os outros grupos de isometria infinita consistem em todas as rotações em torno de um eixo através da origem e aquelas com reflexão adicional nos planos através do eixo e / ou reflexão no plano através da origem, perpendicular ao eixo. Aqueles com reflexão nos planos pelo eixo, com ou sem reflexão no plano pela origem perpendicular ao eixo, são os grupos de simetria para os dois tipos de simetria cilíndrica . Observe que qualquer objeto físico com simetria rotacional infinita também terá a simetria de planos de espelho através do eixo.

Existem sete grupos contínuos que são todos limites dos grupos de isometria finita. Esses chamados grupos de pontos limitantes ou grupos limitantes de Curie são nomeados em homenagem a Pierre Curie, que foi o primeiro a investigá-los. As sete séries infinitas de grupos axiais levam a cinco grupos limitantes (dois deles são duplicados), e os sete grupos de pontos restantes produzem mais dois grupos contínuos. Na notação internacional, a lista é ∞, ∞2, ∞ / m, ∞mm, ∞ / mm, ∞∞ e ∞∞m.

Grupos de isometria finita

Simetrias em 3D que deixam a origem fixa são totalmente caracterizadas por simetrias em uma esfera centrada na origem. Para grupos de pontos 3D finitos, consulte também grupos de simetria esférica .

Até a conjugação, o conjunto de grupos de pontos 3D finitos consiste em:

• 7 séries infinitas com no máximo um eixo de rotação de mais de 2 vezes; eles são os grupos de simetria finitos em um cilindro infinito , ou equivalentemente, aqueles em um cilindro finito. Às vezes, eles são chamados de grupos de pontos axiais ou prismáticos.
• Grupos de 7 pontos com vários eixos de rotação de 3 ou mais vezes; eles também podem ser caracterizados como grupos de pontos com vários eixos de rotação de 3 vezes, porque todos os 7 incluem esses eixos; em relação aos eixos de rotação de 3 ou mais vezes, as combinações possíveis são:
  • 4 eixos de 3 dobras
  • 4 eixos de 3 dobras e 3 eixos de 4 dobras
  • 10 eixos de 3 dobras e 6 eixos de 5 dobras

De acordo com o teorema da restrição cristalográfica , um número limitado de grupos de pontos é compatível com a simetria translacional discreta : 27 das 7 séries infinitas e 5 das 7 outras. Juntos, eles formam os 32 chamados grupos de pontos cristalográficos .

As sete séries infinitas de grupos axiais

A série infinita de grupos axiais ou prismáticos tem um índice n , que pode ser qualquer inteiro; em cada série, o n ésimo grupo simetria contém n vezes de simetria de rotação em torno de um eixo, ou seja, uma simetria em relação a uma rotação de um ângulo de 360 ° / n . n = 1 cobre os casos de nenhuma simetria rotacional. Existem quatro séries sem outros eixos de simetria rotacional (ver simetrias cíclicas ) e três com eixos adicionais de simetria dupla (ver simetria diédrica ). Eles podem ser entendidos como grupos de pontos em duas dimensões estendidos com uma coordenada axial e reflexos nela. Eles estão relacionados aos grupos de frisos ; eles podem ser interpretados como padrões de grupos de frisos repetidos n vezes ao redor de um cilindro.

A tabela a seguir lista várias notações para grupos de pontos: notação Hermann – Mauguin (usada na cristalografia ), notação Schönflies (usada para descrever a simetria molecular ), notação orbifold e notação Coxeter . Os últimos três não estão apenas convenientemente relacionados às suas propriedades, mas também à ordem do grupo. A notação orbifold é uma notação unificada, também aplicável para grupos de papéis de parede e grupos de frisos . Os grupos cristalográficos possuem n restrito a 1, 2, 3, 4 e 6; a remoção da restrição cristalográfica permite qualquer número inteiro positivo. As séries são:

Internacional		Schoenflies	Orbifold	Coxexter	Friso	Struct.	Pedido	Exemplo	Comentários
Mesmo n	Odd n				(cilindro)
n		C n	nn	[n] +	p1	Z n	n		simetria rotacional n vezes
2 n	n	S 2 n	n ×	[2 n + , 2 + ]	p11g	Z 2 n	2 n		Simetria de rotorreflecção de 2 n vezes
n / m	2 n	C n h	n *	[n + , 2]	p11m	Z n × Z 2	2 n
n mm	n m	C n v	* nn	[ n ]	p1m1	Dih n	2 n		Simetria piramidal ; em biologia, simetria birradial
n 22	n 2	D n	22 n	[ n , 2] +	p211	Dih n	2 n		Simetria diedral
2 n 2 m	n m	D n d	2 * n	[2 n , 2 + ]	p2mg	Dih 2 n	4 n		Simetria antiprismática
n / mmm	2 n 2 m	D n h	* 22 n	[ n , 2]	p2mm	Dih n × Z 2	4 n		Simetria prismática

Para n ímpar , temos Z _{2 n} = Z _n × Z ₂ e Dih _{2 n} = Dih _n × Z ₂ .

Os grupos C _n (incluindo o trivial C ₁ e D _n são quirais, os outros são aquirais.

Os termos horizontal (h) e vertical (v), e os respectivos subscritos, referem-se ao plano espelhado adicional, que pode ser paralelo ao eixo de rotação (vertical) ou perpendicular ao eixo de rotação (horizontal).

Os grupos axiais não triviais mais simples são equivalentes ao grupo abstrato Z ₂ :

• C _i (equivalente a S ₂ ) - simetria de inversão
• C ₂ - simetria rotacional de 2 vezes
• C _s (equivalente a C _1h e C _1v ) - simetria de reflexão , também chamada de simetria bilateral .

Padrões em uma banda cilíndrica ilustrando o caso n = 6 para cada uma das 7 famílias infinitas de grupos de pontos. O grupo de simetria de cada padrão é o grupo indicado.

O segundo deles é o primeiro dos grupos uniaxiais (grupos cíclicos ) C _n de ordem n (também aplicável em 2D), que são gerados por uma única rotação de ângulo 360 ° / n . Além disso, pode-se adicionar um plano de espelho perpendicular ao eixo, dando o grupo C _{n h} de ordem 2 n , ou um conjunto de n planos de espelho contendo o eixo, dando o grupo C _{n v} , também de ordem 2 n . O último é o grupo de simetria para uma pirâmide regular de n lados . Um objeto típico com grupo de simetria C _n ou D _n é uma hélice .

Se os planos de reflexão horizontal e vertical forem adicionados, suas interseções fornecem n eixos de rotação de 180 °, de modo que o grupo não é mais uniaxial. Este novo grupo de ordem 4 n é denominado D _{n h} . Seu subgrupo de rotações é o grupo diedro D _n de ordem 2 n , que ainda possui os eixos de rotação de 2 vezes perpendiculares ao eixo de rotação primário, mas nenhum plano de espelho.

Nota: em 2D, D _n inclui reflexos, que também podem ser visualizados como inversão de objetos planos sem distinção do lado frontal e traseiro; mas em 3D, as duas operações são distintas: D _n contém "inversão", não reflexos.

Há mais um grupo nesta família, denominado D _{n d} (ou D _{n v} ), que possui planos espelhados verticais contendo o eixo de rotação principal, mas em vez de ter um plano espelhado horizontal, possui uma isometria que combina um reflexo no plano horizontal e uma rotação por um ângulo de 180 ° / n . D _{n h} é o grupo de simetria para um prisma n -gonal "regular" e também para uma bipirâmide n -gonal "regular" . D _{n d} representa o grupo de simetria de um "regular" n -gonal antiprisma , e também para um "regular" n -gonal trapezoedro . D _n é o grupo de simetria de um prisma parcialmente girado ("torcido").

Os grupos D ₂ e D _2h são notáveis ​​por não haver eixo de rotação especial. Em vez disso, existem três eixos perpendiculares de 2 dobras. D ₂ é um subgrupo de todas as simetrias poliédricas (veja abaixo), e D _2h é um subgrupo dos grupos poliédricos T _h e O _h . D ₂ pode ocorrer em homotetrâmeros como a Concanavalina A , em compostos de coordenação tetraédricos com quatro ligantes quirais idênticos ou em uma molécula como tetraquis (clorofluorometil) metano se todos os grupos clorofluorometil tiverem a mesma quiralidade. Os elementos de D ₂ estão em correspondência 1 para 2 com as rotações dadas pelos quatérnios unitários de Lipschitz .

O grupo S _n é gerado pela combinação de uma reflexão no plano horizontal e uma rotação de um ângulo de 360 ​​° / n. Para n ímpar, isso é igual ao grupo gerado pelos dois separadamente, C _{n h} de ordem 2 n e, portanto, a notação S _n não é necessária; entretanto, para n mesmo, ele é distinto e da ordem n . Como D _{n d,} ele contém várias rotações impróprias sem conter as rotações correspondentes.

Todos os grupos de simetria nas 7 séries infinitas são diferentes, exceto para os seguintes quatro pares de uns mutuamente iguais:

• C _1h e C _1v : grupo de ordem 2 com uma única reflexão ( C _s )
• D ₁ e C ₂ : grupo de ordem 2 com uma única rotação de 180 °
• D _1h e C _2v : grupo de ordem 4 com uma reflexão em um plano e uma rotação de 180 ° através de uma linha naquele plano
• D _1d e C _2h : grupo de ordem 4 com reflexão em um plano e rotação de 180 ° através de uma linha perpendicular a esse plano.

S ₂ é o grupo de ordem 2 com uma única inversão ( C _i ).

"Igual" significa aqui o mesmo até a conjugação no espaço. Isso é mais forte do que "até isomorfismo algébrico". Por exemplo, existem três grupos diferentes de ordem dois no primeiro sentido, mas há apenas um no segundo sentido. Da mesma forma, por exemplo, S _{2 n} é algebricamente isomórfico com Z _{2 n} .

Os grupos podem ser construídos da seguinte forma:

• C _n . Gerado por um elemento também denominado C _n , que corresponde a uma rotação de ângulo 2π / n em torno do eixo. Seus elementos são E (a identidade), C _n , C _n ² , ..., C _n ^{n −1} , correspondendo aos ângulos de rotação 0, 2π / n , 4π / n , ..., 2 ( n  - 1) π / n .
• S _{2 n} . Gerado pelo elemento C _{2 n} σ _h , onde σ _h é uma reflexão na direção do eixo. Seus elementos são os elementos de C _n com C _{2 n} σ _h , C _{2 n} ³ σ _h , ..., C _{2 n} ^{2 n −1} σ _h adicionado.
• C _{n h} . Gerado pelo elemento C _n e reflexão σ _h . Seus elementos são os elementos do grupo C _n , com os elementos σ _h , C _n σ _h , C _n ² σ _h , ..., C _n ^{n −1} σ _h adicionados.
• C _{n v} . Gerado pelo elemento C _n e reflexão σ _v em uma direção no plano perpendicular ao eixo. Seus elementos são os elementos do grupo C _n , com os elementos σ _v , C _n σ _v , C _n ² σ _v , ..., C _n ^{n −1} σ _v adicionados.
• D _n . Gerado pelo elemento C _n e rotação de 180 ° U = σ _h σ _{v em} torno de uma direção no plano perpendicular ao eixo. Seus elementos são os elementos do grupo C _n , com os elementos U, C _n U, C _n ² U, ..., C _n ^{n  - 1} U adicionados.
• D _{n d} . Gerado pelos elementos C _{2 n} σ _he σ _v . Seus elementos são os elementos do grupo C _n e os elementos adicionais de S _{2 n} e C _{n v} , com os elementos C _{2 n} σ _h σ _v , C _{2 n} ³ σ _h σ _v , ..., C _{2 n} ^{2 n  - 1} σ _h σ _v adicionado.
• D _{n h} . Gerado pelos elementos C _n , σ _h e σ _v . Seus elementos são os elementos do grupo C _n e os elementos adicionais de C _{n h} , C _{n v} e D _n .

Tomando n a ∞, resulta em grupos com rotações axiais contínuas:

H – M	Schönflies	Orbifold	Coxeter		Limite de	Grupo abstrato
∞	C ∞	∞∞	[∞] +		C n	Z ∞	SO (2)
∞ , ∞ / m	C ∞h	∞ *	[2, ∞ + ]		C n h , S 2 n	Z 2 × Z ∞	Z 2 × SO (2)
∞m	C ∞v	* ∞∞	[∞]		C n v	Dih ∞	O (2)
∞2	D ∞	22∞	[2, ∞] +		D n	Dih ∞	O (2)
∞ m, ∞ / mm	D ∞h	* 22∞	[2, ∞]		D n h , D n d	Z 2 × Dih ∞	Z 2 × O (2)

Os sete grupos de pontos restantes

Os grupos de pontos restantes são considerados de simetria muito alta ou poliédrica porque eles têm mais de um eixo de rotação de ordem maior do que 2. Aqui, C _n denota um eixo de rotação através de 360 ​​° / n e S _n denota um eixo impróprio rotação através do mesmo. Em linhas sucessivas estão a notação orbifold , a notação de Coxeter e o diagrama de Coxeter , e a notação de Hermann-Mauguin (completa e abreviada se diferente) e a ordem (número de elementos) do grupo de simetria. Os grupos são:

T , (332) [3,3] + () 23 pedido 12	simetria tetraédrica quiral	Os três eixos rotacionais ( C 3 ) de um tetraedro. Os eixos de rotação dupla ( C 2 ) de um tetraedro. Existem quatro eixos C 3 , cada um através de dois vértices de um cubo circunscrito ( cubo vermelho nas imagens), ou através de um vértice de um tetraedro regular , e três eixos C 2 , através dos centros das faces do cubo, ou os pontos médios do bordas do tetraedro. Este grupo é isomorfo a A 4 , o grupo alternado em 4 elementos, e é o grupo de rotação para um tetraedro regular. É um subgrupo normal de T d , T h e das simetrias octaédricas. Os elementos do grupo correspondem de 1 para 2 às rotações dadas pelos quaternions de Hurwitz de 24 unidades (o " grupo tetraédrico binário ").
T d , (* 332) [3,3] () 4 3m pedido 24	simetria tetraédrica completa	Um plano de espelho de um tetraedro. Um eixo de rotação-reflexão quádruplo ( S 4 ) de um tetraedro. Este grupo é o grupo de simetria de um tetraedro regular . Este grupo tem os mesmos eixos de rotação que T , e os eixos C 2 agora são eixos S 4 . Este grupo tem seis planos espelhados, cada um contendo duas arestas do cubo ou uma aresta do tetraedro, um único eixo S 4 e dois eixos C 3 . T d é isomórfico a S 4 , o grupo simétrico em 4 letras, porque há uma correspondência 1 para 1 entre os elementos de T d e as 24 permutações dos quatro eixos triplos. Um objeto de simetria C 3v sob um dos eixos triplos dá origem, sob a ação de T d, a uma órbita que consiste em quatro desses objetos, e T d corresponde ao conjunto de permutações desses quatro objetos. T d é um subgrupo normal de O h . Veja também as isometrias do tetraedro regular .
T h , (3 * 2) [3 + , 4] () 2 / m 3 , m 3 pedido 24	simetria piritoédrica	As costuras de uma bola de vôlei têm simetria T h . Este grupo tem os mesmos eixos de rotação que T , com planos espelhados paralelos às faces do cubo. Os eixos C 3 tornam-se eixos S 6 , e há simetria de inversão. T h é isomórfico a A 4 × Z 2 (visto que T e C i são ambos subgrupos normais), e não ao grupo simétrico S 4 . É a simetria de um cubo com em cada face um segmento de linha que divide a face em dois retângulos iguais, de modo que os segmentos de linha de faces adjacentes não se encontram na aresta. As simetrias correspondem às permutações pares das diagonais do corpo e as mesmas combinadas com inversão. É também a simetria de um piritoedro , que é semelhante ao cubo descrito, com cada retângulo substituído por um pentágono com um eixo de simetria e 4 lados iguais e 1 lado diferente (o que corresponde ao segmento de reta que divide a face do cubo); ou seja, as faces do cubo se projetam na linha divisória e se tornam mais estreitas ali. É um subgrupo (mas não um subgrupo normal) do grupo de simetria icosaédrica completo (como grupo de isometria, não apenas como grupo abstrato), com 4 dos 10 eixos de 3 vezes. É um subgrupo normal de O h . Apesar de ser chamado de T h , não se aplica a um tetraedro.
O , (432) [4,3] + () 432 pedido 24	simetria octaédrica quiral	Este grupo é como T , mas os eixos C 2 agora são eixos C 4 e, adicionalmente, existem 6 eixos C 2 , através dos pontos médios das arestas do cubo. Este grupo também é isomorfa a S 4 , porque os seus elementos são em um-para-um correspondência para os 24 permutações dos eixos de 3 vezes, tal como com t . Um objeto de simetria D 3 sob um dos eixos triplos dá origem, sob a ação de O, a uma órbita que consiste em quatro desses objetos, e O corresponde ao conjunto de permutações desses quatro objetos. É o grupo de rotação do cubo e octaedro . Representando rotações com quatérnios , O é composto de 24 quatérnios de Hurwitz de unidade e de 24 quatérnios de Lipschitz de norma 2 quadrada normalizada pela divisão por . Como antes, esta é uma correspondência 1 para 2. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$
O H , (* 432) [4,3] () 4 / m 3 2 / m, m 3 m pedido 48	simetria octaédrica completa	Este grupo tem os mesmos eixos de rotação que O , mas com planos espelhados, compreendendo ambos os planos espelhados de T d e T h . Este grupo é isomórfico a S 4 × Z 2 (porque O e C i são subgrupos normais) e é o grupo de simetria do cubo e do octaedro . Veja também as isometrias do cubo .
I , (532) [5,3] + () 532 pedido 60	simetria icosaédrica quiral	o grupo de rotação do icosaedro e do dodecaedro . É um subgrupo normal do índice 2 no grupo completo de simetrias I h . O grupo contém 10 versões de D 3 e 6 versões de D 5 (simetrias rotacionais como prismas e antiprismas). Ele também contém cinco versões de T (ver Composto de cinco tetraedros ). O grupo I é isomorfo a A 5 , o grupo alternado em 5 letras, uma vez que seus elementos correspondem 1 a 1 com permutações pares das cinco simetrias T (ou dos cinco tetraedros mencionados acima). Representando rotações com quatérnios , I é formado pelos 120 icosianos unitários . Como antes, esta é uma correspondência 1 para 2.
I h , (* 532) [5,3] () 5 3 2 / m, 5 3 m pedido 120	simetria icosaédrica completa	o grupo de simetria do icosaedro e do dodecaedro. O grupo I h é isomórfico a A 5 × Z 2 porque I e C i são subgrupos normais. O grupo contém 10 versões de D 3d , 6 versões de D 5d (simetrias como antiprismas) e 5 versões de T h .

Os grupos contínuos relacionados a esses grupos são:

• ∞∞, K ou SO (3) , todas as rotações possíveis.
• ∞∞m, K _h ou O (3) , todas as rotações e reflexões possíveis.

Como observado acima para os grupos de isometria infinita , qualquer objeto físico com simetria K também terá simetria K _h .

Relação entre notação orbifold e ordem

A ordem de cada grupo é 2 dividido pela característica orbifold de Euler ; o último é 2 menos a soma dos valores do recurso, atribuídos da seguinte forma:

• n sem ou antes de * conta como ( n −1) / n
• n após * conta como ( n −1) / (2 n )
• * e × contam como 1

Isso também pode ser aplicado para grupos de papéis de parede e grupos de frisos : para eles, a soma dos valores dos recursos é 2, dando uma ordem infinita; veja a característica orbifold Euler para grupos de papéis de parede

Grupos reflexivos de Coxeter

Domínios fundamentais de grupos 3D Coxeter

A 3 , [3,3],	B 3 , [4,3],	H 3 , [5,3],
6 espelhos	3 + 6 espelhos	15 espelhos
2A 1 , [1,2],	3A 1 , [2,2],	A 1 A 2 , [2,3],
2 espelhos	3 espelhos	4 espelhos
A 1 , [1],	2A 1 , [2],	A 2 , [3],
1 espelho	2 espelhos	3 espelhos

Os grupos de pontos reflexivos em três dimensões também são chamados de grupos de Coxeter e podem ser dados por um diagrama de Coxeter-Dynkin e representam um conjunto de espelhos que se cruzam em um ponto central e delimitam um domínio de triângulo esférico na superfície de uma esfera. Os grupos Coxeter com menos de 3 geradores têm domínios triangulares esféricos degenerados, como lunas ou um hemisfério . Na notação de Coxeter, esses grupos são simetria tetraédrica [3,3], simetria octaédrica [4,3], simetria icosaédrica [5,3] e simetria diédrica [p, 2]. O número de espelhos para um grupo irredutível é nh / 2 , onde h é o número de Coxeter do grupo de Coxeter , n é a dimensão (3).

Grupo Weyl	Notação de Coxeter		Pedido	Número de Coxeter (h)	Espelhos (m)
Grupos poliédricos
A 3		[3,3]	24	4	6
B 3		[4,3]	48	6	3 + 6
H 3		[5,3]	120	10	15
Grupos diédricos
2 A 1		[1,2]	4		1 + 1
3 A 1		[2,2]	8		2 + 1
I 2 (p) A 1		[p, 2]	4p		p + 1
Grupos cíclicos
2 A 1		[2]	4		2
I 2 (p)		[p]	2p		p
Espelho único
A 1		[]	2		1

Grupos de rotação

Os grupos de rotação, ou seja, os subgrupos finitos de SO (3), são: os grupos cíclicos C _n (o grupo de rotação de uma pirâmide canônica ), os grupos diédricos D _n (o grupo de rotação de um prisma uniforme ou bipirâmide canônica ), e os grupos de rotação T , O e I de um tetraedro regular , octaedro / cubo e icosaedro / dodecaedro .

Em particular, os grupos diedros D ₃ , D ₄ , etc, são os grupos de rotação do plano polígonos regulares incorporados no espaço tridimensional, e um tal valor pode ser considerado como um prisma regular de degenerada. Portanto, também é chamado de diédro (grego: sólido com duas faces), o que explica o nome de grupo diédrico .

• Um objeto com grupo de simetria C _n , C _{n h} , C _{n v} ou S _{2 n} tem grupo de rotação C _n .
• Um objeto com grupo de simetria D _n , D _{n h} ou D _{n d} tem grupo de rotação D _n .
• Um objecto tendo uma simetria poliédrico ( t , t _d , t _H , S , S _h , I ou I _h ) tem como o seu grupo de rotação correspondente a um sem um subscrito: T , S ou I .

O grupo de rotação de um objeto é igual ao seu grupo de simetria completo se e somente se o objeto for quiral . Em outras palavras, os objetos quirais são aqueles com seu grupo de simetria na lista de grupos de rotação.

Dado na notação Schönflies , notação Coxeter , ( notação orbifold ), os subgrupos de rotação são:

Correspondência entre grupos de rotação e outros grupos

Os seguintes grupos contêm inversão :

• C _{n h} e D _{n h} para mesmo n
• S _{2 n} e D _{n d} para n ímpar ( S ₂ = C _i é o grupo gerado pela inversão; D _1d = C _2h )
• T _h , O _h , e I _h

Conforme explicado acima, há uma correspondência 1 para 1 entre esses grupos e todos os grupos de rotação:

• C _{n h} para n pares e S _{2 n} para n ímpar correspondem a C _n
• D _{n h} para n par e D _{n d} para n ímpar correspondem a D _n
• T _h , O _h e I _h correspondem a T , O e I , respectivamente.

Os outros grupos contêm isometrias indiretas, mas não inversão:

• C _{n v}
• C _{n h} e D _{n h} para n ímpar
• S _{2 n} e D _{n d} para mesmo n
• T _d

Todos eles correspondem a um grupo de rotação H e um subgrupo L do índice 2 no sentido de que são obtidos de H , invertendo as isometrias em H \ L , conforme explicado acima:

• C _n é o subgrupo de D _n do índice 2, dando C _{n v}
• C _n é o subgrupo de C _{2 n} do índice 2, dando C _{n h} para n ímpar e S _{2 n} para n par
• D _n é o subgrupo de D _{2 n} do índice 2, dando D _{n h} para n ímpar e D _{n d} para n par
• T é o subgrupo de O do índice 2, dando T _d

Simetrias máximas

Existem dois grupos de pontos discretos com a propriedade de que nenhum grupo de pontos discretos os possui como subgrupo adequado: O _h e I _h . Seu maior subgrupo comum é T _h . Os dois grupos são obtidos alterando a simetria rotacional de 2 vezes para 4 vezes e adicionando a simetria de 5 vezes, respectivamente.

Existem dois grupos de pontos cristalográficos com a propriedade de que nenhum grupo de pontos cristalográficos os possui como subgrupo adequado: O _h e D _6h . Seus subgrupos comuns máximos, dependendo da orientação, são D _3d e D _2h .

Os grupos organizados por tipo de grupo abstrato

Abaixo, os grupos explicados acima são organizados por tipo de grupo abstrato.

Os menores grupos abstratos que não são nenhum grupo de simetria em 3D são o grupo quaternion (de ordem 8), Z ₃ × Z ₃ (de ordem 9), o grupo dicíclico Dic ₃ (de ordem 12) e 10 de 14 grupos de ordem 16.

A coluna "Nº de elementos de ordem 2" nas tabelas a seguir mostra o número total de subgrupos de isometria dos tipos C ₂ , C _i , C _s . Este número total é uma das características que ajudam a distinguir os vários tipos de grupos abstratos, enquanto seu tipo de isometria ajuda a distinguir os vários grupos de isometria do mesmo grupo abstrato.

Dentro das possibilidades de grupos de isometria em 3D, existem infinitos tipos de grupos abstratos com 0, 1 e 3 elementos de ordem 2, existem dois com 4 n + 1 elementos de ordem 2 e existem três com 4 n + 3 elementos de ordem 2 (para cada n ≥ 8). Nunca há um número par positivo de elementos de ordem 2.

Grupos de simetria em 3D que são cíclicos como grupo abstrato

O grupo de simetria para simetria rotacional n vezes é C _n ; seu tipo de grupo abstrato é o grupo cíclico Z _n , que também é denotado por C _n . No entanto, existem mais duas séries infinitas de grupos de simetria com este tipo de grupo abstrato:

• Para a ordem par 2 n existe o grupo S _{2 n} (notação Schoenflies) gerado por uma rotação de um ângulo de 180 ° / n em torno de um eixo, combinado com uma reflexão no plano perpendicular ao eixo. Para S _2, a notação C _i é usada; é gerado por inversão.
• Para qualquer ordem 2 n onde n é ímpar, temos C _{n h} ; tem um eixo de rotação n vezes e um plano perpendicular de reflexão. É gerado por uma rotação de um ângulo de 360 ​​° / n em torno do eixo, combinado com a reflexão. Para C _1h, a notação C _s é usada; é gerado pela reflexão em um plano.

Assim temos, com negrito dos 10 grupos de pontos cristalográficos cíclicos, aos quais se aplica a restrição cristalográfica :

Pedido	Grupos de isometria	Grupo abstrato	# de ordem 2 elementos	Diagrama de ciclo
1	C 1	Z 1	0
2	C 2 , C i , C s	Z 2	1
3	C 3	Z 3	0
4	C 4 , S 4	Z 4	1
5	C 5	Z 5	0
6	C 6 , S 6 , C 3h	Z 6 = Z 3 × Z 2	1
7	C 7	Z 7	0
8	C 8 , S 8	Z 8	1
9	C 9	Z 9	0
10	C 10 , S 10 , C 5h	Z 10 = Z 5 × Z 2	1

etc.

Grupos de simetria em 3D que são diedros como grupo abstrato

No grupo diédrico 2D, o grupo D _n inclui reflexos, que também podem ser vistos como uma inversão de objetos planos, sem distinção de frente e verso.

No entanto, em 3D, as duas operações são distintas: o grupo de simetria denotado por D _n contém n eixos de 2 dobras perpendiculares ao eixo de n dobras, não reflexos. D _n é o grupo de rotação do n -sided prisma com uma base regular, e n -sided bipirâmide com uma base regular, e também de forma regular, n -sided antiprisma e de forma regular, n -sided trapezoedro . O grupo também é o grupo de simetria completa de tais objetos após torná-los quirais, por exemplo, por uma marcação quiral idêntica em cada face ou alguma modificação na forma.

O tipo de grupo abstrato é o grupo diedro Dih _n , que também é denotado por D _n . No entanto, existem mais três séries infinitas de grupos de simetria com este tipo de grupo abstrato:

• C _{n v} de ordem 2 n , o grupo de simetria de uma pirâmide regular de n lados
• D _{n d} de ordem 4 n , o grupo de simetria de um antiprisma regular de n lados
• D _{n h} de ordem 4 n para n ímpar . Para n = 1 obtemos D ₂ , já coberto acima, então n ≥ 3.

Observe a seguinte propriedade:

Dih _{4 n +2} Dih _{2 n +1} × Z ₂${\ displaystyle \ cong}$

Assim, temos, com negrito dos 12 grupos de pontos cristalográficos, e escrevendo D _1d como o C _2h equivalente :

Pedido	Grupos de isometria	Grupo abstrato	# de ordem 2 elementos	Diagrama de ciclo
4	D 2 , C 2v , C 2h	Dih 2 = Z 2 × Z 2	3
6	D 3 , C 3v	Dih 3	3
8	D 4 , C 4v , D 2d	Dih 4	5
10	D 5 , C 5v	Dih 5	5
12	D 6 , C 6v , D 3d , D 3h	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	7
14	D 7 , C 7v	Dih 7	7
16	D 8 , C 8v , D 4d	Dih 8	9
18	D 9 , C 9v	Dih 9	9
20	D 10 , C 10 v , D 5h , D 5d	Dih 10 = D 5 × Z 2	11

etc.

De outros

C _{2 n , h} de ordem 4 n é de sumário grupo Z de tipo _{2 n} × Z ₂ . Para n = 1 temos Dih ₂ , já coberto acima, então n ≥ 2.

Assim temos, com negrito dos 2 grupos de pontos cristalográficos cíclicos:

Pedido	Grupo de isometria	Grupo abstrato	# de ordem 2 elementos	Diagrama de ciclo
8	C 4h	Z 4 × Z 2	3
12	C 6h	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2 = Z 3 × Dih 2	3
16	C 8h	Z 8 × Z 2	3
20	C 10h	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 = Z 5 × Dih 2	3

etc.

D _{n h} de ordem 4 n é do tipo de grupo abstrato Dih _n × Z ₂ . Para n ímpar, isso já foi coberto acima, então temos aqui D _{2 n h} de ordem 8 n , que é do tipo de grupo abstrato Dih _{2 n} × Z ₂ ( n ≥1).

Assim temos, com negrito dos 3 grupos de pontos cristalográficos diédricos:

Pedido	Grupo de isometria	Grupo abstrato	# de ordem 2 elementos	Diagrama de ciclo
8	D 2h	Z 2 3	7
16	D 4h	Dih 4 × Z 2	11
24	D 6h	Dih 6 × Z 2 = Dih 3 × Z 2 2	15
32	D 8h	Dih 8 × Z 2	19

etc.

Os sete restantes são, com negrito dos 5 grupos de pontos cristalográficos (ver também acima):

Pedido	Grupo de isometria	Grupo abstrato	# de ordem 2 elementos	Diagrama de ciclo
12	T	A 4	3
24	T d , O	S 4	9
24	T h	A 4 × Z 2	7
48	O h	S 4 × Z 2	19
60	eu	A 5	15
120	Eu h	A 5 × Z 2	31

Domínio fundamental

Triacontahedron Disdyakis

Os planos de reflexão para a simetria icosaédrica cruzam a esfera em grandes círculos , com domínios fundamentais do triângulo esférico direito

O domínio fundamental de um grupo de pontos é um sólido cônico . Um objeto com uma dada simetria em uma dada orientação é caracterizado pelo domínio fundamental. Se o objeto é uma superfície, ele é caracterizado por uma superfície no domínio fundamental continuando até suas faces ou superfície radial bordal. Se as cópias da superfície não se ajustarem, faces radiais ou superfícies podem ser adicionadas. Eles se encaixam de qualquer maneira se o domínio fundamental for limitado por planos de reflexão.

Para um poliedro, essa superfície no domínio fundamental pode ser parte de um plano arbitrário. Por exemplo, no triacontahedron disdyakis, uma face inteira é um domínio fundamental da simetria icosaédrica . Ajustar a orientação do plano dá várias possibilidades de combinar duas ou mais faces adjacentes em uma, dando vários outros poliedros com a mesma simetria. O poliedro é convexo se a superfície se ajusta às suas cópias e a linha radial perpendicular ao plano está no domínio fundamental.

Além disso, a superfície no domínio fundamental pode ser composta de múltiplas faces.

Grupos poliédricos binários

O mapa Spin (3) → SO (3) é a cobertura dupla do grupo de rotação pelo grupo de spin em 3 dimensões. (Esta é a única capa conectada de SO (3), uma vez que Spin (3) é simplesmente conectado.) Pelo teorema da rede , há uma conexão de Galois entre subgrupos de Spin (3) e subgrupos de SO (3) (ponto de rotação grupos): a imagem de um subgrupo de Spin (3) é um grupo de pontos de rotação, e a pré-imagem de um grupo de pontos é um subgrupo de Spin (3). (Observe que Spin (3) tem descrições alternativas como o grupo unitário especial SU (2) e como o grupo de quatérnios unitários . Topologicamente, este grupo de Lie é a esfera tridimensional S ^3. )

A pré-imagem de um grupo de pontos finitos é chamada de grupo poliédrico binário , representado como ⟨l, n, m⟩, e é chamada pelo mesmo nome de seu grupo de pontos, com o prefixo binário , com o dobro da ordem do grupo poliédrico relacionado (l, m, n). Por exemplo, a pré-imagem do grupo icosaédrico (2,3,5) é o grupo icosaédrico binário , ⟨2,3,5⟩.

Os grupos poliédricos binários são:

• ${\ displaystyle A_ {n}}$: grupo cíclico binário de um ( n  + 1) -gon, ordem 2 n
• ${\ displaystyle D_ {n}}$: Grupo diedro binário de um n -gon, ⟨2,2, n ⟩, 4 ordem n
• ${\ displaystyle E_ {6}}$: grupo tetraédrico binário , ⟨2,3,3⟩, ordem 24
• ${\ displaystyle E_ {7}}$: grupo octaédrico binário , ⟨2,3,4⟩, ordem 48
• ${\ displaystyle E_ {8}}$: grupo icosaédrico binário , ⟨2,3,5⟩, ordem 120

Estes são classificados pela classificação ADE , e o quociente de C ² pela ação de um grupo poliédrico binário é uma singularidade Du Val .

Para grupos de pontos que invertem a orientação, a situação é mais complicada, pois há dois grupos de pinos , portanto, há dois grupos binários possíveis correspondentes a um determinado grupo de pontos.

Observe que esta é uma cobertura de grupos, não uma cobertura de espaços - a esfera está simplesmente conectada e, portanto, não tem espaços de cobertura . Portanto, não há noção de um "poliedro binário" que cobre um poliedro tridimensional. Grupos poliédricos binários são subgrupos discretos de um grupo de Spin, e sob uma representação do grupo de spin agem em um espaço vetorial, podendo estabilizar um poliedro nesta representação - sob o mapa Spin (3) → SO (3) eles agem no mesmo poliedro no qual o grupo subjacente (não binário) atua, enquanto sob representações de spin ou outras representações eles podem estabilizar outros poliedros.

Isso está em contraste com os poliedros projetivos - a esfera cobre o espaço projetivo (e também os espaços da lente ) e, portanto, uma tesselação de espaço projetivo ou espaço da lente produz uma noção distinta de poliedro.

Veja também

Notas de rodapé

Referências

links externos

• Visão geral gráfica dos 32 grupos de pontos cristalográficos - forma as primeiras partes (além de pular n = 5) das 7 séries infinitas e 5 dos 7 grupos separados de pontos 3D
• Visão geral das propriedades dos grupos de pontos
• O poliedro canônico mais simples de cada tipo de simetria (usa Java)
• Grupos de pontos e sistemas de cristal , por Yi-Shu Wei, pp. 4-6
• O Centro de Geometria: 10.1 Fórmulas para simetrias em coordenadas cartesianas (três dimensões)