Topologia inútil - Pointless topology

Em matemática , a topologia sem ponto (também chamada de topologia sem pontos ou sem pontos , ou teoria de localidade ) é uma abordagem da topologia que evita a menção de pontos, e na qual as redes de conjuntos abertos são as noções primitivas.

Esta ideia revolucionária sugere que é possível construir espaços topologicamente interessantes a partir de dados puramente algébricos. As primeiras abordagens da topologia eram geométricas, uma começava no espaço euclidiano e remendava as coisas. Mas o trabalho de Stone mostrou que a topologia pode ser vista do ponto de vista algébrico (teoria da rede). Além de Stone, Henry Wallman foi a primeira pessoa a explorar essa ideia. Outros continuaram esse caminho até que Charles Ehresmann e seu aluno Jean Bénabou (e simultaneamente outros) deram o próximo passo fundamental no final dos anos cinquenta. Suas idéias surgiu a partir do estudo da "topológica" e "diferenciáveis" categorias .

A abordagem de Ehresmann envolvia o uso de uma categoria cujos objetos eram redes completas que satisfaziam uma lei distributiva e cujos morfismos eram mapas que preservavam encontros finitos e junções arbitrárias . Ele chamou essas redes de "redes locais", outros como Dowker os chamaram de "quadros" para evitar ambigüidade com outras noções da teoria da rede .

Intuitivamente

Tradicionalmente, um espaço topológico consiste em um conjunto de pontos em conjunto com uma topologia , um sistema de subconjuntos chamados conjuntos abertos que com as operações de intersecção e união formam uma rede com certas propriedades. A topologia livre de pontos é baseada no conceito de um "ponto realista" em vez de um ponto sem extensão. Os pontos podem ser unidos (formando uma rede completa) e se um ponto encontra uma junção de outros, tem que atender a alguns dos constituintes, o que, grosso modo, leva à lei distributiva

${\ displaystyle b \ wedge \ left (\ bigvee a_ {i} \ right) = \ bigvee \ left (b \ wedge a_ {i} \ right)}$.

Formalmente

O conceito básico é o de um quadro , uma rede completa que satisfaz a lei distributiva acima; os homomorfismos de quadro respeitam todas as junções (em particular, o menor elemento da rede) e os encontros finitos (em particular, o maior elemento da rede).

Molduras, junto com homomorfismos de moldura, formam uma categoria .

Relação com a topologia do conjunto de pontos

Na topologia clássica, representado em um conjunto pelo sistema de conjuntos abertos, (parcialmente ordenado por inclusão) é um quadro, e se for um mapa contínuo, definido por é um homomorfismo de quadro. Para espaços sóbrios, esses são precisamente os homomorfismos da moldura . Conseqüentemente, ocorre uma incorporação total da categoria de espaços sóbrios no dual da categoria de molduras (geralmente chamada de categoria de locais). Isso justifica pensar em frames (locais) como espaços topológicos generalizados. Um quadro é espacial se for isomórfico a a . Existem muitos não espaciais e esse fato acabou sendo útil em vários problemas. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Omega (X)}$${\ displaystyle \ Omega (X)}$${\ displaystyle f \ dois pontos X \ a Y}$${\ displaystyle \ Omega (f) \ colon \ Omega (Y) \ to \ Omega (X)}$${\ displaystyle \ Omega (f) (U) = f ^ {- 1} [U]}$${\ displaystyle \ Omega (f)}$${\ displaystyle h \ colon \ Omega (Y) \ to \ Omega (X)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega (X)}$

A teoria de frames e locais

A teoria das molduras e locais no sentido contemporâneo foi iniciada no final dos anos 1950 ( Charles Ehresmann , Jean Bénabou , Hugh Dowker , Dona Papert ) e desenvolvida ao longo das décadas seguintes ( John Isbell , Peter Johnstone , Harold Simmons , Bernhard Banaschewski , Aleš Pultr , Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) em um ramo animado da topologia, com aplicação em vários campos, em particular também na ciência da computação teórica. Para mais informações sobre a história da teoria local, consulte.

É possível traduzir a maioria dos conceitos de topologia de conjuntos de pontos no contexto de localidades e provar teoremas análogos. Em relação às vantagens da abordagem livre de pontos, vamos apontar, por exemplo, o fato de que alguns fatos importantes da topologia clássica dependendo de princípios de escolha tornam-se livres de escolha (isto é, construtivo , o que é, em particular, atraente para a ciência da computação ) Assim, por exemplo, os produtos de locais compactos são construtivamente compactos ou as conclusões de locais uniformes são construtivas. Isso pode ser útil se trabalharmos em um topos que não possua o axioma de escolha. Outras vantagens incluem o comportamento muito melhor de paracompactabilidade ou o fato de que os subgrupos de grupos locais estão sempre fechados.

Outro ponto onde a teoria de localidade e a topologia divergem fortemente são os conceitos de subespaços versus sub-escalas: pelo teorema da densidade de Isbell , cada localidade tem uma menor sub-escala densa. Isso não tem absolutamente nenhum equivalente no domínio dos espaços topológicos.

Veja também

• Heyting álgebra . Um quadro é uma álgebra de Heyting completa .
• Álgebra booleana completa . Qualquer álgebra booleana completa é um quadro (é um quadro espacial se e somente se for atômico).
• Detalhes sobre a relação entre a categoria dos espaços topológicos e a categoria dos locais, incluindo a construção explícita da dualidade entre espaços sóbrios e locais espaciais, encontram-se no artigo sobre Dualidade de Stone .
• Geometria sem pontos .

Citações

Bibliografia

Uma introdução geral à topologia inútil é

Em suas próprias palavras, deve ser lido como o trailer da excelente monografia de Johnstone (que apareceu já em 1982 e ainda pode ser usada como referência básica):

• Johnstone, Peter T. (1982). Espaços de pedra. Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-33779-3 .

Existe uma monografia recente

• Picado, Jorge, Pultr, Aleš (2012). Frames e locales: Topologia sem pontos. Frontiers in Mathematics, vol. 28, Springer, Basel.

onde também se encontra uma bibliografia mais extensa.

Para relações com lógica:

• Vickers, Steven (1996). Topologia via lógica. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press.

Para um relato mais conciso, consulte os respectivos capítulos em:

• Pedicchio, Maria Cristina, Tholen, Walter (Eds.). Fundamentos categóricos - tópicos especiais em ordem, topologia, álgebra e teoria de feixe. Enciclopédia de Matemática e suas Aplicações, Vol. 97, Cambridge University Press, 2003, pp. 49–101.
• Hazewinkel, Michiel (Ed.). Handbook of Algebra. Vol. 3, North-Holland, Amsterdam, 2003, pp. 791–857.
• Grätzer, George, Wehrung, Friedrich (Eds.). Teoria da Malha: Tópicos Especiais e Aplicações. Vol. 1, Springer, Basel, 2014, pp. 55–88.