Equação de Poisson - Poisson's equation

Siméon Denis Poisson

A equação de Poisson é uma equação diferencial parcial elíptica de ampla utilidade em física teórica . Por exemplo, a solução para a equação de Poisson é o campo potencial causado por uma dada carga elétrica ou distribuição de densidade de massa; com o campo potencial conhecido, pode-se então calcular o campo eletrostático ou gravitacional (força). É uma generalização da equação de Laplace , que também é freqüentemente vista na física. A equação leva o nome do matemático e físico francês Siméon Denis Poisson .

Declaração da equação

A equação de Poisson é

{\ displaystyle \ Delta \ varphi = f}

onde está o operador de Laplace , e e são reais ou complexos -valued funções sobre um colector . Normalmente, é dado e é procurado. Quando a variedade é um espaço euclidiano , o operador de Laplace é frequentemente denotado como ∇ ² e, portanto, a equação de Poisson é frequentemente escrita como ${\ displaystyle \ Delta}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ varphi = f.}

Em coordenadas cartesianas tridimensionais , assume a forma

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) \ varphi (x, y, z) = f (x, y, z).}

Quando de forma idêntica, obtemos a equação de Laplace . ${\ displaystyle f = 0}$

A equação de Poisson pode ser resolvida usando uma função de Green :

{\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {r}) = - \ iiint {\ frac {f (\ mathbf {r} ')} {4 \ pi | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \! r ',}

onde a integral está sobre todo o espaço. Uma exposição geral da função de Green para a equação de Poisson é fornecida no artigo sobre a equação de Poisson rastreada . Existem vários métodos de solução numérica, como o método de relaxamento , um algoritmo iterativo.

Gravidade newtoniana

No caso de um campo gravitacional g devido a um objeto massivo atraente de densidade ρ , a lei de Gauss para a gravidade na forma diferencial pode ser usada para obter a equação de Poisson correspondente para a gravidade,

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho ~.}

Uma vez que o campo gravitacional é conservador (e irrotacional ), ele pode ser expresso em termos de um potencial escalar Φ ,

{\ displaystyle \ mathbf {g} = - \ nabla \ phi ~.}

Substituindo na lei de Gauss

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (- \ nabla \ phi) = - 4 \ pi G \ rho}

produz a equação de Poisson para a gravidade,

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ phi = 4 \ pi G \ rho.}

Se a densidade de massa for zero, a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace. A função de Green correspondente pode ser usada para calcular o potencial na distância $r$ de uma massa de ponto central $m$ (ou seja, a solução fundamental ). Em três dimensões, o potencial é

{\ displaystyle \ phi (r) = {\ dfrac {-Gm} {r}}.}

que é equivalente à lei da gravitação universal de Newton .

Eletrostática

Um dos pilares da eletrostática é configurar e resolver problemas descritos pela equação de Poisson. Resolver a equação de Poisson equivale a encontrar o potencial elétrico $φ$ para uma dada distribuição de carga . ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$

Os detalhes matemáticos por trás da equação de Poisson em eletrostática são os seguintes ( unidades SI são usadas em vez de unidades gaussianas , que também são freqüentemente usadas em eletromagnetismo ).

Começando com a lei de Gauss para eletricidade (também uma das equações de Maxwell ) na forma diferencial, tem-se

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {f}}

onde é o operador de divergência , D = campo de deslocamento elétrico e ρ _f = densidade de volume de carga livre (descrevendo cargas trazidas de fora). ${\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot}$

Assumindo que o meio é linear, isotrópico e homogêneo (ver densidade de polarização ), temos a equação constitutiva ,

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E}}

onde $ε$ = permissividade do meio e E = campo elétrico .

Substituir isso na lei de Gauss e assumir que $ε$ é espacialmente constante na região de rendimento resulta

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}} ~.}

onde é uma densidade de carga de volume total. Na eletrostática, assumimos que não há campo magnético (o argumento que se segue também é válido na presença de um campo magnético constante). Então, nós temos que ${\ displaystyle \ rho}$

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = 0,}

onde ∇ × é o operador curl . Essa equação significa que podemos escrever o campo elétrico como o gradiente de uma função escalar $φ$ (chamada de potencial elétrico), uma vez que a curvatura de qualquer gradiente é zero. Assim, podemos escrever,

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ nabla \ varphi,}

onde o sinal menos é introduzido para que $φ$ seja identificado como a energia potencial por unidade de carga.

A derivação da equação de Poisson nessas circunstâncias é direta. Substituindo o gradiente de potencial para o campo elétrico,

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = \ nabla \ cdot (- \ nabla \ varphi) = - {\ nabla} ^ {2} \ varphi = {\ frac {\ rho} {\ varejpsilon}}, }

produz diretamente a equação de Poisson para eletrostática, que é

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon}}.}

Resolver a equação de Poisson para o potencial requer o conhecimento da distribuição da densidade de carga. Se a densidade de carga for zero, o resultado será a equação de Laplace . Se a densidade de carga segue uma distribuição de Boltzmann , o resultado é a equação de Poisson-Boltzmann . A equação de Poisson-Boltzmann desempenha um papel no desenvolvimento da teoria de Debye-Hückel de soluções eletrolíticas diluídas .

Usando a função de Green, o potencial na distância $r$ de uma carga de ponto central $Q$ (ou seja: a solução fundamental) é:

{\ displaystyle \ varphi (r) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon r}}.}

que é a lei da eletrostática de Coulomb . (Por razões históricas, e ao contrário do modelo da gravidade acima, o fator aparece aqui e não na lei de Gauss.) ${\ displaystyle 4 \ pi}$

A discussão acima assume que o campo magnético não varia no tempo. A mesma equação de Poisson surge mesmo que varie no tempo, desde que o medidor de Coulomb seja usado. Nesse contexto mais geral, calcular $φ$ não é mais suficiente para calcular E , uma vez que E também depende do potencial do vetor magnético A , que deve ser calculado de forma independente. Veja a equação de Maxwell na formulação potencial para mais informações sobre $φ$ e A nas equações de Maxwell e como a equação de Poisson é obtida neste caso.

Potencial de densidade de carga gaussiana

Se houver uma densidade de carga gaussiana esfericamente simétrica estática

{\ displaystyle \ rho _ {f} (r) = {\ frac {Q} {\ sigma ^ {3} {\ sqrt {2 \ pi}} ^ {3}}} \, e ^ {- r ^ { 2} / (2 \ sigma ^ {2})},}

onde $Q$ é a carga total, então a solução $φ (r)$ da equação de Poisson,

{\ displaystyle {\ nabla} ^ {2} \ varphi = - {\ rho _ {f} \ over \ varepsilon}}

,

É dado por

{\ displaystyle \ varphi (r) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varejpsilon}} {\ frac {Q} {r}} \, \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {r} { {\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right)}

onde $erf (x)$ é a função de erro .

Esta solução pode ser verificada explicitamente avaliando $\nabla 2 φ$ .

Observe que, para $r$ muito maior do que $σ$ , a função erf se aproxima da unidade e o potencial $φ (r) se$ aproxima do potencial de carga pontual

{\ displaystyle \ varphi \ approx {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {Q} {r}},}

como seria de esperar. Além disso, a função de erro se aproxima de 1 extremamente rapidamente à medida que seu argumento aumenta; na prática, para $r > 3 σ$ o erro relativo é menor do que uma parte em mil.

Reconstrução de superfície

A reconstrução da superfície é um problema inverso . O objetivo é reconstruir digitalmente uma superfície lisa com base em um grande número de pontos p _i (uma nuvem de pontos ), onde cada ponto também carrega uma estimativa da normal da superfície local n _i . A equação de Poisson pode ser utilizada para resolver este problema com uma técnica chamada reconstrução da superfície de Poisson.

O objetivo desta técnica é reconstruir uma função implícita f cujo valor é zero nos pontos p _i e cujo gradiente nos pontos p _i é igual aos vetores normais n _i . O conjunto de ( p _i , N _i ) é assim modelada como um contínuo vector de campo V . A função implícita f é encontrada por integrar o vector de campo V . Uma vez que nem todo campo vetorial é o gradiente de uma função, o problema pode ou não ter uma solução: a condição necessária e suficiente para um campo vetorial suave V ser o gradiente de uma função f é que a curvatura de V deve ser idêntica zero. Caso esta condição seja difícil de impor, ainda é possível realizar um ajuste de mínimos quadrados para minimizar a diferença entre V e o gradiente de f .

A fim de aplicar efectivamente a equação de Poisson para o problema da reconstrução da superfície, é necessário encontrar um bom discretização do campo vetorial V . A abordagem básica é limitar os dados a uma grade de diferenças finitas. Para uma função avaliada nos nós de tal grade, seu gradiente pode ser representado como valorado em grades escalonadas, ou seja, em grades cujos nós estão entre os nós da grade original. É conveniente definir três grades escalonadas, cada uma deslocada em uma e somente uma direção correspondente aos componentes dos dados normais. Em cada grade escalonada, executamos [interpolação trilinear] no conjunto de pontos. Os pesos de interpolação são então usados para distribuir a magnitude do componente associado de n _i nos nós da célula de grade escalonada particular contendo p _i . Kazhdan e co-autores fornecem um método mais preciso de discretização usando uma grade de diferença finita adaptativa, ou seja, as células da grade são menores (a grade é dividida mais finamente) onde há mais pontos de dados. Eles sugerem implementar esta técnica com uma octree adaptativa .

Dinâmica de fluidos

Para as equações incompressíveis de Navier-Stokes , dadas por:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} + {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}} & = - { 1 \ over {\ rho}} \ nabla p + \ nu \ Delta {\ bf {v}} + {\ bf {g}} \\\ nabla \ cdot {\ bf {v}} & = 0 \ end {alinhado }}}

A equação para o campo de pressão é um exemplo de uma equação de Poisson não linear: ${\ displaystyle p}$

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Delta p & = - \ rho \ nabla \ cdot ({\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}) \\ & = - \ rho \, \ mathrm {Tr} {\ big (} (\ nabla {\ bf {v}}) (\ nabla {\ bf {v}}) {\ big)}. \ end {alinhado}}}

Observe que o traço acima não é definido pelo sinal.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Evans, Lawrence C. (1998). Equações diferenciais parciais . Providence (RI): American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.
Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos Matemáticos de Física (2ª ed.). Nova York: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
Polyanin, Andrei D. (2002). Manual de equações diferenciais parciais lineares para engenheiros e cientistas . Boca Raton (FL): Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.

links externos

"Poisson equation" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Equação de Poisson em EqWorld: O mundo das equações matemáticas
Equação de Poisson no PlanetMath .

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