Processo de ponto de Poisson - Poisson point process

Em probabilidade , estatística e campos relacionados, um processo de ponto de Poisson é um tipo de objeto matemático aleatório que consiste em pontos localizados aleatoriamente em um espaço matemático . O processo de ponto de Poisson é freqüentemente chamado simplesmente de processo de Poisson , mas também é chamado de medida aleatória de Poisson , campo de ponto aleatório de Poisson ou campo de ponto de Poisson . Este processo de ponto tem propriedades matemáticas convenientes, o que o levou a ser frequentemente definido no espaço euclidiano e usado como um modelo matemático para processos aparentemente aleatórios em várias disciplinas, como astronomia , biologia , ecologia, geologia, sismologia , física , economia, processamento de imagens e telecomunicações.

O processo recebeu o nome do matemático francês Siméon Denis Poisson, apesar de Poisson nunca ter estudado o processo. Seu nome deriva do fato de que se uma coleção de pontos aleatórios em algum espaço formar um processo de Poisson, então o número de pontos em uma região de tamanho finito é uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson . O processo foi descoberto de forma independente e repetida em vários ambientes, incluindo experimentos sobre decaimento radioativo, chegadas de chamadas telefônicas e matemática de seguros.

O processo do ponto de Poisson é geralmente definido na linha real , onde pode ser considerado um processo estocástico . Nesse cenário, ele é usado, por exemplo, na teoria das filas para modelar eventos aleatórios, como a chegada de clientes em uma loja, ligações em uma central ou ocorrência de terremotos, distribuídos no tempo. No plano , o processo de ponto, também conhecido como processo de Poisson espacial , pode representar a localização de objetos espalhados, como transmissores em uma rede sem fio , partículas colidindo em um detector ou árvores em uma floresta. Nesse cenário, o processo é frequentemente usado em modelos matemáticos e nos campos relacionados de processos de pontos espaciais, geometria estocástica , estatística espacial e teoria de percolação contínua . O processo do ponto de Poisson pode ser definido em espaços mais abstratos . Além das aplicações, o processo de pontuação de Poisson é um objeto de estudo matemático por si só. Em todas as configurações, o processo de ponto de Poisson tem a propriedade de que cada ponto é estocasticamente independente de todos os outros pontos no processo, razão pela qual às vezes é chamado de processo pura ou completamente aleatório. Apesar de seu amplo uso como um modelo estocástico de fenômenos representáveis ​​como pontos, a natureza inerente do processo implica que ele não descreve adequadamente os fenômenos onde há interação suficientemente forte entre os pontos. Isso inspirou a proposta de outros processos de pontos, alguns dos quais construídos com o processo de pontos de Poisson, que buscam capturar essa interação.

O processo de ponto depende de um único objeto matemático, que, dependendo do contexto, pode ser uma constante , uma função localmente integrável ou, em configurações mais gerais, uma medida de Radon . No primeiro caso, a constante, conhecida como taxa ou intensidade , é a densidade média dos pontos do processo de Poisson localizados em alguma região do espaço. O processo de ponto resultante é chamado de processo de ponto de Poisson homogêneo ou estacionário . No segundo caso, o processo de ponto é chamado de processo de ponto de Poisson não homogêneo ou não homogêneo , e a densidade média de pontos depende da localização do espaço subjacente do processo de ponto de Poisson. A palavra ponto é frequentemente omitida, mas existem outros processos de objetos de Poisson que, em vez de pontos, consistem em objetos matemáticos mais complicados, como linhas e polígonos , e tais processos podem ser baseados no processo de ponto de Poisson. Ambos, o processo de ponto de Poisson homogêneo e o processo de ponto de Poisson não homogêneo são casos particulares do processo de renovação generalizada .

Visão geral das definições

Dependendo da configuração, o processo tem várias definições equivalentes, bem como definições de generalidade variada devido às suas muitas aplicações e caracterizações. O processo de ponto de Poisson pode ser definido, estudado e usado em uma dimensão, por exemplo, na linha real, onde pode ser interpretado como um processo de contagem ou parte de um modelo de filas; em dimensões superiores, como o plano onde desempenha um papel na geometria estocástica e nas estatísticas espaciais ; ou em espaços matemáticos mais gerais. Consequentemente, a notação, a terminologia e o nível de rigor matemático usados ​​para definir e estudar o processo de pontos de Poisson e os processos de pontos em geral variam de acordo com o contexto.

Apesar de tudo isso, o processo de ponto de Poisson tem duas propriedades principais - a propriedade de Poisson e a propriedade de independência - que desempenham um papel essencial em todas as configurações onde o processo de ponto de Poisson é usado. As duas propriedades não são logicamente independentes; na verdade, a independência implica a distribuição de Poisson das contagens de pontos, mas não o contrário.

Distribuição de Poisson de contagem de pontos

Um processo de ponto de Poisson é caracterizado por meio da distribuição de Poisson . A distribuição de Poisson é a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória (chamada de variável aleatória de Poisson ) de forma que a probabilidade de ser igual é dada por: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N = n \} = {\ frac {\ Lambda ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda}}$

onde denota fatorial e o parâmetro determina a forma da distribuição. (Na verdade, é igual ao valor esperado de .) ${\ displaystyle \ textstyle n!}$${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle N}$

Por definição, um processo de ponto de Poisson tem a propriedade de que o número de pontos em uma região limitada do espaço subjacente do processo é uma variável aleatória distribuída por Poisson.

Independência completa

Considere uma coleção de sub-regiões disjuntas e limitadas do espaço subjacente. Por definição, o número de pontos de um processo de pontos de Poisson em cada sub-região limitada será completamente independente de todas as outras.

Esta propriedade é conhecida sob vários nomes como aleatoriedade completa , total independência , ou espalhamento independente e é comum a todos os processos de Poisson. Em outras palavras, existe uma falta de interação entre as diferentes regiões e os pontos em geral, o que motiva o processo de Poisson a ser algumas vezes chamado de processo puro ou completamente aleatório.

Processo de ponto de Poisson homogêneo

Se um processo de ponto de Poisson tem um parâmetro da forma , onde é a medida de Lebesgue (ou seja, atribui comprimento, área ou volume aos conjuntos) e é uma constante, o processo de ponto é chamado de processo de ponto de Poisson homogêneo ou estacionário. O parâmetro, denominado taxa ou intensidade , está relacionado ao número esperado (ou médio) de pontos de Poisson existentes em alguma região limitada, onde a taxa é geralmente usada quando o espaço subjacente tem uma dimensão. O parâmetro pode ser interpretado como o número médio de pontos por alguma unidade de extensão, como comprimento , área, volume ou tempo, dependendo do espaço matemático subjacente, e também é chamado de densidade média ou taxa média ; veja Terminologia . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda = \ nu \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ nu}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Interpretado como um processo de contagem

O processo homogêneo do ponto de Poisson, quando considerado na meia-linha positiva, pode ser definido como um processo de contagem , um tipo de processo estocástico, que pode ser denotado como . Um processo de contagem representa o número total de ocorrências ou eventos que aconteceram até e incluindo o tempo . Um processo de contagem é um processo de contagem de Poisson homogêneo com taxa se tiver as três propriedades a seguir: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

• ${\ textstyle N (0) = 0;}$
• tem incrementos independentes ; e
• o número de eventos (ou pontos) em qualquer intervalo de comprimento é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro (ou média) .${\ textstyle t}$${\ textstyle \ lambda t}$

A última propriedade implica:

${\ displaystyle \ mathbb {E} [N (t)] = \ lambda t.}$

Em outras palavras, a probabilidade da variável aleatória ser igual a é dada por: ${\ textstyle N (t)}$${\ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} \ {N (t) = n \} = {\ frac {(\ lambda t) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda t}.}$

O processo de contagem de Poisson também pode ser definido afirmando que as diferenças de tempo entre os eventos do processo de contagem são variáveis ​​exponenciais com média . As diferenças de tempo entre os eventos ou chegadas são conhecidas como tempos entre chegadas ou intercorrências . ${\ displaystyle \ textstyle 1 / \ lambda}$

Interpretado como um processo pontual na linha real

Interpretado como um processo de ponto , um processo de ponto de Poisson pode ser definido na linha real considerando o número de pontos do processo no intervalo . Para o processo de ponto de Poisson homogêneo na linha real com parâmetro , a probabilidade desse número aleatório de pontos, escrito aqui como , ser igual a algum número de contagem é dada por: ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$ ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ lambda (ba)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda (ba)},}$

Para algum número inteiro positivo , o processo de ponto de Poisson homogêneo tem a distribuição de dimensão finita dada por: ${\ displaystyle \ textstyle k}$

${\ displaystyle P \ {N (a_ {i}, b_ {i}] = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {[\ lambda (b_ {i} -a_ {i})] ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} e ^ {- \ lambda (b_ {i} -a_ {i})} ,}$

onde os números reais . ${\ displaystyle \ textstyle a_ {i} <b_ {i} \ leq a_ {i + 1}}$

Em outras palavras, é uma variável aleatória de Poisson com média , onde . Além disso, o número de pontos em quaisquer dois intervalos disjuntos, digamos, e são independentes um do outro, e isso se estende a qualquer número finito de intervalos disjuntos. No contexto da teoria das filas, pode-se considerar um ponto existente (em um intervalo) como um evento , mas isso é diferente da palavra evento no sentido da teoria da probabilidade. Segue-se que é o número esperado de chegadas que ocorrem por unidade de tempo. ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (ba)}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {1}, b_ {1}]}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {2}, b_ {2}]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

Propriedades-chave

A definição anterior tem duas características importantes compartilhadas pelos processos de ponto de Poisson em geral:

• o número de chegadas em cada intervalo finito tem uma distribuição de Poisson;
• o número de chegadas em intervalos disjuntos são variáveis ​​aleatórias independentes.

Além disso, possui uma terceira característica relacionada apenas ao processo homogêneo de pontos de Poisson:

• a distribuição de Poisson do número de chegadas em cada intervalo depende apenas da duração do intervalo .${\ displaystyle \ textstyle (a + t, b + t]}$${\ displaystyle \ textstyle ba}$

Em outras palavras, para qualquer finito , a variável aleatória é independente de , por isso também é chamada de processo de Poisson estacionário. ${\ displaystyle \ textstyle t> 0}$${\ displaystyle \ textstyle N (a + t, b + t]}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Lei dos grandes números

A quantidade pode ser interpretada como o número esperado ou médio de pontos ocorridos no intervalo , a saber: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (b_ {i} -a_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle (a_ {i}, b_ {i}]}$

${\ displaystyle E \ {N (a_ {i}, b_ {i}] \} = \ lambda (b_ {i} -a_ {i}),}$

onde denota o operador de expectativa . Em outras palavras, o parâmetro do processo de Poisson coincide com a densidade de pontos. Além disso, o processo de ponto de Poisson homogêneo segue sua própria forma da lei (forte) dos grandes números. Mais especificamente, com probabilidade um: ${\ displaystyle \ textstyle E}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lim _ {t \ rightarrow \ infty} {\ frac {N (t)} {t}} = \ lambda,}$

onde denota o limite de uma função e é o número esperado de chegadas ocorridas por unidade de tempo. ${\ displaystyle \ textstyle \ lim}$${\ displaystyle \ lambda}$

Propriedade sem memória

A distância entre dois pontos consecutivos de um processo de ponto na linha real será uma variável aleatória exponencial com parâmetro (ou equivalentemente, média ). Isso implica que os pontos têm a propriedade sem memória : a existência de um ponto existente em um intervalo finito não afeta a probabilidade (distribuição) de outros pontos existentes, mas essa propriedade não tem equivalência natural quando o processo de Poisson é definido em um espaço com dimensões superiores. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle 1 / \ lambda}$

Ordem e simplicidade

Um processo de pontos com incrementos estacionários às vezes é considerado ordenado ou regular se:

${\ displaystyle P \ {N (t, t + \ delta]> 1 \} = o (\ delta),}$

onde a notação pouco-o está sendo usada. Um processo de ponto é chamado de processo de ponto simples quando a probabilidade de qualquer um de seus dois pontos coincidir na mesma posição, no espaço subjacente, é zero. Para processos pontuais em geral na linha real, a propriedade de ordenação implica que o processo é simples, o que é o caso do processo pontual de Poisson homogêneo.

Caracterização de Martingale

Na linha real, o processo de ponto de Poisson homogêneo tem uma conexão com a teoria dos martingales por meio da seguinte caracterização: um processo de ponto é o processo de ponto de Poisson homogêneo se e somente se

${\ displaystyle N (- \ infty, t] -t,}$

é um martingale.

Relacionamento com outros processos

Na linha real, o processo de Poisson é um tipo de processo de Markov de tempo contínuo conhecido como processo de nascimento , um caso especial do processo de nascimento-morte (com apenas nascimentos e zero mortes). Processos mais complicados com a propriedade de Markov , como processos de chegada de Markov , foram definidos onde o processo de Poisson é um caso especial.

Restrito à meia-linha

Se o processo de Poisson homogêneo for considerado apenas na meia-linha , o que pode ser o caso quando representa o tempo, então o processo resultante não é verdadeiramente invariante sob a tradução. Nesse caso, o processo de Poisson não é mais estacionário, de acordo com algumas definições de estacionariedade. ${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

Formulários

Tem havido muitas aplicações do processo de Poisson homogêneo na linha real na tentativa de modelar eventos aparentemente aleatórios e independentes ocorrendo. Ele tem um papel fundamental na teoria das filas , que é o campo de probabilidade de desenvolver modelos estocásticos adequados para representar a chegada e a partida aleatórias de certos fenômenos. Por exemplo, clientes que chegam e são atendidos ou chamadas telefônicas que chegam em uma central telefônica podem ser estudados com técnicas da teoria das filas.

Generalizações

O processo de Poisson homogêneo na linha real é considerado um dos processos estocásticos mais simples para contar números aleatórios de pontos. Esse processo pode ser generalizado de várias maneiras. Uma generalização possível é estender a distribuição dos tempos entre chegadas da distribuição exponencial para outras distribuições, o que introduz o processo estocástico conhecido como processo de renovação . Outra generalização é definir o processo do ponto de Poisson em espaços de dimensões superiores, como o plano.

Processo de ponto de Poisson espacial

Um processo de Poisson espacial é um processo de ponto de Poisson definido no plano . Para sua definição matemática, considera-se primeiro uma região limitada, aberta ou fechada (ou mais precisamente, mensurável pelo Borel ) do plano. O número de pontos de um processo de ponto existente nesta região é uma variável aleatória, denotada por . Se os pontos pertencem a um processo de Poisson homogêneo com parâmetro , então a probabilidade dos pontos existirem é dada por: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}} ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda | B |}}$

onde denota a área de . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

Para algum número inteiro finito , podemos dar a distribuição de dimensão finita do processo de ponto de Poisson homogêneo considerando primeiro uma coleção de conjuntos de Borel (mensuráveis) limitados e disjuntos . O número de pontos do processo de ponto existente em pode ser escrito como . Então, o processo de ponto de Poisson homogêneo com parâmetro tem a distribuição de dimensão finita: ${\ displaystyle \ textstyle k \ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- \ lambda | B_ {i} |}.}$

Formulários

O processo de ponto de Poisson espacial tem destaque em estatísticas espaciais , geometria estocástica e teoria de percolação contínua . Este processo pontual é aplicado em várias ciências físicas, como um modelo desenvolvido para a detecção de partículas alfa. Nos últimos anos, tem sido freqüentemente usado para modelar configurações espaciais aparentemente desordenadas de certas redes de comunicação sem fio. Por exemplo, foram desenvolvidos modelos para redes de telefonia celular ou móvel em que se presume que os transmissores da rede telefônica, conhecidos como estações base, são posicionados de acordo com um processo de ponto de Poisson homogêneo.

Definido em dimensões superiores

O processo de ponto de Poisson homogêneo anterior imediatamente se estende a dimensões superiores, substituindo a noção de área por volume (dimensional alto). Para alguma região limitada do espaço euclidiano , se os pontos formam um processo de Poisson homogêneo com parâmetro , então a probabilidade dos pontos existirem é dada por: ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ displaystyle P \ {N (B) = n \} = {\ frac {(\ lambda | B |) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ lambda | B |}}$

onde agora denota o volume -dimensional de . Além disso, para uma coleção de conjuntos de Borel disjuntos e limitados , denotemos o número de pontos existentes em . Então, o processo de ponto de Poisson homogêneo correspondente com parâmetro tem a distribuição de dimensão finita: ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k} \ subset {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle N (B_ {i})}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ lambda | B_ {i} |) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- \ lambda | B_ {i} |}.}$

Os processos de ponto de Poisson homogêneos não dependem da posição do espaço subjacente por meio de seu parâmetro , o que implica que ele é um processo estacionário (invariante à translação) e um processo estocástico isotrópico (invariante à rotação). Similarmente ao caso unidimensional, o processo de ponto homogêneo é restrito a algum subconjunto limitado de , então, dependendo de algumas definições de estacionariedade, o processo não é mais estacionário. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Os pontos são distribuídos uniformemente

Se o processo de ponto homogêneo é definido na linha real como um modelo matemático para ocorrências de algum fenômeno, então ele tem a característica de que as posições dessas ocorrências ou eventos na linha real (muitas vezes interpretadas como tempo) serão uniformemente distribuídas. Mais especificamente, se um evento ocorrer (de acordo com este processo) em um intervalo onde , então sua localização será uma variável aleatória uniforme definida naquele intervalo. Além disso, o processo de ponto homogêneo às vezes é chamado de processo de ponto de Poisson uniforme (consulte Terminologia ). Esta propriedade de uniformidade se estende a dimensões superiores na coordenada cartesiana, mas não em, por exemplo, coordenadas polares. ${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$

Processo de ponto de Poisson não homogêneo

O processo de ponto de Poisson não homogêneo ou não homogêneo (consulte Terminologia ) é um processo de ponto de Poisson com um parâmetro de Poisson definido como alguma função dependente da localização no espaço subjacente no qual o processo de Poisson é definido. Para o espaço euclidiano , isso é obtido pela introdução de uma função positiva localmente integrável , de modo que, para qualquer região limitada, a integral de volume ( -dimensional) da sobre-região é finita. Em outras palavras, se esta integral, denotada por , é: ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ lambda \ colon \ mathbb {R} ^ {d} \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x <\ infty,}$

onde é uma ( -dimensional) elemento de volume, em seguida, por qualquer colecção de disjuntos delimitada Borel mensuráveis conjuntos , um processo de Poisson no homognea com função (intensidade) tem a distribuição de dimensão finita: ${\ displaystyle \ textstyle {\ mathrm {d} x}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {1}, \ dots, B_ {k}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

${\ displaystyle P \ {N (B_ {i}) = n_ {i}, i = 1, \ dots, k \} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {(\ Lambda ( B_ {i})) ^ {n_ {i}}} {n_ {i}!}} E ^ {- \ Lambda (B_ {i})}.}$

Além disso, tem a interpretação de ser o número esperado de pontos do processo de Poisson localizados na região limitada , a saber ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [N (B)].}$

Definido na linha real

Na linha real, o processo de ponto de Poisson não homogêneo ou não homogêneo tem medida média dada por uma integral unidimensional. Para dois números reais e , onde , denotam pelo número de pontos de um processo de Poisson não homogêneo com função de intensidade ocorrendo no intervalo . A probabilidade de pontos existentes no intervalo acima é dada por: ${\ displaystyle \ textstyle a}$${\ displaystyle \ textstyle b}$${\ displaystyle \ textstyle a \ leq b}$${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (t)}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle (a, b]}$

${\ displaystyle P \ {N (a, b] = n \} = {\ frac {[\ Lambda (a, b)] ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda (a, b) )}.}$

onde a média ou medida de intensidade é:

${\ displaystyle \ Lambda (a, b) = \ int _ {a} ^ {b} \ lambda (t) \, \ mathrm {d} t,}$

o que significa que a variável aleatória é uma variável aleatória de Poisson com média . ${\ displaystyle \ textstyle N (a, b]}$${\ displaystyle \ textstyle E \ {N (a, b] \} = \ Lambda (a, b)}$

Uma característica da configuração unidimensional é que um processo de Poisson não homogêneo pode ser transformado em homogêneo por uma transformação ou mapeamento monótono , que é obtido com o inverso de . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Interpretação do processo de contagem

O processo de ponto de Poisson não homogêneo, quando considerado na meia-linha positiva, às vezes também é definido como um processo de contagem. Com esta interpretação, o processo, que às vezes é escrito como , representa o número total de ocorrências ou eventos que aconteceram até e incluindo o tempo . Um processo de contagem é considerado um processo de contagem de Poisson não homogêneo se tiver as quatro propriedades: ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$${\ displaystyle \ textstyle t}$

• ${\ displaystyle \ textstyle N (0) = 0;}$
• tem incrementos independentes ;
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t + h) -N (t) = 1 \} = \ lambda (t) h + o (h);}$ e
• ${\ displaystyle \ textstyle P \ {N (t + h) -N (t) \ geq 2 \} = o (h),}$

onde é assintótico ou notação pouco-o para as . No caso do ponto processa com a refratariedade (por exemplo, comboios de pico neurais) uma versão mais forte de propriedade 4 aplica-se: . ${\ displaystyle \ textstyle o (h)}$${\ displaystyle \ textstyle o (h) / h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle \ textstyle h \ rightarrow 0}$${\ displaystyle P (N (t + h) -N (t) \ geq 2) = o (h ^ {2})}$

As propriedades acima implicam que é uma variável aleatória de Poisson com o parâmetro (ou média) ${\ displaystyle \ textstyle N (t + h) -N (t)}$

${\ displaystyle E [N (t + h) -N (t)] = \ int _ {t} ^ {t + h} \ lambda (s) \, ds,}$

que implica

${\ displaystyle E [N (h)] = \ int _ {0} ^ {h} \ lambda (s) \, ds.}$

Processo de Poisson Espacial

Um processo de Poisson não homogêneo definido no plano é chamado de processo de Poisson espacial. Ele é definido com a função de intensidade e sua medida de intensidade é obtida realizando uma integral de superfície de sua função de intensidade sobre alguma região. Por exemplo, sua função de intensidade (como uma função de coordenadas cartesianas e ) pode ser ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {2}}$${\ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle y}$

${\ displaystyle \ lambda (x, y) = e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})},}$

então a medida de intensidade correspondente é dada pela integral de superfície

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y, }$

onde é alguma região limitada no plano . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Em dimensões superiores

No plano, corresponde a uma integral de superfície, enquanto na integral torna-se uma integral de volume ( -dimensional). ${\ textstyle \ Lambda (B)}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {d}}$${\ textstyle d}$

Formulários

Quando a linha real é interpretada como tempo, o processo não homogêneo é usado nos campos dos processos de contagem e na teoria das filas. Exemplos de fenômenos que foram representados por ou aparecem como um processo de ponto de Poisson não homogêneo incluem:

• Gols marcados em um jogo de futebol.
• Defeitos em uma placa de circuito

No plano, o processo do ponto de Poisson é importante nas disciplinas relacionadas de geometria estocástica e estatística espacial. A medida de intensidade desse processo de ponto depende da localização do espaço subjacente, o que significa que pode ser usado para modelar fenômenos com uma densidade que varia em alguma região. Em outras palavras, os fenômenos podem ser representados como pontos que possuem uma densidade dependente da localização. Este processo tem sido usado em várias disciplinas e os usos incluem o estudo de salmão e piolhos do mar nos oceanos, silvicultura e problemas de pesquisa.

Interpretação da função de intensidade

A função de intensidade de Poisson tem uma interpretação, considerada intuitiva, com o elemento volume no sentido infinitesimal: é a probabilidade infinitesimal de um ponto de um processo de ponto de Poisson existir em uma região do espaço com volume localizado em . ${\ textstyle \ lambda (x)}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ textstyle \ mathrm {d} x}$${\ textstyle x}$

Por exemplo, dado um processo de ponto de Poisson homogêneo na linha real, a probabilidade de encontrar um único ponto do processo em um pequeno intervalo de largura é aproximadamente . Na verdade, essa intuição é como o processo do ponto de Poisson às vezes é introduzido e sua distribuição derivada. ${\ textstyle \ delta}$${\ textstyle \ lambda \ delta}$

Processo de ponto simples

Se um processo de ponto de Poisson tem uma medida de intensidade que é localmente finita e difusa (ou não atômica), então é um processo de ponto simples . Para um processo de ponto simples, a probabilidade de um ponto existir em um único ponto ou localização no espaço subjacente (estado) é zero ou um. Isso implica que, com probabilidade um, não há dois (ou mais) pontos de um processo de ponto de Poisson coincidindo em localização no espaço subjacente.

Simulação

A simulação de um processo de ponto de Poisson em um computador geralmente é feita em uma região limitada do espaço, conhecida como janela de simulação , e requer duas etapas: criar apropriadamente um número aleatório de pontos e, em seguida, posicionar adequadamente os pontos de maneira aleatória. Essas duas etapas dependem do processo de ponto de Poisson específico que está sendo simulado.

Etapa 1: Número de pontos

O número de pontos na janela, denotado aqui por , precisa ser simulado, o que é feito usando uma (pseudo) - função geradora de número aleatório capaz de simular variáveis ​​aleatórias de Poisson. ${\ textstyle N}$${\ textstyle W}$

Caso homogêneo

Para o caso homogêneo com a constante , a média da variável aleatória de Poisson é definida para onde é o comprimento, área ou volume ( -dimensional) de . ${\ textstyle \ lambda}$${\ textstyle N}$${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle | W |}$${\ textstyle d}$${\ textstyle W}$

Caso não homogêneo

Para o caso não homogêneo, é substituído pela integral de volume ( -dimensional) ${\ textstyle \ lambda | W |}$${\ textstyle d}$

${\ displaystyle \ Lambda (W) = \ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x}$

Etapa 2: Posicionamento de pontos

O segundo estágio requer a colocação aleatória dos pontos na janela . ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Caso homogêneo

Para o caso homogêneo em uma dimensão, todos os pontos são uniformemente e independentemente colocados na janela ou intervalo . Para dimensões mais altas em um sistema de coordenadas cartesianas, cada coordenada é uniformemente e independentemente colocada na janela . Se a janela não for um subespaço do espaço cartesiano (por exemplo, dentro de uma esfera unitária ou na superfície de uma esfera unitária), então os pontos não serão colocados uniformemente , e uma mudança adequada de coordenadas (do cartesiano) será necessária. ${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$${\ displaystyle \ textstyle W}$

Caso não homogêneo

Para o caso não homogêneo, alguns métodos diferentes podem ser usados, dependendo da natureza da função de intensidade . Se a função de intensidade for suficientemente simples, então as coordenadas independentes e aleatórias não uniformes (cartesianas ou outras) dos pontos podem ser geradas. Por exemplo, simular um processo de ponto de Poisson em uma janela circular pode ser feito para uma função de intensidade isotrópica (em coordenadas polares e ), o que implica que é rotacionalmente variante ou independente de, mas dependente de , por uma mudança de variável em se a função de intensidade é suficientemente simples. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle \ theta}$${\ displaystyle \ textstyle r}$${\ displaystyle \ textstyle r}$

Para funções de intensidade mais complicadas, pode-se usar um método de aceitação-rejeição , que consiste em usar (ou 'aceitar') apenas alguns pontos aleatórios e não usar (ou 'rejeitar') os outros pontos, com base na razão:

${\ displaystyle {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ Lambda (W)}} = {\ frac {\ lambda (x_ {i})} {\ int _ {W} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x.}}}$

onde está o ponto em consideração para aceitação ou rejeição. ${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$

Processo geral de pontos de Poisson

O processo de ponto de Poisson pode ser ainda mais generalizado para o que às vezes é conhecido como o processo de ponto de Poisson geral ou processo de Poisson geral usando uma medida de Radon , que é uma medida localmente finita. Em geral, essa medida de Radon pode ser atômica, o que significa que vários pontos do processo de ponto de Poisson podem existir no mesmo local do espaço subjacente. Nessa situação, o número de pontos em é uma variável aleatória de Poisson com média . Mas às vezes o inverso é assumido, então a medida de Radon é difusa ou não atômica. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda ({x})}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Um processo de ponto é um processo de ponto de Poisson geral com intensidade se tiver as duas propriedades a seguir: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

• o número de pontos em um conjunto limitado de Borel é uma variável aleatória de Poisson com média . Em outras palavras, denote o número total de pontos localizados em por , então a probabilidade da variável aleatória ser igual a é dada por:${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda (B)}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle P \ {{N} (B) = n \} = {\ frac {(\ Lambda (B)) ^ {n}} {n!}} e ^ {- \ Lambda (B)}}$

• o número de pontos em conjuntos disjuntos de Borel forma variáveis ​​aleatórias independentes.${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

A medida Radon mantém sua interpretação anterior de ser o número esperado de pontos localizados na região delimitada , a saber ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = E [{N} (B)].}$

Além disso, se for absolutamente contínuo, de modo que tenha uma densidade (que é a densidade ou derivada Radon-Nikodym ) em relação à medida de Lebesgue, então para todos os conjuntos de Borel pode ser escrito como: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = \ int _ {B} \ lambda (x) \, \ mathrm {d} x,}$

onde a densidade é conhecida, entre outros termos, como a função intensidade. ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$

História

Distribuição de veneno

Apesar do nome, o processo do ponto de Poisson não foi descoberto nem estudado pelo matemático francês Siméon Denis Poisson ; o nome é citado como um exemplo da lei de Stigler . O nome deriva de sua relação inerente com a distribuição de Poisson , derivada por Poisson como um caso limite da distribuição binomial . Este descreve a probabilidade da soma dos ensaios de Bernoulli com probabilidade , muitas vezes comparado com o número de cabeças (ou coroa), depois inclinado inverte de uma moeda com a probabilidade de uma cabeça (ou cauda) ocorrendo estar . Para alguma constante positiva , conforme aumenta em direção ao infinito e diminui em direção a zero, de modo que o produto é fixo, a distribuição de Poisson se aproxima mais daquela do binômio. ${\ displaystyle \ textstyle n}$ ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle np = \ Lambda}$

Poisson derivou a distribuição de Poisson, publicada em 1841, examinando a distribuição binomial no limite de (a zero) e (ao infinito). Aparece apenas uma vez em toda a obra de Poisson, e o resultado não era muito conhecido em sua época. Nos anos seguintes, várias pessoas usaram a distribuição sem citar Poisson, incluindo Philipp Ludwig von Seidel e Ernst Abbe . No final do século 19, Ladislaus Bortkiewicz estudaria novamente a distribuição em um cenário diferente (citando Poisson), usando a distribuição com dados reais para estudar o número de mortes por chutes de cavalo no exército prussiano . ${\ displaystyle \ textstyle p}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

Descoberta

Existem várias afirmações para os primeiros usos ou descobertas do processo de pontos de Poisson. Por exemplo, John Michell em 1767, uma década antes do nascimento de Poisson, estava interessado na probabilidade de uma estrela estar dentro de uma certa região de outra estrela sob a suposição de que as estrelas estavam "espalhadas por mero acaso" e estudou um exemplo consistindo em as seis estrelas mais brilhantes das Plêiades , sem derivar a distribuição de Poisson. Este trabalho inspirou Simon Newcomb a estudar o problema e calcular a distribuição de Poisson como uma aproximação para a distribuição binomial em 1860.

No início do século 20, o processo de Poisson (em uma dimensão) surgiria de forma independente em diferentes situações. Na Suécia, em 1903, Filip Lundberg publicou uma tese contendo um trabalho, hoje considerado fundamental e pioneiro, onde se propunha modelar sinistros de seguros com um processo de Poisson homogêneo.

Na Dinamarca, em 1909, outra descoberta ocorreu quando AK Erlang derivou a distribuição de Poisson ao desenvolver um modelo matemático para o número de chamadas recebidas em um intervalo de tempo finito. Na época, Erlang não estava ciente do trabalho anterior de Poisson e presumiu que o número de ligações telefônicas que chegavam em cada intervalo de tempo era independente umas das outras. Ele então encontrou o caso limite, que está efetivamente reformulando a distribuição de Poisson como um limite da distribuição binomial.

Em 1910, Ernest Rutherford e Hans Geiger publicaram resultados experimentais sobre a contagem de partículas alfa. Seu trabalho experimental teve contribuições matemáticas de Harry Bateman , que derivou as probabilidades de Poisson como uma solução para uma família de equações diferenciais, embora a solução tenha sido derivada anteriormente, resultando na descoberta independente do processo de Poisson. Depois dessa época, houve muitos estudos e aplicações do processo de Poisson, mas sua história inicial é complicada, o que foi explicado pelas várias aplicações do processo em vários campos por biólogos, ecologistas, engenheiros e vários cientistas físicos.

Primeiros aplicativos

Os anos após 1909 levaram a uma série de estudos e aplicações do processo de ponto de Poisson, no entanto, sua história inicial é complexa, o que foi explicado pelas várias aplicações do processo em vários campos por biólogos , ecologistas, engenheiros e outros que trabalham na as ciências físicas . Os primeiros resultados foram publicados em diferentes idiomas e em diferentes ambientes, sem terminologia padrão e notação usada. Por exemplo, em 1922, o químico sueco e Prêmio Nobel Theodor Svedberg propôs um modelo no qual um processo de ponto de Poisson espacial é o processo subjacente para estudar como as plantas são distribuídas nas comunidades de plantas. Vários matemáticos começaram a estudar o processo no início dos anos 1930, e contribuições importantes foram feitas por Andrey Kolmogorov , William Feller e Aleksandr Khinchin , entre outros. No campo da engenharia de teletráfico , matemáticos e estatísticos estudaram e usaram Poisson e outros processos pontuais.

História dos termos

O Sueco Conny Palm em sua dissertação de 1943 estudou o Poisson e outros processos pontuais no cenário unidimensional , examinando-os em termos da dependência estatística ou estocástica entre os pontos no tempo. Em seu trabalho existe o primeiro registro de uso conhecido do termo processos pontuais como Punktprozesse em alemão.

Acredita-se que William Feller foi o primeiro impresso a se referir a ele como o processo de Poisson em um artigo de 1940. Embora o sueco Ove Lundberg tenha usado o termo processo de Poisson em sua dissertação de doutorado de 1940, na qual Feller foi reconhecido como uma influência, alegou-se que Feller cunhou o termo antes de 1940. Foi observado que tanto Feller quanto Lundberg usaram o termo como embora fosse bem conhecido, o que implica que já estava em uso falado naquela época. Feller trabalhou de 1936 a 1939 ao lado de Harald Cramér na Universidade de Estocolmo , onde Lundberg era um aluno de doutorado de Cramér que não usou o termo processo de Poisson em um livro dele, concluído em 1936, mas o fez em edições subsequentes, que o seu levou a a especulação de que o termo processo de Poisson foi cunhado em algum momento entre 1936 e 1939 na Universidade de Estocolmo.

Terminologia

A terminologia da teoria do processo de pontos em geral tem sido criticada por ser muito variada. Além da palavra ponto ser frequentemente omitida, o processo de Poisson (ponto) homogêneo também é chamado de processo de Poisson (ponto) estacionário , bem como processo de Poisson (ponto) uniforme . O processo de ponto de Poisson não homogêneo, além de ser chamado de não homogêneo , também é conhecido como processo de Poisson não estacionário .

O termo processo de ponto tem sido criticado, pois o termo processo pode sugerir ao longo do tempo e do espaço, portanto campo de ponto aleatório , resultando nos termos campo de ponto aleatório de Poisson ou campo de ponto de Poisson também sendo usados. Um processo de ponto é considerado, e às vezes chamado, uma medida de contagem aleatória, portanto, o processo de ponto de Poisson também é referido como uma medida aleatória de Poisson , um termo usado no estudo de processos de Lévy, mas alguns optam por usar os dois termos para Poisson aponta processos definidos em dois espaços subjacentes diferentes.

O espaço matemático subjacente ao processo de ponto de Poisson é chamado de espaço de portador , ou espaço de estado , embora o último termo tenha um significado diferente no contexto de processos estocásticos. No contexto de processos de ponto, o termo "espaço de estado" pode significar o espaço no qual o processo de ponto é definido, como a linha real, que corresponde ao conjunto de índices ou conjunto de parâmetros na terminologia de processo estocástico.

A medida é chamada de medida de intensidade , medida média ou medida de parâmetro , pois não há termos padrão. Se tem uma derivada ou densidade, denotada por , é chamada de função de intensidade do processo de ponto de Poisson. Para o processo de ponto de Poisson homogêneo, a derivada da medida de intensidade é simplesmente uma constante , que pode ser referida como a taxa , geralmente quando o espaço subjacente é a linha real ou a intensidade . É também chamada a taxa média ou a densidade média ou taxa . Pois , o processo correspondente é algumas vezes referido como o processo padrão de Poisson (ponto). ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda = 1}$

A extensão do processo do ponto de Poisson às vezes é chamada de exposição .

Notação

A notação do processo de ponto de Poisson depende de sua configuração e do campo em que está sendo aplicado. Por exemplo, na linha real, o processo de Poisson, tanto homogêneo quanto não homogêneo, às vezes é interpretado como um processo de contagem, e a notação é usada para representar o processo de Poisson. ${\ displaystyle \ textstyle \ {N (t), t \ geq 0 \}}$

Outra razão para a variação da notação é devido à teoria dos processos pontuais, que tem algumas interpretações matemáticas. Por exemplo, um processo de ponto de Poisson simples pode ser considerado um conjunto aleatório, o que sugere a notação , implicando que é um ponto aleatório pertencente a ou sendo um elemento do processo de ponto de Poisson . Outra interpretação, mais geral, é considerar um Poisson ou qualquer outro processo de ponto como uma medida de contagem aleatória, de modo que se possa escrever o número de pontos de um processo de ponto de Poisson sendo encontrado ou localizado em alguma região (mensurável do Borel) como , que é uma variável aleatória. Essas diferentes interpretações resultam no uso de notações em campos matemáticos, como a teoria da medida e a teoria dos conjuntos. ${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {N} (B)}$

Para processos de ponto geral, às vezes um subscrito no símbolo de ponto, por exemplo , é incluído para que se escreva (com notação de conjunto) em vez de , e pode ser usado para a variável dummy em expressões integrais, como o teorema de Campbell, em vez de denotar pontos aleatórios . Às vezes, uma letra maiúscula denota o processo de ponto, enquanto uma letra minúscula denota um ponto do processo, então, por exemplo, o ponto ou pertence a ou é um ponto do processo de ponto e é escrito com a notação definida como ou . ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle X}$${\ displaystyle \ textstyle x \ in X}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i} \ in X}$

Além disso, a teoria dos conjuntos e a notação integral ou da teoria da medida podem ser usadas indistintamente. Por exemplo, para um processo de ponto definido no espaço de estado euclidiano e uma função (mensurável) em , a expressão ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {{\ textbf {R}} ^ {d}}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ displaystyle \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} f (x) \, \ mathrm {d} N (x) = \ sum \ limits _ {x_ {i} \ in N} f (XI}),}$

demonstra duas maneiras diferentes de escrever uma soma sobre um processo de ponto (consulte também o teorema de Campbell (probabilidade) ). Mais especificamente, a notação integral no lado esquerdo está interpretando o processo de ponto como uma medida de contagem aleatória, enquanto a soma no lado direito sugere uma interpretação de conjunto aleatório.

Funcionais e medidas de momento

Na teoria da probabilidade, as operações são aplicadas a variáveis ​​aleatórias para diferentes propósitos. Às vezes, essas operações são expectativas regulares que produzem a média ou variância de uma variável aleatória. Outros, como funções características (ou transformadas de Laplace) de uma variável aleatória, podem ser usados ​​para identificar ou caracterizar variáveis ​​aleatórias e provar resultados como o teorema do limite central. Na teoria dos processos pontuais, existem ferramentas matemáticas análogas que geralmente existem nas formas de medidas e funcionais em vez de momentos e funções, respectivamente.

Funcionais de Laplace

Para um processo de ponto de Poisson com medida de intensidade , o funcional de Laplace é dado por: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e ^ {- \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} (1-e ^ {- f (x)}) \ Lambda (\ mathrm { d} x)},}$

${\ displaystyle L_ {N} (f) = e ^ {- \ lambda \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} (1-e ^ {- f (x)}) \, \ mathrm {d} x}.}$

Uma versão do teorema de Campbell envolve o funcional de Laplace do processo de pontos de Poisson.

Funcionais geradores de probabilidade

A função de geração de probabilidade de variável aleatória de valor inteiro não negativo leva ao funcional de geração de probabilidade sendo definido analogamente em relação a qualquer função limitada não negativa em tal que . Para um processo de ponto, o funcional gerador de probabilidade é definido como: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle 0 \ leq v (x) \ leq 1}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle G (v) = E \ left [\ prod _ {x \ in N} v (x) \ right]}$

onde o produto é realizado para todos os pontos em . Se a medida de intensidade de for localmente finita, então o é bem definido para qualquer função mensurável em . Para um processo de ponto de Poisson com medida de intensidade, o funcional gerador é dado por: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle G}$${\ displaystyle \ textstyle u}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle G (v) = e ^ {- \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} [1-v (x)] \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}, }$

que no caso homogêneo se reduz a

${\ displaystyle G (v) = e ^ {- \ lambda \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} [1-v (x)] \, \ mathrm {d} x}.}$

Medida de momento

Para um processo geral de ponto de Poisson com medida de intensidade, a medida do primeiro momento é sua medida de intensidade: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle M ^ {1} (B) = \ Lambda (B),}$

que para um processo de ponto de Poisson homogêneo com intensidade constante significa: ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda}$

${\ displaystyle M ^ {1} (B) = \ lambda | B |,}$

onde é o comprimento, área ou volume (ou mais geralmente, a medida de Lebesgue ) de . ${\ displaystyle \ textstyle | B |}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

A equação de Mecke

A equação de Mecke caracteriza o processo de pontos de Poisson. Deixe ser o espaço de todas as medidas finitas em algum espaço geral . Um processo de ponto com intensidade ligada é um processo de ponto de Poisson se e somente se para todas as funções mensuráveis o seguinte for válido ${\ displaystyle \ mathbb {N} _ {\ sigma}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle {\ mathcal {Q}}}$${\ displaystyle f: {\ mathcal {Q}} \ times \ mathbb {N} _ {\ sigma} \ to \ mathbb {R} _ {+}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\ int f (x, \ eta) \ eta (\ mathrm {d} x) \ right] = \ int \ operatorname {E} \ left [f (x, \ eta) + \ delta _ {x}) \ right] \ lambda (\ mathrm {d} x)}$

Para obter mais detalhes, consulte.

Medida de momento fatorial

Para um processo geral de ponto de Poisson com medida de intensidade, a -ésima medida de momento fatorial é dada pela expressão: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M ^ {(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} [\ Lambda (B_ {i})], }$

onde está a medida de intensidade ou medida de primeiro momento , que para algum conjunto de Borel é dada por ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) = M ^ {1} (B) = E [N (B)].}$

Para um processo de ponto de Poisson homogêneo, a -ésima medida de momento fatorial é simplesmente: ${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle M ^ {(n)} (B_ {1} \ times \ cdots \ times B_ {n}) = \ lambda ^ {n} \ prod _ {i = 1} ^ {n} | B_ {i} |,}$

onde é o comprimento, área ou volume (ou mais geralmente, a medida de Lebesgue ) de . Além disso, a -ésima densidade de momento fatorial é: ${\ displaystyle \ textstyle | B_ {i} |}$${\ displaystyle \ textstyle B_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle n}$

${\ displaystyle \ mu ^ {(n)} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ lambda ^ {n}.}$

Função de evitação

A função de evitação ou probabilidade de vazio de um processo de ponto é definida em relação a algum conjunto , que é um subconjunto do espaço subjacente , como a probabilidade de nenhum ponto existir em . Mais precisamente, para um conjunto de teste , a função de prevenção é dada por: ${\ displaystyle \ textstyle v}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle v (B) = P ({N} (B) = 0).}$

Para um processo geral de ponto de Poisson com medida de intensidade , sua função de evitação é dada por: ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

${\ displaystyle v (B) = e ^ {- \ Lambda (B)}}$

Teorema de Rényi

Processos pontuais simples são completamente caracterizados por suas probabilidades de vazio. Em outras palavras, as informações completas de um processo de ponto simples são capturadas inteiramente em suas probabilidades de vazio, e dois processos de ponto simples têm as mesmas probabilidades de vazio se e se apenas se eles forem os mesmos processos de ponto. O caso para o processo de Poisson é às vezes conhecido como teorema de Rényi , que leva o nome de Alfréd Rényi que descobriu o resultado para o caso de um processo de ponto homogêneo em uma dimensão.

Em uma forma, o teorema de Rényi diz para uma medida de Radon difusa (ou não atômica) ligada e um conjunto é uma união finita de retângulos (não Borel) que se é um subconjunto contável de tal que: ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle A}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

${\ displaystyle P ({N} (A) = 0) = v (A) = e ^ {- \ Lambda (A)}}$

então é um processo de ponto de Poisson com medida de intensidade . ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Operações de processo de ponto

Operações matemáticas podem ser realizadas em processos pontuais para obter novos processos pontuais e desenvolver novos modelos matemáticos para as localizações de certos objetos. Um exemplo de operação é conhecido como desbaste, que envolve deletar ou remover os pontos de algum processo pontual de acordo com uma regra, criando um novo processo com os pontos restantes (os pontos deletados também formam um processo pontual).

Desbaste

Para o processo de Poisson, as operações independentes de diluição resultam em outro processo de ponto de Poisson. Mais especificamente, uma operação de afinamento aplicada a um processo de ponto de Poisson com medida de intensidade dá um processo de ponto de pontos removidos que também é um processo de ponto de Poisson com medida de intensidade , que para um conjunto de Borel limitado é dado por: ${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle p (x)}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {p}}$${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} p (x) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x)}$

Este resultado de afinamento do processo do ponto de Poisson é às vezes conhecido como teorema de Prekopa . Além disso, após diluir aleatoriamente um processo de ponto de Poisson, os pontos mantidos ou restantes também formam um processo de ponto de Poisson, que tem a medida de intensidade

${\ displaystyle \ Lambda _ {p} (B) = \ int _ {B} (1-p (x)) \, \ Lambda (\ mathrm {d} x).}$

Os dois processos separados de pontos de Poisson formados respectivamente a partir dos pontos removidos e mantidos são estocasticamente independentes um do outro. Em outras palavras, se uma região é conhecida por conter pontos mantidos (do processo de ponto de Poisson original), então isso não terá influência no número aleatório de pontos removidos na mesma região. Essa capacidade de criar aleatoriamente dois processos de ponto de Poisson independentes a partir de um é às vezes conhecida como divisão do processo de ponto de Poisson. ${\ displaystyle \ textstyle n}$

Sobreposição

Se houver uma coleção contável de processos pontuais , então sua sobreposição, ou, na linguagem da teoria dos conjuntos, sua união, que é ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle {N} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {\ infty} {N} _ {i},}$

também forma um processo pontual. Em outras palavras, quaisquer pontos localizados em qualquer um dos processos de pontos também estarão localizados na superposição desses processos de pontos . ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Teorema da superposição

O teorema de superposição do processo de ponto de Poisson diz que a superposição de processos de ponto de Poisson independentes com medidas médias também será um processo de ponto de Poisson com medida média ${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {1}, {N} _ {2} \ dots}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda _ {1}, \ Lambda _ {2}, \ dots}$

${\ displaystyle \ Lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ Lambda _ {i}.}$

Em outras palavras, a união de dois (ou contáveis ​​mais) processos de Poisson é outro processo de Poisson. Se um ponto é amostrado a partir de uma união contável de processos de Poisson, então a probabilidade de que o ponto pertença ao º processo de Poisson é dada por: ${\ textstyle x}$${\ textstyle n}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ textstyle j}$${\ textstyle N_ {j}}$

${\ displaystyle P (x \ in N_ {j}) = {\ frac {\ Lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ Lambda _ {i}}}.}$

Para dois processos de Poisson homogêneos com intensidades , as duas expressões anteriores reduzem a ${\ textstyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2} \ dots}$

${\ displaystyle \ lambda = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ lambda _ {i},}$

e

${\ displaystyle P (x \ in {N} _ {j}) = {\ frac {\ lambda _ {j}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ lambda _ {i}}}. }$

Clustering

O agrupamento de operações é executado quando cada ponto de algum processo de ponto é substituído por outro processo de ponto (possivelmente diferente). Se o processo original é um processo de ponto de Poisson, o processo resultante é chamado de processo de ponto de cluster de Poisson. ${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {c}}$

Deslocamento aleatório

Um modelo matemático pode exigir a movimentação aleatória de pontos de um processo de ponto para outros locais no espaço matemático subjacente, o que dá origem a uma operação de processo de ponto conhecida como deslocamento ou translação. O processo de ponto de Poisson tem sido usado para modelar, por exemplo, o movimento das plantas entre gerações, devido ao teorema do deslocamento, que diz vagamente que o deslocamento independente aleatório de pontos de um processo de ponto de Poisson (no mesmo espaço subjacente) forma outro Processo de ponto de Poisson.

Teorema do deslocamento

Uma versão do teorema do deslocamento envolve um processo de ponto de Poisson ligado com a função de intensidade . É então assumido que os pontos de são deslocados aleatoriamente em algum outro lugar em de modo que o deslocamento de cada ponto seja independente e que o deslocamento de um ponto anteriormente em seja um vetor aleatório com uma densidade de probabilidade . Então, o novo processo de ponto também é um processo de ponto de Poisson com função de intensidade ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle \ rho (x, \ cdot)}$${\ displaystyle \ textstyle {N} _ {D}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ int _ {{\ textbf {R}} ^ {d}} \ lambda (x) \ rho (x, y) \, \ mathrm {d} x. }$

Se o processo de Poisson for homogêneo com e se for uma função de , então ${\ displaystyle \ textstyle \ lambda (x) = \ lambda> 0}$${\ displaystyle \ rho (x, y)}$${\ displaystyle yx}$

${\ displaystyle \ lambda _ {D} (y) = \ lambda.}$

Em outras palavras, após cada deslocamento aleatório e independente de pontos, o processo de ponto de Poisson original ainda existe.

O teorema do deslocamento pode ser estendido de forma que os pontos de Poisson sejam deslocados aleatoriamente de um espaço euclidiano para outro , onde não é necessariamente igual a . ${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d '}}$${\ displaystyle \ textstyle d '\ geq 1}$${\ displaystyle \ textstyle d}$

Mapeamento

Outra propriedade considerada útil é a capacidade de mapear um processo de ponto de Poisson de um espaço subjacente para outro espaço.

Teorema de mapeamento

Se o mapeamento (ou transformação) obedece a algumas condições, então a coleção de pontos mapeada (ou transformada) resultante também forma um processo de ponto de Poisson, e esse resultado às vezes é chamado de teorema do mapeamento . O teorema envolve algum processo de ponto de Poisson com medida média em algum espaço subjacente. Se as localizações dos pontos são mapeadas (ou seja, o processo do ponto é transformado) de acordo com alguma função para outro espaço subjacente, então o processo do ponto resultante também é um processo do ponto de Poisson, mas com uma medida média diferente . ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Mais especificamente, pode-se considerar uma função (mensurável de Borel) que mapeia um processo de ponto com medida de intensidade de um espaço para outro espaço de forma que o novo processo de ponto tenha a medida de intensidade: ${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ textstyle S}$${\ displaystyle \ textstyle T}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$

${\ displaystyle \ Lambda (B) '= \ Lambda (f ^ {- 1} (B))}$

sem átomos, onde é um conjunto de Borel e denota o inverso da função . Se for um processo de ponto de Poisson, então o novo processo também é um processo de ponto de Poisson com a medida de intensidade . ${\ displaystyle \ textstyle B}$${\ displaystyle \ textstyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ textstyle f}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle {N} '}$${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda '}$

Aproximações com processos de ponto de Poisson

A tratabilidade do processo de Poisson significa que às vezes é conveniente aproximar um processo de ponto não Poisson com um de Poisson. O objetivo geral é aproximar o número de pontos de algum processo de ponto e a localização de cada ponto por um processo de ponto de Poisson. Existem vários métodos que podem ser usados ​​para justificar, informal ou rigorosamente, aproximando a ocorrência de eventos ou fenômenos aleatórios com processos de ponto de Poisson adequados. Os métodos mais rigorosos envolvem derivar limites superiores nas métricas de probabilidade entre os processos de ponto de Poisson e não Poisson, enquanto outros métodos podem ser justificados por heurísticas menos formais.

Heurística de aglutinação

Um método para aproximar eventos ou fenômenos aleatórios com processos de Poisson é chamado de heurística de agrupamento . A heurística ou princípio geral envolve o uso do processo de pontos de Poisson (ou distribuição de Poisson) para aproximar eventos, que são considerados raros ou improváveis, de algum processo estocástico. Em alguns casos, esses eventos raros estão perto de serem independentes, portanto, um processo de ponto de Poisson pode ser usado. Quando os eventos não são independentes, mas tendem a ocorrer em aglomerados ou aglomerados , então, se esses aglomerados forem adequadamente definidos de modo que sejam aproximadamente independentes uns dos outros, então o número de aglomerados ocorrendo será próximo a uma variável aleatória de Poisson e os locais dos aglomerados estará perto de um processo de Poisson.

Método de Stein

O método de Stein é uma técnica matemática desenvolvida originalmente para aproximar variáveis ​​aleatórias, como variáveis Gaussianas e de Poisson, que também foi aplicada a processos de pontos. O método de Stein pode ser usado para derivar limites superiores em métricas de probabilidade , que permitem quantificar como dois objetos matemáticos aleatórios variam estocasticamente. Os limites superiores em métricas de probabilidade, como variação total e distância de Wasserstein , foram derivados.

Os pesquisadores aplicaram o método de Stein aos processos de pontos de Poisson de várias maneiras, como usando o cálculo Palm . Técnicas baseadas no método de Stein foram desenvolvidas para fatorar nos limites superiores os efeitos de certas operações de processo de ponto , como desbaste e superposição. O método de Stein também foi usado para derivar limites superiores em métricas de Poisson e outros processos, como o processo de ponto de Cox , que é um processo de Poisson com uma medida de intensidade aleatória.

Convergência para um processo de ponto de Poisson

Em geral, quando uma operação é aplicada a um processo de ponto geral, o processo resultante geralmente não é um processo de ponto de Poisson. Por exemplo, se um processo de ponto, diferente de Poisson, tem seus pontos deslocados aleatoriamente e independentemente, então o processo não seria necessariamente um processo de ponto de Poisson. No entanto, sob certas condições matemáticas para o processo de ponto original e o deslocamento aleatório, foi mostrado por meio de teoremas de limite que se os pontos de um processo de ponto são deslocados repetidamente de maneira aleatória e independente, então a distribuição finita do ponto processo convergirá (fracamente) para aquele de um processo de ponto de Poisson.

Resultados de convergência semelhantes foram desenvolvidos para operações de desbaste e superposição que mostram que tais operações repetidas em processos de ponto podem, sob certas condições, resultar na convergência do processo para processos de ponto de Poisson, desde um reescalonamento adequado da medida de intensidade (caso contrário, valores de medida de intensidade dos processos de pontos resultantes aproximar-se-ia de zero ou infinito). Esse trabalho de convergência está diretamente relacionado aos resultados conhecidos como equações de Palm-Khinchin, que tem suas origens no trabalho de Conny Palm e Aleksandr Khinchin , e ajudam a explicar porque o processo de Poisson pode muitas vezes ser usado como um modelo matemático de vários fenômenos aleatórios .

Generalizações de processos de pontos de Poisson

O processo do ponto de Poisson pode ser generalizado, por exemplo, alterando sua medida de intensidade ou definindo em espaços matemáticos mais gerais. Essas generalizações podem ser estudadas matematicamente, bem como usadas para modelar matematicamente ou representar fenômenos físicos.

Medidas aleatórias do tipo Poisson

As medidas aleatórias do tipo Poisson (PT) são uma família de três medidas de contagem aleatória que são fechadas sob restrição a um subespaço, isto é, fechadas sob a operação de processo de ponto # Thinning . Essas medidas aleatórias são exemplos do processo binomial misto e compartilham a propriedade de auto-similaridade distributiva da medida aleatória de Poisson . Eles são os únicos membros da família de distribuições de séries de potências não negativas canônicas que possuem essa propriedade e incluem a distribuição de Poisson , a distribuição binomial negativa e a distribuição binomial . A medida aleatória de Poisson é independente em subespaços disjuntos, enquanto as outras medidas aleatórias PT (binomial negativa e binomial) têm covariâncias positivas e negativas. As medidas aleatórias PT são discutidas e incluem a medida aleatória de Poisson , medida aleatória binomial negativa e medida aleatória binomial.

Processos de ponto de Poisson em espaços mais gerais

Para modelos matemáticos, o processo do ponto de Poisson é frequentemente definido no espaço euclidiano, mas foi generalizado para espaços mais abstratos e desempenha um papel fundamental no estudo de medidas aleatórias, o que requer uma compreensão de campos matemáticos, como teoria da probabilidade, teoria da medida e topologia .

Em geral, o conceito de distância é de interesse prático para aplicativos, enquanto a estrutura topológica é necessária para distribuições de Palm, o que significa que os processos de pontos são geralmente definidos em espaços matemáticos com métricas. Além disso, a realização de um processo de ponto pode ser considerada como uma medida de contagem, portanto, os processos de pontos são tipos de medidas aleatórias conhecidas como medidas de contagem aleatória. Neste contexto, o Poisson e outros processos pontuais foram estudados em um segundo espaço contável de Hausdorff localmente compacto.

Processo de ponto Cox

Um processo de ponto de Cox , processo de Cox ou processo de Poisson duplamente estocástico é uma generalização do processo de ponto de Poisson, permitindo que sua medida de intensidade também seja aleatória e independente do processo de Poisson subjacente. O processo recebeu o nome de David Cox, que o introduziu em 1955, embora outros processos de Poisson com intensidades aleatórias tenham sido introduzidos independentemente anteriormente por Lucien Le Cam e Maurice Quenouille. A medida de intensidade pode ser uma realização de variável aleatória ou um campo aleatório. Por exemplo, se o logaritmo da medida de intensidade é um campo aleatório Gaussiano , o processo resultante é conhecido como um processo de Cox Gaussiano logarítmico . De forma mais geral, as medidas de intensidade são a realização de uma medida aleatória local finita não negativa. Os processos de ponto de Cox exibem um agrupamento de pontos, que pode ser mostrado matematicamente como sendo maior do que os processos de ponto de Poisson. A generalidade e tratabilidade dos processos de Cox resultou no uso deles como modelos em campos como estatística espacial e redes sem fio. ${\ displaystyle \ textstyle \ Lambda}$

Processo de ponto de Poisson marcado

Para um determinado processo de ponto, cada ponto aleatório de um processo de ponto pode ter um objeto matemático aleatório, conhecido como marca , atribuído aleatoriamente a ele. Essas marcas podem ser tão diversas quanto inteiros, números reais, linhas, objetos geométricos ou outros processos de ponto. O par que consiste em um ponto do processo de ponto e sua marca correspondente é chamado de ponto marcado, e todos os pontos marcados formam um processo de ponto marcado . Freqüentemente, presume-se que as marcas aleatórias são independentes umas das outras e distribuídas de forma idêntica, mas a marca de um ponto ainda pode depender da localização de seu ponto correspondente no espaço subjacente (estado). Se o processo de ponto subjacente for um processo de ponto de Poisson, então o processo de ponto resultante é um processo de ponto de Poisson marcado .

Teorema de marcação

Se um processo de ponto geral é definido em algum espaço matemático e as marcas aleatórias são definidas em outro espaço matemático, então o processo de ponto marcado é definido no produto cartesiano desses dois espaços. Para um processo de ponto de Poisson marcado com marcas independentes e distribuídas de forma idêntica, o teorema da marcação afirma que esse processo de ponto marcado também é um processo de ponto de Poisson (não marcado) definido no produto cartesiano acima mencionado dos dois espaços matemáticos, o que não é verdade para processos de pontos gerais.

Processo de ponto de Poisson composto

O composto de Poisson ponto processo ou processo composto de Poisson é formado por adição de valores aleatórios ou pesos para cada ponto do processo de Poisson definido em algum espaço subjacente, de modo que o processo é construído a partir de um processo de Poisson marcado, em que as marcas de formar um conjunto de independente e variáveis ​​aleatórias não negativas com distribuição idêntica . Em outras palavras, para cada ponto do processo de Poisson original, há uma variável aleatória não negativa independente e identicamente distribuída, e então o processo de Poisson composto é formado a partir da soma de todas as variáveis ​​aleatórias correspondentes aos pontos do processo de Poisson localizados em alguma região do espaço matemático subjacente.

Se houver um processo de ponto de Poisson marcado formado a partir de um processo de ponto de Poisson (definido em, por exemplo, ) e uma coleção de marcas não negativas independentes e distribuídas de forma idêntica de modo que para cada ponto do processo de Poisson haja um aleatório não negativo variável , o processo de Poisson composto resultante é então: ${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle M_ {i}}$

${\ displaystyle C (B) = \ sum _ {i = 1} ^ {N (B)} M_ {i},}$

onde está um conjunto mensurável do Borel. ${\ displaystyle \ textstyle B \ subset {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Se variáveis ​​aleatórias gerais assumem valores em, por exemplo, espaço euclidiano dimensional , o processo de Poisson composto resultante é um exemplo de processo de Lévy, desde que seja formado a partir de um processo de Ponto homogêneo definido nos números não negativos . ${\ displaystyle \ textstyle \ {M_ {i} \}}$${\ displaystyle \ textstyle d}$${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$${\ displaystyle \ textstyle N}$${\ displaystyle \ textstyle [0, \ infty)}$

Processo de falha com a suavização exponencial das funções de intensidade

O processo de falha com a suavização exponencial das funções de intensidade (FP-ESI) é uma extensão do processo de Poisson não homogêneo. A função de intensidade de um FP-ESI é uma função de suavização exponencial das funções de intensidade nos últimos pontos de tempo de ocorrências de eventos e supera outros nove processos estocásticos em 8 conjuntos de dados de falha do mundo real quando os modelos são usados ​​para ajustar os conjuntos de dados, onde o o desempenho do modelo é medido em termos de AIC ( critério de informação de Akaike ) e BIC ( critério de informação Bayesiano ).

Veja também

• Modelo booleano (teoria da probabilidade)
• Teoria da percolação contínua
• Processo de Poisson composto
• Processo Cox
• Processo de pontuação
• Geometria estocástica
• Modelos de geometria estocástica de redes sem fio
• Processos de chegada de Markovian

Notas

Referências

Específico

Em geral

Livros

• A. Baddeley; I. Bárány; R. Schneider (26 de outubro de 2006). Geometria Estocástica: Palestras ministradas na Escola de Verão CIME realizada em Martina Franca, Itália, de 13 a 18 de setembro de 2004 . Springer. ISBN 978-3-540-38175-4.
• Cox, DR ; Isham, Valerie (1980). Processos de ponto . Chapman & Hall. ISBN 978-0-412-21910-8.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2003). Uma introdução à teoria dos processos pontuais: Volume I: Teoria e métodos elementares . Springer. ISBN 978-1475781090.
• Daley, Daryl J .; Vere-Jones, David (2007). Uma introdução à teoria dos processos de ponto: Volume II: Teoria geral e estrutura . Springer. ISBN 978-0387213378.
• Kingman, John Frank (1992). Processos de Poisson . Claredon Press. ISBN 978-0198536932.
• Moller, Jesper; Waagepetersen, Rasmus P. (2003). Inferência Estatística e Simulação para Processos de Pontos Espaciais . CRC Press. ISBN 978-1584882657.
• Ross, SM (1996). Processos estocásticos . Wiley. ISBN 978-0-471-12062-9.
• Snyder, DL; Miller, MI (1991). Processos de pontos aleatórios no tempo e no espaço . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97577-1.
• Stoyan, Dietrich; Kendall, Wilfred S .; Mecke, Joseph (1995). Geometria estocástica e suas aplicações . Wiley. ISBN 978-0471950998.
• Streit, Streit (2010). Processos de Poisson Point: Imaging, Tracking, and Sensing . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1441969224.
• HC Tijms (18 de abril de 2003). Um primeiro curso em modelos estocásticos . John Wiley & Sons. pp. 22–23. ISBN 978-0-471-49880-3.

Artigos

• Stirzaker, David (2000). "Conselhos aos ouriços, ou, as constantes podem variar". The Mathematical Gazette .
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). "O que aconteceu com o caos discreto, o processo de Quenouille e a propriedade de Markov afiada? Alguma história de processos pontuais estocásticos". Revisão Estatística Internacional .