Poliedro - Polyhedron

Exemplos de poliedros
Tetrahedron.png
Tetraedro regular

Sólido platônico

Dodecaedro estrelado pequeno.png
Dodecaedro estrelado pequeno

Sólido Kepler-Poinsot

Icosidodecahedron.png
Icosidodecaedro

Sólido de Arquimedes

Great cubicuboctahedron.png
Grande cuboctaedro cúbico

Estrela-poliedro uniforme

Rhombic triacontahedron.png
Triacontaedro rômbico

Sólido catalão

Hexagonal torus.png
Um poliedro toroidal

Na geometria , um poliedro (plural poliedros ou poliedros ) é um tri-dimensional forma com planas poligonais as faces , em linha reta bordas e cantos afiados ou vértices . A palavra poliedro vem do grego clássico πολύεδρον, como poli (caule de πολύς , "muitos") + -hedron (forma de ἕδρα , "base" ou "banco").

Um poliedro convexo é o casco convexo de muitos pontos finitos, nem todos no mesmo plano. Cubos e pirâmides são exemplos de poliedros convexos.

Um poliedro é um exemplo tridimensional do politopo mais geral em qualquer número de dimensões.

Definição

Um poliedro esquelético (especificamente, um rombicuboctaedro ) desenhado por Leonardo da Vinci para ilustrar um livro de Luca Pacioli

Os poliedros convexos são bem definidos, com várias definições padrão equivalentes. No entanto, a definição matemática formal de poliedros que não precisam ser convexos tem sido problemática. Muitas definições de "poliedro" foram dadas em contextos particulares, algumas mais rigorosas do que outras, e não há acordo universal sobre qual delas escolher. Algumas dessas definições excluem formas que muitas vezes foram contadas como poliedros (como os poliedros que se cruzam ) ou incluem formas que muitas vezes não são consideradas poliedros válidos (como sólidos cujos limites não são múltiplos ). Como observou Branko Grünbaum ,

“O pecado original na teoria dos poliedros remonta a Euclides, e através de Kepler, Poinsot, Cauchy e muitos outros ... em cada etapa ... os escritores não conseguiram definir o que são os poliedros”.

No entanto, há um consenso geral de que um poliedro é um sólido ou superfície que pode ser descrito por seus vértices (pontos de canto), arestas (segmentos de linha conectando certos pares de vértices), faces ( polígonos bidimensionais ) e que às vezes pode pode-se dizer que tem um volume interior tridimensional específico . Pode-se distinguir entre essas diferentes definições se elas descrevem o poliedro como um sólido, se o descrevem como uma superfície ou se o descrevem de forma mais abstrata com base em sua geometria de incidência .

  • Uma definição comum e um tanto ingênua de um poliedro é que ele é um sólido cuja fronteira pode ser coberta por muitos planos finitos ou que é um sólido formado como a união de muitos poliedros convexos finitos. Os refinamentos naturais dessa definição requerem que o sólido seja limitado, tenha um interior conectado e, possivelmente, também um limite conectado. As faces de tal poliedro podem ser definidas como os componentes conectados das partes do limite dentro de cada um dos planos que o cobrem, e as arestas e vértices como os segmentos de linha e pontos onde as faces se encontram. No entanto, os poliedros definidos desta forma não incluem os poliedros de estrela que se cruzam, cujas faces podem não formar polígonos simples e algumas de cujas arestas podem pertencer a mais de duas faces.
  • Definições baseadas na ideia de uma superfície delimitadora em vez de um sólido também são comuns. Por exemplo, O'Rourke (1993) define um poliedro como uma união de polígonos convexos (suas faces), dispostos no espaço de forma que a interseção de quaisquer dois polígonos seja um vértice ou aresta compartilhada ou o conjunto vazio e de modo que sua união seja um múltiplo . Se uma parte plana de tal superfície não for um polígono convexo, O'Rourke exige que ela seja subdividida em polígonos convexos menores, com ângulos diédricos planos entre eles. De forma um pouco mais geral, Grünbaum define um poliedro acótico como uma coleção de polígonos simples que formam uma variedade incorporada, com cada vértice incidente em pelo menos três arestas e cada duas faces se cruzando apenas em vértices e arestas compartilhados de cada um. O Poliedro de Cromwell oferece uma definição semelhante, mas sem a restrição de pelo menos três arestas por vértice. Novamente, esse tipo de definição não abrange os poliedros que se autocruzam. Noções semelhantes formam a base das definições topológicas de poliedros, como subdivisões de uma variedade topológica em discos topológicos (as faces) cujas interseções de pares devem ser pontos (vértices), arcos topológicos (bordas) ou o conjunto vazio. No entanto, existem poliedros topológicos (mesmo com triângulos de todas as faces) que não podem ser realizados como poliedros acóticos.
  • Uma abordagem moderna é baseada na teoria dos poliedros abstratos . Eles podem ser definidos como conjuntos parcialmente ordenados cujos elementos são os vértices, arestas e faces de um poliedro. Um vértice ou elemento de aresta é menor que uma aresta ou elemento de face (nesta ordem parcial) quando o vértice ou aresta faz parte da aresta ou face. Além disso, pode-se incluir um elemento inferior especial desta ordem parcial (representando o conjunto vazio) e um elemento superior representando todo o poliedro. Se as seções da ordem parcial entre elementos separados por três níveis (ou seja, entre cada face e o elemento inferior e entre o elemento superior e cada vértice) têm a mesma estrutura que a representação abstrata de um polígono, então esses conjuntos parcialmente ordenados carregam exatamente as mesmas informações de um poliedro topológico. No entanto, esses requisitos são freqüentemente relaxados, exigindo, em vez disso, apenas que as seções entre elementos separados por dois níveis tenham a mesma estrutura que a representação abstrata de um segmento de linha. (Isso significa que cada aresta contém dois vértices e pertence a duas faces, e que cada vértice em uma face pertence a duas arestas dessa face.) Poliedros geométricos, definidos de outras maneiras, podem ser descritos abstratamente desta forma, mas é também é possível usar poliedros abstratos como base para uma definição de poliedros geométricos. A realização de um poliedro abstrato é geralmente considerada como um mapeamento dos vértices do poliedro abstrato para pontos geométricos, de modo que os pontos de cada face são coplanares. Um poliedro geométrico pode então ser definido como a realização de um poliedro abstrato. Também foram consideradas as realizações que omitem o requisito de planaridade, que impõem requisitos adicionais de simetria ou que mapeiam os vértices para espaços dimensionais superiores. Ao contrário das definições de base sólida e de superfície, isso funciona perfeitamente bem para poliedros estrelados. No entanto, sem restrições adicionais, esta definição permite poliedros degenerados ou infiéis (por exemplo, mapeando todos os vértices para um único ponto) e a questão de como restringir as realizações para evitar essas degenerescências não foi resolvida.

Em todas essas definições, um poliedro é normalmente entendido como um exemplo tridimensional do politopo mais geral em qualquer número de dimensões. Por exemplo, um polígono tem um corpo bidimensional e nenhuma face, enquanto um politopo de 4 tem um corpo quadridimensional e um conjunto adicional de "células" tridimensionais. No entanto, parte da literatura sobre geometria de dimensão superior usa o termo "poliedro" para significar outra coisa: não um politopo tridimensional, mas uma forma que é diferente de um politopo de alguma forma. Por exemplo, algumas fontes definem um poliedro convexo como a interseção de muitos meios-espaços finitos e um politopo como um poliedro limitado. O restante deste artigo considera apenas poliedros tridimensionais.

Características

Número de faces

Os poliedros podem ser classificados e geralmente são nomeados de acordo com o número de faces. O sistema de nomenclatura é baseado no grego clássico, por exemplo tetraedro (um poliedro com quatro faces), pentaedro (cinco faces), hexaedro (seis faces), triacontaedro (30 faces) e assim por diante.

Para obter uma lista completa dos prefixos numéricos gregos, consulte Prefixo numérico § Tabela de prefixos numéricos em inglês , na coluna dos números cardinais gregos.

Classificação topológica

Garrafa de Klein poliédrica de autointerseção com faces quadrilaterais

Alguns poliedros têm dois lados distintos em sua superfície. Por exemplo, o interior e o exterior de um modelo de papel poliedro convexo podem receber uma cor diferente (embora a cor interna fique oculta). Esses poliedros são orientáveis . O mesmo é verdadeiro para poliedros não convexos sem autocruzamentos. Alguns poliedros não convexos com autocruzamento podem ser coloridos da mesma maneira, mas têm regiões viradas "do avesso" para que ambas as cores apareçam do lado de fora em locais diferentes; estes ainda são considerados orientáveis. No entanto, para alguns outros poliedros que se cruzam com faces poligonais simples, como o tetrahemihexaedro , não é possível colorir os dois lados de cada face com duas cores diferentes para que as faces adjacentes tenham cores consistentes. Neste caso, o poliedro é considerado não orientável. Para poliedros com faces que se cruzam, pode não ser claro o que significa que faces adjacentes sejam consistentemente coloridas, mas para esses poliedros ainda é possível determinar se é orientável ou não orientável considerando um complexo de células topológicas com o mesmas incidências entre seus vértices, arestas e faces.

Uma distinção mais sutil entre superfícies de poliedro é dada por sua característica de Euler , que combina os números de vértices , arestas e faces de um poliedro em um único número definido pela fórmula

A mesma fórmula também é usada para a característica de Euler de outros tipos de superfícies topológicas. É uma invariante da superfície, o que significa que quando uma única superfície é subdividida em vértices, arestas e faces de mais de uma maneira, a característica de Euler será a mesma para essas subdivisões. Para um poliedro convexo, ou mais geralmente qualquer poliedro simplesmente conectado com a superfície de uma esfera topológica, sempre é igual a 2. Para formas mais complicadas, a característica de Euler se relaciona ao número de orifícios toroidais , alças ou tampas cruzadas na superfície e será menor que 2. Todos os poliedros com característica de Euler ímpar não são orientáveis. Uma determinada figura com características de Euler pode ou não ser orientável. Por exemplo, o toroide com um orifício e a garrafa de Klein têm , sendo o primeiro orientável e o outro não.

Para muitas (mas não todas) maneiras de definir poliedros, a superfície do poliedro deve ser uma variedade . Isso significa que cada aresta faz parte do limite de exatamente duas faces (não permitindo formas como a união de dois cubos que se encontram apenas ao longo de uma aresta compartilhada) e que cada vértice incide em um único ciclo alternado de arestas e faces (não permitindo formas como a união de dois cubos compartilhando apenas um único vértice). Para poliedros definidos dessas formas, a classificação de variedades implica que o tipo topológico da superfície é completamente determinado pela combinação de sua característica de Euler e orientabilidade. Por exemplo, todo poliedro cuja superfície é uma variedade orientável e cuja característica de Euler é 2 deve ser uma esfera topológica.

Um poliedro toroidal é um poliedro cuja característica de Euler é menor ou igual a 0, ou equivalentemente cujo gênero é 1 ou maior. Topologicamente, as superfícies de tais poliedros são superfícies de toro com um ou mais orifícios no meio.

Dualidade

O octaedro é dual ao cubo

Para cada poliedro convexo, existe um poliedro duplo com

  • faces no lugar dos vértices do original e vice-versa, e
  • o mesmo número de arestas.

O dual de um poliedro convexo pode ser obtido pelo processo de reciprocidade polar . Os poliedros duais existem aos pares, e o dual de um dual é novamente apenas o poliedro original. Alguns poliedros são autoduais, o que significa que o dual do poliedro é congruente com o poliedro original.

Os poliedros abstratos também têm duais, que além disso satisfazem que eles têm a mesma característica de Euler e orientabilidade que o poliedro inicial. No entanto, esta forma de dualidade não descreve a forma de um poliedro dual, mas apenas sua estrutura combinatória. Para algumas definições de poliedros geométricos não convexos, existem poliedros cujos duais abstratos não podem ser realizados como poliedros geométricos sob a mesma definição.

Figuras de vértice

Para cada vértice pode-se definir uma figura de vértice , que descreve a estrutura local do poliedro ao redor do vértice. As definições precisas variam, mas uma figura de vértice pode ser considerada como o polígono exposto onde uma fatia do poliedro corta um canto. Se a figura do vértice for um polígono regular , o próprio vértice é considerado regular.

Volume

Os sólidos poliédricos têm uma quantidade associada chamada volume, que mede quanto espaço eles ocupam. Famílias simples de sólidos podem ter fórmulas simples para seus volumes; por exemplo, os volumes de pirâmides, prismas e paralelepípedos podem ser facilmente expressos em termos de seus comprimentos de borda ou outras coordenadas. (Consulte Volume § Fórmulas de volume para obter uma lista que inclui muitas dessas fórmulas.)

Os volumes de poliedros mais complicados podem não ter fórmulas simples. Os volumes de tais poliedros podem ser calculados subdividindo o poliedro em pedaços menores (por exemplo, por triangulação ). Por exemplo, o volume de um poliedro regular pode ser calculado dividindo-o em pirâmides congruentes , com cada pirâmide tendo uma face do poliedro como sua base e o centro do poliedro como seu ápice.

Em geral, pode ser derivado do teorema da divergência que o volume de um sólido poliédrico é dado por onde a soma está sobre as faces F do poliedro, Q F é um ponto arbitrário na face F , N F é o vetor unitário perpendicular a F apontando para fora do sólido e o ponto de multiplicação é o produto escalar . Em dimensões mais altas, o cálculo do volume pode ser desafiador, em parte devido à dificuldade de listar as faces de um poliedro convexo especificado apenas por seus vértices, e existem algoritmos especializados para determinar o volume nesses casos.

Invariante de Dehn

Em duas dimensões, o teorema de Bolyai-Gerwien afirma que qualquer polígono pode ser transformado em qualquer outro polígono da mesma área cortando-o em um número finito de peças poligonais e reorganizando-as . A questão análoga para poliedros foi o assunto do terceiro problema de Hilbert . Max Dehn resolveu esse problema mostrando que, ao contrário do caso 2-D, existem poliedros do mesmo volume que não podem ser cortados em poliedros menores e remontados uns nos outros. Para provar isso, Dehn descobriu outro valor associado a um poliedro, o invariante de Dehn , de modo que dois poliedros só podem ser dissecados um no outro quando têm o mesmo volume e o mesmo invariante de Dehn. Mais tarde foi provado por Sydler que este é o único obstáculo para a dissecção: cada dois poliedros euclidianos com os mesmos volumes e invariantes de Dehn podem ser cortados e remontados um no outro. O invariante de Dehn não é um número, mas um vetor em um espaço vetorial de dimensão infinita.

Outro dos problemas de Hilbert , o 18º problema de Hilbert , diz respeito (entre outras coisas) aos poliedros que o espaço de ladrilhos . Cada um desses poliedros deve ter zero invariante de Dehn. O invariante de Dehn também foi conectado a poliedros flexíveis pelo teorema do fole forte, que afirma que o invariante de Dehn de qualquer poliedro flexível permanece invariante à medida que se flexiona.

Poliedro convexo

Blocos de poliedro convexo em exibição no museu Universum na Cidade do México

Um sólido tridimensional é um conjunto convexo se contiver cada segmento de linha conectando dois de seus pontos. Um poliedro convexo é um poliedro que, como um sólido, forma um conjunto convexo. Um poliedro convexo também pode ser definido como uma interseção limitada de muitos meios-espaços finitos ou como o casco convexo de muitos pontos finitos.

Classes importantes de poliedros convexos incluem os sólidos platônicos altamente simétricos , os sólidos arquimedianos e seus duais, os sólidos catalães , e os sólidos Johnson de face regular .

Simetrias

Alguns poliedros girando em torno de um eixo simétrico (na Matemateca IME-USP )

Muitos dos poliedros mais estudados são altamente simétricos , ou seja, sua aparência não é alterada por algum reflexo ou rotação do espaço. Cada uma dessas simetrias pode alterar a localização de um determinado vértice, face ou aresta, mas o conjunto de todos os vértices (da mesma forma, faces, arestas) permanece inalterado. A coleção de simetrias de um poliedro é chamada de grupo de simetria .

Todos os elementos que podem ser sobrepostos uns aos outros por simetrias formam uma órbita de simetria . Por exemplo, todas as faces de um cubo estão em uma órbita, enquanto todas as arestas estão em outra. Se todos os elementos de uma determinada dimensão, digamos todas as faces, estão na mesma órbita, a figura é considerada transitiva nessa órbita. Por exemplo, um cubo é transitivo de face, enquanto um cubo truncado tem duas órbitas de simetria de faces.

A mesma estrutura abstrata pode suportar poliedros geométricos mais ou menos simétricos. Mas onde um nome poliédrico é dado, como icosidodecaedro , a geometria mais simétrica está quase sempre implícita, a menos que seja declarado o contrário.

Existem vários tipos de poliedros altamente simétricos, classificados por quais tipos de elemento - faces, arestas ou vértices - pertencem a uma única órbita de simetria:

  • Regular : transitivo de vértice, transitivo de borda e transitivo de face. (Isso implica que todas as faces são o mesmo polígono regular ; também implica que todos os vértices são regulares.)
  • Quase regular : transitivo de vértice e transitivo de aresta (e, portanto, tem faces regulares), mas não transitivo de face. Um dual quase regular é transitivo de face e transitivo de aresta (e, portanto, todo vértice é regular), mas não transitivo de vértice.
  • Semirregular : transitivo de vértice, mas não transitivo de aresta, e cada face é um polígono regular. (Esta é uma das várias definições do termo, dependendo do autor. Algumas definições se sobrepõem à classe quase regular.) Esses poliedros incluem os prismas semirregulares e os antiprismas . Um dual semirregular é transitivo de face, mas não transitivo de vértice, e todos os vértices são regulares.
  • Uniforme : vértice-transitivo e cada face é um polígono regular, ou seja, é regular, quase regular ou semirregular. Um dual uniforme é transitivo de face e tem vértices regulares, mas não é necessariamente transitivo de vértice.
  • Isogonal : transitivo de vértice.
  • Isotoxal : transitivo de borda.
  • Isoédrico : transitivo de face.
  • Nobre : transitivo de face e transitivo de vértice (mas não necessariamente transitivo de borda). Os poliedros regulares também são nobres; eles são os únicos poliedros nobres uniformes. Os duais de poliedros nobres são eles próprios nobres.

Algumas classes de poliedros têm apenas um único eixo principal de simetria. Estes incluem as pirâmides , bipyramids , trapezohedra , cúpulas , bem como os prismas semi-regulares e antiprisma.

Poliedros regulares

Os poliedros regulares são os mais simétricos. Ao todo, são nove poliedros regulares: cinco poliedros convexos e quatro estrelas.

Os cinco exemplos convexos são conhecidos desde a antiguidade e são chamados de sólidos platônicos . Estes são a pirâmide triangular ou tetraedro , cubo , octaedro , dodecaedro e icosaedro :

Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg

Existem também quatro poliedros estrelares regulares, conhecidos como poliedros Kepler-Poinsot, em homenagem a seus descobridores.

O dual de um poliedro regular também é regular.

Poliedros uniformes e seus duais

Os poliedros uniformes são transitivos ao vértice e cada face é um polígono regular . Eles podem ser subdivididos em regulares , quase regulares ou semirregulares , e podem ser convexos ou estrelados.

Os duais dos poliedros uniformes têm faces irregulares, mas são transitivos de face , e cada figura de vértice é um polígono regular. Um poliedro uniforme tem as mesmas órbitas de simetria que seu dual, com as faces e vértices simplesmente trocados. Os duais do poliedro arquimediano convexo são às vezes chamados de sólidos catalães .

Os poliedros uniformes e seus duais são tradicionalmente classificados de acordo com seu grau de simetria, sendo convexos ou não.

Uniforme convexo Dupla uniforme convexa Uniforme estrela Star uniforme dual
Regular Sólidos platônicos Poliedro Kepler-Poinsot
Quasiregular Sólidos arquimedianos Sólidos catalães Poliedro estrela uniforme
Semiregular
Prismas Bipiramidas Prismas estrela Bipiramidas estrelas
Antiprismas Trapezohedra Antiprismas estelares Trapezohedra estrela

Isohedra

Um isohedro é um poliedro com simetrias agindo transitivamente em suas faces. Sua topologia pode ser representada por uma configuração de face . Todos os 5 sólidos platônicos e 13 sólidos catalães são isohedra, assim como as famílias infinitas de trapezohedra e bipiramidas . Algumas isohedras permitem variações geométricas, incluindo formas côncavas e de auto-interseção.

Grupos de simetria

A simetria icosaédrica completa divide a esfera em 120 domínios triangulares.

Muitas das simetrias ou grupos de pontos em três dimensões têm o nome de poliedros com a simetria associada. Esses incluem:

Aqueles com simetria quiral não têm simetria de reflexão e, portanto, têm duas formas enantiomorfas que são reflexos uma da outra. Os exemplos incluem o cuboctaedro snub e o icosidodecaedron snub .

Outras famílias importantes de poliedros

Poliedros com faces regulares

Além dos poliedros regulares e uniformes, existem algumas outras classes que têm faces regulares, mas com simetria geral inferior.

Rostos regulares iguais

Poliedros convexos onde cada face é o mesmo tipo de polígono regular podem ser encontrados entre três famílias:

  • Triângulos: esses poliedros são chamados de deltaedros . Existem oito deltaedros convexos: três dos sólidos platônicos e cinco exemplos não uniformes.
  • Quadrados: O cubo é o único exemplo convexo. Outros exemplos (os policubos ) podem ser obtidos pela união de cubos, embora se deva tomar cuidado para evitar faces coplanares .
  • Pentágonos: O dodecaedro regular é o único exemplo convexo.

Os poliedros com faces regulares congruentes de seis ou mais lados são todos não convexos.

O número total de poliedros convexos com faces regulares iguais é, portanto, dez: os cinco sólidos platônicos e os cinco deltaedros não uniformes. Existem infinitos exemplos não convexos. Exemplos infinitos do tipo esponja, chamados poliedros de inclinação infinita, existem em algumas dessas famílias.

Sólidos johnson

Norman Johnson procurou quais poliedros convexos não uniformes tinham faces regulares, embora não necessariamente todos iguais. Em 1966, ele publicou uma lista de 92 desses sólidos, deu-lhes nomes e números e conjeturou que não havia outros. Victor Zalgaller provou em 1969 que a lista desses sólidos Johnson estava completa.

Pirâmides

As pirâmides incluem alguns dos poliedros mais famosos e consagrados pelo tempo, como as pirâmides egípcias de quatro lados .

Estelações e facetações

Estelação de um poliedro é o processo de estender as faces (dentro de seus planos) para que se encontrem para formar um novo poliedro.

É o recíproco exato do processo de facetação, que é o processo de remover partes de um poliedro sem criar novos vértices.

As figuras abaixo mostram algumas estelações do octaedro regular, dodecaedro e icosaedro.

Primeira estrelação de octahedron.png Primeira estrelação de dodecahedron.png Segunda estrelação de dodecahedron.png Terceira estrelação de dodecahedron.png Décima sexta estrelação de icosahedron.png Primeira estrelação de icosahedron.png Décima sétima estelação de icosahedron.png

Zonohedra

Um zonoedro é um poliedro convexo em que cada face é um polígono simétrico sob rotações de 180 °. Zonohedra também pode ser caracterizado como a soma de segmentos de linha de Minkowski e inclui vários poliedros importantes que preenchem o espaço.

Poliedros que preenchem o espaço

Um poliedro que preenche o espaço é embalado com cópias de si mesmo para preencher o espaço. Esse tipo de compactação ou preenchimento de espaço é freqüentemente chamado de tesselação de espaço ou favo de mel. Os poliedros que preenchem o espaço devem ter um invariante de Dehn igual a zero. Alguns favos de mel envolvem mais de um tipo de poliedro.

Poliedros reticulados

Um poliedro convexo no qual todos os vértices têm coordenadas inteiras é chamado de poliedro de rede ou poliedro integral . O polinômio de Ehrhart de um poliedro de rede conta quantos pontos com coordenadas inteiras estão dentro de uma cópia em escala do poliedro, como uma função do fator de escala. O estudo desses polinômios está na interseção da álgebra combinatória e da álgebra comutativa .

Poliedros flexíveis

É possível que alguns poliedros mudem sua forma geral, mantendo as mesmas formas de suas faces, variando os ângulos de suas bordas. Um poliedro que pode fazer isso é chamado de poliedro flexível. Pelo teorema da rigidez de Cauchy , os poliedros flexíveis devem ser não convexos. O volume de um poliedro flexível deve permanecer constante durante a flexão; este resultado é conhecido como teorema do fole.

Compostos

Um composto poliédrico é feito de dois ou mais poliedros compartilhando um centro comum. Compostos simétricos freqüentemente compartilham os mesmos vértices que outros poliedros bem conhecidos e podem freqüentemente ser formados por estrelamento. Alguns estão listados na lista de modelos de poliedro de Wenninger .

Poliedro ortogonal

Um poliedro ortogonal é aquele cujas faces se encontram em ângulos retos e todas as arestas são paralelas aos eixos de um sistema de coordenadas cartesiano. ( O icosaedro de Jessen fornece um exemplo de poliedro que encontra uma, mas não ambas, dessas duas condições.) Além das caixas retangulares , os poliedros ortogonais não são convexos. Eles são os análogos 3D de polígonos ortogonais 2D, também conhecidos como polígonos retilíneos . Poliedros ortogonais são usados ​​em geometria computacional , onde sua estrutura restrita permitiu avanços em problemas não resolvidos para poliedros arbitrários, por exemplo, desdobrar a superfície de um poliedro em uma rede poligonal .

Generalizações de poliedros

O nome 'poliedro' passou a ser usado para uma variedade de objetos com propriedades estruturais semelhantes aos poliedros tradicionais.

Apeirohedra

Uma superfície poliédrica clássica tem um número finito de faces, unidas aos pares ao longo das arestas. Os apeirohedra formam uma classe relacionada de objetos com infinitas faces. Exemplos de apeirohedra incluem:

Poliedros complexos

Existem objetos chamados poliedros complexos, para os quais o espaço subjacente é um espaço de Hilbert complexo , em vez de um espaço euclidiano real. Definições precisas existem apenas para os poliedros complexos regulares, cujos grupos de simetria são grupos de reflexão complexos . Os poliedros complexos estão matematicamente mais relacionados às configurações do que aos poliedros reais.

Poliedros curvos

Alguns campos de estudo permitem que os poliedros tenham faces e arestas curvas. Faces curvas podem permitir que faces digonais existam com uma área positiva.

Poliedros esféricos

Quando a superfície de uma esfera é dividida por finitamente muitos grandes arcos (equivalentemente, por planos que passam pelo centro da esfera), o resultado é chamado de poliedro esférico. Muitos politopos convexos com algum grau de simetria (por exemplo, todos os sólidos platônicos) podem ser projetados na superfície de uma esfera concêntrica para produzir um poliedro esférico. No entanto, o processo inverso nem sempre é possível; alguns poliedros esféricos (como o hosohedra ) não possuem um análogo de face plana.

Poliedro curvo que preenche o espaço

Se as faces podem ser côncavas, bem como convexas, as faces adjacentes podem ser feitas para se encontrarem sem lacunas. Alguns desses poliedros curvos podem ser compactados para preencher o espaço. Dois tipos importantes são:

Poliedro ideal

Os poliedros convexos podem ser definidos no espaço hiperbólico tridimensional da mesma forma que no espaço euclidiano, como os cascos convexos de conjuntos finitos de pontos. No entanto, no espaço hiperbólico, também é possível considerar os pontos ideais , bem como os pontos que estão dentro do espaço. Um poliedro ideal é a casca convexa de um conjunto finito de pontos ideais. Suas faces são polígonos ideais, mas suas bordas são definidas por linhas hiperbólicas inteiras em vez de segmentos de linha, e seus vértices (os pontos ideais dos quais é o casco convexo) não ficam dentro do espaço hiperbólico.

Esqueletos e poliedros como gráficos

Ao esquecer a estrutura da face, qualquer poliedro dá origem a um gráfico , chamado de esqueleto , com vértices e arestas correspondentes. Essas figuras têm uma longa história: Leonardo da Vinci criou modelos de estruturas dos sólidos regulares, que desenhou para o livro Divina Proportione de Pacioli , e poliedros de estrutura de arame semelhantes aparecem na impressão Stars de MC Escher . Um destaque desta abordagem é o teorema de Steinitz , que dá uma caracterização puramente teórica dos gráficos dos esqueletos de poliedros convexos: ele afirma que o esqueleto de cada poliedro convexo é um grafo planar de 3 conexões , e cada grafo planar de 3 conexões é o esqueleto de algum poliedro convexo.

Uma ideia inicial de poliedros abstratos foi desenvolvida no estudo de Branko Grünbaum sobre "poliedros de face oca". Grünbaum definiu as faces como conjuntos de vértices ordenados ciclicamente e permitiu que fossem enviesados , bem como planos.

A perspectiva do gráfico permite aplicar a terminologia e as propriedades do gráfico aos poliedros. Por exemplo, o tetraedro e o poliedro Császár são os únicos poliedros conhecidos cujos esqueletos são gráficos completos (K 4 ), e várias restrições de simetria aos poliedros dão origem a esqueletos que são gráficos simétricos .

Usos alternativos

A partir da segunda metade do século XX, vários construtos matemáticos foram encontrados com propriedades também presentes em poliedros tradicionais. Em vez de limitar o termo "poliedro" para descrever um politopo tridimensional, ele foi adotado para descrever vários tipos de estrutura relacionados, mas distintos.

Poliedros de dimensão superior

Um poliedro foi definido como um conjunto de pontos no espaço real afim (ou euclidiano ) de qualquer dimensão n que tenha lados planos. Em alternativa, pode ser definido como a intersecção de um número finito de meios-espaços . Ao contrário de um poliedro convencional, pode ser limitado ou ilimitado. Nesse sentido, um politopo é um poliedro limitado.

Analiticamente, esse poliedro convexo é expresso como o conjunto de soluções para um sistema de desigualdades lineares. Definir poliedros dessa forma fornece uma perspectiva geométrica para problemas de programação linear . Muitas formas poliédricas tradicionais são poliedros neste sentido. Outros exemplos incluem:

  • Um quadrante no plano. Por exemplo, a região do plano cartesiano que consiste em todos os pontos acima do eixo horizontal e à direita do eixo vertical: {( x , y ): x ≥ 0, y ≥ 0} . Seus lados são os dois eixos positivos e, de outra forma, ele é ilimitado.
  • Um octante no espaço 3 euclidiano, {( x , y , z ): x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} .
  • Um prisma de extensão infinita. Por exemplo, um prisma quadrado duplamente infinito no espaço 3, consistindo em um quadrado no plano xy varrido ao longo do eixo z : {( x , y , z ): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
  • Cada célula em um mosaico de Voronoi é um poliedro convexo. No mosaico de Voronoi de um conjunto S , a célula A correspondente a um ponto cS é limitada (portanto, um poliedro tradicional) quando c está no interior do casco convexo de S , e caso contrário (quando c está no limite de o casco convexo de S ) A é ilimitado.

Poliedros topológicos

Um politopo topológico é um espaço topológico dado junto com uma decomposição específica em formas que são topologicamente equivalentes a politopos convexos e que estão ligados uns aos outros de maneira regular.

Tal figura é chamada de simplicial se cada uma de suas regiões for um simplex , ou seja, em um espaço n- dimensional, cada região possui n + 1 vértices. O dual de um politopo simplicial é denominado simples . Da mesma forma, uma classe amplamente estudada de politopos (poliedros) é a dos poliedros cúbicos, quando o bloco de construção básico é um cubo n- dimensional.

Poliedros abstratos

Um politopo abstrato é um conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos cuja ordenação parcial obedece a certas regras de incidência (conectividade) e classificação. Os elementos do conjunto correspondem aos vértices, arestas, faces e assim por diante do politopo: os vértices têm classificação 0, classificação das arestas 1, etc. com a classificação parcialmente ordenada correspondendo à dimensionalidade dos elementos geométricos. O conjunto vazio, exigido pela teoria dos conjuntos, tem uma classificação de -1 e às vezes é dito que corresponde ao politopo nulo. Um poliedro abstrato é um politopo abstrato com a seguinte classificação:

  • grau 3: O elemento máximo, às vezes identificado com o corpo.
  • fila 2: As faces poligonais.
  • classificação 1: as arestas.
  • rank 0: os vértices.
  • classificação −1: O conjunto vazio, às vezes identificado com o politopo nulo ou nulitopo .

Qualquer poliedro geométrico é então considerado uma "realização" no espaço real do poset abstrato como descrito acima.

História

Ancestral

Pré-história

Os poliedros apareceram nas primeiras formas arquitetônicas , como cubos e cuboides, com as primeiras pirâmides de quatro lados do Egito antigo também datando da Idade da Pedra.

Os etruscos precederam os gregos em sua consciência de pelo menos alguns dos poliedros regulares, como evidenciado pela descoberta de um dodecaedro etrusco feito de pedra - sabão no Monte Loffa . Suas faces eram marcadas com designs diferentes, sugerindo a alguns estudiosos que ela pode ter sido usada como dado de jogo.

Civilização grega

Os primeiros registros escritos conhecidos dessas formas vêm de autores do grego clássico , que também deram a primeira descrição matemática conhecida deles. Os primeiros gregos estavam interessados ​​principalmente nos poliedros regulares convexos , que vieram a ser conhecidos como sólidos platônicos . Pitágoras conhecia pelo menos três deles, e Teeteto (cerca de 417 a.C.) descreveu todos os cinco. Por fim, Euclides descreveu sua construção em seus Elementos . Mais tarde, Arquimedes expandiu seu estudo para os poliedros uniformes convexos que agora levam seu nome. Sua obra original se perdeu e seus sólidos chegaram até nós por meio de Pappus .

China

Os dados de jogo cúbicos na China datam de 600 a.C.

Por volta de 236 DC, Liu Hui estava descrevendo a dissecação do cubo em seu tetraedro característico (orthoscheme) e sólidos relacionados, usando montagens desses sólidos como base para calcular os volumes de terra a serem movidos durante as escavações de engenharia.

Civilização islâmica

Após o fim da era clássica, os estudiosos da civilização islâmica continuaram a levar o conhecimento grego adiante (ver Matemática no Islã medieval ).

O estudioso do século 9, Thabit ibn Qurra, deu fórmulas para calcular os volumes de poliedros, como pirâmides truncadas.

Então, no século 10, Abu'l Wafa descreveu os poliedros esféricos convexos regulares e quase-regulares.

Renascimento

Como em outras áreas do pensamento grego mantidas e aprimoradas por estudiosos islâmicos, o interesse ocidental pelos poliedros reviveu durante o Renascimento italiano . Os artistas construíram poliedros esqueléticos, retratando-os da vida como parte de suas investigações em perspectiva . Vários aparecem em painéis de marchetaria da época. Piero della Francesca deu a primeira descrição escrita da construção geométrica direta de tais vistas em perspectiva de poliedros. Leonardo da Vinci fez modelos de esqueletos de vários poliedros e desenhou ilustrações deles para um livro de Pacioli. Uma pintura de um artista anônimo de Pacioli e um aluno retrata um rômbico - suboctaedro de vidro cheio até a metade com água.

À medida que o Renascimento se espalhou para além da Itália, artistas posteriores como Wenzel Jamnitzer , Dürer e outros também retrataram poliedros de vários tipos, muitos deles novos, em gravuras imaginativas.

Poliedros estrela

Por quase 2.000 anos, o conceito de um poliedro como um sólido convexo permaneceu desenvolvido pelos antigos matemáticos gregos.

Durante a Renascença , foram descobertas formas de estrelas. Uma tarsia de mármore no chão da Basílica de São Marcos , Veneza, representa um dodecaedro estrelado. Artistas como Wenzel Jamnitzer adoravam retratar novas formas semelhantes a estrelas de complexidade crescente.

Johannes Kepler (1571–1630) usou polígonos estelares , normalmente pentagramas , para construir poliedros estelares. Algumas dessas figuras podem ter sido descobertas antes da época de Kepler, mas ele foi o primeiro a reconhecer que elas poderiam ser consideradas "regulares" se removêssemos a restrição de que os poliedros regulares devem ser convexos. Mais tarde, Louis Poinsot percebeu que as figuras do vértice estelar (circuitos ao redor de cada canto) também podem ser usadas e descobriu os dois poliedros estelares regulares restantes. Cauchy provou a lista de Poinsot completa, e Cayley deu-lhes seus nomes ingleses aceitos: (Kepler) o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro estrelado , e (Poinsot) o grande icosaedro e grande dodecaedro . Coletivamente, eles são chamados de poliedros Kepler-Poinsot .

O poliedro Kepler-Poinsot pode ser construído a partir dos sólidos platônicos por um processo denominado estrelamento . A maioria das estelações não são regulares. O estudo das estrelações dos sólidos platônicos recebeu um grande impulso por HSM Coxeter e outros em 1938, com o agora famoso jornal The 59 icosahedra .

O processo recíproco para a estrelação é denominado lapidação (ou lapidação). Cada estrato de um politopo é dual , ou recíproco, para alguma facetação do politopo dual. Os poliedros estrela regulares também podem ser obtidos facetando os sólidos platônicos. Bridge (1974) listou as facetações mais simples do dodecaedro e as retribuiu para descobrir uma estrelação do icosaedro que estava faltando no conjunto de "59". Mais foram descobertos desde então, e a história ainda não terminou.

Fórmula e topologia de Euler

Dois outros desenvolvimentos matemáticos modernos tiveram um efeito profundo na teoria dos poliedros.

Em 1750, Leonhard Euler considerou pela primeira vez as arestas de um poliedro, permitindo-lhe descobrir a sua fórmula de poliedro relacionando o número de vértices, arestas e faces. Isso sinalizou o nascimento da topologia , às vezes chamada de "geometria de folha de borracha", e Henri Poincaré desenvolveu suas idéias centrais por volta do final do século XIX. Isso permitiu que muitos problemas antigos sobre o que era ou não um poliedro fossem resolvidos.

Max Brückner resumiu o trabalho sobre poliedros até o momento, incluindo muitas descobertas de sua autoria, em seu livro "Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte" (Polígonos e poliedros: Teoria e História). Publicado em alemão em 1900, permaneceu pouco conhecido.

Enquanto isso, a descoberta de dimensões superiores levou à ideia de um poliedro como um exemplo tridimensional do politopo mais geral.

Avivamento do século vinte

Nos primeiros anos do século XX, os matemáticos mudaram e a geometria era pouco estudada. A análise de Coxeter em The Fifty-Nine Icosahedra introduziu ideias modernas da teoria dos grafos e combinatória no estudo de poliedros, sinalizando um renascimento do interesse pela geometria.

O próprio Coxeter enumerou os poliedros uniformes estelares pela primeira vez, tratou as telhas do plano como poliedros, descobriu os poliedros oblíquos regulares e desenvolveu a teoria dos poliedros complexos descobertos por Shephard em 1952, além de tornar fundamentais contribuições para muitas outras áreas da geometria.

Na segunda parte do século XX, Grünbaum publicou importantes obras em duas áreas. Um estava em politopos convexos , onde notou uma tendência entre os matemáticos de definir um "poliedro" de maneiras diferentes e às vezes incompatíveis para atender às necessidades do momento. O outro foi uma série de artigos ampliando a definição aceita de um poliedro, por exemplo, descobrindo muitos novos poliedros regulares . No final do século 20, essas últimas ideias se fundiram com outros trabalhos sobre complexos de incidência para criar a ideia moderna de um poliedro abstrato (como um 3-politopo abstrato), notavelmente apresentado por McMullen e Schulte.

Na natureza

Para ocorrências naturais de poliedros regulares, consulte Poliedros regulares § Poliedros regulares na natureza .

Poliedros irregulares aparecem na natureza como cristais .

Veja também

Referências

Notas

Fontes

links externos

Teoria geral

Listas e bancos de dados de poliedros

Software grátis

  • A Plethora of Polyhedra - Uma coleção interativa e gratuita de poliedros em Java. Os recursos incluem redes, seções planas, duplas, truncamentos e estrelações de mais de 300 poliedros.
  • Hyperspace Star Polytope Slicer - miniaplicativo java do Explorer, inclui uma variedade de opções de visualizador 3D.
  • openSCAD - Software multiplataforma grátis para programadores. Poliedros são apenas uma das coisas que você pode modelar. O manual do usuário openSCAD também está disponível.
  • OpenVolumeMesh - Uma biblioteca C ++ de plataforma cruzada de código aberto para lidar com malhas poliédricas. Desenvolvido pelo Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachen University.
  • Polyhedronisme - ferramenta baseada na Web para gerar modelos de poliedros usando a Notação de Poliedro de Conway . Os modelos podem ser exportados como imagens 2D PNG ou como arquivos 3D OBJ ou VRML2. Os arquivos 3D podem ser abertos em software CAD ou carregados para impressão 3D em serviços como Shapeways .

Recursos para fazer modelos físicos

Família A n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polígono regular Triângulo Quadrado p-gon Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme Tetraedro OctaedroCubo Demicube DodecaedroIcosaedro
Polychoron uniforme Pentachoron 16 célulasTesseract Demitesseract 24 células 120 células600 células
Uniform 5-polytope 5-simplex 5-ortoplexo5-cubo 5-demicube
Uniforme 6-politopo 6-simplex 6-orthoplex6-cubo 6-demicube 1 222 21
7-politopo uniforme 7-simplex 7-orthoplex7-cubo 7-demicube 1 322 313 21
8 politopo uniforme 8-simplex 8-orthoplex8-cubo 8-demicube 1 422 414 21
Uniform 9-polytope 9-simplex 9-ortoplexo9-cubo 9-demicube
Uniforme 10-politopo 10-simplex 10-orthoplex10-cubo 10-demicube
Uniforme n - politopo n - simplex n - ortoplexn - cubo n - demicube 1 k22 k1k 21 n - politopo pentagonal
Tópicos: famílias Polytopepolytope regularLista de politopos regulares e compostos