Posição (geometria) - Position (geometry)

O vetor de raio representa a posição de um ponto em relação à origem O. No sistema de coordenadas cartesianas .

Na geometria , uma posição ou posição de vector , também conhecido como vector de localização ou vector de raio , é um vetor que representa a posição de um ponto P no espaço em relação a uma referência arbitrária origem ó . Normalmente denotados x , r , ou s , que corresponde ao segmento de linha recta a partir de O a P . Em outras palavras, é o deslocamento ou translação que mapeia a origem para P :

O termo "vetor de posição" é usado principalmente nas áreas de geometria diferencial , mecânica e, ocasionalmente, cálculo vetorial .

Freqüentemente, isso é usado no espaço bidimensional ou tridimensional , mas pode ser facilmente generalizado para espaços euclidianos e espaços afins de qualquer dimensão .

Definição

Três dimensões

Curva de espaço em 3D. O vetor posição r é parametrizado por um escalar t . Em r = a, a linha vermelha é a tangente à curva e o plano azul é normal à curva.

Em três dimensões , qualquer conjunto de coordenadas tridimensionais e seus vetores de base correspondentes podem ser usados ​​para definir a localização de um ponto no espaço - o que for mais simples para a tarefa em questão pode ser usado.

Normalmente, usa-se o conhecido sistema de coordenadas cartesianas , ou às vezes coordenadas polares esféricas , ou coordenadas cilíndricas :

onde t é um parâmetro , devido à sua simetria retangular ou circular. Essas diferentes coordenadas e vetores de base correspondentes representam o mesmo vetor de posição. Coordenadas curvilíneas mais gerais poderiam ser usadas em vez disso e estão em contextos como a mecânica do contínuo e a relatividade geral (no último caso, é necessária uma coordenada de tempo adicional).

n dimensões

A álgebra linear permite a abstração de um vetor de posição n- dimensional. Um vetor de posição pode ser expresso como uma combinação linear de vetores de base :

O conjunto de todos os vetores de posição forma o espaço de posição (um espaço vetorial cujos elementos são os vetores de posição), uma vez que as posições podem ser adicionadas ( adição de vetores ) e escaladas em comprimento ( multiplicação escalar ) para obter outro vetor de posição no espaço. A noção de "espaço" é intuitiva, uma vez que cada x i ( i = 1, 2, ..., n ) pode ter qualquer valor, a coleção de valores define um ponto no espaço.

A dimensão do espaço de posição é n (também denotado dim ( R ) = n ). As coordenadas do vetor r em relação aos vetores de base e i são x i . O vetor de coordenadas forma o vetor de coordenadas ou n - tupla ( x 1 , x 2 ,…, x n ).

Cada coordenada x i pode ser parametrizada por uma série de parâmetros t . Um parâmetro x i ( t ) descreveria um caminho curvo 1D, dois parâmetros x i ( t 1 , t 2 ) descreve uma superfície 2D curva, três x i ( t 1 , t 2 , t 3 ) descreve um volume 3D curvo de espaço e assim por diante.

A extensão linear de um conjunto de base B = { e 1 , e 2 , ..., e n } é igual a posição espacial R , período designado por ( B ) = R .

Formulários

Geometria diferencial

Os campos do vetor de posição são usados ​​para descrever curvas espaciais contínuas e diferenciáveis, caso em que o parâmetro independente não precisa ser o tempo, mas pode ser (por exemplo) o comprimento do arco da curva.

Mecânica

Em qualquer equação de movimento , o vetor posição r ( t ) é geralmente a quantidade mais procurada porque esta função define o movimento de uma partícula (isto é, uma massa pontual ) - sua localização em relação a um determinado sistema de coordenadas em algum tempo t .

Para definir o movimento em termos de posição, cada coordenada pode ser parametrizada por tempo; uma vez que cada valor sucessivo de tempo corresponde a uma sequência de localizações espaciais sucessivas fornecidas pelas coordenadas, o limite do contínuo de muitas localizações sucessivas é um caminho que a partícula traça.

No caso de uma dimensão, a posição tem apenas um componente, então ela efetivamente degenera para uma coordenada escalar. Pode ser, digamos, um vetor na direção x ou na direção radial r . Notações equivalentes incluem

Derivados de posição

Quantidades cinemáticas de uma partícula clássica: massa  m , posição  r , velocidade  v , aceleração  a

Para um vetor de posição r que é uma função de tempo t , as derivadas de tempo podem ser calculadas em relação a t . Esses derivados têm utilidade comum no estudo da cinemática , teoria de controle , engenharia e outras ciências.

Velocidade

onde d r é um deslocamento infinitesimalmente pequeno (vetor) .

Aceleração
Idiota

Esses nomes para a primeira, segunda e terceira derivadas de posição são comumente usados ​​em cinemática básica. Por extensão, as derivadas de ordem superior podem ser calculadas de maneira semelhante. O estudo dessas derivadas de ordem superior pode melhorar as aproximações da função de deslocamento original. Esses termos de ordem superior são necessários para representar com precisão a função de deslocamento como a soma de uma sequência infinita , permitindo várias técnicas analíticas em engenharia e física.

Veja também

Notas

  1. ^ O termo deslocamento é usado principalmente em mecânica, enquanto translação é usado em geometria.
  2. ^ Keller, F. J, Gettys, NÓS e outros. (1993), p 28-29
  3. ^ Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para física e engenharia . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  4. ^ Lipschutz, S .; Lipson, M. (2009). Álgebra Linear . McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
  5. ^ Stewart, James (2001). "§2.8. A derivada como uma função". Cálculo (2ª ed.). Brooks / Cole. ISBN 0-534-37718-1.

Referências

  • Keller, F. J, Gettys, WE et al. (1993). "Física: Clássica e moderna" 2ª ed. Publicação McGraw Hill.

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