Teoria potencial - Potential theory

Em matemática e física matemática , a teoria do potencial é o estudo das funções harmônicas .

O termo "teoria do potencial" foi cunhado na física do século 19 quando se percebeu que duas forças fundamentais da natureza conhecidas na época, a gravidade e a força eletrostática, podiam ser modeladas usando funções chamadas de potencial gravitacional e potencial eletrostático , ambos de que satisfazem a equação de Poisson - ou, no vácuo, a equação de Laplace .

Há uma sobreposição considerável entre a teoria do potencial e a teoria da equação de Poisson, a ponto de ser impossível fazer uma distinção entre esses dois campos. A diferença é mais de ênfase do que de assunto e repousa na seguinte distinção: a teoria do potencial enfoca as propriedades das funções em oposição às propriedades da equação. Por exemplo, um resultado sobre as singularidades de funções harmônicas seria considerado pertencente à teoria potencial, enquanto um resultado sobre como a solução depende dos dados de contorno seria considerado pertencente à teoria da equação de Laplace. Esta não é uma distinção difícil e rápida e, na prática, há uma sobreposição considerável entre os dois campos, com métodos e resultados de um sendo usados ​​no outro.

A teoria moderna do potencial também está intimamente ligada à probabilidade e à teoria das cadeias de Markov . No caso contínuo, isso está intimamente relacionado à teoria analítica. No caso do espaço de estados finitos, essa conexão pode ser introduzida pela introdução de uma rede elétrica no espaço de estados, com resistência entre pontos inversamente proporcional às probabilidades de transição e densidades proporcionais aos potenciais. Mesmo no caso finito, o análogo IK do Laplaciano na teoria do potencial tem seu próprio princípio de máximo, princípio de unicidade, princípio de equilíbrio e outros.

Simetria

Um ponto de partida útil e um princípio de organização no estudo das funções harmônicas é uma consideração das simetrias da equação de Laplace. Embora não seja uma simetria no sentido usual do termo, podemos começar com a observação de que a equação de Laplace é linear . Isso significa que o objeto fundamental de estudo na teoria do potencial é um espaço linear de funções. Esta observação será especialmente importante quando considerarmos abordagens de espaço de funções para o assunto em uma seção posterior.

Quanto à simetria no sentido usual do termo, podemos começar com o teorema de que as simetrias da equação de Laplace -dimensional são exatamente as simetrias conformes do espaço euclidiano -dimensional . Esse fato tem várias implicações. Em primeiro lugar, podem-se considerar funções harmônicas que se transformam sob representações irredutíveis do grupo conforme ou de seus subgrupos (como o grupo de rotações ou translações). Procedendo desta forma, obtém-se sistematicamente as soluções da equação de Laplace que surgem da separação de variáveis ​​como soluções harmônicas esféricas e séries de Fourier . Ao tomar sobreposições lineares dessas soluções, pode-se produzir grandes classes de funções harmônicas que podem ser mostradas como densas no espaço de todas as funções harmônicas sob topologias adequadas.

Em segundo lugar, pode-se usar a simetria conforme para entender truques e técnicas clássicas para gerar funções harmônicas como a transformada de Kelvin e o método de imagens .

Terceiro, pode-se usar transformadas conformadas para mapear funções harmônicas em um domínio para funções harmônicas em outro domínio. O exemplo mais comum de tal construção é relacionar funções harmônicas em um disco a funções harmônicas em um meio plano.

Quarto, pode-se usar a simetria conforme para estender funções harmônicas para funções harmônicas em variedades Riemannianas conformalmente planas . Talvez a extensão mais simples seja considerar uma função harmônica definida no todo de R n (com a possível exceção de um conjunto discreto de pontos singulares) como uma função harmônica na esfera -dimensional . Situações mais complicadas também podem acontecer. Por exemplo, pode-se obter um análogo de dimensão superior da teoria de superfície de Riemann expressando uma função harmônica de múltiplos valores como uma função de valor único em uma cobertura ramificada de R n ou pode-se considerar funções harmônicas que são invariantes sob um subgrupo discreto de o grupo conforme funciona em uma variedade ou orbifold multiplamente conectada .

Duas dimensões

Do fato de que o grupo de transformadas conformes é infinito-dimensional em duas dimensões e finito-dimensional para mais de duas dimensões, pode-se supor que a teoria do potencial em duas dimensões é diferente da teoria do potencial em outras dimensões. Isso está correto e, de fato, quando se percebe que qualquer função harmônica bidimensional é a parte real de uma função analítica complexa , vê-se que o assunto da teoria do potencial bidimensional é substancialmente o mesmo que o da análise complexa. Por esta razão, quando se fala de teoria do potencial, focamos a atenção em teoremas que se sustentam em três ou mais dimensões. Neste contexto, um fato surpreendente é que muitos resultados e conceitos originalmente descoberto em análise complexa (como o teorema de Schwarz , teorema de Morera , o teorema de Weierstrass-Casorati , série Laurent , ea classificação de singularidades como removível , pólos e singularidades essenciais ) generalize para resultados em funções harmônicas em qualquer dimensão. Ao considerar quais teoremas de análise complexa são casos especiais de teoremas de teoria potencial em qualquer dimensão, pode-se obter uma idéia do que há de especial na análise complexa em duas dimensões e o que é simplesmente a instância bidimensional de resultados mais gerais.

Comportamento local

Um tópico importante na teoria do potencial é o estudo do comportamento local das funções harmônicas. Talvez o teorema mais fundamental sobre o comportamento local seja o teorema da regularidade para a equação de Laplace, que afirma que as funções harmônicas são analíticas. Existem resultados que descrevem a estrutura local de conjuntos de níveis de funções harmônicas. Existe o teorema de Bôcher , que caracteriza o comportamento de singularidades isoladas de funções harmônicas positivas. Conforme aludido na última seção, pode-se classificar as singularidades isoladas de funções harmônicas como singularidades removíveis, pólos e singularidades essenciais.

Desigualdades

Uma abordagem frutífera para o estudo das funções harmônicas é a consideração das desigualdades que elas satisfazem. Talvez a mais básica dessas desigualdades, da qual a maioria das outras desigualdades podem ser derivadas, seja o princípio do máximo . Outro resultado importante é o teorema de Liouville , que afirma que as únicas funções harmônicas limitadas definidas no todo de R n são, de fato, funções constantes. Além dessas desigualdades básicas, temos a desigualdade de Harnack , que afirma que as funções harmônicas positivas em domínios limitados são aproximadamente constantes.

Um uso importante dessas desigualdades é provar a convergência de famílias de funções harmônicas ou funções sub-harmônicas, consulte o teorema de Harnack . Esses teoremas de convergência são usados ​​para provar a existência de funções harmônicas com propriedades particulares.

Espaços de funções harmônicas

Como a equação de Laplace é linear, o conjunto de funções harmônicas definidas em um determinado domínio é, na verdade, um espaço vetorial . Ao definir normas adequadas e / ou produtos internos , pode-se exibir conjuntos de funções harmônicas que formam os espaços de Hilbert ou Banach . Desta forma, obtém-se espaços como o espaço Hardy , espaço Bloch , espaço Bergman e espaço Sobolev .

Veja também

Referências