Poder da lei - Power law

Um exemplo de gráfico de lei de potência que demonstra a classificação de popularidade. À direita está a cauda longa e à esquerda estão os poucos que dominam (também conhecida como regra dos 80-20 ).

Em estatística , uma lei de potência é uma relação funcional entre duas grandezas, onde uma mudança relativa em uma grandeza resulta em uma mudança relativa proporcional na outra grandeza, independente do tamanho inicial dessas grandezas: uma grandeza varia como uma potência de outra. Por exemplo, considerando a área de um quadrado em termos do comprimento de seu lado, se o comprimento for dobrado, a área é multiplicada por um fator de quatro.

Exemplos empíricos

As distribuições de uma ampla variedade de fenômenos físicos, biológicos e feitos pelo homem seguem aproximadamente uma lei de potência sobre uma ampla gama de magnitudes: estes incluem os tamanhos das crateras na lua e das erupções solares , o padrão de forrageamento de várias espécies, o tamanhos dos padrões de atividade das populações neuronais, as frequências das palavras na maioria das línguas, as frequências dos nomes de família , a riqueza de espécies em clados de organismos, os tamanhos das falhas de energia , acusações criminais por condenado, erupções vulcânicas, julgamentos humanos de intensidade de estímulo e muitos outras quantidades. Poucas distribuições empíricas se enquadram em uma lei de potência para todos os seus valores, mas seguem uma lei de potência na cauda. A atenuação acústica segue as leis de potência de frequência dentro de amplas bandas de frequência para muitos meios complexos. As leis de escala alométrica para relações entre variáveis ​​biológicas estão entre as funções de lei de potência mais conhecidas na natureza.

Propriedades

Invariância de escala

Um atributo das leis de potência é sua invariância de escala . Dada uma relação , escalonar o argumento por um fator constante causa apenas um escalonamento proporcional da própria função. Isso é,

onde denota proporcionalidade direta . Ou seja, escalar por uma constante simplesmente multiplica a relação original da lei de potência pela constante . Assim, segue-se que todas as leis de potência com um expoente de escala particular são equivalentes até fatores constantes, uma vez que cada uma é simplesmente uma versão em escala das outras. Este comportamento é o que produz a relação linear quando logaritmos são tomados de ambos e , e a linha reta no gráfico log-log é freqüentemente chamada de assinatura de uma lei de potência. Com dados reais, tal retidão é uma condição necessária, mas não suficiente, para os dados que seguem uma relação de potência-lei. Na verdade, existem muitas maneiras de gerar quantidades finitas de dados que imitam esse comportamento de assinatura, mas, em seu limite assintótico, não são verdadeiras leis de potência (por exemplo, se o processo de geração de alguns dados segue uma distribuição Log-normal ). Assim, ajustar com precisão e validar modelos de lei de potência é uma área ativa de pesquisa em estatística; Veja abaixo.

Falta de valor médio bem definido

Uma lei de potência tem uma média bem definida sobre apenas se , e tem uma variância finita apenas se ; a maioria das leis de potência identificadas na natureza têm expoentes tais que a média é bem definida, mas a variância não, o que implica que eles são capazes de comportamento de cisne negro . Isso pode ser visto no seguinte experimento mental: imagine um quarto com seus amigos e estime a renda média mensal do quarto. Agora imagine a pessoa mais rica do mundo entrando na sala, com uma renda mensal de cerca de 1 bilhão de US $. O que acontece com a renda média no quarto? A renda é distribuída de acordo com uma lei de potência conhecida como distribuição de Pareto (por exemplo, o patrimônio líquido dos americanos é distribuído de acordo com uma lei de potência com expoente 2).

Por um lado, isso torna incorreto aplicar estatísticas tradicionais baseadas na variância e no desvio padrão (como a análise de regressão ). Por outro lado, isso também permite intervenções econômicas. Por exemplo, dado que o escapamento do carro é distribuído de acordo com uma lei de potência entre os carros (poucos carros contribuem para a maior parte da contaminação), seria suficiente eliminar esses pouquíssimos carros da estrada para reduzir substancialmente o escapamento total.

A mediana existe, entretanto: para uma lei de potência x - k , com expoente , ela assume o valor 2 1 / ( k - 1) x min , onde x min é o valor mínimo para o qual a lei de potência é válida.

Universalidade

A equivalência de leis de potência com um determinado expoente de escala pode ter uma origem mais profunda nos processos dinâmicos que geram a relação lei de potência. Na física, por exemplo, as transições de fase em sistemas termodinâmicos estão associadas ao surgimento de distribuições de leis de potência de certas quantidades, cujos expoentes são chamados de expoentes críticos do sistema. Diversos sistemas com os mesmos expoentes críticos - isto é, que exibem comportamento de escala idêntico à medida que se aproximam da criticidade - podem ser mostrados, por meio da teoria do grupo de renormalização , para compartilhar a mesma dinâmica fundamental. Por exemplo, o comportamento da água e do CO 2 em seus pontos de ebulição cai na mesma classe de universalidade porque eles têm expoentes críticos idênticos. Na verdade, quase todas as transições de fase materiais são descritas por um pequeno conjunto de classes de universalidade. Observações semelhantes foram feitas, embora não tão abrangentes, para vários sistemas críticos auto-organizados , onde o ponto crítico do sistema é um atrator . Formalmente, esse compartilhamento de dinâmica é conhecido como universalidade , e sistemas com precisamente os mesmos expoentes críticos pertencem à mesma classe de universalidade .

Funções de lei de potência

O interesse científico nas relações entre leis de poder deriva em parte da facilidade com que certas classes gerais de mecanismos os geram. A demonstração de uma relação lei de potência em alguns dados pode apontar para tipos específicos de mecanismos que podem estar subjacentes ao fenômeno natural em questão e pode indicar uma conexão profunda com outros sistemas aparentemente não relacionados; veja também universalidade acima. A onipresença das relações de lei de potência na física é parcialmente devido a restrições dimensionais , enquanto em sistemas complexos , as leis de potência são frequentemente consideradas assinaturas de hierarquia ou de processos estocásticos específicos . Alguns exemplos notáveis ​​de leis de potência são a lei de distribuição de renda de Pareto , a auto-similaridade estrutural dos fractais e as leis de escala em sistemas biológicos . A pesquisa sobre as origens das relações power-law e os esforços para observá-las e validá-las no mundo real é um tópico ativo de pesquisa em muitos campos da ciência, incluindo física , ciência da computação , linguística , geofísica , neurociência , sistemática , sociologia , economia e muito mais.

No entanto, muito do interesse recente em leis de potência vem do estudo de distribuições de probabilidade : as distribuições de uma ampla variedade de quantidades parecem seguir a forma de lei de potência, pelo menos em sua cauda superior (grandes eventos). O comportamento desses grandes eventos conecta essas quantidades ao estudo da teoria dos grandes desvios (também chamada de teoria dos valores extremos ), que considera a frequência de eventos extremamente raros, como quedas do mercado de ações e grandes desastres naturais . É principalmente no estudo de distribuições estatísticas que o nome "lei de potência" é usado.

Em contextos empíricos, uma aproximação de uma lei de potência muitas vezes inclui um termo de desvio , que pode representar a incerteza nos valores observados (talvez erros de medição ou amostragem) ou fornecer uma maneira simples para as observações se desviarem da função de lei de potência (talvez para razões estocásticas ):

Matematicamente, uma lei de potência estrita não pode ser uma distribuição de probabilidade, mas uma distribuição que é uma função de potência truncada é possível: para onde o expoente (letra grega alfa , não deve ser confundido com o fator de escala usado acima) é maior que 1 (caso contrário, o cauda tem área infinita), o valor mínimo é necessário, caso contrário, a distribuição tem área infinita quando x se aproxima de 0, e a constante C é um fator de escala para garantir que a área total seja 1, conforme exigido por uma distribuição de probabilidade. Mais frequentemente, usa-se uma lei de potência assintótica - uma que só é verdadeira no limite; consulte as distribuições de probabilidade da lei de potência abaixo para obter detalhes. Normalmente, o expoente cai no intervalo , embora nem sempre.

Exemplos

Mais de cem distribuições de leis de potência foram identificadas na física (por exemplo, avalanches de pilhas de areia), biologia (por exemplo, extinção de espécies e massa corporal) e ciências sociais (por exemplo, tamanhos de cidades e renda). Entre eles estão:

Astronomia

Criminologia

  • número de acusações por criminoso

Física

Psicologia

Biologia

  • Lei de Kleiber relacionando o metabolismo animal ao tamanho e as leis alométricas em geral
  • A lei da potência de dois terços, relacionando a velocidade com a curvatura no sistema motor humano .
  • A lei de Taylor relacionando o tamanho médio da população e a variação dos tamanhos das populações em ecologia
  • Avalanches neuronais
  • A riqueza de espécies (número de espécies) em clados de peixes de água doce
  • O efeito Harlow Knapp, onde um subconjunto das quinases encontradas no corpo humano compõe a maioria das pesquisas publicadas
  • O tamanho dos fragmentos florestais globalmente segue uma lei de potência

Meteorologia

  • O tamanho das células da chuva, dissipação de energia em ciclones e os diâmetros dos redemoinhos de poeira na Terra e em Marte

Ciências gerais

Matemática

Economia

  • Tamanhos populacionais de cidades em uma região ou rede urbana, lei de Zipf .
  • Distribuição dos artistas pelo preço médio de suas obras.
  • Distribuição de renda em uma economia de mercado.
  • Distribuição de diplomas em redes bancárias.

Finança

  • A mudança absoluta média dos preços médios logarítmicos
  • Número de contagens de ticks ao longo do tempo
  • Tamanho do movimento de preço máximo
  • Tempo médio de espera de uma mudança direcional
  • Tempo médio de espera de uma ultrapassagem

Variantes

Lei de potência quebrada

Alguns modelos da função de massa inicial usam uma lei de potência quebrada; aqui Kroupa (2001) em vermelho.

Uma lei de potência quebrada é uma função por partes , consistindo em duas ou mais leis de potência, combinadas com um limite. Por exemplo, com duas leis de potência:

para
.

Lei de potência com corte exponencial

Uma lei de potência com um corte exponencial é simplesmente uma lei de potência multiplicada por uma função exponencial:

Lei de potência curvada

Distribuições de probabilidade de lei de potência

Em um sentido mais amplo, uma distribuição de probabilidade de lei de potência é uma distribuição cuja função de densidade (ou função de massa no caso discreto) tem a forma, para grandes valores de ,

onde , e é uma função de variação lenta , que é qualquer função que satisfaça qualquer fator positivo . Esta propriedade de segue diretamente do requisito de ser invariante de escala assintoticamente; assim, a forma de apenas controla a forma e a extensão finita da cauda inferior. Por exemplo, se for a função constante, então temos uma lei de potência que vale para todos os valores de . Em muitos casos, é conveniente assumir um limite inferior a partir do qual a lei se aplica. Combinando esses dois casos, e onde é uma variável contínua, a lei de potência tem a forma da distribuição de Pareto

onde o pré-fator para é a constante de normalização . Podemos agora considerar várias propriedades desta distribuição. Por exemplo, seus momentos são dados por

que só está bem definido para . Ou seja, todos os momentos divergem: quando , a média e todos os momentos de ordem superior são infinitos; quando , a média existe, mas a variância e os momentos de ordem superior são infinitos, etc. Para amostras de tamanho finito retiradas de tal distribuição, esse comportamento implica que os estimadores de momento central (como a média e a variância) para momentos divergentes nunca convergem - conforme mais dados são acumulados, eles continuam a crescer. Essas distribuições de probabilidade de lei de potência também são chamadas de distribuições do tipo Pareto , distribuições com caudas de Pareto ou distribuições com caudas que variam regularmente.

Uma modificação, que não satisfaz a forma geral acima, com um corte exponencial, é

Nessa distribuição, o termo de decaimento exponencial eventualmente supera o comportamento da lei de potência em valores muito grandes de . Essa distribuição não é escalável e, portanto, não é assintoticamente como uma lei de potência; no entanto, ele escala aproximadamente em uma região finita antes do corte. A forma pura acima é um subconjunto desta família, com . Essa distribuição é uma alternativa comum para a distribuição assintótica da lei de potência porque captura naturalmente efeitos de tamanho finito.

As distribuições Tweedie são uma família de modelos estatísticos caracterizados pelo fechamento sob convolução aditiva e reprodutiva, bem como sob transformação de escala. Consequentemente, todos esses modelos expressam uma relação de lei de potência entre a variância e a média. Esses modelos têm um papel fundamental como focos de convergência matemática semelhante ao papel que a distribuição normal tem como foco no teorema do limite central . Este efeito de convergência explica por que a lei da variância à média se manifesta tão amplamente em processos naturais, como com a lei de Taylor na ecologia e com a escala de flutuação na física. Também pode ser mostrado que esta lei da variância para a potência média, quando demonstrada pelo método de bins expansíveis , implica na presença de ruído 1 / f e que ruído 1 / f pode surgir como conseqüência deste efeito de convergência Tweedie .

Métodos gráficos para identificação

Embora métodos mais sofisticados e robustos tenham sido propostos, os métodos gráficos usados ​​com mais frequência para identificar distribuições de probabilidade de lei de potência usando amostras aleatórias são gráficos de quantil-quantil de Pareto (ou gráficos de Pareto Q-Q ), gráficos de vida residual média e gráficos log-log . Outro método gráfico mais robusto usa pacotes de funções de quantis residuais. (Por favor, tenha em mente que as distribuições de lei de potência também são chamadas de distribuições do tipo Pareto.) Assume-se aqui que uma amostra aleatória é obtida a partir de uma distribuição de probabilidade e que queremos saber se a cauda da distribuição segue uma lei de potência (em outras palavras, queremos saber se a distribuição possui uma "cauda de Pareto"). Aqui, a amostra aleatória é chamada de "os dados".

Os gráficos de Pareto Q-Q comparam os quantis dos dados transformados em log para os quantis correspondentes de uma distribuição exponencial com média 1 (ou para os quantis de uma distribuição de Pareto padrão) plotando o primeiro versus o último. Se o gráfico de dispersão resultante sugerir que os pontos traçados "convergem assintoticamente" para uma linha reta, deve-se suspeitar de uma distribuição de lei de potência. Uma limitação dos gráficos de Pareto Q-Q é que eles se comportam mal quando o índice de cauda (também chamado de índice de Pareto) está próximo de 0, porque os gráficos de Pareto Q-Q não são projetados para identificar distribuições com caudas que variam lentamente.

Por outro lado, em sua versão para identificar distribuições de probabilidade de lei de potência, o gráfico de vida residual médio consiste em primeiro transformar o log dos dados e, em seguida, plotar a média desses dados transformados em log que são superiores à ordem i estatística versus a estatística de ordem i , para i  = 1, ...,  n , onde n é o tamanho da amostra aleatória. Se o gráfico de dispersão resultante sugerir que os pontos traçados tendem a "estabilizar" em torno de uma linha reta horizontal, deve-se suspeitar de uma distribuição de lei de potência. Uma vez que o gráfico de vida residual média é muito sensível a outliers (não é robusto), ele geralmente produz gráficos que são difíceis de interpretar; por esse motivo, tais tramas são geralmente chamadas de tramas de terror de Hill

Uma linha reta em um gráfico log-log é necessária, mas evidência insuficiente para leis de potência, a inclinação da linha reta corresponde ao expoente da lei de potência.

Os gráficos log – log são uma forma alternativa de examinar graficamente a cauda de uma distribuição usando uma amostra aleatória. Deve-se ter cuidado, entretanto, como um gráfico log-log é necessário, mas evidência insuficiente para uma relação de lei de potência, já que muitas distribuições fora da lei de potência aparecerão como linhas retas em um gráfico log-log. Este método consiste em traçar o logaritmo de um estimador da probabilidade de que um determinado número da distribuição ocorra versus o logaritmo desse número específico. Normalmente, esse estimador é a proporção de vezes que o número ocorre no conjunto de dados. Se os pontos no gráfico tendem a "convergir" para uma linha reta para grandes números no eixo x, o pesquisador conclui que a distribuição tem uma cauda da lei de potência. Exemplos da aplicação desses tipos de parcelas foram publicados. Uma desvantagem desses gráficos é que, para fornecer resultados confiáveis, eles requerem grandes quantidades de dados. Além disso, eles são apropriados apenas para dados discretos (ou agrupados).

Outro método gráfico para a identificação de distribuições de probabilidade de lei de potência usando amostras aleatórias foi proposto. Esta metodologia consiste em traçar um pacote para a amostra transformada em log . Originalmente proposta como uma ferramenta para explorar a existência de momentos e a função de geração de momentos usando amostras aleatórias, a metodologia de bundle é baseada em funções de quantis residuais (RQFs), também chamadas de funções de percentis residuais, que fornecem uma caracterização completa do comportamento da cauda de muitos distribuições de probabilidade bem conhecidas, incluindo distribuições de lei de potência, distribuições com outros tipos de caudas pesadas e até distribuições de caudas não pesadas. Os lotes de pacotes não têm as desvantagens dos gráficos de Pareto Q-Q, gráficos de vida residual média e gráficos de log-log mencionados acima (eles são robustos para outliers, permitem identificar visualmente as leis de potência com pequenos valores de , e não exigem a coleta de muito dados). Além disso, outros tipos de comportamento da cauda podem ser identificados usando diagramas de pacote.

Traçando distribuições de lei de potência

Em geral, as distribuições de lei de potência são plotadas em eixos duplamente logarítmicos , o que enfatiza a região da cauda superior. A maneira mais conveniente de fazer isso é através do (complementar) de distribuição cumulativa (CCDF) isto é, a função de sobrevivência , ,

O cdf também é uma função de lei de potência, mas com um expoente de escala menor. Para os dados, uma forma equivalente do cdf é a abordagem de frequência de classificação, na qual primeiro classificamos os valores observados em ordem crescente e os plotamos em relação ao vetor .

Embora possa ser conveniente armazenar em log os dados ou, de outra forma, suavizar a função de densidade de probabilidade (massa) diretamente, esses métodos introduzem um viés implícito na representação dos dados e, portanto, devem ser evitados. A função de sobrevivência, por outro lado, é mais robusta para (mas não sem) tais vieses nos dados e preserva a assinatura linear em eixos duplamente logarítmicos. Embora uma representação da função de sobrevivência seja preferida em relação à fdp, ao mesmo tempo que ajusta uma lei de potência aos dados com o método dos mínimos quadrados lineares, ela não é desprovida de imprecisão matemática. Assim, ao estimar os expoentes de uma distribuição de lei de potência, o estimador de máxima verossimilhança é recomendado.

Estimando o expoente a partir de dados empíricos

Há muitas maneiras de estimar o valor do expoente de escala para uma cauda da lei de potência, no entanto, nem todas geram respostas imparciais e consistentes . Algumas das técnicas mais confiáveis ​​costumam ser baseadas no método da máxima verossimilhança . Métodos alternativos são frequentemente baseados em fazer uma regressão linear na probabilidade log-log, na função de distribuição cumulativa log-log ou em dados log-binned, mas essas abordagens devem ser evitadas, pois todas podem levar a estimativas altamente enviesadas de expoente de escala.

Máxima probabilidade

Para dados de valor real, independentes e distribuídos de forma idêntica , ajustamos uma distribuição de lei de potência do formulário

aos dados , onde o coeficiente é incluído para garantir que a distribuição seja normalizada . Dada uma escolha para , a função de log de verossimilhança torna-se:

O máximo dessa probabilidade é encontrado diferenciando em relação ao parâmetro , definindo o resultado igual a zero. Após o rearranjo, isso produz a equação do estimador:

onde estão os pontos de dados . Este estimador exibe um pequeno viés de ordem de tamanho de amostra finito , que é pequeno quando n  > 100. Além disso, o erro padrão da estimativa é . Este estimador é equivalente ao popular estimador de Hill de finanças quantitativas e teoria de valores extremos .

Para um conjunto de n pontos de dados com valor inteiro , novamente onde cada um , o expoente de máxima verossimilhança é a solução para a equação transcendental

onde está a função zeta incompleta . A incerteza nesta estimativa segue a mesma fórmula da equação contínua. Porém, as duas equações para não são equivalentes, e a versão contínua não deve ser aplicada a dados discretos, nem vice-versa.

Além disso, ambos os estimadores requerem a escolha de . Para funções com uma função não trivial , escolher muito pequeno produz um viés significativo em , enquanto escolhê-lo muito grande aumenta a incerteza em e reduz o poder estatístico de nosso modelo. Em geral, a melhor escolha de depende fortemente da forma particular da cauda inferior, representada por acima.

Mais sobre esses métodos e as condições sob as quais eles podem ser usados ​​pode ser encontrado em. Além disso, este artigo de revisão abrangente fornece código utilizável (Matlab, Python, R e C ++) para rotinas de estimativa e teste para distribuições de lei de potência.

Estimativa de Kolmogorov-Smirnov

Outro método para a estimativa do expoente power-law, que não assume independentes e identicamente distribuídos dados (IID), usa a minimização da estatística de Kolmogorov-Smirnov , entre as funções de distribuição cumulativas dos dados e a lei de potência:

com

onde e denotam os cdfs dos dados e a lei de potência com expoente , respectivamente. Como esse método não assume dados iid, ele fornece uma maneira alternativa de determinar o expoente da lei de potência para conjuntos de dados nos quais a correlação temporal não pode ser ignorada.

Método de ajuste de dois pontos

Este critério pode ser aplicado para a estimativa do expoente da lei de potência no caso de distribuições livres de escala e fornece uma estimativa mais convergente do que o método de máxima verossimilhança. Foi aplicado para estudar distribuições de probabilidade de aberturas de fratura. Em alguns contextos, a distribuição de probabilidade é descrita, não pela função de distribuição cumulativa , pela frequência cumulativa de uma propriedade X , definida como o número de elementos por metro (ou unidade de área, segundo etc.) para os quais X  >  x se aplica, onde x é um número real variável. Como um exemplo, a distribuição cumulativa da abertura de fratura, X , para uma amostra de N elementos é definida como 'o número de fraturas por metro tendo uma abertura maior que x . O uso de frequência cumulativa tem algumas vantagens, por exemplo, permite colocar no mesmo diagrama dados coletados de linhas de amostra de comprimentos diferentes em escalas diferentes (por exemplo, de afloramento e de microscópio).

Validando leis de potência

Embora as relações de poder-lei sejam atraentes por muitas razões teóricas, demonstrar que os dados realmente seguem uma relação de poder-lei requer mais do que simplesmente ajustar um modelo específico aos dados. Isso é importante para entender o mecanismo que dá origem à distribuição: distribuições superficialmente semelhantes podem surgir por razões significativamente diferentes, e diferentes modelos produzem diferentes previsões, como extrapolação.

Por exemplo, as distribuições log-normais são frequentemente confundidas com distribuições de lei de potência: um conjunto de dados retirado de uma distribuição log-normal será aproximadamente linear para grandes valores (correspondendo à cauda superior da log-normal estando perto de uma lei de potência), mas para valores pequenos a lognormal cairá significativamente (curvando-se), correspondendo à cauda inferior da lognormal sendo pequena (há muito poucos valores pequenos, ao invés de muitos valores pequenos em uma lei de potência).

Por exemplo, a lei de Gibrat sobre processos de crescimento proporcional produz distribuições que são log- normais , embora seus gráficos log-log pareçam lineares em um intervalo limitado. Uma explicação para isso é que, embora o logaritmo da função de densidade log- normal seja quadrático em log ( x ) , produzindo uma forma "arqueada" em um gráfico log-log, se o termo quadrático for pequeno em relação ao termo linear, o resultado pode parecem quase lineares, e o comportamento lognormal é visível apenas quando o termo quadrático domina, o que pode exigir muito mais dados. Portanto, um gráfico log-log que é ligeiramente "curvado" para baixo pode refletir uma distribuição log-normal - não uma lei de potência.

Em geral, muitas formas funcionais alternativas podem parecer seguir uma forma de lei de potência até certo ponto. Stumpf & Porter (2012) propôs traçar a função de distribuição cumulativa empírica no domínio log-log e afirmou que uma lei de potência candidata deveria cobrir pelo menos duas ordens de magnitude. Além disso, os pesquisadores geralmente têm que enfrentar o problema de decidir se uma distribuição de probabilidade do mundo real segue ou não uma lei de potência. Como solução para este problema, Diaz propôs uma metodologia gráfica baseada em amostras aleatórias que permite discernir visualmente entre os diferentes tipos de comportamento da cauda. Esta metodologia usa feixes de funções de quantis residuais, também chamados de funções de vida residual de percentil, que caracterizam muitos tipos diferentes de caudas de distribuição, incluindo caudas pesadas e não pesadas. No entanto, Stumpf & Porter (2012) reivindicou a necessidade de uma base estatística e teórica, a fim de apoiar uma lei de potência no mecanismo subjacente que conduz o processo de geração de dados.

Um método para validar uma relação de potência-lei testa muitas previsões ortogonais de um mecanismo gerador particular em relação aos dados. Simplesmente ajustar uma relação de lei de potência a um tipo particular de dados não é considerado uma abordagem racional. Como tal, a validação de alegações de power-law permanece um campo muito ativo de pesquisa em muitas áreas da ciência moderna.

Veja também

Referências

Notas

Bibliografia

links externos