Poder de um ponto - Power of a point

Na geometria plana elementar , a potência de um ponto é um número real que reflete a distância relativa de um determinado ponto a um determinado círculo. Foi introduzido por Jakob Steiner 1826.

Especificamente, a potência de um ponto em relação a um círculo com centro e raio é definida por ${\ displaystyle \ Pi (P)}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ Pi (P) = | PO | ^ {2} -r ^ {2}.}$

Se está fora do círculo, então , se está no círculo, então e se está dentro do círculo, então . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Pi (P)> 0}$
${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Pi (P) = 0}$
${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Pi (P) <0}$

Devido ao teorema de Pitágoras, o número tem os significados geométricos simples mostrados no diagrama: Para um ponto fora do círculo é a distância tangencial ao quadrado do ponto ao círculo . ${\ displaystyle \ Pi (P)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Pi (P)}$${\ displaystyle | PT |}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c}$

Pontos com igual poder, isolinhas de , são círculos concêntricos a um círculo . ${\ displaystyle \ Pi (P)}$${\ displaystyle c}$

Steiner usou o poder de um ponto para provas de várias declarações sobre círculos, por exemplo:

• Determinação de um círculo, que cruza quatro círculos com o mesmo ângulo.
• Resolvendo o problema de Apolônio
• Construção dos círculos Malfatti : Para um determinado triângulo, determine três círculos, que se tocam e dois lados do triângulo cada um.
• Versão esférica do problema de Malfatti: o triângulo é esférico.

As ferramentas essenciais para investigações em círculos são o eixo radical de dois círculos e o centro radical de três círculos.

O diagrama de potência de um conjunto de círculos divide o plano em regiões nas quais o círculo que minimiza a potência é constante.

De maneira mais geral, o matemático francês Edmond Laguerre definiu a potência de um ponto em relação a qualquer curva algébrica de maneira semelhante.

Propriedades geométricas

Além das propriedades mencionadas no lead, existem outras propriedades:

Círculo ortogonal

Para qualquer ponto fora do círculo, há dois pontos tangentes no círculo , que têm distância igual a . Daí o círculo com centro através de passes , também, e intersecção ortogonal: ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle T_ {1}, T_ {2}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle o}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$${\ displaystyle c}$

• O círculo com centro e raio cruza o círculo ortogonal .${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ Pi (P)}}}$${\ displaystyle c}$

Se o raio do círculo centrado em for diferente de, obtém-se o ângulo de intersecção entre os dois círculos aplicando a Lei dos cossenos (veja o diagrama): ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ Pi (P)}}}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ rho ^ {2} + r ^ {2} -2 \ rho r \ cos \ varphi = | PO | ^ {2}}$

${\ displaystyle \ rightarrow \ \ cos \ varphi = {\ frac {\ rho ^ {2} + r ^ {2} - | PO | ^ {2}} {2 \ rho r}} = {\ frac {\ rho ^ {2} - \ Pi (P)} {2 \ rho r}}}$

( e são normais para as tangentes do círculo.) ${\ displaystyle PS_ {1}}$${\ displaystyle MS_ {1}}$

Se está dentro do círculo azul, então e é sempre diferente de . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Pi (P) <0}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle 90 ^ {\ circ}}$

Se o ângulo é dado, então obtém-se o raio resolvendo a equação quadrática ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho ^ {2} -2 \ rho r \ cos \ varphi - \ Pi (P) = 0}$.

Teorema de secantes de intersecção, teorema de acordes de intersecção

Para o teorema das secantes que se cruzam e o teorema do acorde, o poder de um ponto desempenha o papel de um invariante :

• Teorema de interseção de secantes : Para um ponto fora de um círculo e os pontos de interseção de uma linha secante com a seguinte afirmação é verdadeira :, portanto, o produto é independente da linha . Se é tangente então e a afirmação é o teorema tangente-secante .${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | PS_ {1} | \ cdot | PS_ {2} | = \ Pi (P)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle P_ {1} = P_ {2}}$
• Teorema dos acordes de interseção : Para um ponto dentro de um círculoe os pontosdeinterseçãode uma linha secantecoma seguinte afirmação é verdadeira:, portanto, o produto é independente da linha.${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle | PS_ {1} | \ cdot | PS_ {2} | = - \ Pi (P)}$${\ displaystyle g}$

Eixo radical

Let Ser um ponto e dois círculos não concêntricos com centros e raios . O ponto tem poder em relação ao círculo . O conjunto de todos os pontos com é uma linha chamada eixo radical . Ele contém possíveis pontos comuns dos círculos e é perpendicular à linha . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle O_ {1}, O_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Pi _ {i} (P)}$${\ displaystyle c_ {i}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ Pi _ {1} (P) = \ Pi _ {2} (P)}$${\ displaystyle {\ overline {O_ {1} O_ {2}}}}$

Teorema das secantes, teorema dos acordes: prova comum

Ambos os teoremas, incluindo o teorema tangente-secante , podem ser provados uniformemente:

Let Ser um ponto, um círculo com a origem como seu centro e um vetor unitário arbitrário . Os parâmetros de possíveis pontos comuns de linha (através ) e círculo podem ser determinados inserindo a equação parmétrica na equação do círculo: ${\ displaystyle P: {\ vec {p}}}$${\ displaystyle c: {\ vec {x}} ^ {2} -r ^ {2} = 0}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$${\ displaystyle g: {\ vec {x}} = {\ vec {p}} + t {\ vec {v}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle ({\ vec {p}} + t {\ vec {v}}) ^ {2} -r ^ {2} = 0 \ quad \ rightarrow \ quad t ^ {2} + 2t \; {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {v}} + {\ vec {p}} ^ {2} -r ^ {2} = 0 \.}$

Do teorema de Vieta encontra-se:

${\ displaystyle t_ {1} \ cdot t_ {2} = {\ vec {p}} ^ {2} -r ^ {2} = \ Pi (P)}$. (independente de  !)${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle \ Pi (P)}$é o poder de respeitar o círculo . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c}$

Por causa de um obtém a seguinte declaração para os pontos : ${\ displaystyle | {\ vec {v}} | = 1}$${\ displaystyle S_ {1}, S_ {2}}$

${\ displaystyle | PS_ {1} | \ cdot | PS_ {2} | = t_ {1} t_ {2} = \ Pi (P) \}$, se estiver fora do círculo,${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle | PS_ {1} | \ cdot | PS_ {2} | = -t_ {1} t_ {2} = - \ Pi (P) \}$, se estiver dentro do círculo ( tem sinais diferentes!).${\ displaystyle P}$${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$

No caso da linha é uma tangente e o quadrado da distância tangencial do ponto ao círculo . ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ Pi (P)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle c}$

Pontos de semelhança, poder comum de dois círculos

Pontos de semelhança

Os pontos de semelhança são uma ferramenta essencial para as investigações de Steiner sobre círculos.

Dados dois círculos

${\ displaystyle \ c_ {1}: ({\ vec {x}} - {\ vec {m}} _ {1}) - r_ {1} ^ {2} = 0, \ quad c_ {2} :( {\ vec {x}} - {\ vec {m}} _ {2}) - r_ {2} ^ {2} = 0 \}$.

A homothety ( similaridade ) , que mapeia para trechos (solavancos) raio a e tem o seu centro na linha , pois . Se o centro estiver entre o fator de escala é . No outro caso . Em qualquer caso: ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle c_ {2}}$${\ displaystyle r_ {1}}$${\ displaystyle r_ {2}}$${\ displaystyle Z: {\ vec {z}}}$${\ displaystyle {\ overline {M_ {1} M_ {2}}}}$${\ displaystyle \ sigma (M_ {1}) = M_ {2}}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}}$${\ displaystyle s = - {\ tfrac {r_ {2}} {r_ {1}}}}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {r_ {2}} {r_ {1}}}}$

${\ displaystyle \ sigma ({\ vec {m}} _ {1}) = {\ vec {z}} + s ({\ vec {m}} _ {1} - {\ vec {z}}) = {\ vec {m}} _ {2}}$.

Inserindo e resolvendo para rendimentos: ${\ displaystyle s = \ pm {\ tfrac {r_ {2}} {r_ {1}}}}$${\ displaystyle {\ vec {z}}}$

${\ displaystyle {\ vec {z}} = {\ frac {r_ {1} {\ vec {m}} _ {2} \ mp r_ {2} {\ vec {m}} _ {1}} {r_ {1} \ mp r_ {2}}}}$.

Apontar

• ${\ displaystyle E: {\ vec {e}} = {\ frac {r_ {1} {\ vec {m}} _ {2} -r_ {2} {\ vec {m}} _ {1}} { r_ {1} -r_ {2}}}}$

é chamado de ponto de semelhança exterior e

• ${\ displaystyle I: {\ vec {i}} = {\ frac {r_ {1} {\ vec {m}} _ {2} + r_ {2} {\ vec {m}} _ {1}} { r_ {1} + r_ {2}}}}$

ponto de semelhança interno .

No caso de alguém conseguir . No caso de : é o ponto no infinito da linha e é o centro de . No caso dos círculos se tocarem no ponto interno (ambos os círculos do mesmo lado da linha tangente comum). No caso dos círculos se tocarem no ponto externo (ambos os círculos em lados diferentes da linha tangente comum). ${\ displaystyle M_ {1} = M_ {2}}$${\ displaystyle E = I = M_ {i}}$
${\ displaystyle r_ {1} = r_ {2}}$${\ displaystyle \ E}$${\ displaystyle {\ overline {M_ {1} M_ {2}}}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}}$
${\ displaystyle r_ {1} = | EM_ {1} |}$${\ displaystyle E}$
${\ displaystyle r_ {1} = | IM_ {1} |}$${\ displaystyle I}$

Além disso:

• Se os círculos estiverem disjuntos (os discos não têm pontos em comum), as tangentes comuns externas encontram-se em e as internas em .${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$
• Se um círculo estiver contido no outro , os pontos ficarão dentro de ambos os círculos.${\ displaystyle E, I}$
• Os pares são conjugados harmônicos projetivos : sua razão cruzada é .${\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}; E, I}$${\ displaystyle (M_ {1}, M_ {2}; E, I) = - 1}$

O teorema de Monge afirma: Os pontos de semelhança externos de três círculos disjuntos encontram-se em uma linha.

Poder comum de dois círculos

Sejam dois círculos, seu ponto de semelhança externo e uma linha através , que encontra os dois círculos em quatro pontos . Da propriedade de definição do ponto obtém-se ${\ displaystyle c_ {1}, c_ {2}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle G_ {1}, H_ {1}, G_ {2}, H_ {2}}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle {\ frac {| EG_ {1} |} {| EG_ {2} |}} = {\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} = {\ frac {| EH_ {1} |} {| EH_ {2} |}} \}$

${\ displaystyle \ rightarrow \ | EG_ {1} | \ cdot | EH_ {2} | = | EH_ {1} | \ cdot | EG_ {2} | \}$

e do teorema secante (veja acima) as duas equações

${\ displaystyle | EG_ {1} | \ cdot | EH_ {1} | = \ Pi _ {1} (E), \ quad | EG_ {2} | \ cdot | EH_ {2} | = \ Pi _ {2 } (E).}$

Combinando essas três equações resulta:

${\ displaystyle \ Pi _ {1} (E) \ cdot \ Pi _ {2} (E) = | EG_ {1} | \ cdot | EH_ {1} | \ cdot | EG_ {2} | \ cdot | EH_ {2} |}$

${\ displaystyle \ qquad \ qquad \ qquad \ = | EG_ {1} | ^ {2} \ cdot | EH_ {2} | ^ {2} = | EG_ {2} | ^ {2} \ cdot | EH_ {1 } | ^ {2} \.}$

Por isso:

• ${\ displaystyle | EG_ {1} | \ cdot | EH_ {2} | = | EG_ {2} | \ cdot | EH_ {1} | = {\ sqrt {\ Pi _ {1} (E) \ cdot \ Pi _ {2} (E)}} \}$(independente da linha  !).${\ displaystyle g}$

A declaração analógica para o ponto de semelhança interno também é verdadeira. ${\ displaystyle I}$

Os invariantes são chamados por Steiner de poder comum dos dois círculos ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). ${\ displaystyle \ {\ sqrt {\ Pi _ {1} (E) \ cdot \ Pi _ {2} (E)}}, \ {\ sqrt {\ Pi _ {1} (I) \ cdot \ Pi _ {2} (I)}} \}$

Os pares e de pontos são pontos anti-homólogos . Os pares e são homólogos . ${\ displaystyle G_ {1}, H_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1}, G_ {2}}$${\ displaystyle G_ {1}, G_ {2}}$${\ displaystyle H_ {1}, H_ {2}}$

Determinação de um círculo, que é tangente a dois círculos

Para uma segunda secante por meio de : ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle | EH_ {1} | \ cdot | EG_ {2} | = | EH '_ {1} | \ cdot | EG' _ {2} |}$

Do teorema secante obtém-se:

Os quatro pontos ficam em um círculo.${\ displaystyle H_ {1}, G_ {2}, H '_ {1}, G' _ {2}}$

E analogamente:

Os quatro pontos também estão em um círculo.${\ displaystyle G_ {1}, H_ {2}, G '_ {1}, H' _ {2}}$

Como as linhas radicais de três círculos se encontram no radical (ver: linha radical do artigo), obtém-se:

As secantes se encontram no eixo radical dos dois círculos dados.${\ displaystyle {\ overline {H_ {1} H '_ {1}}}, \; {\ overline {G_ {2} G' _ {2}}}}$

Movendo a secante inferior (veja o diagrama) em direção à superior, o círculo vermelho se torna um círculo, que é tangente a ambos os círculos dados. O centro do círculo tangente é a interceptação das linhas . As secantes tornam-se tangentes nos pontos . As tangentes se interceptam na linha radical (no diagrama amarelo). ${\ displaystyle {\ overline {M_ {1} H_ {1}}}, {\ overline {M_ {2} G_ {2}}}}$${\ displaystyle {\ overline {H_ {1} H '_ {1}}}, {\ overline {G_ {2} G' _ {2}}}}$${\ displaystyle H_ {1}, G_ {2}}$${\ displaystyle p}$

Considerações semelhantes geram o segundo círculo tangente, que encontra os círculos dados nos pontos (ver diagrama). ${\ displaystyle G_ {1}, H_ {2}}$

Todos os círculos tangentes aos círculos dados podem ser encontrados por linhas variadas . ${\ displaystyle g}$

Posições dos centros

Se é o centro e o raio do círculo, que é tangente aos círculos dados nos pontos , então: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle H_ {1}, G_ {2}}$

${\ displaystyle \ rho = | XM_ {1} | -r_ {1} = | XM_ {2} | -r_ {2}}$

${\ displaystyle \ rightarrow \ | XM_ {2} | - | XM_ {1} | = r_ {2} -r_ {1}.}$

Portanto: os centros estão em uma hipérbole com

focos ,${\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}}$

distância dos vértices ,${\ displaystyle 2a = r_ {2} -r_ {1}}$

centro é o centro de ,${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M_ {1}, M_ {2}}$

excentricidade linear e${\ displaystyle c = {\ tfrac {| M_ {1} M_ {2} |} {2}}}$

${\ displaystyle \ b ^ {2} = e ^ {2} -a ^ {2} = {\ tfrac {| M_ {1} M_ {2} | ^ {2} - (r_ {2} -r_ {1 }) ^ {2}} {4}}}$.

Considerações sobre os círculos tangentes externos levam ao resultado analógico:

Se é o centro e o raio do círculo, que é tangente aos círculos dados nos pontos , então: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle G_ {1}, H_ {2}}$

${\ displaystyle \ rho = | XM_ {1} | + r_ {1} = | XM_ {2} | + r_ {2}}$

${\ displaystyle \ rightarrow \ | XM_ {2} | - | XM_ {1} | = - (r_ {2} -r_ {1}).}$

Os centros estão na mesma hipérbole, mas no ramo direito.

Veja também Problema de Apolônio .

Poder em relação a uma esfera

A ideia do poder de um ponto em relação a um círculo pode ser estendida a uma esfera. Os teoremas das secantes e acordes também são verdadeiros para uma esfera e podem ser provados literalmente como no caso do círculo.

Produto Darboux

O poder de um ponto é um caso especial do produto Darboux entre dois círculos, que é dado por

${\ displaystyle \ left | A_ {1} A_ {2} \ right | ^ {2} -r_ {1} ^ {2} -r_ {2} ^ {2} \,}$

onde A ₁ e A ₂ são os centros dos dois círculos er ₁ e r ₂ são seus raios. A potência de um ponto surge no caso especial em que um dos raios é zero.

Se os dois círculos forem ortogonais, o produto Darboux desaparece.

Se os dois círculos se cruzam, então seu produto Darboux é

${\ displaystyle 2r_ {1} r_ {2} \ cos \ varphi \,}$

onde φ é o ângulo de interseção (ver seção círculo ortogonal ).

Teorema de Laguerre

Laguerre definido a potência de um ponto P com respeito a uma curva algébrica de grau n ser o produto das distâncias do ponto para as intersecções de um círculo que passa pelo ponto com a curva, dividido pelo N ° de potência do diâmetro d . Laguerre mostrou que este número é independente do diâmetro ( Laguerre 1905 ). No caso em que a curva algébrica é um círculo, isso não é exatamente o mesmo que a potência de um ponto em relação a um círculo definido no resto deste artigo, mas difere dele por um fator de d ² .

Referências

• Coxeter, HSM (1969), Introdução à Geometria (2ª ed.), Nova York: Wiley.
• Darboux, Gaston (1872), "Sur les relações entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323-392.
• Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (em francês), Gauthier-Villars et fils, p. 20
• Steiner, Jakob (1826), "Einige geometrische Betrachtungen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1 : 161-184.
• Berger , Marcel (1987), Geometry I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5

Leitura adicional

• Ogilvy CS (1990), Excursions in Geometry , Dover Publications, pp.  6-23 , ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Washington : MAA , pp. 27-31, 159-160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Johnson RA (1960), Advanced Euclidean Geometry: Um tratado elementar sobre a geometria do triângulo e do círculo (reimpressão da edição de 1929 por Houghton Miflin ed.), Nova York: Dover Publications, pp. 28-34, ISBN 978-0-486-46237-0

links externos

• Jacob Steiner e o poder de um ponto na convergência
• Weisstein, Eric W. "Circle Power" . MathWorld .
• Teorema dos acordes de interseção no corte do nó
• Teorema de acordes que se cruzam com animação interativa
• Teorema de secantes de interseção com animação interativa