Série de potências - Power series

Em matemática , uma série de potências (em uma variável) é uma série infinita da forma

onde um _n representa o coeficiente de o n ésimo termo e c é uma constante. As séries de potências são úteis na análise matemática , onde surgem como séries de Taylor de funções infinitamente diferenciáveis . Na verdade, o teorema de Borel implica que toda série de potências é a série de Taylor de alguma função suave.

Em muitas situações, c (o centro da série) é igual a zero, por exemplo, quando se considera uma série de Maclaurin . Nesses casos, a série de potências assume a forma mais simples

$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots. }$$

Além de seu papel na análise matemática, as séries de potências também ocorrem na combinatória como funções geradoras (um tipo de série de potências formal ) e na engenharia eletrônica (sob o nome de transformada Z ). A conhecida notação decimal para números reais também pode ser vista como um exemplo de uma série de potências, com coeficientes inteiros, mas com o argumento x fixado em 1 ⁄ 10 . Na teoria dos números , o conceito de números p-ádicos também está intimamente relacionado ao de uma série de potências.

Exemplos

A função exponencial (em azul) e a soma dos primeiros n + 1 termos de sua série de potências Maclaurin (em vermelho).

Qualquer polinômio pode ser facilmente expresso como uma série de potências em torno de qualquer centro c , embora quase todos os coeficientes, exceto finitamente, sejam zero, uma vez que uma série de potências tem infinitos termos por definição. Por exemplo, o polinômio pode ser escrito como uma série de potências em torno do centro como ${\ textstyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 3}$${\ textstyle c = 0}$

${\ displaystyle f (x) = 3 + 2x + 1x ^ {2} + 0x ^ {3} + 0x ^ {4} + \ cdots}$

ou em torno do centro como ${\ textstyle c = 1}$

${\ displaystyle f (x) = 6 + 4 (x-1) +1 (x-1) ^ {2} +0 (x-1) ^ {3} +0 (x-1) ^ {4} + \ cdots}$

ou mesmo em torno de qualquer outro centro c . Pode-se ver as séries de potências como "polinômios de grau infinito", embora as séries de potências não sejam polinômios.

A fórmula da série geométrica

${\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x ^ {n} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ cdots,}$

que é válido para , é um dos exemplos mais importantes de uma série de potências, assim como a fórmula da função exponencial ${\ textstyle | x | <1}$

${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2} } {2!}} + {\ Frac {x ^ {3}} {3!}} + \ Cdots,}$

e a fórmula seno

${\ displaystyle \ sin (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} } = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7!} } + \ cdots,}$

válido para todos os x reais .

Essas séries de potência também são exemplos de séries de

Taylor .

No conjunto de expoentes

Potências negativas não são permitidas em uma série de potências; por exemplo, não é considerada uma série de potências (embora seja uma

série de Laurent ). Da mesma forma, potências fracionárias como não são permitidas (mas veja a série Puiseux ). Os coeficientes não podem depender , assim , por exemplo: ${\ textstyle 1 + x ^ {- 1} + x ^ {- 2} + \ cdots}$${\ textstyle x ^ {\ frac {1} {2}}}$${\ textstyle a_ {n}}$${\ textstyle x}$

${\ displaystyle \ sin (x) x + \ sin (2x) x ^ {2} + \ sin (3x) x ^ {3} + \ cdots}$

não é uma série de potências.

Raio de convergência

Uma série de potências é

convergente para alguns valores da variável x , que sempre incluirá x = c (como de costume, avalia como${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}}$${\ displaystyle (xc) ^ {0}}$1 e a soma das séries é, portanto, para x = c ). A série pode divergir para outros valores de x . Se c não for o único ponto de convergência, então sempre haverá um número r com 0 < r ≤ ∞ tal que a série converge sempre que | x - c | < r e diverge sempre que | x - c | > r . O número r é chamado de raio de convergência da série de potências; em geral, é dado como ${\ displaystyle a_ {0}}$

${\ displaystyle r = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ left | a_ {n} \ right | ^ {- {\ frac {1} {n}}}}$

ou equivalente,

${\ displaystyle r ^ {- 1} = \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | a_ {n} \ right | ^ {\ frac {1} {n}}}$

(este é o teorema de Cauchy-Hadamard ; consulte limit superior e limit inferior para uma explicação da notação). A relação

${\ displaystyle r ^ {- 1} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {a_ {n + 1} \ over a_ {n}} \ right |}$

também é satisfeito, se esse limite existir.

O conjunto dos números complexos de tal forma que | x - c | < r é chamado de disco de convergência da série. A série converge absolutamente dentro de seu disco de convergência e converge uniformemente em cada

subconjunto compacto do disco de convergência.

Para | x - c | = r , não há uma declaração geral sobre a convergência das séries. No entanto, o teorema de Abel afirma que se a série é convergente para algum valor z tal que | z - c | = r , então a soma da série para x = z é o limite da soma da série para x = c + t ( z - c ) onde t é uma variável real menor que1 que tende a1 .

Operações em séries de potência

Adição e subtração

Quando duas funções f e g são decompostos em série de potência em torno do mesmo centro C , as séries de alimentação da soma ou a diferença das funções podem ser obtidas por adição termwise e subtracção. Ou seja, se

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}}$ e ${\ displaystyle g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n}}$

então

${\ displaystyle f (x) \ pm g (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (a_ {n} \ pm b_ {n}) (xc) ^ {n}.}$

Não é verdade que, se duas séries de potências e têm o mesmo raio de convergência, então também tem esse raio de convergência. Se e , então ambas as séries têm o mesmo raio de convergência de 1, mas a série tem um raio de convergência de 3. ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} x ^ {n}}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right) x ^ {n}}$${\ textstyle a_ {n} = (- 1) ^ {n}}$${\ textstyle b_ {n} = (- 1) ^ {n + 1} \ left (1 - {\ frac {1} {3 ^ {n}}} \ right)}$${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} + b_ {n} \ right) x ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {3 ^ {n}}} x ^ {n}}$

Multiplicação e divisão

Com as mesmas definições para e , a série de potências do produto e quociente das funções pode ser obtida da seguinte forma: ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f (x) g (x) & = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n} \ right) \ esquerda (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n} \ direita) \\ & = \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ sum _ { j = 0} ^ {\ infty} a_ {i} b_ {j} (xc) ^ {i + j} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ { i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni} \ direita) (xc) ^ {n}. \ end {alinhado}}}$

A sequência é conhecida como a convolução das sequências e .${\ textstyle m_ {n} = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} b_ {ni}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b_ {n}}$

Para divisão, se definirmos a sequência por ${\ displaystyle d_ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}} { \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} d_ {n} (xc) ^ {n }}$

então

${\ displaystyle f (x) = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} b_ {n} (xc) ^ {n} \ right) \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} d_ {n} (xc) ^ {n} \ right)}$

e pode-se resolver recursivamente para os termos comparando coeficientes. ${\ displaystyle d_ {n}}$

Resolver as equações correspondentes produz as fórmulas baseadas em determinantes de certas matrizes dos coeficientes de e${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$

${\ displaystyle d_ {0} = {\ frac {a_ {0}} {b_ {0}}}}$

${\ displaystyle d_ {n} = {\ frac {1} {b_ {0} ^ {n + 1}}} {\ begin {vmatrix} a_ {n} & b_ {1} & b_ {2} & \ cdots & b_ { n} \\ a_ {n-1} & b_ {0} & b_ {1} & \ cdots & b_ {n-1} \\ a_ {n-2} & 0 & b_ {0} & \ cdots & b_ {n-2} \\ \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {0} & 0 & 0 & \ cdots & b_ {0} \ end {vmatrix}}}$

Diferenciação e integração

Uma vez que uma função é dada como uma série de potências como acima, ela é diferenciável no interior do domínio de convergência. Pode ser diferenciado e integrado facilmente, tratando cada termo separadamente: ${\ displaystyle f (x)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f '(x) & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} n (xc) ^ {n-1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n + 1} (n + 1) (xc) ^ {n}, \\\ int f (x) \, dx & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } {\ frac {a_ {n} (xc) ^ {n + 1}} {n + 1}} + k = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n-1 } (xc) ^ {n}} {n}} + k. \ end {alinhado}}}$

Ambas as séries têm o mesmo raio de convergência da original.

Funções analíticas

Uma função f definida em algum subconjunto aberto U de R ou C é chamada analítica se for dada localmente por uma série de potências convergentes. Isto significa que cada um ∈ L tem uma aberta vizinhança V ⊆ L , de tal modo que existe uma série de potência com o centro de um que converge para f ( x ) para cada x ∈ V .

Toda série de potências com raio de convergência positivo é analítica no interior de sua região de convergência. Todas as funções holomórficas são analíticas complexas. As somas e os produtos das funções analíticas são analíticos, assim como os quocientes, desde que o denominador seja diferente de zero.

Se uma função é analítica, então é infinitamente diferenciável, mas no caso real o inverso geralmente não é verdadeiro. Para uma função analítica, os coeficientes a _n podem ser calculados como

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {f ^ {\ left (n \ right)} \ left (c \ right)} {n!}}}$

onde denota a n- ésima derivada de f em c , e . Isso significa que toda função analítica é representada localmente por sua série de Taylor . ${\ displaystyle f ^ {(n)} (c)}$${\ displaystyle f ^ {(0)} (c) = f (c)}$

A forma global de uma função analítica é completamente determinada pelo seu comportamento local no seguinte sentido: se f e g são duas funções analíticas definida no mesmo conectado conjunto aberto L , e se existe um elemento c ∈ L tal que f ^{( n )} ( c ) = g ^{( n )} ( c ) para todos os n ≥ 0, então f ( x ) = g ( x ) para todos os x ∈ L .

Se uma série de potências com raio de convergência r é dada, pode-se considerar continuações analíticas da série, isto é, funções analíticas f que são definidas em conjuntos maiores do que { x  : | x - c | < r } e concorda com a série de potências fornecida neste conjunto. O número r é máximo no seguinte sentido: sempre existe um número complexo x com | x - c | = r tal que nenhuma continuação analítica da série pode ser definida em x .

A expansão da série de potências da função inversa de uma função analítica pode ser determinada usando o teorema de inversão de Lagrange .

Comportamento perto da fronteira

A soma de uma série de potências com raio de convergência positivo é uma função analítica em todos os pontos do interior do disco de convergência. No entanto, um comportamento diferente pode ocorrer em pontos no limite desse disco. Por exemplo:

1. Divergência enquanto a soma se estende a uma função analítica : tem raio de convergência igual a e diverge em todos os pontos de . No entanto, a soma em é , que é analítica em todos os pontos do plano, exceto em .${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} z ^ {n}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | z | = 1}$${\ displaystyle | z | <1}$${\ textstyle {\ frac {1} {1-z}}}$${\ displaystyle z = 1}$
2. Convergente em alguns pontos divergente em outros : possui raio de convergência . Converge para , enquanto diverge para${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle z = 1}$${\ displaystyle z = -1}$
3. Convergência absoluta em todos os pontos da fronteira : tem raio de convergência , enquanto converge absoluta e uniformemente em todos os pontos devido ao teste M de Weierstrass aplicado com a série convergente hiper-harmônica .${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n ^ {2}}}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | z | = 1}$ ${\ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}$
4. Convergente no fechamento do disco de convergência, mas não soma contínua : Sierpiński deu um exemplo de uma série de potências com raio de convergência , convergente em todos os pontos com , mas a soma é uma função ilimitada e, em particular, descontínua. Uma condição suficiente para a continuidade unilateral em um ponto limite é dada pelo teorema de Abel .${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | z | = 1}$

Série de poder formal

Na álgebra abstrata , tenta-se capturar a essência das séries de potências sem ficar restrito aos campos dos números reais e complexos e sem a necessidade de falar em convergência. Isso leva ao conceito de série de potências formais , um conceito de grande utilidade em combinatória algébrica .

Séries de potências em várias variáveis

Uma extensão da teoria é necessária para fins de cálculo multivariável . Uma série de potências é aqui definida como uma série infinita da forma

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ sum _ {j_ {1}, \ dots, j_ {n} = 0} ^ {\ infty} a_ {j_ {1}, \ dots, j_ {n}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} (x_ {k} -c_ {k}) ^ {j_ {k}},}$

onde j = ( j ₁ , ..., j _n ) é um vetor de números naturais, os coeficientes a _{( j 1 , ..., j n )} são geralmente números reais ou complexos, e o centro c = ( c ₁ , ..., c _n ) e o argumento x = ( x ₁ ,…, x _n ) são geralmente vetores reais ou complexos. O símbolo é o símbolo do produto , denotando multiplicação. Na notação de índice múltiplo mais conveniente , isso pode ser escrito ${\ displaystyle \ Pi}$

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {n}} a _ {\ alpha} (xc) ^ {\ alpha}.}$

onde é o conjunto de números naturais e, portanto, o conjunto de n - tuplas ordenadas de números naturais. ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {n}}$

A teoria de tais séries é mais complicada do que para séries de variável única, com regiões de convergência mais complicadas. Por exemplo, a série de potências é absolutamente convergente no conjunto entre duas hipérboles. (Este é um exemplo de um conjunto log-convexo , no sentido de que o conjunto de pontos , onde se encontra na região acima, é um conjunto convexo. De forma mais geral, pode-se mostrar que quando c = 0, o interior da região de convergência absoluta é sempre um conjunto log-convexo neste sentido.) Por outro lado, no interior desta região de convergência pode-se diferenciar e integrar sob o sinal da série, da mesma forma que se pode fazer com as séries de potências ordinárias. ${\ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x_ {1} ^ {n} x_ {2} ^ {n}}$${\ displaystyle \ {(x_ {1}, x_ {2}): | x_ {1} x_ {2} | <1 \}}$${\ displaystyle (\ log | x_ {1} |, \ log | x_ {2} |)}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$

Ordem de uma série de potências

Seja α um multi-índice para uma série de potências f ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ). A ordem da série de potências f é definida para ser o menor valor tal que haja um _α ≠ 0 com , ou se f ≡ 0. Em particular, para uma série de potências f ( x ) em uma única variável x , a ordem de f é a menor potência de x com um coeficiente diferente de zero. Essa definição se estende prontamente à série Laurent . ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r = | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}}$${\ displaystyle \ infty}$

Notas

Referências

• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Power series" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

links externos

• Weisstein, Eric W. "Formal Power Series" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Power Series" . MathWorld .
• Powers of Complex Numbers de Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project .