Vetor de Poynting - Poynting vector

Radiação dipolo de um dipolo verticalmente na página mostrando a intensidade do campo elétrico (cor) e o vetor de Poynting (setas) no plano da página.

Em física , o vetor de Poynting representa o fluxo de energia direcional (a transferência de energia por unidade de área por unidade de tempo) de um campo eletromagnético . A unidade SI do vetor de Poynting é o watt por metro quadrado (W / m 2 ). Recebeu o nome de seu descobridor John Henry Poynting, que o derivou pela primeira vez em 1884. Oliver Heaviside também o descobriu independentemente na forma mais geral que reconhece a liberdade de adicionar o enrolamento de um campo vetorial arbitrário à definição. O vetor de Poynting é usado em toda a eletromagnética em conjunto com o teorema de Poynting , a equação de continuidade que expressa a conservação da energia eletromagnética , para calcular o fluxo de potência em campos elétricos e magnéticos.

Definição

No artigo original de Poynting e em muitos livros didáticos, o vetor de Poynting é definido como

onde as letras em negrito representam vetores e

Esta expressão é freqüentemente chamada de forma de Abraão . O vector de Poynting é geralmente indicado por S ou N .

Na versão "microscópica" das equações de Maxwell, essa definição deve ser substituída por uma definição em termos de campo elétrico E e densidade de fluxo magnético B (descrita mais adiante neste artigo).

Também é possível combinar o campo de deslocamento elétrico D com a densidade de fluxo magnético B para obter a forma de Minkowski do vetor de Poynting, ou usar D e H para construir outra versão. A escolha foi controversa: Pfeifer et al. resumir e, até certo ponto, resolver a disputa de um século entre os proponentes das formas de Abraão e Minkowski (ver a controvérsia de Abraão-Minkowski ).

O vetor de Poynting representa o caso particular de um vetor de fluxo de energia para energia eletromagnética. Porém, qualquer tipo de energia tem sua direção de movimento no espaço, bem como sua densidade, portanto, vetores de fluxo de energia podem ser definidos também para outros tipos de energia, por exemplo, para energia mecânica . O vetor Umov – Poynting descoberto por Nikolay Umov em 1874 descreve o fluxo de energia em meios líquidos e elásticos em uma visão completamente generalizada.

Interpretação

Um circuito DC consistindo de uma bateria ( V ) e resistor ( R ), mostrando a direção do vetor de Poynting ( S , setas azuis ) no espaço ao seu redor, junto com os campos dos quais ele é derivado; o campo elétrico ( E , setas vermelhas ) e o campo magnético ( H , setas verdes ). Na região ao redor da bateria, o vetor de Poynting é direcionado para fora, indicando que a energia flui da bateria para os campos; na região ao redor do resistor, o vetor é direcionado para dentro, indicando a potência do campo fluindo para o resistor. Em qualquer plano P entre a bateria e o resistor, o fluxo de Poynting está na direção do resistor. As magnitudes (comprimentos) dos vetores não são mostradas com precisão; apenas as direções são significativas.

O vetor de Poynting aparece no teorema de Poynting (veja aquele artigo para a derivação), uma lei de conservação de energia:

onde J f é a densidade de corrente de cargas livres e u é a densidade de energia eletromagnética para materiais lineares não dispersivos , dada por

Onde

  • E é o campo elétrico;
  • D é o campo de deslocamento elétrico;
  • B é a densidade do fluxo magnético;
  • H é o campo magnético.

O primeiro termo no lado direito representa o fluxo de energia eletromagnética em um pequeno volume, enquanto o segundo termo subtrai o trabalho feito pelo campo nas correntes elétricas livres, que assim sai da energia eletromagnética como dissipação , calor, etc. definição, correntes elétricas limitadas não estão incluídas neste termo e, em vez disso, contribuem para S e u .

Para materiais lineares, não dispersivos e isotrópicos (para simplificar), as relações constitutivas podem ser escritas como

Onde

Aqui, ε e μ são constantes escalares com valor real, independentes da posição, direção e frequência.

Em princípio, isso limita o teorema de Poynting nesta forma a campos no vácuo e materiais lineares não dispersivos. Uma generalização para materiais dispersivos é possível sob certas circunstâncias ao custo de termos adicionais.

Uma consequência da fórmula de Poynting é que, para o campo eletromagnético funcionar, tanto os campos magnéticos quanto os elétricos devem estar presentes. O campo magnético sozinho e o campo elétrico sozinho não podem fazer qualquer trabalho.

Formulação em termos de campos microscópicos

A versão "microscópica" (diferencial) das equações de Maxwell admite apenas os campos fundamentais E e B , sem um modelo embutido de mídia material. Apenas a permissividade vácuo e permeabilidade são utilizados, e não há nenhuma D ou H . Quando este modelo é usado, o vetor de Poynting é definido como

Onde

  • µ 0 é a permeabilidade ao vácuo ;
  • E é o vetor do campo elétrico;
  • B é o vetor do campo magnético.

Esta é realmente a expressão geral do vetor de Poynting. A forma correspondente do teorema de Poynting é

onde J é a densidade de corrente total e a densidade de energia u é dada por

onde ε 0 é a permissividade do vácuo , e a notação E 2 é entendida como significando o produto escalar do vetor real E (t) com ele mesmo, portanto, o quadrado da norma do vetor || E ||. Ele pode ser derivado diretamente das equações de Maxwell em termos de carga total e corrente e apenas a lei de força de Lorentz .

As duas definições alternativas do Poynting vector são iguais em vácuo ou em materiais não magnéticos, onde B = μ 0 H . Em todos os outros casos, eles diferem em que S = (1 / μ 0 ) E × B e o u correspondente são puramente radiativos, uma vez que o termo de dissipação - JE cobre a corrente total, enquanto a definição E × H tem contribuições de correntes limitadas que são então excluídas do termo de dissipação.

Uma vez que apenas os campos microscópicos E e B ocorrem na derivação de S = (1 / μ 0 ) E × B e da densidade de energia, as suposições sobre qualquer material presente são evitadas. O vetor de Poynting, o teorema e a expressão da densidade de energia são universalmente válidos no vácuo e em todos os materiais.

Vetor de Poynting com média de tempo

As linhas de campo do vetor de Poynting de média temporal de um dipolo elétrico próximo a um espelho criam padrões complexos.

A forma acima para o vetor de Poynting representa o fluxo de potência instantâneo devido aos campos elétricos e magnéticos instantâneos . Mais comumente, problemas em eletromagnetismo são resolvidos em termos de campos de variação senoidal em uma frequência especificada. Os resultados podem então ser aplicados de forma mais geral, por exemplo, representando a radiação incoerente como uma superposição de tais ondas em diferentes frequências e com amplitudes flutuantes.

Portanto, não estaríamos considerando os instantâneos E ( t ) e H ( t ) usados ​​acima, mas sim uma amplitude complexa (vetorial) para cada uma que descreve a fase de uma onda coerente (bem como a amplitude) usando a notação fasorial . Esses vetores de amplitude complexos não são funções do tempo, pois são entendidos como referindo-se às oscilações ao longo do tempo. Um fasor como E m é entendido como significando um campo sinusoidalmente variável cuja amplitude instantânea E ( t ) segue a parte real de E m e jωt onde ω é a frequência (radiana) da onda senoidal que está sendo considerada.

No domínio do tempo, será visto que o fluxo de potência instantâneo estará flutuando a uma frequência de 2 ω . Mas o que normalmente interessa é o fluxo de potência médio no qual essas flutuações não são consideradas. Na matemática abaixo, isso é realizado integrando-se ao longo de um ciclo completo T = 2 π / ω . A quantidade a seguir, ainda referida como um "vetor de Poynting", é expressa diretamente em termos dos fasores como:

onde denota o conjugado complexo. O fluxo de potência medido no tempo (de acordo com o vetor de Poynting instantâneo calculado ao longo de um ciclo completo, por exemplo) é então dado pela parte real de S m . A parte imaginária geralmente é ignorada, porém significa "potência reativa", como a interferência devido a uma onda estacionária ou ao campo próximo de uma antena. Em uma única onda plana eletromagnética (em vez de uma onda estacionária que pode ser descrita como duas dessas ondas viajando em direções opostas), E e H estão exatamente em fase, então S m é simplesmente um número real de acordo com a definição acima.

A equivalência de Re ( S m ) à média de tempo do vetor de Poynting instantâneo S pode ser mostrada como segue.

A média do vetor de Poynting instantâneo S ao longo do tempo é dada por:

O segundo termo é o componente de dupla frequência com um valor médio de zero, então encontramos:

De acordo com algumas convenções, o fator 1/2 na definição acima pode ser omitido. A multiplicação por 1/2 é necessária para descrever adequadamente o fluxo de potência, uma vez que as magnitudes de E m e H m referem-se aos campos de pico das grandezas oscilantes. Se, em vez disso, os campos são descritos em termos de seus valores de raiz quadrada média (rms) (que são cada um menor pelo fator ), então o fluxo de potência médio correto é obtido sem multiplicação por 1/2.

Exemplos e aplicações

Cabo coaxial

Vetor de Poynting em um cabo coaxial, mostrado em vermelho.

Por exemplo, o vetor de Poynting dentro do isolador dielétrico de um cabo coaxial é quase paralelo ao eixo do fio (assumindo que não há campos fora do cabo e um comprimento de onda maior que o diâmetro do cabo, incluindo DC). A energia elétrica entregue à carga flui inteiramente através do dielétrico entre os condutores . Muito pouca energia flui nos próprios condutores, uma vez que a intensidade do campo elétrico é quase zero. A energia que flui nos condutores flui radialmente para os condutores e é responsável pela perda de energia para o aquecimento resistivo do condutor. Nenhuma energia flui para fora do cabo, já que lá os campos magnéticos dos condutores internos e externos são cancelados a zero.

Dissipação resistiva

Se um condutor tem resistência significativa, então, próximo à superfície desse condutor, o vetor de Poynting seria inclinado em direção ao condutor e colidir com ele. Depois que o vetor de Poynting entra no condutor, ele é dobrado em uma direção quase perpendicular à superfície. Isso é uma consequência da lei de Snell e da velocidade muito lenta da luz dentro de um condutor. A definição e o cálculo da velocidade da luz em um condutor podem ser dados. Dentro do condutor, o vetor de Poynting representa o fluxo de energia do campo eletromagnético para o fio, produzindo aquecimento Joule resistivo no fio. Para uma derivação que começa com a lei de Snell, consulte Reitz, página 454.

Ondas planas

Em uma onda plana eletromagnética polarizada linearmente senoidal de propagação de uma frequência fixa, o vetor de Poynting sempre aponta na direção de propagação enquanto oscila em magnitude. A magnitude da média de tempo do vetor de Poynting é encontrada como acima:

onde E m é a amplitude complexa do campo elétrico e η é a impedância característica do meio de transmissão, ou apenas η 0  377  Ω para uma onda plana no espaço livre. Isso segue diretamente da expressão acima para o vetor de Poynting médio usando quantidades fasoriais, e do fato de que em uma onda plana o campo magnético H m é igual ao campo elétrico E m dividido por η (e, portanto, exatamente em fase).

Em óptica, o valor médio do tempo do fluxo irradiado é tecnicamente conhecido como irradiância , mais frequentemente referido simplesmente como intensidade .

Pressão de radiação

A densidade do momento linear do campo eletromagnético é S / c 2, onde S é a magnitude do vetor de Poynting ec é a velocidade da luz no espaço livre. A pressão de radiação exercida por uma onda eletromagnética na superfície de um alvo é dada por

Campos estáticos

Vetor de Poynting em um campo estático, onde E é o campo elétrico, H o campo magnético e S o vetor de Poynting.

A consideração do vetor de Poynting em campos estáticos mostra a natureza relativística das equações de Maxwell e permite um melhor entendimento da componente magnética da força de Lorentz , q ( v × B ) . Para ilustrar, é considerada a imagem a seguir, que descreve o vetor de Poynting em um capacitor cilíndrico, que está localizado em um campo H (apontando para a página) gerado por um ímã permanente. Embora existam apenas campos elétricos e magnéticos estáticos, o cálculo do vetor de Poynting produz um fluxo circular de energia eletromagnética no sentido horário, sem início ou fim.

Embora o fluxo de energia circulante possa ser contra-intuitivo, é necessário manter a conservação do momento angular . A densidade do momento é proporcional à densidade do fluxo de energia, de modo que o fluxo de energia circulante contém um momento angular . Esta é a causa do componente magnético da força de Lorentz que ocorre quando o capacitor é descarregado. Durante a descarga, o momento angular contido no fluxo de energia se esgota à medida que é transferido para as cargas da corrente de descarga que cruza o campo magnético.

Adicionando a ondulação de um campo vetorial

O vetor de Poynting ocorre no teorema de Poynting apenas por meio de sua divergência ∇ ⋅ S , ou seja, é necessário apenas que a integral de superfície do vetor de Poynting em torno de uma superfície fechada descreva o fluxo líquido de energia eletromagnética para dentro ou para fora do volume fechado. Isso significa que adicionar um campo vetorial solenoidal (um com divergência zero) a S resultará em outro campo que satisfaça esta propriedade necessária de um campo vetorial de Poynting de acordo com o teorema de Poynting. Uma vez que a divergência de qualquer onda é zero , pode-se adicionar a onda de qualquer campo vetorial ao vetor de Poynting e o campo vetorial resultante S ' ainda irá satisfazer o teorema de Poynting.

No entanto, a teoria da relatividade especial , na qual a energia e o momento são definidos localmente e invariantemente por meio do tensor tensão-energia , mostra que a expressão dada acima para o vetor de Poynting é única.

Referências

Leitura adicional