Valor presente - Present value

Em economia e finanças , o valor presente ( VP ), também conhecido como valor presente descontado , é o valor de um fluxo de receita esperado determinado na data da avaliação. O valor presente é geralmente menor que o valor futuro porque o dinheiro tem potencial de aprendizado de juros , uma característica conhecida como o valor do dinheiro no tempo, exceto em períodos de taxas de juros nulas ou negativas, quando o valor presente for igual ou superior ao valor futuro. O valor do tempo pode ser descrito com a frase simplificada: "Um dólar hoje vale mais do que um dólar amanhã". Aqui, 'vale mais' significa que seu valor é maior. Um dólar hoje vale mais do que um dólar amanhã, porque o dólar pode ser investido e render o equivalente a um dia de juros, fazendo com que o total se acumule em um valor superior a um dólar amanhã. Os juros podem ser comparados ao aluguel. Assim como o aluguel é pago ao senhorio por um inquilino sem que a propriedade do ativo seja transferida, os juros são pagos ao credor por um tomador que obtém acesso ao dinheiro por um tempo antes de reembolsá-lo. Ao permitir que o tomador do empréstimo tenha acesso ao dinheiro, o credor sacrificou o valor de troca desse dinheiro e é compensado por ele na forma de juros. O valor inicial dos fundos emprestados (o valor presente) é menor do que o valor total pago ao credor.

Cálculos de valor presente e cálculos de valor futuro semelhantes são usados ​​para avaliar empréstimos , hipotecas , anuidades , fundos de amortização , perpetuidades , títulos e muito mais. Esses cálculos são usados ​​para fazer comparações entre fluxos de caixa que não ocorrem em horários simultâneos, uma vez que as datas devem ser consistentes para fazer comparações entre os valores. Ao decidir entre os projetos nos quais investir, a escolha pode ser feita comparando os respectivos valores presentes de tais projetos por meio do desconto dos fluxos de receita esperados pela taxa de juros do projeto correspondente, ou taxa de retorno. Deve ser escolhido o projeto com o maior valor presente, ou seja, o mais valioso hoje.

Compra de anos

O método tradicional de avaliar os fluxos de receita futuros como uma soma de capital presente é multiplicar o fluxo de caixa anual médio esperado por um múltiplo, conhecido como "compra de anos". Por exemplo, ao vender a um terceiro uma propriedade alugada a um inquilino sob um arrendamento de 99 anos a um aluguel de $ 10.000 por ano, um negócio pode ser fechado em "compra de 20 anos", o que avaliaria o arrendamento em 20 * $ 10.000, ou seja, $ 200.000. Isso equivale a um valor presente descontado perpetuamente a 5%. Para um investimento mais arriscado, o comprador exigiria pagar um número menor de anos de compra. Este foi o método usado, por exemplo, pela coroa inglesa na fixação dos preços de revenda de solares apreendidos na Dissolução dos Mosteiros no início do século XVI. O uso padrão era a compra de 20 anos.

fundo

Se for oferecida uma escolha entre $ 100 hoje ou $ 100 em um ano, e houver uma taxa de juros real positiva ao longo do ano, ceteris paribus , uma pessoa racional escolherá $ 100 hoje. Isso é descrito pelos economistas como preferência de tempo . A preferência de tempo pode ser medida leiloando um título sem risco - como um título do Tesouro dos EUA. Se uma nota de $ 100 com cupom zero, pagável em um ano, for vendida por $ 80 agora, então $ 80 é o valor presente da nota que valerá $ 100 daqui a um ano. Isso ocorre porque o dinheiro pode ser colocado em uma conta bancária ou em qualquer outro investimento (seguro) que retornará juros no futuro.

Um investidor que tem algum dinheiro tem duas opções: gastá-lo agora ou economizá-lo. Mas a compensação financeira por salvá-lo (e não gastá-lo) é que o valor do dinheiro acumulará por meio dos juros compostos que ele receberá de um tomador (a conta bancária em que ele depositou o dinheiro).

Portanto, para avaliar o valor real de uma quantia de dinheiro hoje após um determinado período de tempo, os agentes econômicos compõem a quantia de dinheiro a uma determinada taxa (de juros). A maioria dos cálculos atuariais usa a taxa de juros livre de risco que corresponde à taxa mínima garantida fornecida pela conta poupança de um banco, por exemplo, assumindo nenhum risco de inadimplência do banco para devolver o dinheiro ao titular da conta no prazo. Para comparar a mudança no poder de compra, a taxa de juros real ( taxa de juros nominal menos taxa de inflação ) deve ser usada.

A operação de avaliar um valor presente em um valor futuro é chamada de capitalização (quanto $ 100 hoje valerão em 5 anos?). A operação reversa - avaliar o valor presente de uma quantia futura de dinheiro - é chamada de desconto (quanto $ 100 recebidos em 5 anos - em uma loteria, por exemplo - valerão hoje?).

Segue-se que se for necessário escolher entre receber $ 100 hoje e $ 100 em um ano, a decisão racional é escolher os $ 100 hoje. Se o dinheiro for recebido em um ano e assumindo que a taxa de juros da conta poupança é de 5%, a pessoa deve receber pelo menos $ 105 em um ano para que as duas opções sejam equivalentes (receber $ 100 hoje ou receber $ 105 em uma ano). Isso porque se $ 100 forem depositados em uma conta de poupança, o valor será de $ 105 depois de um ano, novamente sem correr o risco de perder o valor inicial por inadimplência do banco.

Taxa de juros

Os juros são a quantia adicional de dinheiro ganha entre o início e o final de um período de tempo. Os juros representam o valor do dinheiro no tempo e podem ser considerados como o aluguel exigido de um mutuário para usar o dinheiro de um credor. Por exemplo, quando um indivíduo faz um empréstimo bancário, são cobrados juros. Alternativamente, quando um indivíduo deposita dinheiro em um banco, o dinheiro rende juros. Nesse caso, o banco é o tomador dos fundos e é responsável por creditar os juros ao titular da conta. Da mesma forma, quando um indivíduo investe em uma empresa (por meio de títulos corporativos ou de ações ), a empresa está tomando fundos emprestados e deve pagar juros ao indivíduo (na forma de pagamentos de cupons, dividendos ou valorização do preço das ações). A taxa de juros é a variação, expressa em porcentagem, na quantidade de dinheiro durante um período de capitalização. Um período de capitalização é o período de tempo que deve transcorrer antes que os juros sejam creditados ou adicionados ao total. Por exemplo, os juros compostos anualmente são creditados uma vez por ano e o período de capitalização é de um ano. Os juros compostos trimestralmente são creditados quatro vezes ao ano e o período de capitalização é de três meses. Um período de composição pode ser qualquer período de tempo, mas alguns períodos comuns são anuais, semestrais, trimestrais, mensais, diários e até continuamente.

Existem vários tipos e termos associados às taxas de juros :

• Juros compostos , juros que aumentam exponencialmente nos períodos subsequentes,
• Juros simples , juros aditivos que não aumentam
• Taxa de juros efetiva , o equivalente efetivo em comparação com vários períodos de juros compostos
• Juros nominais anuais , a taxa de juros anual simples de vários períodos de juros
• Taxa de desconto , uma taxa de juros inversa ao realizar cálculos ao contrário
• Juros compostos continuamente , o limite matemático de uma taxa de juros com um período de tempo zero.
• Taxa de juros real , que explica a inflação.

Cálculo

A operação de avaliar uma soma de dinheiro presente em algum momento no futuro é chamada de capitalização (quanto valerão 100 hoje em cinco anos?). A operação reversa - avaliar o valor presente de uma quantia futura de dinheiro - é chamada de desconto (quanto valerão 100% recebidos em cinco anos hoje?).

As planilhas geralmente oferecem funções para calcular o valor presente. No Microsoft Excel, existem funções de valor presente para pagamentos únicos - "= VPL (...)" e séries de pagamentos periódicos iguais - "= VP (...)". Os programas calcularão o valor presente de maneira flexível para qualquer fluxo de caixa e taxa de juros ou para uma tabela de taxas de juros diferentes em momentos diferentes.

Valor presente de um montante fixo

O modelo de avaliação atual mais comumente aplicado usa juros compostos . A fórmula padrão é:

${\ displaystyle PV = {\ frac {C} {(1 + i) ^ {n}}} \,}$

Onde está a quantia futura de dinheiro que deve ser descontada, é o número de períodos compostos entre a data presente e a data em que a soma vale , é a taxa de juros para um período de composição (o final de um período de composição é quando os juros são aplicado, por exemplo, anual, semestral, trimestral, mensal, diário). A taxa de juros,, é fornecida como uma porcentagem, mas expressa como um decimal nesta fórmula. ${\ displaystyle \, C \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, C \,}$${\ displaystyle \, i \,}$${\ displaystyle \, i \,}$

Freqüentemente, é referido como o fator de valor presente ${\ displaystyle v ^ {n} = \, (1 + i) ^ {- n}}$

Isso também é encontrado na fórmula para o valor futuro com tempo negativo.

Por exemplo, se você vai receber $ 1000 em cinco anos, e a taxa de juros anual efetiva durante este período for 10% (ou 0,10), então o valor presente deste montante é

${\ displaystyle PV = {\ frac {\ $ 1000} {(1 + 0,10) ^ {5}}} = \ $ 620,92 \,}$

A interpretação é que, para uma taxa de juros anual efetiva de 10%, um indivíduo seria indiferente a receber $ 1.000 em cinco anos, ou $ 620,92 hoje.

O poder de compra na moeda de hoje de uma quantidade de dinheiro, anos no futuro, pode ser calculado com a mesma fórmula, onde, neste caso, é uma taxa de inflação futura presumida . ${\ displaystyle \, C \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, i \,}$

Valor presente líquido de um fluxo de caixa

Um fluxo de caixa é uma quantia de dinheiro que é paga ou recebida, diferenciada por um sinal negativo ou positivo, no final de um período. Convencionalmente, os fluxos de caixa que são recebidos são denotados com um sinal positivo (o caixa total aumentou) e os fluxos de caixa que são pagos são denotados com um sinal negativo (o dinheiro total diminuiu). O fluxo de caixa de um período representa a variação líquida em dinheiro desse período. O cálculo do valor presente líquido,, de um fluxo de fluxos de caixa consiste em descontar cada fluxo de caixa até o presente, usando o fator de valor presente e o número apropriado de períodos compostos, e combinando esses valores. ${\ displaystyle \, NPV \,}$

Por exemplo, se um fluxo de fluxos de caixa consiste em + $ 100 no final do período um, - $ 50 no final do período dois e + $ 35 no final do período três, e a taxa de juros por período composto é de 5% ( 0,05) então o valor presente desses três fluxos de caixa são:

${\ displaystyle PV_ {1} = {\ frac {\ $ 100} {(1,05) ^ {1}}} = \ $ 95,24 \,}$

${\ displaystyle PV_ {2} = {\ frac {- \ $ 50} {(1,05) ^ {2}}} = - \ $ 45,35 \,}$

${\ displaystyle PV_ {3} = {\ frac {\ $ 35} {(1,05) ^ {3}}} = \ $ 30,23 \,}$ respectivamente

Assim, o valor presente líquido seria:

${\ displaystyle NPV = PV_ {1} + PV_ {2} + PV_ {3} = {\ frac {100} {(1.05) ^ {1}}} + {\ frac {-50} {(1.05) ^ { 2}}} + {\ frac {35} {(1,05) ^ {3}}} = 95,24-45,35 + 30,23 = 80,12,}$

Existem algumas considerações a serem feitas.

• Os períodos podem não ser consecutivos. Se for este o caso, os expoentes mudarão para refletir o número apropriado de períodos
• As taxas de juros por período podem não ser as mesmas. O fluxo de caixa deve ser descontado usando a taxa de juros para o período apropriado: se a taxa de juros mudar, a soma deve ser descontada para o período em que a mudança ocorre usando a segunda taxa de juros, então descontada de volta para o presente usando a primeira taxa de juros . Por exemplo, se o fluxo de caixa para o período um for $ 100 e $ 200 para o período dois, e a taxa de juros para o primeiro período for 5% e 10% para o segundo, então o valor presente líquido seria:

${\ displaystyle NPV = 100 \, (1,05) ^ {- 1} +200 \, (1,10) ^ {- 1} \, (1,05) ^ {- 1} = {\ frac {100} {(1,05) ^ {1}}} + {\ frac {200} {(1,10) ^ {1} (1,05) ^ {1}}} = \ $ 95,24 + \ $ 173,16 = \ $ 268,40}$

• A taxa de juros deve necessariamente coincidir com o período de pagamento. Caso contrário, o período de pagamento ou a taxa de juros devem ser modificados. Por exemplo, se a taxa de juros fornecida é a taxa de juros anual efetiva, mas os fluxos de caixa são recebidos (e / ou pagos) trimestralmente, a taxa de juros por trimestre deve ser calculada. Isso pode ser feito convertendo a taxa de juros anual efetiva,, para a taxa de juros anual nominal composta trimestralmente:${\ displaystyle \, i \,}$

${\ displaystyle (1 + i) = \ left (1 + {\ frac {i ^ {4}} {4}} \ right) ^ {4}}$

Aqui, está a taxa de juros anual nominal, composta trimestralmente, e a taxa de juros por trimestre é${\ displaystyle i ^ {4}}$${\ displaystyle {\ frac {i ^ {4}} {4}}}$

Valor presente de uma anuidade

Muitos acordos financeiros (incluindo títulos, outros empréstimos, arrendamentos, salários, taxas de associação, anuidades, incluindo taxas de depreciação lineares e imediatas de anuidades) estipulam cronogramas de pagamento estruturados; pagamentos do mesmo montante em intervalos regulares de tempo. Esse acordo é chamado de anuidade . As expressões para o valor presente de tais pagamentos são somas de séries geométricas .

Existem dois tipos de anuidades: uma anuidade imediata e uma anuidade devida. Para uma anuidade imediata, os pagamentos são recebidos (ou pagos) no final de cada período, nos tempos de 1 a , enquanto para uma anuidade vencida, os pagamentos são recebidos (ou pagos) no início de cada período, nos tempos 0 até . Esta diferença sutil deve ser contabilizada ao calcular o valor presente. ${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, n \,}$${\ displaystyle \, n-1 \,}$

Uma anuidade vencida é uma anuidade imediata com mais um período de remuneração. Assim, os dois valores presentes diferem por um fator de : ${\ displaystyle (1 + i)}$

${\ displaystyle PV _ {\ text {anuidade vencida}} = PV _ {\ text {anuidade imediata}} (1 + i) \, \!}$

O valor presente de uma anuidade imediata é o valor no tempo 0 do fluxo de caixa:

${\ displaystyle PV = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {C} {(1 + i) ^ {k}}} = C \ left [{\ frac {1- (1 + i) ) ^ {- n}} {i}} \ right], \ qquad (1)}$

Onde:

${\ displaystyle \, n \,}$ = número de períodos,

${\ displaystyle \, C \,}$ = quantidade de fluxos de caixa,

${\ displaystyle \, i \,}$ = taxa de juros periódica efetiva ou taxa de retorno.

Uma aproximação para cálculos de anuidade e empréstimo

A fórmula (1) acima para cálculos imediatos de anuidade oferece poucos insights para o usuário médio e requer o uso de alguma forma de máquina de computação. Existe uma aproximação que é menos intimidante, mais fácil de calcular e oferece algumas dicas para o não especialista. É dado por

${\ displaystyle C \ approx PV \ left ({\ frac {1} {n}} + {\ frac {2} {3}} i \ right)}$

Onde, como acima, C é o pagamento de anuidade, PV é o principal, n é o número de pagamentos, começando no final do primeiro período, ei é a taxa de juros por período. Equivalentemente, C é o reembolso periódico do empréstimo para um empréstimo de PV que se estende por n períodos à taxa de juros, i. A fórmula é válida (para n positivo, i) para ni≤3. Para completude, para ni≥3 a aproximação é . ${\ displaystyle C \ approx PVi}$

A fórmula pode, em algumas circunstâncias, reduzir o cálculo a apenas um cálculo de aritmética mental. Por exemplo, quais são as amortizações (aproximadas) de empréstimos para um empréstimo de VP = $ 10.000 pagos anualmente por n = dez anos com juros de 15% (i = 0,15)? A fórmula aproximada aplicável é C ≈ 10.000 * (1/10 + (2/3) 0,15) = 10.000 * (0,1 + 0,1) = 10.000 * 0,2 = $ 2.000 por ano apenas pela aritmética mental. A verdadeira resposta é US $ 1993, muito próximo.

A aproximação geral é precisa dentro de ± 6% (para todos n≥1) para taxas de juros 0≤i≤0,20 e dentro de ± 10% para taxas de juros 0,20≤i≤0,40. No entanto, destina-se apenas a cálculos "aproximados".

Valor presente de uma perpetuidade

Uma perpetuidade refere-se a pagamentos periódicos, a receber indefinidamente, embora existam poucos desses instrumentos. O valor presente de uma perpetuidade pode ser calculado tomando o limite da fórmula acima quando n se aproxima do infinito.

${\ displaystyle PV \, = \, {\ frac {C} {i}}. \ qquad (2)}$

A fórmula (2) também pode ser encontrada subtraindo de (1) o valor presente de uma perpetuidade atrasada n períodos, ou diretamente somando o valor presente dos pagamentos

${\ displaystyle PV = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {C} {(1 + i) ^ {k}}} = {\ frac {C} {i}}, \ qquad i> 0,}$

que formam uma série geométrica .

Novamente, há uma distinção entre uma perpetuidade imediata - quando os pagamentos são recebidos no final do período - e uma perpetuidade devida - um pagamento recebido no início de um período. E de forma semelhante aos cálculos de anuidade, uma perpetuidade devida e uma perpetuidade imediata diferem por um fator de : ${\ displaystyle (1 + i)}$

${\ displaystyle PV _ {\ text {perpetuidade devido}} = PV _ {\ text {perpetuidade imediata}} (1 + i) \, \!}$

PV de um título

Veja: Avaliação de títulos # Abordagem de valor presente

Uma corporação emite um título , um título de dívida que recebe juros, a um investidor para levantar fundos. O título tem um valor de face ,, taxa de cupom , e data de vencimento que, por sua vez, fornece o número de períodos até o vencimento da dívida e deve ser reembolsado. O titular do título receberá pagamentos de cupom semestralmente (a menos que especificado de outra forma) no valor de , até o vencimento do título, momento em que receberá o pagamento final do cupom e o valor de face do título ,. ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle Fr}$${\ displaystyle F (1 + r)}$

O valor presente de um título é o preço de compra. O preço de compra pode ser calculado como:

${\ displaystyle PV = \ left [\ sum _ {k = 1} ^ {n} Fr (1 + i) ^ {- k} \ right]}$ ${\ displaystyle + F (1 + i) ^ {- n}}$

O preço de compra é igual ao valor de face do título se a taxa de cupom for igual à taxa de juros atual de mercado e, neste caso, o título é dito vendido 'ao par'. Se a taxa de cupom for menor que a taxa de juros de mercado, o preço de compra será menor do que o valor de face do título, e o título será vendido 'com desconto' ou abaixo do valor nominal. Finalmente, se a taxa de cupom for maior do que a taxa de juros de mercado, o preço de compra será maior do que o valor de face do título, e o título é dito ter sido vendido 'a prêmio', ou acima do par.

Detalhes técnicos

O valor presente é aditivo . O valor presente de um pacote de fluxos de caixa é a soma do valor presente de cada um. Veja o valor do dinheiro no tempo para uma discussão mais detalhada. Esses cálculos devem ser aplicados com cuidado, pois existem suposições subjacentes:

• Que não é necessário contabilizar a inflação dos preços , ou alternativamente, que o custo da inflação é incorporado à taxa de juros; veja Títulos indexados à inflação .
• Que a probabilidade de recebimento dos pagamentos é alta - ou, alternativamente, que o risco de inadimplência esteja incorporado à taxa de juros; consulte # análise de risco de títulos corporativos .

(Na verdade, o valor presente de um fluxo de caixa a uma taxa de juros constante é matematicamente um ponto na transformação de Laplace desse fluxo de caixa, avaliado com a variável de transformação (geralmente denotada como "s") igual à taxa de juros. A transformação de Laplace completa é a curva de todos os valores presentes, plotados em função da taxa de juros. Para o tempo discreto, onde os pagamentos são separados por grandes períodos de tempo, a transformação se reduz a uma soma, mas quando os pagamentos estão em andamento em uma base quase contínua, a matemática do contínuo funções podem ser usadas como uma aproximação.)

Variantes / abordagens

Existem basicamente dois tipos de valor presente. Sempre que houver incertezas tanto no tempo quanto no valor dos fluxos de caixa, a abordagem do valor presente esperado frequentemente será a técnica apropriada.

• Abordagem do valor presente tradicional - nesta abordagem, um único conjunto de fluxos de caixa estimados e uma única taxa de juros (proporcional ao risco, normalmente uma média ponderada dos componentes de custo) serão usados ​​para estimar o valor justo.
• Abordagem do valor presente esperado - nesta abordagem, múltiplos cenários de fluxos de caixa com probabilidades diferentes / esperadas e uma taxa livre de risco ajustada para crédito são usados ​​para estimar o valor justo.

Escolha da taxa de juros

A taxa de juros utilizada é a taxa de juros livre de risco se não houver riscos envolvidos no projeto. A taxa de retorno do projeto deve ser igual ou superior a essa taxa de retorno ou seria melhor investir o capital nesses ativos livres de risco. Se houver riscos envolvidos em um investimento, isso pode ser refletido pelo uso de um prêmio de risco . O prêmio de risco exigido pode ser encontrado comparando o projeto com a taxa de retorno exigida de outros projetos com riscos semelhantes. Assim, é possível para os investidores levarem em consideração qualquer incerteza envolvida em vários investimentos.

Método de valor presente de avaliação

Um investidor, o emprestador de dinheiro, deve decidir o projeto financeiro no qual investir seu dinheiro, e o valor presente oferece um método de decisão. Um projeto financeiro requer um desembolso inicial de dinheiro, como o preço das ações ou o preço de um título corporativo. O projeto pretende devolver o desembolso inicial, bem como algum excedente (por exemplo, juros ou fluxos de caixa futuros). Um investidor pode decidir em qual projeto investir, calculando o valor presente de cada projeto (usando a mesma taxa de juros para cada cálculo) e comparando-os. O projeto com o menor valor presente - o menor desembolso inicial - será escolhido porque oferece o mesmo retorno dos outros projetos pelo menor valor monetário.

Veja também

• Orçamento de capital
• Derivado (finanças)
• Valor vitalício
• Liquidação
• Valor presente líquido

Referências

Leitura adicional

• Henderson, David R. (2008). "Valor Presente" . Concise Encyclopedia of Economics (2ª ed.). Indianápolis: Biblioteca de Economia e Liberdade . ISBN 978-0865976658. OCLC  237794267 .