Noção primitiva - Primitive notion
Em matemática , lógica , filosofia e sistemas formais , uma noção primitiva é um conceito que não é definido em termos de conceitos previamente definidos. Muitas vezes é motivado informalmente, geralmente por um apelo à intuição e à experiência cotidiana. Em uma teoria axiomática , as relações entre noções primitivas são restritas por axiomas . Alguns autores referem-se a este último como "definição" de noções primitivas por um ou mais axiomas, mas isso pode ser enganoso. As teorias formais não podem dispensar noções primitivas, sob pena de regressão infinita (de acordo com o problema da regressão ).
Por exemplo, na geometria contemporânea, ponto , linha e contém são algumas noções primitivas. Em vez de tentar defini-los, sua interação é regida (no sistema de axiomas de Hilbert ) por axiomas como "Para cada dois pontos existe uma linha que contém os dois".
Detalhes
Alfred Tarski explicou o papel das noções primitivas da seguinte maneira:
- Quando nos propomos a construir uma dada disciplina, distinguimos, em primeiro lugar, um certo pequeno grupo de expressões desta disciplina que nos parecem ser imediatamente compreensíveis; as expressões neste grupo chamamos de TERMOS PRIMITIVOS ou TERMOS INDEFINIDOS e os empregamos sem explicar seus significados. Ao mesmo tempo, adotamos o princípio: não empregar nenhuma das outras expressões da disciplina em consideração, a menos que seu significado tenha sido determinado primeiro com a ajuda de termos primitivos e de tais expressões da disciplina cujos significados foram explicados anteriormente. A frase que determina o significado de um termo desta forma é chamada de DEFINIÇÃO, ...
Uma regressão inevitável às noções primitivas na teoria do conhecimento foi explicada por Gilbert de B. Robinson :
- Para um não matemático, muitas vezes é uma surpresa que seja impossível definir explicitamente todos os termos que são usados. Este não é um problema superficial, mas está na raiz de todo o conhecimento; é necessário começar de algum lugar e, para progredir, é preciso declarar claramente os elementos e as relações que são indefinidas e as propriedades que são tidas como certas.
Exemplos
A necessidade de noções primitivas é ilustrada em vários fundamentos axiomáticos em matemática:
- Teoria dos conjuntos : o conceito de conjunto é um exemplo de noção primitiva. Como escreve Mary Tiles : [A] 'definição' de 'conjunto' é menos uma definição do que uma tentativa de explicação de algo que está recebendo o status de um termo primitivo indefinido. Como evidência, ela cita Felix Hausdorff : "Um conjunto é formado pelo agrupamento de objetos individuais em um todo. Um conjunto é uma pluralidade pensada como uma unidade."
- Teoria do conjunto ingênuo : o conjunto vazio é uma noção primitiva. Afirmar que existe seria um axioma implícito .
- Aritmética de Peano : a função sucessora e o número zero são noções primitivas. Visto que a aritmética de Peano é útil em relação às propriedades dos números, os objetos que as noções primitivas representam podem não ter importância estrita.
- Sistemas axiomáticos : as noções primitivas dependerão do conjunto de axiomas escolhidos para o sistema. Alessandro Padoa discutiu essa seleção no Congresso Internacional de Filosofia em Paris em 1900. As noções em si podem não necessariamente precisar ser declaradas; Susan Haack (1978) escreve: "Diz-se às vezes que um conjunto de axiomas fornece uma definição implícita de seus termos primitivos."
- Geometria euclidiana : Sob o sistema de axiomas de Hilbert, as noções primitivas são ponto, linha, plano, congruência, interferência e incidência .
- Geometria euclidiana : sob o sistema axioma de Peano, as noções primitivas são ponto, segmento e movimento .
Primitivos de Russell
Em seu livro sobre filosofia da matemática , The Principles of Mathematics, Bertrand Russell usou estas noções: Para o cálculo de classes ( teoria dos conjuntos ), ele usou relações , considerando a filiação ao conjunto uma noção primitiva. Para estabelecer conjuntos, ele também requer funções proposicionais como primitivas, bem como a frase "tal que", conforme usada na notação do construtor de conjuntos . (pp 18,9) Com relação às relações, Russell toma como noções primitivas a relação inversa e a relação complementar de um dado xRy . Além disso, os produtos lógicos das relações e os produtos relativos das relações são primitivos. (p 25) Quanto à denotação de objetos por descrição, Russell reconhece que uma noção primitiva está envolvida. (p 27) A tese do livro de Russell é "A matemática pura usa apenas algumas noções, e essas são constantes lógicas." (p xxi)
Veja também
- Teoria dos conjuntos axiomáticos
- Fundamentos da geometria
- Fundamentos da matemática
- Constante lógica
- Lógica matemática
- Noção (filosofia)
- Teoria do objeto
- Metalinguagem semântica natural