Fórmulas Frenet – Serret - Frenet–Serret formulas

Uma curva de espaço; os vetores T , N e B ; e o plano osculante medido por T e N

Na geometria diferencial , as fórmulas de Frenet-Serret descrevem as propriedades cinemáticas de uma partícula que se move ao longo de uma curva contínua e diferenciável no espaço euclidiano tridimensional R 3 , ou as propriedades geométricas da própria curva independentemente de qualquer movimento. Mais especificamente, as fórmulas descrevem as derivadas dos chamados vetores de unidade tangente, normal e binormal em termos um do outro. As fórmulas têm o nome de dois matemáticos franceses que as descobriram independentemente: Jean Frédéric Frenet , em sua tese de 1847, e Joseph Alfred Serret em 1851. A notação vetorial e a álgebra linear usadas atualmente para escrever essas fórmulas ainda não estavam em uso na época de sua descoberta.

Os vetores unitários tangente, normal e binormal, muitas vezes chamados de T , N e B , ou coletivamente o quadro Frenet-Serret ou quadro TNB , juntos formam uma base ortonormal abrangendo R 3 e são definidos da seguinte forma:

  • T é o vetor unitário tangente à curva, apontando na direção do movimento.
  • N é o vetor unitário normal , a derivada de T em relação ao parâmetro de comprimento de arco da curva, dividido por seu comprimento.
  • B é o vector de unidade binormal, o produto transversal de T e N .

As fórmulas Frenet – Serret são:

onde d / ds é a derivada em relação ao comprimento de arco, κ é a curvatura e τ é a torção da curva. Os dois escalares κ e τ efetivamente definem a curvatura e a torção de uma curva espacial. A coleção associada, T , N , B , κ e τ , é chamada de aparelho Frenet-Serret . Intuitivamente, a curvatura mede a falha de uma curva em ser uma linha reta, enquanto a torção mede a falha de uma curva em ser plana.

Definições

Os vetores T e N em dois pontos em uma curva plana, uma versão traduzida do segundo quadro (pontilhada) e a mudança em T : δ T ' . δs é a distância entre os pontos. No limite estará na direção N e a curvatura descreve a velocidade de rotação da moldura.

Seja r ( t ) uma curva no espaço euclidiano , representando o vetor posição da partícula em função do tempo. As fórmulas Frenet – Serret aplicam-se a curvas não degeneradas , o que significa grosso modo que têm curvatura diferente de zero . Mais formalmente, nesta situação o vetor velocidade r ′ ( t ) e o vetor aceleração r ′ ′ ( t ) precisam não ser proporcionais.

Seja s ( t ) o comprimento do arco pelo qual a partícula se moveu ao longo da curva no tempo t . A quantidade s é usada para dar à curva traçada pela trajetória da partícula uma parametrização natural pelo comprimento do arco (ou seja , parametrização do comprimento do arco ), uma vez que muitos caminhos de partícula diferentes podem traçar a mesma curva geométrica ao percorrê-la em taxas diferentes. Em detalhes, s é dado por

Além disso, como assumimos que r ′ ≠ 0, segue-se que s ( t ) é uma função estritamente monotonicamente crescente. Portanto, é possível resolver para t em função de s , e assim escrever r ( s ) = r ( t ( s )). A curva é então parametrizada de maneira preferencial pelo comprimento do seu arco.

Com uma curva não degenerada r ( s ), parametrizada por seu comprimento de arco, agora é possível definir o quadro Frenet – Serret (ou quadro TNB ):

  • O vetor de unidade tangente T é definido como

     

     

     

     

    ( 1 )

  • O vetor unitário normal N é definido como

     

     

     

     

    ( 2 )

Observe que, ao chamar curvatura , obtemos automaticamente a primeira relação.

  • O vetor de unidade binormal B é definido como o produto vetorial de T e N :

     

     

     

     

    ( 3 )

O quadro Frenet-Serret movendo-se ao longo de uma hélice . A T é representado pela seta azul, N é representado pela seta vermelha, enquanto B é representado pela seta preta.

A partir da equação ( 2 ) que se segue, uma vez que t sempre tem a unidade de magnitude , que N (a mudança de T ) é sempre perpendicular ao T , uma vez que não existe qualquer alteração no comprimento de T . A partir da equação ( 3 ) segue-se que B é sempre perpendicular a ambos T e N . Assim, os três vetores unitários T , N e B são todos perpendiculares entre si.

As fórmulas Frenet – Serret são:

onde está a curvatura e está a torção .

As fórmulas de Frenet-Serret também são conhecidas como teorema de Frenet-Serret e podem ser declaradas de forma mais concisa usando a notação de matriz:

Esta matriz é assimétrica .

Fórmulas em n dimensões

As fórmulas Frenet-Serret foram generalizadas para espaços euclidianos de dimensão superior por Camille Jordan em 1874.

Suponha que r ( s ) seja uma curva suave em R n , e que as primeiras n derivadas de r sejam linearmente independentes. Os vetores no referencial de Frenet – Serret são uma base ortonormal construída pela aplicação do processo de Gram-Schmidt aos vetores ( r ′ ( s ), r ′ ′ ( s ), ..., r ( n ) ( s )).

Em detalhes, o vetor tangente unitário é o primeiro vetor Frenet e 1 ( s ) e é definido como

Onde

O vetor normal , às vezes chamado de vetor de curvatura , indica que o desvio da curva de ser uma linha reta. É definido como

Sua forma normalizada, o vetor normal unitário , é o segundo vetor Frenet e 2 ( s ) e definido como

A tangente e o vetor normal no ponto s definem o plano osculante no ponto r ( s ).

Os vetores restantes no quadro (o binormal, trinormal, etc.) são definidos de forma semelhante por

O último vetor no quadro é definido pelo produto cruzado dos primeiros n-1 vetores:

As funções de valor real usadas abaixo χ i ( s ) são chamadas de curvatura generalizada e são definidas como

As fórmulas Frenet-Serret , declaradas em linguagem de matriz, são

Observe que, conforme definido aqui, as curvaturas generalizadas e a moldura podem diferir ligeiramente da convenção encontrada em outras fontes. A curvatura superior (também chamada de torção, neste contexto) e o último vetor no quadro , diferem por um sinal

(a orientação da base) da torção usual. As fórmulas Frenet – Serret são invariantes sob inverter o sinal de ambos e , e essa mudança de sinal torna o quadro positivamente orientado. Conforme definido acima, o quadro herda sua orientação do jato de .

Prova

Considere a matriz 3 por 3

As linhas dessa matriz são vetores unitários perpendiculares entre si: uma base ortonormal de . Como resultado, a transposta de Q é igual ao inverso de Q : Q é uma matriz ortogonal . Basta mostrar que

Observe que a primeira linha desta equação já é válida, por definição do N normal e da curvatura κ , bem como a última linha pela definição de torção. Então, é suficiente mostrar quedQ/dsQ T é uma matriz assimétrica . Uma vez que I = QQ T , tomar uma derivada e aplicar a regra do produto resulta

que estabelece a simetria de inclinação necessária.

Aplicações e interpretação

Cinemática do quadro

O quadro Frenet-Serret movendo-se ao longo de uma hélice no espaço

O quadro Frenet-Serret que consiste na tangente T , normal N e binormal B coletivamente forma uma base ortonormal de 3-espaço. Em cada ponto da curva, ele anexa um quadro de referência ou sistema de coordenadas retilíneas (veja a imagem).

As fórmulas Frenet – Serret admitem uma interpretação cinemática . Imagine que um observador se move ao longo da curva no tempo, usando o quadro anexado em cada ponto como seu sistema de coordenadas. As fórmulas Frenet – Serret significam que este sistema de coordenadas está constantemente girando conforme um observador se move ao longo da curva. Portanto, este sistema de coordenadas é sempre não inercial . O momento angular do sistema de coordenadas do observador é proporcional ao vetor de Darboux do quadro.

Um topo cujo eixo está situado ao longo do binormal é observado girando com velocidade angular κ. Se o eixo estiver ao longo da tangente, observa-se que gira com velocidade angular τ.

Concretamente, suponha que o observador carregue um topo ( inercial) (ou giroscópio ) com ele ao longo da curva. Se o eixo do topo aponta ao longo da tangente à curva, então ele será observado girando em torno de seu eixo com velocidade angular -τ em relação ao sistema de coordenadas não inercial do observador. Se, por outro lado, o eixo do topo aponta na direção binormal, então ele gira com velocidade angular -κ. Isso é facilmente visualizado no caso em que a curvatura é uma constante positiva e a torção desaparece. O observador está então em movimento circular uniforme . Se o topo aponta na direção do binormal, então, pela conservação do momento angular, ele deve girar na direção oposta do movimento circular. No caso limite, quando a curvatura desaparece, a precessão normal do observador em torno do vetor tangente e, da mesma forma, o topo irá girar na direção oposta desta precessão.

O caso geral é ilustrado abaixo . Existem outras ilustrações na Wikimedia.

Formulários. A cinemática do quadro tem muitas aplicações nas ciências.

  • Nas ciências da vida , particularmente em modelos de movimento microbiano, as considerações do referencial Frenet-Serret têm sido usadas para explicar o mecanismo pelo qual um organismo em movimento em um meio viscoso muda sua direção.
  • Na física, o quadro Frenet-Serret é útil quando é impossível ou inconveniente atribuir um sistema de coordenadas natural para uma trajetória. Esse é frequentemente o caso, por exemplo, na teoria da relatividade . Dentro deste cenário, quadros Frenet-Serret foram usados ​​para modelar a precessão de um giroscópio em um poço gravitacional.

Ilustrações Gráficas

  1. Exemplo de uma base de Frenet móvel ( T em azul, N em verde, B em roxo) ao longo da curva de Viviani .

Frenet-Serret-frame ao longo Vivani-curve.gif

  1. No exemplo de um nó de toro , o vetor tangente T , o vetor normal N e o vetor binormal B , junto com a curvatura κ (s) e a torção τ (s) são exibidos.
    Nos picos da função de torção, a rotação do quadro Frenet-Serret ( T , N , B ) em torno do vetor tangente é claramente visível.

Torus-Knot nebeneinander animated.gif

  1. O significado cinemático da curvatura é melhor ilustrado com curvas planas (com torção constante igual a zero). Veja a página sobre curvatura das curvas planas .

Fórmulas de Frenet-Serret em cálculo

As fórmulas Frenet – Serret são frequentemente introduzidas em cursos de cálculo multivariável como um companheiro para o estudo de curvas espaciais como a hélice . Uma hélice pode ser caracterizada pela altura 2π he raio r de uma única volta. A curvatura e torção de uma hélice (com raio constante) são dadas pelas fórmulas

Duas hélices (slinkies) no espaço. (a) Uma hélice mais compacta com maior curvatura e menor torção. (b) Uma hélice esticada com torção ligeiramente maior, mas curvatura inferior.

O sinal da torção é determinado pelo destro ou canhoto sentido em que as voltas da hélice em torno do seu eixo central. Explicitamente, a parametrização de uma única volta de uma hélice destra com altura 2π he raio r é

x = r cos t
y = r sen t
z = h t
(0 ≤ t ≤ 2 π)

e, para uma hélice canhota,

x = r cos t
y = - r sen t
z = h t
(0 ≤ t ≤ 2 π).

Observe que essas não são as parametrizações de comprimento de arco (nesse caso, cada um de x , y e z precisaria ser dividido por .)

Em seus escritos expositivos sobre a geometria das curvas, Rudy Rucker emprega o modelo de uma furadeira para explicar o significado da torção e curvatura. O slinky, diz ele, é caracterizado pela propriedade de que a quantidade

permanece constante se o slinky for esticado verticalmente ao longo de seu eixo central. (Aqui 2π h é a altura de uma única torção do slinky e r o raio.) Em particular, a curvatura e a torção são complementares no sentido de que a torção pode ser aumentada às custas da curvatura ao esticar o slinky.

Expansão de Taylor

Diferenciar repetidamente a curva e aplicar as fórmulas de Frenet – Serret dá a seguinte aproximação de Taylor para a curva perto de s  = 0:

Para uma curva genérica com torção sem anulação, a projeção da curva em vários planos de coordenadas no sistema de coordenadas T , N , B em s = 0 tem as seguintes interpretações:

  • O plano osculador é o plano que contém T e N . A projeção da curva neste plano tem a forma:
    Esta é uma parábola até termos da ordem o ( s 2 ), cuja curvatura em 0 é igual a κ (0).
  • O plano normal é o plano que contém N e B . A projeção da curva neste plano tem a forma:
    que é uma cúspide cúbica na ordem de o ( s 3 ).
  • O plano de rectificação é o plano que contém T e B . A projeção da curva neste plano é:
    que traça o gráfico de um polinômio cúbico na ordem o ( s 3 ).

Fitas e tubos

Uma fita definida por uma curva de torção constante e uma curvatura altamente oscilante. A parametrização do comprimento do arco da curva foi definida via integração das equações de Frenet-Serret.

O aparelho Frenet-Serret permite definir certas fitas e tubos ideais centralizados em torno de uma curva. Eles têm diversas aplicações na ciência dos materiais e na teoria da elasticidade , bem como na computação gráfica .

A fita Frenet ao longo de uma curva C é a superfície traçada pela varredura do segmento de linha [- N , N ] gerado pela unidade normal ao longo da curva. Esta superfície é muitas vezes confundida com a developable tangente , que é o envelope E dos planos osculating de C . Isto é talvez porque tanto a fita Frenet e E apresentam propriedades semelhantes ao longo C . A saber, os planos tangentes de ambas as folhas de E , perto do locus singular C onde essas folhas se cruzam, aproximam-se dos planos osculantes de C ; os planos tangentes da fita Frenet ao longo de C são iguais a esses planos osculantes. A fita Frenet em geral não pode ser desenvolvida.

Congruência de curvas

Na geometria euclidiana clássica , interessa-se estudar as propriedades das figuras no plano que são invariáveis sob a congruência, de modo que, se duas figuras são congruentes, devem ter as mesmas propriedades. O aparato Frenet-Serret apresenta a curvatura e a torção como invariantes numéricos de uma curva espacial.

Grosso modo, duas curvas C e C ′ no espaço são congruentes se uma puder ser movida rigidamente para a outra. Um movimento rígido consiste em uma combinação de translação e rotação. Uma translação move um ponto de C para um ponto de C ′. A rotação então ajusta a orientação da curva C para se alinhar com a de C ′. Essa combinação de translação e rotação é chamada de movimento euclidiano . Em termos da parametrização r ( t ) que define a primeira curva C , um movimento euclidiano geral de C é uma composição das seguintes operações:

  • ( Tradução ) r ( t ) → r ( t ) + v , onde v é um vetor constante.
  • ( Rotação ) r ( t ) + vM ( r ( t ) + v ), onde M é a matriz de uma rotação.

O quadro Frenet-Serret é particularmente bem comportado em relação aos movimentos euclidianos. Primeiro, como T , N e B podem ser dados como derivadas sucessivas da parametrização da curva, cada um deles é insensível à adição de um vetor constante a r ( t ). Intuitivamente, o quadro TNB anexado a r ( t ) é o mesmo que o quadro TNB anexado à nova curva r ( t ) + v .

Isso deixa apenas as rotações a serem consideradas. Intuitivamente, se aplicarmos uma rotação M à curva, o quadro TNB também girará. Mais precisamente, a matriz Q cujas linhas são os vetores TNB do quadro Frenet-Serret muda pela matriz de uma rotação

A fortiori , a matrizdQ/dsQ T não é afetado por uma rotação:

já que MM T = I para a matriz de uma rotação.

Daí as entradas κ e τ dedQ/dsQ T são invariantes da curva sob movimentos euclidianos: se um movimento euclidiano é aplicado a uma curva, então a curva resultante tem a mesma curvatura e torção.

Além disso, usando o referencial de Frenet – Serret, também se pode provar o contrário: quaisquer duas curvas com as mesmas funções de curvatura e torção devem ser congruentes por um movimento euclidiano. Grosso modo, as fórmulas de Frenet – Serret expressam a derivada de Darboux do quadro TNB . Se as derivadas de Darboux de dois referenciais são iguais, então uma versão do teorema fundamental do cálculo afirma que as curvas são congruentes. Em particular, a curvatura e a torção são um conjunto completo de invariantes para uma curva em três dimensões.

Outras expressões da moldura

As fórmulas fornecidas acima para T , N e B dependem da curva sendo fornecida em termos do parâmetro de comprimento de arco. Esta é uma suposição natural na geometria euclidiana, porque o comprimento de arco é um invariante euclidiano da curva. Na terminologia da física, a parametrização de comprimento de arco é uma escolha natural de medidor . No entanto, pode ser difícil de trabalhar na prática. Várias outras expressões equivalentes estão disponíveis.

Suponha que a curva seja dada por r ( t ), onde o parâmetro t não precisa mais ser um comprimento de arco. Então, o vetor tangente unitário T pode ser escrito como

O vetor normal N assume a forma

O binormal B é então

Uma maneira alternativa de chegar às mesmas expressões é pegar as três primeiras derivadas da curva r ′ ( t ), r ′ ′ ( t ), r ′ ′ ′ ( t ) e aplicar o processo de Gram-Schmidt . A base ortonormal ordenada resultante é precisamente o quadro TNB . Este procedimento também se generaliza para produzir quadros Frenet em dimensões superiores.

Em termos do parâmetro t , as fórmulas Frenet – Serret obtêm um fator adicional de || r ′ ( t ) || por causa da regra da cadeia :

Expressões explícitas para a curvatura e torção podem ser calculadas. Por exemplo,

A torção pode ser expressa usando um produto triplo escalar como segue,

Casos especiais

Se a curvatura for sempre zero, a curva será uma linha reta. Aqui os vetores N , B e a torção não estão bem definidos.

Se a torção for sempre zero, a curva ficará em um plano.

Uma curva pode ter curvatura diferente de zero e torção zero. Por exemplo, o círculo de raio R dada por r ( t ) = ( R cos t , R sin t , 0) no z = 0 avião tem zero de torção e curvatura igual a 1 / R . O inverso, entretanto, é falso. Ou seja, uma curva regular com torção diferente de zero deve ter curvatura diferente de zero. (Isso é apenas a contraposição do fato de que a curvatura zero implica torção zero.)

Uma hélice tem curvatura e torção constantes.

Curvas planas

Dada uma curva contida no plano x - y , seu vetor tangente T também está contido nesse plano. Seu vetor binormal B pode ser postulado naturalmente para coincidir com a normal ao plano (ao longo do eixo z ). Finalmente, a curva normal pode ser encontrado completar o sistema destro, N = B × T . Esta forma é bem definida mesmo quando a curvatura é zero; por exemplo, a normal a uma linha reta em um plano será perpendicular à tangente, todas coplanares.

Veja também

Notas

Referências

links externos