Princípio da explosão - Principle of explosion

Na lógica clássica , lógica intuicionista e sistemas lógicos semelhantes, o princípio da explosão ( latim : ex falso [sequitur] quodlibet , 'da falsidade, qualquer coisa [segue]'; ou ex contradictione [sequitur] quodlibet , 'da contradição, qualquer coisa [segue ] '), ou o princípio de Pseudo-Scotus , é a lei segundo a qual qualquer afirmação pode ser provada a partir de uma contradição . Isto é, uma vez que uma contradição tenha sido afirmada, qualquer proposição (incluindo suas negações ) pode ser inferida dela; isso é conhecido como explosão dedutiva .

A prova desse princípio foi dada pela primeira vez pelo filósofo francês do século 12, William de Soissons . Devido ao princípio da explosão, a existência de uma contradição ( inconsistência ) em um sistema axiomático formal é desastrosa; uma vez que qualquer afirmação pode ser provada, ela banaliza os conceitos de verdade e falsidade. Por volta da virada do século 20, a descoberta de contradições como o paradoxo de Russell nos fundamentos da matemática ameaçava toda a estrutura da matemática. Matemáticos como Gottlob Frege , Ernst Zermelo , Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem se esforçaram muito para revisar a teoria dos conjuntos para eliminar essas contradições, resultando na moderna teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel .

Como demonstração do princípio, considere duas afirmações contraditórias - "Todos os limões são amarelos" e "Nem todos os limões são amarelos" - e suponha que ambas sejam verdadeiras. Se for esse o caso, tudo pode ser provado, por exemplo, a afirmação de que " existem unicórnios ", usando o seguinte argumento:

Sabemos que "Nem todos os limões são amarelos", pois se supõe que seja verdade.
Sabemos que "Todos os limões são amarelos", como se supõe que seja verdade.
Portanto, a declaração de duas partes "Todos os limões são amarelos OU unicórnios existem" também deve ser verdadeira, uma vez que a primeira parte "Todos os limões são amarelos" da declaração de duas partes é verdadeira (como foi assumido).
No entanto, uma vez que sabemos que "Nem todos os limões são amarelos" (como foi assumido), a primeira parte é falsa e, portanto, a segunda parte deve ser verdadeira para garantir que a afirmação de duas partes seja verdadeira, ou seja, existem unicórnios .

Em uma solução diferente para esses problemas, alguns matemáticos desenvolveram teorias alternativas de lógica chamadas lógicas paraconsistentes , que eliminam o princípio da explosão. Isso permite que algumas afirmações contraditórias sejam provadas sem afetar outras provas.

Representação simbólica

Na lógica simbólica , o princípio da explosão pode ser expresso esquematicamente da seguinte forma:

${\ displaystyle P, \ lnot P \ vdash Q}$ Para quaisquer afirmações P e Q , se P e não- P forem ambos verdadeiros, segue-se logicamente que Q é verdadeiro.

Prova

Abaixo está uma prova formal do princípio usando lógica simbólica

Etapa	Proposição	Derivação
1	${\ displaystyle P}$	Suposição
2	${\ displaystyle \ neg P}$	Suposição
3	${\ displaystyle P \ lor Q}$	Introdução de disjunção (1)
4	${\ displaystyle Q}$	Silogismo disjuntivo (3,2)

Esta é apenas a versão simbólica do argumento informal dado na introdução, com significando "todos os limões são amarelos" e significando "Unicórnios existem". Começamos assumindo que (1) todos os limões são amarelos e que (2) nem todos os limões são amarelos. Da proposição de que todos os limões são amarelos, inferimos que (3) ou todos os limões são amarelos ou existem unicórnios. Mas então, a partir disso e do fato de que nem todos os limões são amarelos, inferimos que (4) os unicórnios existem por silogismo disjuntivo. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$

Argumento semântico

Um argumento alternativo para o princípio origina-se da teoria do modelo . Uma frase é uma consequência semântica de um conjunto de frases apenas se todo modelo de for um modelo de . No entanto, não existe um modelo do conjunto contraditório . A fortiori , não existe um modelo de que não seja um modelo de . Assim, vagamente, todo modelo de é um modelo de . Portanto, é uma consequência semântica de . ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}$ ${\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle (P \ wedge \ lnot P)}$

Lógica paraconsistente

Lógicas paraconsistentes foram desenvolvidas para permitir a formação de operadores subcontrários. Os lógicos paraconsistentes teóricos de modelos frequentemente negam a suposição de que não pode haver nenhum modelo e criam sistemas semânticos nos quais existam tais modelos. Alternativamente, eles rejeitam a ideia de que as proposições podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas. Prova teórico- lógicas paraconsistentes geralmente negam a validade de uma das etapas necessárias para a derivação de uma explosão, incluindo normalmente silogismo disjuntivo , introdução da disjunção , e reductio ad absurdum . ${\ displaystyle \ {\ phi, \ lnot \ phi \}}$

Uso

O valor metamatemático do princípio da explosão é que para qualquer sistema lógico onde este princípio se aplica, qualquer teoria derivada que prove ⊥ (ou uma forma equivalente ) é inútil porque todas as suas afirmações se tornariam teoremas , tornando impossível distinguir a verdade da falsidade . Ou seja, o princípio da explosão é um argumento para a lei da não-contradição na lógica clássica, porque sem ele todas as afirmações de verdade tornam-se sem sentido. ${\ displaystyle \ phi \ land \ lnot \ phi}$

Reduções na força de prova de lógicas sem ex falso são discutidas em lógica mínima .

Veja também

Consequentia mirabilis - Lei de Clavius
Dialeteísmo - crença na existência de verdadeiras contradições
Lei do meio excluído - toda proposição é verdadeira ou falsa
Lei da não - contradição - nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa
Lógica paraconsistente - uma família de lógicas usada para lidar com contradições
Paradoxo de vinculação - um aparente paradoxo derivado do princípio da explosão
Reductio ad absurdum - concluir que uma proposição é falsa porque produz uma contradição
Trivialismo - a crença de que todas as declarações da forma "P e não-P" são verdadeiras

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