Vetor de probabilidade - Probability vector

Em matemática e estatística , um vetor de probabilidade ou vetor estocástico é um vetor com entradas não negativas que somam um.

As posições (índices) de um vetor de probabilidade representam os resultados possíveis de uma variável aleatória discreta , e o vetor nos dá a função de massa de probabilidade dessa variável aleatória, que é a maneira padrão de caracterizar uma distribuição de probabilidade discreta .

Exemplos

Aqui estão alguns exemplos de vetores de probabilidade. Os vetores podem ser colunas ou linhas.

• ${\ displaystyle x_ {0} = {\ begin {bmatrix} 0,5 \\ 0,25 \\ 0,25 \ end {bmatrix}},}$
• ${\ displaystyle x_ {1} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}},}$
• ${\ displaystyle x_ {2} = {\ begin {bmatrix} 0,65 e 0,35 \ end {bmatrix}},}$
• ${\ displaystyle x_ {3} = {\ begin {bmatrix} 0.3 & 0.5 & 0.07 & 0.1 & 0.03 \ end {bmatrix}}.}$

Interpretação geométrica

Escrevendo os componentes vetoriais de um vetor como ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle p = {\ begin {bmatrix} p_ {1} \\ p_ {2} \\\ vdots \\ p_ {n} \ end {bmatrix}} \ quad {\ text {ou}} \ quad p = {\ begin {bmatrix} p_ {1} & p_ {2} & \ cdots & p_ {n} \ end {bmatrix}}}$

os componentes do vetor devem somar um:

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} = 1}$

Cada componente individual deve ter uma probabilidade entre zero e um:

${\ displaystyle 0 \ leq p_ {i} \ leq 1}$

para todos . Portanto, o conjunto de vetores estocásticos coincide com o -simplex padrão . É um ponto se , um segmento se , um triângulo (preenchido) se , um tetraedro (preenchido) , etc. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle n = 2}$${\ displaystyle n = 3}$ ${\ displaystyle n = 4}$

Propriedades

• A média de qualquer vetor de probabilidade é . ${\ displaystyle 1 / n}$
• O menor vetor de probabilidade tem o valor de cada componente do vetor e tem comprimento de . ${\ displaystyle 1 / n}$${\ textstyle 1 / {\ sqrt {n}}}$
• O maior vetor de probabilidade tem o valor 1 em um único componente e 0 em todos os outros e tem comprimento 1.
• O vetor mais curto corresponde à incerteza máxima, o mais longo à certeza máxima.
• O comprimento de um vetor de probabilidade é igual a ; onde é a variância dos elementos do vetor de probabilidade. ${\ textstyle {\ sqrt {n \ sigma ^ {2} + 1 / n}}}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2}}$

Veja também

• Matriz estocástica
• Distribuição Dirichlet

Referências