Ação Proca - Proca action

Teoria quântica de campos
Diagrama de Feynman
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v t e

Na física , especificamente na teoria de campo e na física de partículas , a ação Proca descreve um campo massivo de spin -1 de massa m no espaço-tempo de Minkowski . A equação correspondente é uma equação de onda relativística chamada equação de Proca . A ação e a equação de Proca têm o nome do físico romeno Alexandru Proca .

A equação de Proca está envolvida no modelo padrão e descreve lá os três bósons vetoriais massivos , ou seja, os bósons Z e W.

Este artigo usa a assinatura métrica (+ −−−) e a notação de índice de tensor na linguagem de 4 vetores .

Densidade Lagrangiana

O campo envolvido é um potencial 4 complexo , onde é uma espécie de potencial elétrico generalizado e é um potencial magnético generalizado . O campo se transforma como um complexo de quatro vetores . ${\ displaystyle B ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right)}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle B ^ {\ mu}}$

A densidade Lagrangiana é dada por:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {2}} (\ partial _ {\ mu} B _ {\ nu} ^ {*} - \ partial _ {\ nu} B _ {\ mu} ^ {*}) (\ parcial ^ {\ mu} B ^ {\ nu} - \ parcial ^ {\ nu} B ^ {\ mu}) + {\ frac {m ^ {2} c ^ {2 }} {\ hbar ^ {2}}} B _ {\ nu} ^ {*} B ^ {\ nu}.}$

onde é a velocidade da luz no vácuo , é a constante de Planck reduzida e é o gradiente 4 . ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle \ partial _ {\ mu}}$

Equação

A equação de movimento de Euler-Lagrange para este caso, também chamada de equação de Proca , é:

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} (\ partial ^ {\ mu} B ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} B ^ {\ mu}) + \ left ({\ frac {mc} { \ hbar}} \ right) ^ {2} B ^ {\ nu} = 0}$

que é equivalente à conjunção de

${\ displaystyle \ left [\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} + \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ right] B ^ {\ nu } = 0}$

com (no caso massivo)

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} B ^ {\ mu} = 0 \!}$

que pode ser chamada de condição de medidor de Lorenz generalizada . Para fontes diferentes de zero, com todas as constantes fundamentais incluídas, a equação de campo é:

${\ displaystyle c {{\ mu} _ {0}} {{j} ^ {\ nu}} = \ left ({{g} ^ {\ mu \ nu}} \ left ({{\ partial} _ { \ sigma}} {{\ partial} ^ {\ sigma}} + {{m} ^ {2}} {{c} ^ {2}} / {{\ hbar} ^ {2}} \ right) - { {\ partial} ^ {\ nu}} {{\ partial} ^ {\ mu}} \ right) {{B} _ {\ mu}}}$

Quando , as equações de fonte livre se reduzem às equações de Maxwell sem carga ou corrente, e o acima se reduz à equação de carga de Maxwell. Esta equação de campo de Proca está intimamente relacionada à equação de Klein-Gordon , porque é de segunda ordem no espaço e no tempo. ${\ displaystyle m = 0}$

Na notação de cálculo vetorial , as equações livres de fonte são:

${\ displaystyle \ Box \ phi - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ phi \!}$

${\ displaystyle \ Box \ mathbf {A} + \ nabla \ left ({\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - \ left ({\ frac {mc} {\ hbar}} \ right) ^ {2} \ mathbf {A} \!}$

e é o operador D'Alembert . ${\ displaystyle \ Box}$

Fixação de calibre

A ação Proca é a versão fixa do medidor da ação de Stueckelberg por meio do mecanismo de Higgs . Quantizar a ação Proca requer o uso de restrições de segunda classe .

Se , eles não são invariantes sob as transformações de calibre do eletromagnetismo ${\ displaystyle m \ neq 0}$

${\ displaystyle B ^ {\ mu} \ rightarrow B ^ {\ mu} - \ parcial ^ {\ mu} f}$

onde é uma função arbitrária. ${\ displaystyle f}$

Veja também

• Fóton
• Bóson vetorial
• Campo eletromagnetico
• Eletrodinâmica quântica
• Gravidade quântica

Referências

Leitura adicional

• Supersymmetry Demystified, P. Labelle, McGraw – Hill (EUA), 2010, ISBN   978-0-07-163641-4
• Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (EUA), 2008, ISBN   978-0-07-154382-8
• Quantum Mechanics Demystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (EUA), 2006, ISBN   0-07-145546 9