Movimento de objetos lançados devido à gravidade
Trajetória do movimento da água parabólica
Componentes da velocidade inicial de arremesso parabólico
Projéctil movimento é uma forma de movimento experimentado por um objecto ou de partículas (um projéctil ) que é projectada perto da terra de superfície e se move ao longo de uma trajectória curva sob a acção da gravidade única (em particular, os efeitos da resistência do ar são passivos e considerado insignificante). Este caminho curvo foi mostrado por Galileu como uma parábola , mas também pode ser uma linha no caso especial quando é jogado diretamente para cima. O estudo de tais movimentos é denominado balística , e tal trajetória é uma trajetória balística . A única força de significado matemático que é ativamente exercida sobre o objeto é a gravidade, que atua para baixo, conferindo ao objeto uma aceleração para baixo em direção ao centro de massa da Terra . Por causa da inércia do objeto , nenhuma força externa é necessária para manter o componente de velocidade horizontal do movimento do objeto. Levar outras forças em consideração, como arrasto aerodinâmico ou propulsão interna (como em um foguete ), requer análises adicionais. Um míssil balístico é um míssil guiado apenas durante a relativamente breve fase inicial de voo com motor , e cujo curso restante é governado pelas leis da mecânica clássica .
Balística ( grego : βάλλειν , romanized : ba'llein , lit. 'lançar') é a ciência da dinâmica que lida com o vôo, comportamento e efeitos de projéteis, especialmente balas , bombas não guiadas , foguetes ou semelhantes; a ciência ou arte de projetar e acelerar projéteis para atingir o desempenho desejado.
Trajetórias de um projétil com arrasto de ar e velocidades iniciais variáveis
As equações elementares da balística negligenciam quase todos os fatores, exceto a velocidade inicial e uma suposta aceleração gravitacional constante. As soluções práticas de um problema de balística geralmente requerem considerações de resistência do ar, ventos cruzados, movimento do alvo, aceleração variável devido à gravidade e, em problemas como o lançamento de um foguete de um ponto a outro da Terra, a rotação da Terra. Soluções matemáticas detalhadas de problemas práticos normalmente não têm soluções de forma fechada e , portanto, requerem métodos numéricos para serem abordadas.
Quantidades cinemáticas do movimento do projétil
No movimento do projétil, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes um do outro; ou seja, nenhum movimento afeta o outro. Este é o princípio do movimento composto estabelecido por Galileu em 1638 e usado por ele para provar a forma parabólica do movimento do projétil.
Os componentes horizontal e vertical da velocidade de um projétil são independentes um do outro.
Uma trajetória balística é uma parábola com aceleração homogênea, como em uma nave espacial com aceleração constante na ausência de outras forças. Na Terra, a aceleração muda de magnitude com a altitude e a direção com a latitude / longitude. Isso causa uma trajetória elíptica , que é muito próxima de uma parábola em pequena escala. No entanto, se um objeto fosse lançado e a Terra fosse repentinamente substituída por um buraco negro de massa igual, ficaria óbvio que a trajetória balística é parte de uma órbita elíptica em torno desse buraco negro, e não uma parábola que se estende até o infinito. Em velocidades mais altas, a trajetória também pode ser circular, parabólica ou hiperbólica (a menos que distorcida por outros objetos como a Lua ou o Sol). Neste artigo, uma aceleração homogênea é assumida.
Aceleração
Como existe apenas aceleração na direção vertical, a velocidade na direção horizontal é constante, sendo igual a . O movimento vertical do projétil é o movimento de uma partícula durante sua queda livre. Aqui a aceleração é constante, sendo igual ag . Os componentes da aceleração são:
-
,
-
.
Velocidade
Deixe o projétil ser lançado com uma velocidade inicial , que pode ser expressa como a soma das componentes horizontal e vertical da seguinte forma:
-
.
Os componentes e podem ser encontrados se o ângulo de lançamento inicial,, for conhecido:
-
,
O componente horizontal da velocidade do objeto permanece inalterado ao longo do movimento. O componente vertical da velocidade muda linearmente, porque a aceleração da gravidade é constante. As acelerações nas x e y instruções podem ser integrados para resolver as componentes de velocidade em qualquer momento t , como se segue:
-
,
-
.
A magnitude da velocidade (de acordo com o teorema de Pitágoras , também conhecido como lei do triângulo):
-
.
Deslocamento
Deslocamento e coordenadas de arremesso parabólico
A qualquer momento , os deslocamentos horizontal e vertical do projétil são:
-
,
-
.
A magnitude do deslocamento é:
-
.
Considere as equações,
-
.
Se t for eliminado entre essas duas equações, a seguinte equação é obtida:
-
.
Como g , θ e v 0 são constantes, a equação acima tem a forma
-
,
em que uma e b são constantes. Esta é a equação de uma parábola, então o caminho é parabólico. O eixo da parábola é vertical.
Se a posição do projétil (x, y) e o ângulo de lançamento (θ ou α) são conhecidos, a velocidade inicial pode ser encontrada resolvendo para v 0 na equação parabólica acima mencionada:
-
.
Deslocamento em coordenadas polares
A trajetória parabólica de um projétil também pode ser expressa em coordenadas polares em vez de coordenadas cartesianas. Neste caso, a posição tem a fórmula geral
-
.
Nessa equação, a origem é o ponto médio da faixa horizontal do projétil e, se o solo for plano, o arco parabólico é traçado na faixa . Esta expressão pode ser obtida transformando a equação cartesiana conforme declarado acima por e .
Propriedades da trajetória
Tempo de voo ou tempo total de toda a viagem
O tempo total t durante o qual o projétil permanece no ar é denominado tempo de vôo.
Após o vôo, o projétil retorna ao eixo horizontal (eixo x), portanto .
Observe que negligenciamos a resistência do ar no projétil.
Se o ponto de partida está na altura y 0 em relação ao ponto de impacto, o tempo de vôo é:
Como acima, esta expressão pode ser reduzida a
se θ for 45 ° e y 0 for 0.
Altura máxima do projétil
Altura máxima do projétil
A maior altura que o objeto alcançará é conhecida como o pico do movimento do objeto. O aumento de altura vai durar até , ou seja,
-
.
Tempo para atingir a altura máxima (h):
-
.
Para o deslocamento vertical da altura máxima do projétil:
A altura máxima alcançável é obtida para θ = 90 °:
Relação entre alcance horizontal e altura máxima
A relação entre o alcance d no plano horizontal e a altura máxima h atingida é:
Distância máxima do projétil
A distância máxima do projétil
O alcance e a altura máxima do projétil não dependem de sua massa. Portanto, o alcance e a altura máxima são iguais para todos os corpos que são lançados com a mesma velocidade e direção. O alcance horizontal d do projétil é a distância horizontal que ele percorreu ao retornar à sua altura inicial ( ).
-
.
Hora de chegar ao solo:
-
.
A partir do deslocamento horizontal, a distância máxima do projétil:
-
,
tão
-
.
Observe que d tem seu valor máximo quando
-
,
que necessariamente corresponde a
-
,
ou
-
.
Trajetórias de projéteis lançados em diferentes ângulos de elevação, mas à mesma velocidade de 10 m / s no vácuo e campo de gravidade descendente uniforme de 10 m / s
2 . Os pontos estão em intervalos de 0,05 se o comprimento de suas caudas é linearmente proporcional à sua velocidade.
t = tempo desde o lançamento,
T = tempo de vôo,
R = alcance e
H = ponto mais alto da trajetória (indicado com setas).
A distância horizontal total (d) percorrida.
Quando a superfície é plana (altura inicial do objeto é zero), a distância percorrida:
Assim, a distância máxima é obtida se θ for 45 graus. Esta distância é:
Aplicação do teorema da energia de trabalho
De acordo com o teorema da energia de trabalho, o componente vertical da velocidade é:
-
.
Essas fórmulas ignoram o arrasto aerodinâmico e também presumem que a área de pouso está a uma altura uniforme 0.
Ângulo de alcance
O "ângulo de alcance" é o ângulo ( θ ) no qual um projétil deve ser lançado para percorrer uma distância d , dada a velocidade inicial v .
Existem duas soluções:
-
(trajetória rasa)
e
-
(trajetória íngreme)
Ângulo θ necessário para atingir a coordenada ( x , y )
Trajetória de vácuo de um projétil para diferentes ângulos de lançamento. A velocidade de lançamento é a mesma para todos os ângulos, 50 m / s se "g" for 10 m / s
2 .
Para acertar um alvo no alcance xe altitude y quando disparado de (0,0) e com velocidade inicial v, os ângulos necessários de lançamento θ são:
As duas raízes da equação correspondem aos dois ângulos de lançamento possíveis, desde que não sejam imaginários, caso em que a velocidade inicial não é grande o suficiente para atingir o ponto ( x , y ) selecionado. Esta fórmula permite encontrar o ângulo de lançamento necessário sem a restrição de .
Também se pode perguntar qual ângulo de lançamento permite a menor velocidade de lançamento possível. Isso ocorre quando as duas soluções acima são iguais, implicando que a quantidade sob o sinal da raiz quadrada é zero. Isso requer a resolução de uma equação quadrática para , e encontramos
Isto dá
Se denotarmos o ângulo cuja tangente é y / x por α , então
Isso implica
Em outras palavras, o lançamento deve estar no meio do ângulo entre o alvo e o zênite (vetor oposto à gravidade)
Comprimento total do caminho da trajetória
O comprimento do arco parabólico traçado por um projétil L , dado que a altura de lançamento e pouso é a mesma e que não há resistência do ar, é dado pela fórmula:
onde é a velocidade inicial, é o ângulo de lançamento e é a aceleração da gravidade como um valor positivo. A expressão pode ser obtida avaliando a integral do comprimento do arco para a parábola altura-distância entre os deslocamentos inicial e final dos limites (ou seja, entre 0 e a faixa horizontal do projétil), de modo que:
-
.
Trajetória de um projétil com resistência ao ar
A resistência do ar cria uma força que (para projécteis simétricos) é sempre dirigido contra a direcção do movimento no meio circundante e tem uma grandeza que depende da velocidade absoluta: . A dependência da força de atrito com a velocidade é linear ( ) em velocidades muito baixas ( arrasto de Stokes ) e quadrática ( ) em velocidades maiores ( arrasto de Newton ). A transição entre esses comportamentos é determinada pelo número de Reynolds , que depende da velocidade, do tamanho do objeto e da viscosidade cinemática do meio. Para números de Reynolds abaixo de cerca de 1000, a dependência é linear, acima se torna quadrática. No ar, que tem uma viscosidade cinemática próxima , isso significa que a força de arrasto torna-se quadrática em v quando o produto da velocidade e do diâmetro é maior do que cerca de , o que normalmente é o caso dos projéteis.
- Arrasto de Stokes: (para )
- Arrasto de Newton: (para )
Diagrama de corpo livre de um corpo no qual apenas a gravidade e a resistência do ar atuam
O diagrama de corpo livre à direita é para um projétil que experimenta a resistência do ar e os efeitos da gravidade. Aqui, a resistência do ar é considerada na direção oposta à velocidade do projétil:
Trajetória de um projétil com arrasto de Stokes
O arrasto de Stokes, onde , só se aplica a uma velocidade muito baixa no ar e, portanto, não é o caso típico de projéteis. No entanto, a dependência linear de em causa uma equação diferencial muito simples de movimento
em que os dois componentes cartesianos se tornam completamente independentes e, portanto, mais fáceis de resolver. Aqui, , e será utilizada para designar a velocidade inicial, a velocidade ao longo da direcção de X e a velocidade ao longo da direcção de Y , respectivamente. A massa do projétil será denotada por m , e . Para a derivação apenas o caso em que é considerado. Novamente, o projétil é disparado da origem (0,0).
Derivação da posição horizontal
|
As relações que representam o movimento da partícula são derivadas pela Segunda Lei de Newton , ambas nas direções xe y. Na direção xe na direção y .
Isso implica que:
(1),
e
(2)
Resolver (1) é uma equação diferencial elementar , portanto, as etapas que levam a uma solução única para v x e, subsequentemente, x não serão enumeradas. Dadas as condições iniciais (onde v x0 é entendido como sendo o componente x da velocidade inicial) e para :
(1a)
|
-
(1b)
Derivação da posição vertical
|
Enquanto (1) é resolvido da mesma maneira, (2) é de interesse distinto por causa de sua natureza não homogênea. Portanto, estaremos resolvendo extensivamente (2). Observe que, neste caso, as condições iniciais são usadas e quando .
(2)
(2a)
Esta equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem pode ser resolvida de várias maneiras; entretanto, neste caso, será mais rápido abordar a solução por meio de um fator de integração .
(2c)
(2d)
(2e)
(2f)
(2g)
E por integração encontramos:
(3)
Resolvendo nossas condições iniciais:
(2h)
(3a)
Com um pouco de álgebra para simplificar (3a):
|
-
(3b)
-
.
Trajetória de um projétil com arrasto de Newton
Trajetórias de um
pára -
quedista no ar com arrasto de Newton
O caso mais típico de resistência do ar , para o caso de números de Reynolds acima de cerca de 1000, é o arrasto de Newton com uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade ,. No ar, que tem uma viscosidade cinemática próxima , isso significa que o produto da velocidade e do diâmetro deve ser maior do que cerca de .
Infelizmente, as equações de movimento não podem ser facilmente resolvidas analiticamente para este caso. Portanto, uma solução numérica será examinada.
As seguintes suposições são feitas:
- Onde:
Casos especiais
Mesmo que o caso geral de um projétil com arrasto de Newton não possa ser resolvido analiticamente, alguns casos especiais podem. Aqui denotamos a velocidade terminal em queda livre como e a constante de tempo de estabilização característica .
- Movimento quase horizontal: No caso de o movimento ser quase horizontal, como uma bala voando, o componente de velocidade vertical tem muito pouca influência no movimento horizontal. Nesse caso:
- O mesmo padrão se aplica ao movimento com atrito ao longo de uma linha em qualquer direção, quando a gravidade é desprezível. Também se aplica quando o movimento vertical é impedido, como no caso de um carro em movimento com o motor desligado.
- Movimento vertical para cima:
- Um projétil não pode subir mais do que verticalmente antes de atingir o pico.
- Movimento vertical para baixo:
- Depois de um tempo , o projétil atinge a velocidade quase terminal .
Expressões integrais
A abordagem será formular expressões integrais que podem ser avaliadas numericamente . Todas as variáveis serão então expressas em termos de um parâmetro .
Derivação de expressões integrais
|
Um projétil de massa m é lançado de um ponto , com uma velocidade inicial em uma direção inicial que faz um ângulo com a horizontal. Ele experimenta a resistência do ar que é dada por aquele que age tangencialmente ao caminho de viagem em qualquer ponto.
A segunda lei do movimento de Newton é . Aplicando isso nos rendimentos da direção x;
-
|
|
( 1 )
|
Onde, , e são os componentes horizontal e vertical da velocidade , respectivamente.
Vamos , e . A equação ( 1 ) agora se torna;
-
|
|
( A )
|
Na direção y;
-
|
|
( 2 )
|
Mais uma vez vamos, , , e . A equação ( 2 ) é agora;
-
|
|
( B )
|
Sabendo que podemos dividir a equação ( B ) pela equação ( A ) para obter;
-
|
|
( C )
|
Introduza uma quantidade tal que , então;
-
|
|
( D )
|
A partir das equações ( C ) e ( D ), observe que;
Conseqüentemente, que pode ser reescrito como;
Variáveis separadas e integradas como;
-
|
|
( E )
|
O lado esquerdo da equação ( E ) é
Para o lado direito, deixe , de modo que e,
Assim . Também
Portanto;
A equação ( E ) é agora;
Do qual;
Desde a
Denote , de modo que;
-
|
|
( F )
|
-
|
|
( G )
|
No início do movimento, e
Portanto; , de tal modo que;
Conforme o movimento prossegue, e , ou seja , e
Isso significa que, e
Portanto;
Nas equações ( F ) e ( G ), observe que;
Como ,
Quando um estado de equilíbrio dinâmico é atingido em queda livre vertical, as forças opostas de gravidade e arrasto são equalizadas, ou seja,
-
|
|
( H )
|
Na equação ( A ), as substituições para e das equações ( F ) e ( G ) resultam;
Também;
Sabendo que; , podemos escrever
|
-
|
|
( Eu )
|
Também;
-
|
|
( J )
|
E;
-
|
|
( K )
|
Determine o tempo de vôo configurando a equação ( K ) acima. Resolva o valor da variável .
-
|
|
( L )
|
Equação ( I ) com substituído para dá;
-
|
|
( M )
|
A equação ( J ) fornece o intervalo horizontal como;
-
|
|
( N )
|
No ponto mais alto da trajetória do projétil , e , dando a altura máxima da equação ( K ) como;
-
|
|
( O )
|
Solução numérica
Um movimento de projétil com arrasto pode ser calculado genericamente por integração numérica da equação diferencial ordinária , por exemplo, aplicando uma redução a um sistema de primeira ordem . A equação a ser resolvida é
-
.
O seguinte programa de computador na forma de um script Python demonstra tal simulação, onde o projétil é modelado como uma bola de beisebol (parâmetros de). O script usa as bibliotecas numpy (para matrizes), scipy (para integração numérica da equação diferencial ordinária e para encontrar a raiz pelo método de Newton ) e matplotlib (para plotagem).
#!/usr/bin/env python3
from math import *
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import newton
import matplotlib.pyplot as plt
def projectile_motion(g, mu, xy0, vxy0, tt):
# use a four-dimensional vector function vec = [x, y, vx, vy]
def dif(vec, t):
# time derivative of the whole vector vec
v = sqrt(vec[2] ** 2 + vec[3] ** 2)
return [vec[2], vec[3], -mu * v * vec[2], -g - mu * v * vec[3]]
# solve the differential equation numerically
vec = odeint(dif, [xy0[0], xy0[1], vxy0[0], vxy0[1]], tt)
return vec[:, 0], vec[:, 1], vec[:, 2], vec[:, 3] # return x, y, vx, vy
# Parameters of projectile (modelled after a baseball)
g = 9.81 # Acceleration due to gravity (m/s^2)
rho_air = 1.29 # Air density (kg/m^3)
v0 = 44.7 # Initial velocity (m/s)
alpha0 = radians(75) # Launch angle (deg.)
m = 0.145 # Mass of projectile (kg)
cD = 0.5 # Drag coefficient (spherical projectile)
r = 0.0366 # Radius of projectile (m)
mu = 0.5 * cD * (pi * r ** 2) * rho_air / m
# Initial position and launch velocity
x0, y0 = 0.0, 0.0
vx0, vy0 = v0 * cos(alpha0), v0 * sin(alpha0)
T_peak = newton(lambda t: projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, t])[3][1], 0)
y_peak = projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, T_peak])[1][1]
T = newton(lambda t: projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, t])[1][1], 2 * T_peak)
t = np.linspace(0, T, 501)
x, y, vx, vy = projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), t)
print("Time of flight: {:.1f} s".format(T)) # returns 6.6 s
print("Horizontal range: {:.1f} m".format(x[-1])) # returns 43.7 m
print("Maximum height: {:.1f} m".format(y_peak)) # returns 53.4 m
# Plot of trajectory
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y, "r-", label="Numerical")
ax.set_title(r"Projectile path")
ax.set_aspect("equal")
ax.grid(b=True)
ax.legend()
ax.set_xlabel("$x$ (m)")
ax.set_ylabel("$y$ (m)")
plt.savefig("01 Path.png")
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, vx, "b-", label="$v_x$")
ax.set_title(r"Horizontal velocity component")
ax.grid(b=True)
ax.legend()
ax.set_xlabel("$t$ (s)")
ax.set_ylabel("$v_x$ (m/s)")
plt.savefig("02 Horiz vel.png")
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, vy, "b-", label="$v_y$")
ax.set_title(r"Vertical velocity component")
ax.grid(b=True)
ax.legend()
ax.set_xlabel("$t$ (s)")
ax.set_ylabel("$v_y$ (m/s)")
plt.savefig("03 Vert vel.png")
Esta abordagem também permite adicionar os efeitos do coeficiente de arrasto dependente da velocidade, densidade do ar dependente da altitude e campo gravitacional dependente da posição.
Trajetória loft
Um caso especial de trajetória balística para um foguete é uma trajetória elevada, uma trajetória com um apogeu maior que a trajetória de energia mínima para o mesmo alcance. Em outras palavras, o foguete viaja mais alto e, ao fazer isso, usa mais energia para chegar ao mesmo ponto de aterrissagem. Isso pode ser feito por várias razões, como aumentar a distância até o horizonte para dar maior alcance de visão / comunicação ou para alterar o ângulo com o qual um míssil terá impacto na aterrissagem. Trajetórias loft às vezes são usadas em foguetes de mísseis e em voos espaciais .
Movimento de projéteis em escala planetária
Trajetória do projétil em torno de um planeta, em comparação com o movimento em um campo uniforme
Quando um projétil sem resistência do ar percorre uma distância significativa em comparação com o raio da Terra (acima de ≈100 km), a curvatura da Terra e o campo gravitacional não uniforme devem ser considerados. Este é o caso, por exemplo, de espaçonaves ou projéteis intercontinentais. A trajetória então se generaliza de uma parábola para uma elipse Kepler com um foco no centro da Terra. O movimento do projétil segue as leis de Kepler do movimento planetário .
Os parâmetros das trajetórias devem ser adaptados a partir dos valores de um campo de gravidade uniforme declarado acima. O raio da Terra é considerado como R , eg como a gravidade superficial padrão. Deixe a velocidade de lançamento em relação à primeira velocidade cósmica.
Alcance total d entre o lançamento e o impacto:
Alcance máximo de um projétil para o ângulo de lançamento ideal ( ):
-
com , a primeira velocidade cósmica
Altura máxima de um projétil acima da superfície planetária:
Altura máxima de um projétil para lançamento vertical ( ):
-
com , a segunda velocidade cósmica
Tempo de voo:
Notas
Referências