Movimento do projétil - Projectile motion

Trajetória do movimento da água parabólica
Componentes da velocidade inicial de arremesso parabólico

Projéctil movimento é uma forma de movimento experimentado por um objecto ou de partículas (um projéctil ) que é projectada perto da terra de superfície e se move ao longo de uma trajectória curva sob a acção da gravidade única (em particular, os efeitos da resistência do ar são passivos e considerado insignificante). Este caminho curvo foi mostrado por Galileu como uma parábola , mas também pode ser uma linha no caso especial quando é jogado diretamente para cima. O estudo de tais movimentos é denominado balística , e tal trajetória é uma trajetória balística . A única força de significado matemático que é ativamente exercida sobre o objeto é a gravidade, que atua para baixo, conferindo ao objeto uma aceleração para baixo em direção ao centro de massa da Terra . Por causa da inércia do objeto , nenhuma força externa é necessária para manter o componente de velocidade horizontal do movimento do objeto. Levar outras forças em consideração, como arrasto aerodinâmico ou propulsão interna (como em um foguete ), requer análises adicionais. Um míssil balístico é um míssil guiado apenas durante a relativamente breve fase inicial de voo com motor , e cujo curso restante é governado pelas leis da mecânica clássica .

Balística ( grego : βάλλειν , romanizedba'llein , lit. 'lançar') é a ciência da dinâmica que lida com o vôo, comportamento e efeitos de projéteis, especialmente balas , bombas não guiadas , foguetes ou semelhantes; a ciência ou arte de projetar e acelerar projéteis para atingir o desempenho desejado.

Trajetórias de um projétil com arrasto de ar e velocidades iniciais variáveis

As equações elementares da balística negligenciam quase todos os fatores, exceto a velocidade inicial e uma suposta aceleração gravitacional constante. As soluções práticas de um problema de balística geralmente requerem considerações de resistência do ar, ventos cruzados, movimento do alvo, aceleração variável devido à gravidade e, em problemas como o lançamento de um foguete de um ponto a outro da Terra, a rotação da Terra. Soluções matemáticas detalhadas de problemas práticos normalmente não têm soluções de forma fechada e , portanto, requerem métodos numéricos para serem abordadas.

Quantidades cinemáticas do movimento do projétil

No movimento do projétil, o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes um do outro; ou seja, nenhum movimento afeta o outro. Este é o princípio do movimento composto estabelecido por Galileu em 1638 e usado por ele para provar a forma parabólica do movimento do projétil.

Os componentes horizontal e vertical da velocidade de um projétil são independentes um do outro.

Uma trajetória balística é uma parábola com aceleração homogênea, como em uma nave espacial com aceleração constante na ausência de outras forças. Na Terra, a aceleração muda de magnitude com a altitude e a direção com a latitude / longitude. Isso causa uma trajetória elíptica , que é muito próxima de uma parábola em pequena escala. No entanto, se um objeto fosse lançado e a Terra fosse repentinamente substituída por um buraco negro de massa igual, ficaria óbvio que a trajetória balística é parte de uma órbita elíptica em torno desse buraco negro, e não uma parábola que se estende até o infinito. Em velocidades mais altas, a trajetória também pode ser circular, parabólica ou hiperbólica (a menos que distorcida por outros objetos como a Lua ou o Sol). Neste artigo, uma aceleração homogênea é assumida.

Aceleração

Como existe apenas aceleração na direção vertical, a velocidade na direção horizontal é constante, sendo igual a . O movimento vertical do projétil é o movimento de uma partícula durante sua queda livre. Aqui a aceleração é constante, sendo igual ag . Os componentes da aceleração são:

,
.

Velocidade

Deixe o projétil ser lançado com uma velocidade inicial , que pode ser expressa como a soma das componentes horizontal e vertical da seguinte forma:

.

Os componentes e podem ser encontrados se o ângulo de lançamento inicial,, for conhecido:

,

O componente horizontal da velocidade do objeto permanece inalterado ao longo do movimento. O componente vertical da velocidade muda linearmente, porque a aceleração da gravidade é constante. As acelerações nas x e y instruções podem ser integrados para resolver as componentes de velocidade em qualquer momento t , como se segue:

,
.

A magnitude da velocidade (de acordo com o teorema de Pitágoras , também conhecido como lei do triângulo):

.

Deslocamento

Deslocamento e coordenadas de arremesso parabólico

A qualquer momento , os deslocamentos horizontal e vertical do projétil são:

,
.

A magnitude do deslocamento é:

.

Considere as equações,

.

Se t for eliminado entre essas duas equações, a seguinte equação é obtida:

.

Como g , θ e v 0 são constantes, a equação acima tem a forma

,

em que uma e b são constantes. Esta é a equação de uma parábola, então o caminho é parabólico. O eixo da parábola é vertical.

Se a posição do projétil (x, y) e o ângulo de lançamento (θ ou α) são conhecidos, a velocidade inicial pode ser encontrada resolvendo para v 0 na equação parabólica acima mencionada:

.

Deslocamento em coordenadas polares

A trajetória parabólica de um projétil também pode ser expressa em coordenadas polares em vez de coordenadas cartesianas. Neste caso, a posição tem a fórmula geral

.

Nessa equação, a origem é o ponto médio da faixa horizontal do projétil e, se o solo for plano, o arco parabólico é traçado na faixa . Esta expressão pode ser obtida transformando a equação cartesiana conforme declarado acima por e .

Propriedades da trajetória

Tempo de voo ou tempo total de toda a viagem

O tempo total t durante o qual o projétil permanece no ar é denominado tempo de vôo.

Após o vôo, o projétil retorna ao eixo horizontal (eixo x), portanto .

Observe que negligenciamos a resistência do ar no projétil.

Se o ponto de partida está na altura y 0 em relação ao ponto de impacto, o tempo de vôo é:

Como acima, esta expressão pode ser reduzida a

se θ for 45 ° e y 0 for 0.

Altura máxima do projétil

Altura máxima do projétil

A maior altura que o objeto alcançará é conhecida como o pico do movimento do objeto. O aumento de altura vai durar até , ou seja,

.

Tempo para atingir a altura máxima (h):

.

Para o deslocamento vertical da altura máxima do projétil:

A altura máxima alcançável é obtida para θ = 90 °:

Relação entre alcance horizontal e altura máxima

A relação entre o alcance d no plano horizontal e a altura máxima h atingida é:

Prova

×

.

Distância máxima do projétil

A distância máxima do projétil

O alcance e a altura máxima do projétil não dependem de sua massa. Portanto, o alcance e a altura máxima são iguais para todos os corpos que são lançados com a mesma velocidade e direção. O alcance horizontal d do projétil é a distância horizontal que ele percorreu ao retornar à sua altura inicial ( ).

.

Hora de chegar ao solo:

.

A partir do deslocamento horizontal, a distância máxima do projétil:

,

tão

.

Observe que d tem seu valor máximo quando

,

que necessariamente corresponde a

,

ou

.
Trajetórias de projéteis lançados em diferentes ângulos de elevação, mas à mesma velocidade de 10 m / s no vácuo e campo de gravidade descendente uniforme de 10 m / s 2 . Os pontos estão em intervalos de 0,05 se o comprimento de suas caudas é linearmente proporcional à sua velocidade. t = tempo desde o lançamento, T = tempo de vôo, R = alcance e H = ponto mais alto da trajetória (indicado com setas).

A distância horizontal total (d) percorrida.

Quando a superfície é plana (altura inicial do objeto é zero), a distância percorrida:

Assim, a distância máxima é obtida se θ for 45 graus. Esta distância é:

Aplicação do teorema da energia de trabalho

De acordo com o teorema da energia de trabalho, o componente vertical da velocidade é:

.


Essas fórmulas ignoram o arrasto aerodinâmico e também presumem que a área de pouso está a uma altura uniforme 0.

Ângulo de alcance

O "ângulo de alcance" é o ângulo ( θ ) no qual um projétil deve ser lançado para percorrer uma distância d , dada a velocidade inicial v .

Existem duas soluções:

(trajetória rasa)

e

(trajetória íngreme)

Ângulo θ necessário para atingir a coordenada ( x , y )

Trajetória de vácuo de um projétil para diferentes ângulos de lançamento. A velocidade de lançamento é a mesma para todos os ângulos, 50 m / s se "g" for 10 m / s 2 .

Para acertar um alvo no alcance xe altitude y quando disparado de (0,0) e com velocidade inicial v, os ângulos necessários de lançamento θ são:

As duas raízes da equação correspondem aos dois ângulos de lançamento possíveis, desde que não sejam imaginários, caso em que a velocidade inicial não é grande o suficiente para atingir o ponto ( x , y ) selecionado. Esta fórmula permite encontrar o ângulo de lançamento necessário sem a restrição de .

Também se pode perguntar qual ângulo de lançamento permite a menor velocidade de lançamento possível. Isso ocorre quando as duas soluções acima são iguais, implicando que a quantidade sob o sinal da raiz quadrada é zero. Isso requer a resolução de uma equação quadrática para , e encontramos

Isto dá

Se denotarmos o ângulo cuja tangente é y / x por α , então

Isso implica

Em outras palavras, o lançamento deve estar no meio do ângulo entre o alvo e o zênite (vetor oposto à gravidade)

Comprimento total do caminho da trajetória

O comprimento do arco parabólico traçado por um projétil L , dado que a altura de lançamento e pouso é a mesma e que não há resistência do ar, é dado pela fórmula:

onde é a velocidade inicial, é o ângulo de lançamento e é a aceleração da gravidade como um valor positivo. A expressão pode ser obtida avaliando a integral do comprimento do arco para a parábola altura-distância entre os deslocamentos inicial e final dos limites (ou seja, entre 0 e a faixa horizontal do projétil), de modo que:

.

Trajetória de um projétil com resistência ao ar

Trajetórias de uma massa lançada em um ângulo de 70 °:
 sem arrastar
 com arrasto de Stokes
 com arrasto de Newton

A resistência do ar cria uma força que (para projécteis simétricos) é sempre dirigido contra a direcção do movimento no meio circundante e tem uma grandeza que depende da velocidade absoluta: . A dependência da força de atrito com a velocidade é linear ( ) em velocidades muito baixas ( arrasto de Stokes ) e quadrática ( ) em velocidades maiores ( arrasto de Newton ). A transição entre esses comportamentos é determinada pelo número de Reynolds , que depende da velocidade, do tamanho do objeto e da viscosidade cinemática do meio. Para números de Reynolds abaixo de cerca de 1000, a dependência é linear, acima se torna quadrática. No ar, que tem uma viscosidade cinemática próxima , isso significa que a força de arrasto torna-se quadrática em v quando o produto da velocidade e do diâmetro é maior do que cerca de , o que normalmente é o caso dos projéteis.

  • Arrasto de Stokes: (para )
  • Arrasto de Newton: (para )
Diagrama de corpo livre de um corpo no qual apenas a gravidade e a resistência do ar atuam

O diagrama de corpo livre à direita é para um projétil que experimenta a resistência do ar e os efeitos da gravidade. Aqui, a resistência do ar é considerada na direção oposta à velocidade do projétil:

Trajetória de um projétil com arrasto de Stokes

O arrasto de Stokes, onde , só se aplica a uma velocidade muito baixa no ar e, portanto, não é o caso típico de projéteis. No entanto, a dependência linear de em causa uma equação diferencial muito simples de movimento

em que os dois componentes cartesianos se tornam completamente independentes e, portanto, mais fáceis de resolver. Aqui, , e será utilizada para designar a velocidade inicial, a velocidade ao longo da direcção de X e a velocidade ao longo da direcção de Y , respectivamente. A massa do projétil será denotada por m , e . Para a derivação apenas o caso em que é considerado. Novamente, o projétil é disparado da origem (0,0).

Derivação da posição horizontal

As relações que representam o movimento da partícula são derivadas pela Segunda Lei de Newton , ambas nas direções xe y. Na direção xe na direção y .

Isso implica que:

(1),

e

(2)

Resolver (1) é uma equação diferencial elementar , portanto, as etapas que levam a uma solução única para v x e, subsequentemente, x não serão enumeradas. Dadas as condições iniciais (onde v x0 é entendido como sendo o componente x da velocidade inicial) e para :

(1a)

(1b)
Derivação da posição vertical

Enquanto (1) é resolvido da mesma maneira, (2) é de interesse distinto por causa de sua natureza não homogênea. Portanto, estaremos resolvendo extensivamente (2). Observe que, neste caso, as condições iniciais são usadas e quando .

(2)

(2a)

Esta equação diferencial linear não homogênea de primeira ordem pode ser resolvida de várias maneiras; entretanto, neste caso, será mais rápido abordar a solução por meio de um fator de integração .

(2c)

(2d)

(2e)

(2f)

(2g)

E por integração encontramos:

(3)

Resolvendo nossas condições iniciais:

(2h)

(3a)

Com um pouco de álgebra para simplificar (3a):

(3b)
Derivação do tempo de voo

O tempo total da viagem na presença de resistência do ar (mais especificamente, quando ) pode ser calculado pela mesma estratégia acima, ou seja, resolvemos a equação . Enquanto no caso de resistência do ar zero esta equação pode ser resolvida elementarmente, aqui precisaremos da função W de Lambert . A equação tem a forma , e tal equação pode ser transformada em uma equação solucionável pela função (veja um exemplo de tal transformação aqui ). Algumas álgebra mostram que o tempo total de vôo, na forma fechada, é dado como

.

Trajetória de um projétil com arrasto de Newton

Trajetórias de um pára - quedista no ar com arrasto de Newton

O caso mais típico de resistência do ar , para o caso de números de Reynolds acima de cerca de 1000, é o arrasto de Newton com uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade ,. No ar, que tem uma viscosidade cinemática próxima , isso significa que o produto da velocidade e do diâmetro deve ser maior do que cerca de .

Infelizmente, as equações de movimento não podem ser facilmente resolvidas analiticamente para este caso. Portanto, uma solução numérica será examinada.

As seguintes suposições são feitas:

Onde:

Casos especiais

Mesmo que o caso geral de um projétil com arrasto de Newton não possa ser resolvido analiticamente, alguns casos especiais podem. Aqui denotamos a velocidade terminal em queda livre como e a constante de tempo de estabilização característica .

  • Movimento quase horizontal: No caso de o movimento ser quase horizontal, como uma bala voando, o componente de velocidade vertical tem muito pouca influência no movimento horizontal. Nesse caso:
O mesmo padrão se aplica ao movimento com atrito ao longo de uma linha em qualquer direção, quando a gravidade é desprezível. Também se aplica quando o movimento vertical é impedido, como no caso de um carro em movimento com o motor desligado.
  • Movimento vertical para cima:
Um projétil não pode subir mais do que verticalmente antes de atingir o pico.
  • Movimento vertical para baixo:
Depois de um tempo , o projétil atinge a velocidade quase terminal .

Expressões integrais

A abordagem será formular expressões integrais que podem ser avaliadas numericamente . Todas as variáveis ​​serão então expressas em termos de um parâmetro .

Derivação de expressões integrais

Um projétil de massa m é lançado de um ponto , com uma velocidade inicial em uma direção inicial que faz um ângulo com a horizontal. Ele experimenta a resistência do ar que é dada por aquele que age tangencialmente ao caminho de viagem em qualquer ponto.

A segunda lei do movimento de Newton é . Aplicando isso nos rendimentos da direção x;

 

 

 

 

( 1 )

Onde, , e são os componentes horizontal e vertical da velocidade , respectivamente.

Vamos , e . A equação ( 1 ) agora se torna;

 

 

 

 

( A )

Na direção y;

 

 

 

 

( 2 )

Mais uma vez vamos, , , e . A equação ( 2 ) é agora;

 

 

 

 

( B )

Sabendo que podemos dividir a equação ( B ) pela equação ( A ) para obter;

 

 

 

 

( C )

Introduza uma quantidade tal que , então;

 

 

 

 

( D )

A partir das equações ( C ) e ( D ), observe que;

Conseqüentemente, que pode ser reescrito como;

Variáveis ​​separadas e integradas como;

 

 

 

 

( E )

O lado esquerdo da equação ( E ) é

Para o lado direito, deixe , de modo que e,

Assim . Também

Portanto;

A equação ( E ) é agora;

Do qual;

Desde a

Denote , de modo que;

 

 

 

 

( F )

 

 

 

 

( G )

No início do movimento, e

Portanto; , de tal modo que;

Conforme o movimento prossegue, e , ou seja , e

Isso significa que, e

Portanto;

Nas equações ( F ) e ( G ), observe que;

Como ,

Quando um estado de equilíbrio dinâmico é atingido em queda livre vertical, as forças opostas de gravidade e arrasto são equalizadas, ou seja,

 

 

 

 

( H )

Na equação ( A ), as substituições para e das equações ( F ) e ( G ) resultam;

Também;

Sabendo que; , podemos escrever

 

 

 

 

( Eu )

Também;

 

 

 

 

( J )

E;

 

 

 

 

( K )

Determine o tempo de vôo configurando a equação ( K ) acima. Resolva o valor da variável .

 

 

 

 

( L )

Equação ( I ) com substituído para dá;

 

 

 

 

( M )

A equação ( J ) fornece o intervalo horizontal como;

 

 

 

 

( N )

No ponto mais alto da trajetória do projétil , e , dando a altura máxima da equação ( K ) como;

 

 

 

 

( O )

Solução numérica

Um movimento de projétil com arrasto pode ser calculado genericamente por integração numérica da equação diferencial ordinária , por exemplo, aplicando uma redução a um sistema de primeira ordem . A equação a ser resolvida é

.

O seguinte programa de computador na forma de um script Python demonstra tal simulação, onde o projétil é modelado como uma bola de beisebol (parâmetros de). O script usa as bibliotecas numpy (para matrizes), scipy (para integração numérica da equação diferencial ordinária e para encontrar a raiz pelo método de Newton ) e matplotlib (para plotagem).

#!/usr/bin/env python3
from math import *
import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import newton
import matplotlib.pyplot as plt

def projectile_motion(g, mu, xy0, vxy0, tt):
    # use a four-dimensional vector function vec = [x, y, vx, vy]
    def dif(vec, t):
        # time derivative of the whole vector vec
        v = sqrt(vec[2] ** 2 + vec[3] ** 2)
        return [vec[2], vec[3], -mu * v * vec[2], -g - mu * v * vec[3]]

    # solve the differential equation numerically
    vec = odeint(dif, [xy0[0], xy0[1], vxy0[0], vxy0[1]], tt)
    return vec[:, 0], vec[:, 1], vec[:, 2], vec[:, 3]  # return x, y, vx, vy

# Parameters of projectile (modelled after a baseball)
g       = 9.81         # Acceleration due to gravity (m/s^2)
rho_air = 1.29         # Air density (kg/m^3)
v0      = 44.7         # Initial velocity (m/s)
alpha0  = radians(75)  # Launch angle (deg.)
m       = 0.145        # Mass of projectile (kg)
cD      = 0.5          # Drag coefficient (spherical projectile)
r       = 0.0366       # Radius of projectile (m)
mu = 0.5 * cD * (pi * r ** 2) * rho_air / m

# Initial position and launch velocity
x0, y0 = 0.0, 0.0
vx0, vy0 = v0 * cos(alpha0), v0 * sin(alpha0)

T_peak = newton(lambda t: projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, t])[3][1], 0)
y_peak = projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, T_peak])[1][1]
T = newton(lambda t: projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), [0, t])[1][1], 2 * T_peak)
t = np.linspace(0, T, 501)
x, y, vx, vy = projectile_motion(g, mu, (x0, y0), (vx0, vy0), t)

print("Time of flight: {:.1f} s".format(T))        # returns  6.6 s
print("Horizontal range: {:.1f} m".format(x[-1]))  # returns 43.7 m
print("Maximum height: {:.1f} m".format(y_peak))   # returns 53.4 m

# Plot of trajectory
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y, "r-", label="Numerical")
ax.set_title(r"Projectile path")
ax.set_aspect("equal")
ax.grid(b=True)
ax.legend()
ax.set_xlabel("$x$ (m)")
ax.set_ylabel("$y$ (m)")
plt.savefig("01 Path.png")

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, vx, "b-", label="$v_x$")
ax.set_title(r"Horizontal velocity component")
ax.grid(b=True)
ax.legend()
ax.set_xlabel("$t$ (s)")
ax.set_ylabel("$v_x$ (m/s)")
plt.savefig("02 Horiz vel.png")

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t, vy, "b-", label="$v_y$")
ax.set_title(r"Vertical velocity component")
ax.grid(b=True)
ax.legend()
ax.set_xlabel("$t$ (s)")
ax.set_ylabel("$v_y$ (m/s)")
plt.savefig("03 Vert vel.png")

Esta abordagem também permite adicionar os efeitos do coeficiente de arrasto dependente da velocidade, densidade do ar dependente da altitude e campo gravitacional dependente da posição.

Trajetória loft

Trajetórias em loft dos mísseis norte-coreanos Hwasong-14 e Hwasong-15

Um caso especial de trajetória balística para um foguete é uma trajetória elevada, uma trajetória com um apogeu maior que a trajetória de energia mínima para o mesmo alcance. Em outras palavras, o foguete viaja mais alto e, ao fazer isso, usa mais energia para chegar ao mesmo ponto de aterrissagem. Isso pode ser feito por várias razões, como aumentar a distância até o horizonte para dar maior alcance de visão / comunicação ou para alterar o ângulo com o qual um míssil terá impacto na aterrissagem. Trajetórias loft às vezes são usadas em foguetes de mísseis e em voos espaciais .

Movimento de projéteis em escala planetária

Trajetória do projétil em torno de um planeta, em comparação com o movimento em um campo uniforme

Quando um projétil sem resistência do ar percorre uma distância significativa em comparação com o raio da Terra (acima de ≈100 km), a curvatura da Terra e o campo gravitacional não uniforme devem ser considerados. Este é o caso, por exemplo, de espaçonaves ou projéteis intercontinentais. A trajetória então se generaliza de uma parábola para uma elipse Kepler com um foco no centro da Terra. O movimento do projétil segue as leis de Kepler do movimento planetário .

Os parâmetros das trajetórias devem ser adaptados a partir dos valores de um campo de gravidade uniforme declarado acima. O raio da Terra é considerado como R , eg como a gravidade superficial padrão. Deixe a velocidade de lançamento em relação à primeira velocidade cósmica.

Alcance total d entre o lançamento e o impacto:

Alcance máximo de um projétil para o ângulo de lançamento ideal ( ):

      com , a primeira velocidade cósmica

Altura máxima de um projétil acima da superfície planetária:

Altura máxima de um projétil para lançamento vertical ( ):

      com , a segunda velocidade cósmica

Tempo de voo:

Notas

Referências