Esferoide -Spheroid

Esferoides com eixos rotacionais verticais
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oblato prolato

Um esferóide , também conhecido como elipsóide de revolução ou elipsóide rotacional , é uma superfície quádrica obtida pela rotação de uma elipse em torno de um de seus eixos principais; em outras palavras, um elipsóide com dois semi-diâmetros iguais . Um esferóide tem simetria circular .

Se a elipse for girada em torno de seu eixo principal, o resultado é um esferóide alongado, alongado como uma bola de rúgbi . A bola de futebol americano é semelhante, mas tem uma extremidade mais pontiaguda do que um esferóide. Se a elipse for girada em torno de seu eixo menor, o resultado é um esferóide oblato , achatado como uma lentilha ou um M&M simples . Se a elipse geradora for um círculo, o resultado é uma esfera .

Devido aos efeitos combinados da gravidade e da rotação , a figura da Terra (e de todos os planetas ) não é exatamente uma esfera, mas é ligeiramente achatada na direção de seu eixo de rotação. Por esse motivo, em cartografia e geodésia , a Terra é frequentemente aproximada por um esferóide achatado, conhecido como elipsóide de referência , em vez de uma esfera. O atual modelo do Sistema Geodésico Mundial usa um esferóide cujo raio é de 6.378,137 km (3.963,191 milhas) no Equador e 6.356,752 km (3.949,903 milhas) nos pólos .

A palavra esferoide originalmente significava "um corpo aproximadamente esférico", admitindo irregularidades mesmo além da forma elipsoidal bi ou triaxial; é assim que o termo é usado em alguns artigos mais antigos sobre geodésia (por exemplo, referindo-se a expansões harmônicas esféricas truncadas do modelo geopotencial gravitacional da Terra ).

Equação

A atribuição de semi-eixos em um esferóide. É oblato se c < a (esquerda) e prolato se c > a (direita).

A equação de um elipsóide triaxial centrado na origem com semi-eixos a , b e c alinhados ao longo dos eixos coordenados é

A equação de um esferoide com z como eixo de simetria é dada definindo a = b :

O semi-eixo a é o raio equatorial do esferóide e c é a distância do centro ao pólo ao longo do eixo de simetria. Há duas possibilidades:

  • c < a : esferoide achatado
  • c > a : esferoide prolato

O caso de a = c se reduz a uma esfera.

Propriedades

Área

Um esferóide achatado com c < a tem área de superfície

O esferóide achatado é gerado pela rotação em torno do eixo z de uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo menor c , portanto e pode ser identificado como a excentricidade . (Ver elipse .)

Um esferóide prolato com c > a tem área de superfície

O esferóide prolato é gerado pela rotação em torno do eixo z de uma elipse com semi-eixo maior c e semi-eixo menor a ; portanto, e pode novamente ser identificado como a excentricidade . (Ver elipse .)

Essas fórmulas são idênticas no sentido de que a fórmula para S oblato pode ser usada para calcular a área de superfície de um esferóide prolato e vice-versa. No entanto, e então se torna imaginário e não pode mais ser identificado diretamente com a excentricidade. Ambos os resultados podem ser expressos em muitas outras formas usando identidades matemáticas padrão e relações entre os parâmetros da elipse.

Volume

O volume dentro de um esferóide (de qualquer tipo) é

Se A = 2 a é o diâmetro equatorial e C = 2 c é o diâmetro polar, o volume é

Curvatura

Seja um esferóide parametrizado como

onde β é a latitude reduzida ou latitude paramétrica , λ é a longitude , e π/2< β < +π/2e −π < λ < +π . Então, a curvatura gaussiana do esferóide é

e sua curvatura média é

Ambas as curvaturas são sempre positivas, de modo que cada ponto em um esferóide é elíptico.

Proporção da tela

A razão de aspecto de um esferoide/elipse oblato, c  : a , é a razão entre os comprimentos polares e equatoriais, enquanto o achatamento (também chamado de achatamento) f , é a razão entre a diferença de comprimento equatorial-polar e o comprimento equatorial:

A primeira excentricidade (geralmente simplesmente excentricidade, como acima) é freqüentemente usada em vez de achatamento. É definido por:

As relações entre excentricidade e achatamento são:

Todos os elipsoides geodésicos modernos são definidos pelo semi-eixo maior mais o semi-eixo menor (dando a proporção), o achatamento ou a primeira excentricidade. Embora essas definições sejam matematicamente intercambiáveis, os cálculos do mundo real devem perder alguma precisão. Para evitar confusão, uma definição elipsoidal considera seus próprios valores como exatos na forma que apresenta.

Formulários

As formas mais comuns para a distribuição de densidade de prótons e nêutrons em um núcleo atômico são esférica , alongada e esferoidal oblata, onde o eixo polar é considerado o eixo de rotação (ou direção do vetor de momento angular de rotação). Formas nucleares deformadas ocorrem como resultado da competição entre repulsão eletromagnética entre prótons, tensão superficial e efeitos de casca quântica .

Esferoides oblatos

O planeta Júpiter é um esferoide achatado com um achatamento de 0,06487

O esferoide oblato é a forma aproximada de planetas em rotação e outros corpos celestes , incluindo a Terra, Saturno , Júpiter e a estrela Altair , que gira rapidamente . Saturno é o planeta mais achatado do Sistema Solar , com um achatamento de 0,09796. Veja achatamento planetário e protuberância equatorial para detalhes.

O cientista iluminista Isaac Newton , trabalhando com os experimentos do pêndulo de Jean Richer e as teorias de Christiaan Huygens para sua interpretação, raciocinou que Júpiter e a Terra são esferóides oblatos devido à sua força centrífuga . Os diversos sistemas cartográficos e geodésicos da Terra são baseados em elipsoides de referência , todos achatados.

Esferoides prolatos

O esferoide prolato é a forma aproximada da bola em vários esportes, como na bola de rúgbi .

Várias luas do Sistema Solar se aproximam de esferoides prolatos em forma, embora sejam na verdade elipsoides triaxiais . Exemplos são os satélites de Saturno Mimas , Encélado e Tétis e o satélite de Urano , Miranda .

Ao contrário de serem distorcidos em esferoides oblatos por meio de rotação rápida, os objetos celestes se distorcem levemente em esferoides prolatos por meio de forças de maré quando orbitam um corpo maciço em uma órbita próxima. O exemplo mais extremo é a lua Io de Júpiter , que se torna um pouco mais ou menos alongada em sua órbita devido a uma leve excentricidade, causando intenso vulcanismo . O eixo principal do esferóide prolato não passa pelos pólos do satélite neste caso, mas pelos dois pontos em seu equador voltados diretamente para o primário e afastados dele.

O termo também é usado para descrever a forma de algumas nebulosas , como a Nebulosa do Caranguejo . As zonas de Fresnel , usadas para analisar a propagação de ondas e a interferência no espaço, são uma série de esferóides prolatos concêntricos com eixos principais alinhados ao longo da linha de visada direta entre um transmissor e um receptor.

Os núcleos atômicos dos elementos actinídeos e lantanídeos têm a forma de esferoides prolatos. Na anatomia, os órgãos quase esferóides, como os testículos , podem ser medidos por seus eixos longo e curto .

Muitos submarinos têm uma forma que pode ser descrita como esferoide prolato.

Propriedades dinâmicas

Para um esferóide com densidade uniforme, o momento de inércia é o de um elipsóide com um eixo de simetria adicional. Dada a descrição de um esferóide como tendo um eixo maior c e eixos menores a = b , os momentos de inércia ao longo desses eixos principais são C , A e B. No entanto, em um esferóide, os eixos menores são simétricos. Portanto, nossos termos inerciais ao longo dos eixos principais são:

onde M é a massa do corpo definida como

Veja também

Referências

links externos