Comprimento adequado - Proper length

O comprimento adequado ou comprimento de repouso é o comprimento de um objeto no quadro de repouso do objeto .

A medição de comprimentos é mais complicada na teoria da relatividade do que na mecânica clássica . Na mecânica clássica, os comprimentos são medidos com base na suposição de que as localizações de todos os pontos envolvidos são medidos simultaneamente. Mas na teoria da relatividade, a noção de simultaneidade depende do observador.

Um termo diferente, distância adequada , fornece uma medida invariável cujo valor é o mesmo para todos os observadores.

A distância adequada é análoga ao tempo adequado . A diferença é que a distância adequada é definida entre dois eventos separados no espaço (ou ao longo de um caminho semelhante ao espaço), enquanto o tempo adequado é definido entre dois eventos separados no tempo (ou ao longo de um caminho semelhante ao tempo).

Comprimento adequado ou comprimento de descanso

O comprimento adequado ou comprimento de repouso de um objeto é o comprimento do objeto medido por um observador que está em repouso em relação a ele, aplicando barras de medição padrão no objeto. A medição dos pontos finais do objeto não precisa ser simultânea, uma vez que os pontos finais estão constantemente em repouso nas mesmas posições no quadro de repouso do objeto, portanto, é independente de Δ t . Este comprimento é, portanto, dado por:

No entanto, em quadros relativamente móveis, os pontos finais do objeto devem ser medidos simultaneamente, uma vez que mudam constantemente de posição. O comprimento resultante é menor do que o comprimento de repouso e é dado pela fórmula para a contração do comprimento (com γ sendo o fator de Lorentz ):

Em comparação, a distância adequada invariável entre dois eventos arbitrários que acontecem nas extremidades do mesmo objeto é dada por:

Portanto, Δ σ depende de Δ t , enquanto (como explicado acima) o comprimento de repouso L 0 do objeto pode ser medido independentemente de Δ t . Segue-se que Δ σ e L 0 , medidos nas extremidades do mesmo objeto, só concordam entre si quando os eventos de medição foram simultâneos na estrutura de repouso do objeto de forma que Δ t seja zero. Conforme explicado por Fayngold:

p. 407: "Observe que a distância adequada entre dois eventos geralmente não é o mesmo que o comprimento adequado de um objeto cujos pontos finais são respectivamente coincidentes com esses eventos. Considere uma haste sólida de comprimento adequado constante l 0. Se você estiver em o resto do quadro K 0 da haste, e você deseja medir seu comprimento, você pode fazer isso marcando primeiro seus pontos finais. E não é necessário marcá-los simultaneamente em K 0. Você pode marcar uma extremidade agora (em um momento t 1 ) e a outra extremidade depois (no momento t 2 ) em K 0 , e então medir silenciosamente a distância entre as marcas. Podemos até considerar essa medição como uma possível definição operacional de comprimento adequado. Do ponto de vista do física experimental, a exigência de que as marcas sejam feitas simultaneamente é redundante para um objeto estacionário com forma e tamanho constantes, podendo neste caso ser descartada dessa definição. Como a haste é estacionária em K 0 , a distância entre as marcas é o comprimento adequado do haste independentemente do lapso de tempo entre as duas marcações. Por outro lado, não é a distância adequada entre os eventos de marcação se as marcações não forem feitas simultaneamente em K 0. "

Distância adequada entre dois eventos em espaço plano

Na relatividade especial , a distância adequada entre dois eventos espaciais separados é a distância entre os dois eventos, medida em um referencial inercial no qual os eventos são simultâneos. Em tal quadro específico, a distância é dada por

Onde

A definição pode ser dada de forma equivalente com relação a qualquer quadro de referência inercial (sem exigir que os eventos sejam simultâneos nesse quadro) por

Onde

As duas fórmulas são equivalentes por causa da invariância dos intervalos do espaço-tempo e porque Δ t = 0 exatamente quando os eventos são simultâneos no referencial dado.

Dois eventos são separados por espaço se e somente se a fórmula acima fornecer um valor real diferente de zero para Δ σ .

Distância adequada ao longo de um caminho

A fórmula acima para a distância adequada entre dois eventos assume que o espaço-tempo no qual os dois eventos ocorrem é plano. Conseqüentemente, a fórmula acima não pode, em geral, ser usada na relatividade geral , na qual os espaços-tempos curvos são considerados. No entanto, é possível definir a distância adequada ao longo de um caminho em qualquer espaço-tempo, curvo ou plano. Em um espaço-tempo plano, a distância adequada entre dois eventos é a distância adequada ao longo de um caminho reto entre os dois eventos. Em um espaço-tempo curvo, pode haver mais de um caminho reto ( geodésico ) entre dois eventos, de modo que a distância adequada ao longo de um caminho reto entre dois eventos não definiria exclusivamente a distância adequada entre os dois eventos.

Ao longo de um caminho P tipo espaço arbitrário , a distância adequada é dada na sintaxe do tensor pela integral de linha

Onde

Na equação acima, assume-se que o tensor métrico usa a assinatura métrica e é normalizado para retornar um tempo em vez de uma distância. O sinal - na equação deve ser eliminado com um tensor métrico que, em vez disso, usa a assinatura métrica. Além disso, o deve ser eliminado com um tensor métrico que é normalizado para usar uma distância ou que usa unidades geometrizadas . +−−− −+++

Veja também

Referências