Tempo adequado - Proper time

Em relatividade , tempo adequado (do latim, significando próprio tempo ) ao longo de uma timelike linha do mundo é definido como o tempo medido por um relógio seguindo essa linha. Portanto, é independente de coordenadas e é um escalar de Lorentz . O intervalo de tempo adequado entre dois eventos em uma linha mundial é a mudança no tempo adequado. Este intervalo é a quantidade de interesse, uma vez que o próprio tempo é fixado apenas até uma constante aditiva arbitrária, ou seja, o acerto do relógio em algum evento ao longo da linha mundial.

O intervalo de tempo adequado entre dois eventos depende não apenas dos eventos, mas também da linha mundial que os conecta e, portanto, do movimento do relógio entre os eventos. É expresso como uma integral sobre a linha do mundo (análogo ao comprimento do arco no espaço euclidiano ). Um relógio acelerado medirá um tempo decorrido menor entre dois eventos do que aquele medido por um relógio não acelerado ( inercial ) entre os mesmos dois eventos. O paradoxo dos gêmeos é um exemplo desse efeito.

A linha vertical azul escura representa um observador inercial medindo um intervalo de tempo t coordenado entre os eventos E 1 e E 2 . A curva vermelha representa um relógio medindo seu próprio intervalo de tempo τ entre os mesmos dois eventos.

Por convenção, o tempo adequado é geralmente representado pela letra grega τ ( tau ) para distingui-lo do tempo coordenado representado por t . O tempo coordenado é o tempo entre dois eventos medido por um observador usando o método do próprio observador de atribuir um tempo a um evento. No caso especial de um observador inercial na relatividade especial , o tempo é medido usando o relógio do observador e a definição de simultaneidade do observador.

O conceito de tempo adequado foi introduzido por Hermann Minkowski em 1908 e é uma característica importante dos diagramas de Minkowski .

Formalismo matemático

A definição formal de tempo adequado envolve a descrição do caminho através do espaço - tempo que representa um relógio, observador ou partícula de teste e a estrutura métrica desse espaço-tempo. O tempo adequado é o comprimento do arco pseudo-Riemanniano das linhas do mundo no espaço-tempo quadridimensional. Do ponto de vista matemático, o tempo das coordenadas é considerado predefinido e é necessária uma expressão para o tempo adequado em função do tempo das coordenadas. Por outro lado, o tempo adequado é medido experimentalmente e o tempo coordenado é calculado a partir do tempo adequado dos relógios inerciais.

O tempo adequado só pode ser definido para caminhos semelhantes ao tempo através do espaço-tempo que permitem a construção de um conjunto de réguas e relógios físicos que o acompanham. O mesmo formalismo para caminhos espaciais leva a uma medição da distância adequada em vez do tempo adequado. Para caminhos semelhantes à luz, não existe o conceito de tempo adequado e é indefinido, pois o intervalo de espaço-tempo é zero. Em vez disso, um parâmetro afim arbitrário e fisicamente irrelevante não relacionado ao tempo deve ser introduzido.

Na relatividade especial

A métrica de Minkowski é definida por

e as coordenadas por
para quadros Lorentz arbitrários.

Em qualquer quadro, um intervalo infinitesimal, aqui assumido como o tempo , entre dois eventos é expresso como

 

 

 

 

(1)

e separa pontos na trajetória de uma partícula (pense no relógio). O mesmo intervalo pode ser expresso em coordenadas de forma que, a cada momento, a partícula esteja em repouso . Tal quadro é denominado quadro de repouso instantâneo, denotado aqui pelas coordenadas de cada instante. Devido à invariância do intervalo (quadros de repouso instantâneos tomados em momentos diferentes são relacionados por transformações de Lorentz), pode-se escrever

já que no quadro de repouso instantâneo, a partícula ou o próprio quadro está em repouso, ou seja ,. Uma vez que o intervalo é assumido como de tempo (ie. ), Tirar a raiz quadrada dos rendimentos acima
ou
Dada esta expressão diferencial para τ , o intervalo de tempo adequado é definido como

          (2)

Aqui, P é a linha do mundo de algum evento inicial para algum evento final com a ordem dos eventos fixada pela exigência de que o evento final ocorra mais tarde, de acordo com o relógio, do que o evento inicial.

Usando (1) e novamente a invariância do intervalo, pode-se escrever

          (3)

onde v ( t ) é a velocidade de coordenadas na coordenada tempo t , e x ( t ) , y ( t ) , e z ( t ) são as coordenadas espaciais. A primeira expressão é manifestamente invariante de Lorentz. Eles são todos invariantes de Lorentz, uma vez que o tempo adequado e os intervalos de tempo adequados são independentes de coordenadas por definição.

Se t , x , y , z são parametrizados por um parâmetro λ , isso pode ser escrito como

Se o movimento da partícula for constante, a expressão se simplifica para

onde Δ significa a mudança nas coordenadas entre os eventos inicial e final. A definição na relatividade especial generaliza diretamente para a relatividade geral como segue abaixo.

Na relatividade geral

O tempo adequado é definido na relatividade geral da seguinte forma: Dada uma variedade pseudo-Riemanniana com coordenadas locais x μ e equipada com um tensor métrico g μν , o intervalo de tempo adequado Δ τ entre dois eventos ao longo de um caminho do tempo P é dado pela linha integrante

 

 

 

 

(4)

Esta expressão é, como deveria ser, invariante sob mudanças de coordenadas. Ele se reduz (em coordenadas apropriadas) à expressão da relatividade especial no espaço-tempo plano .

Da mesma forma que as coordenadas podem ser escolhidas de modo que x 1 , x 2 , x 3 = const na relatividade especial, isso também pode ser feito na relatividade geral. Então, nessas coordenadas,

Esta expressão generaliza a definição (2) e pode ser tomada como a definição. Então, usando a invariância do intervalo, a equação (4) segue dele da mesma forma que (3) segue de (2) , exceto que aqui mudanças arbitrárias de coordenadas são permitidas.

Exemplos em relatividade especial

Exemplo 1: O duplo "paradoxo"

Para um cenário de paradoxo gêmeo , deixe haver um observador A que se move entre as coordenadas A (0,0,0,0) e (10 anos, 0, 0, 0) inercialmente. Isso significa que A permanece por 10 anos do tempo da coordenada A. O intervalo de tempo adequado para A entre os dois eventos é então

Portanto, estar "em repouso" em um sistema de coordenadas da relatividade especial significa que o tempo adequado e o tempo de coordenadas são os mesmos.

Deixe agora haver outro observador B que viaja na direção x de (0,0,0,0) por 5 anos de tempo coordenado A em 0,866 c a (5 anos, 4,33 anos-luz, 0, 0). Uma vez lá, B acelera e viaja na outra direção espacial por mais 5 anos de tempo coordenado A (10 anos, 0, 0, 0). Para cada trecho da viagem, o intervalo de tempo adequado pode ser calculado usando coordenadas A , e é dado por

Portanto, o tempo adequado total para o observador B ir de (0,0,0,0) para (5 anos, 4,33 anos-luz, 0, 0) e depois para (10 anos, 0, 0, 0) é

Assim, é mostrado que a equação de tempo adequada incorpora o efeito de dilatação do tempo. Na verdade, para um objeto em um espaço-tempo SR (relatividade especial) viajando com uma velocidade de v por um tempo , o intervalo de tempo adequado experimentado é

que é a fórmula de dilatação do tempo SR.

Exemplo 2: O disco giratório

Um observador girando em torno de outro observador inercial está em um quadro de referência acelerado. Para tal observador, a forma incremental ( ) da equação de tempo apropriada é necessária, junto com uma descrição parametrizada do caminho sendo percorrido, conforme mostrado abaixo.

Suponha que haja um observador C em um disco girando no plano xy em uma taxa angular coordenada de e que está a uma distância de r do centro do disco com o centro do disco em x = y = z = 0 . O caminho do observador C é dado por , onde é a coordenada de tempo atual. Quando r e são constantes, e . A fórmula de tempo apropriado incremental torna-se então

Assim, para um observador girando a uma distância constante de r de um determinado ponto no espaço-tempo a uma taxa angular constante de ω entre os tempos de coordenadas e , o tempo apropriado experimentado será

como v = para um observador rotativo. Este resultado é o mesmo do exemplo do movimento linear e mostra a aplicação geral da forma integral da fórmula de tempo apropriada.

Exemplos em relatividade geral

A diferença entre SR e relatividade geral (GR) é que em GR pode-se usar qualquer métrica que seja uma solução das equações de campo de Einstein , não apenas a métrica de Minkowski. Como o movimento inercial em espaços-tempos curvos carece da expressão simples que tem em SR, a forma integral de linha da equação de tempo apropriada deve sempre ser usada.

Exemplo 3: O disco giratório (novamente)

Uma conversão de coordenada apropriada feita contra a métrica de Minkowski cria coordenadas onde um objeto em um disco giratório permanece na mesma posição de coordenada espacial. As novas coordenadas são

e

Os t e z coordenadas permanecem inalterados. Neste novo sistema de coordenadas, a equação de tempo incremental adequada é

Com r , θ e z constantes ao longo do tempo, isso simplifica para

que é o mesmo que no Exemplo 2.

Agora, que haja um objeto fora do disco giratório e em repouso inercial em relação ao centro do disco e a uma distância de R dele. Este objeto tem um movimento coordenado descrito por = - ω dt , que descreve o objeto inercial em repouso de contra-rotação na vista do observador em rotação. Agora, a equação de tempo adequada torna-se

Assim, para o observador inercial em repouso, o tempo coordenado e o tempo adequado passam mais uma vez na mesma velocidade, conforme esperado e necessário para a autoconsistência interna da teoria da relatividade.

Exemplo 4: A solução de Schwarzschild - tempo na Terra

A solução de Schwarzschild tem uma equação de tempo própria incremental de

Onde
  • t é o tempo calibrado com um relógio distante e em repouso inercial em relação à Terra,
  • r é uma coordenada radial (que é efetivamente a distância do centro da Terra),
  • ɸ é uma coordenada colatitudinal, a separação angular do pólo norte em radianos .
  • θ é uma coordenada longitudinal, análoga à longitude na superfície da Terra, mas independente da rotação da Terra . Isso também é dado em radianos.
  • m é a massa geometrizada da Terra, m = GM / c 2 ,

Para demonstrar o uso da relação de tempo adequada, vários subexemplos envolvendo a Terra serão usados ​​aqui.

Para a Terra , M =5,9742 × 10 24  kg , o que significa que m =4,4354 × 10 −3  m . Quando estamos no pólo norte, podemos supor(o que significa que não estamos nos movendo para cima ou para baixo ou ao longo da superfície da Terra). Nesse caso, a equação do tempo próprio da solução de Schwarzschild torna-se. Então, usando o raio polar da Terra como coordenada radial (ou), descobrimos que

No equador , o raio da Terra é r =6 378 137  m . Além disso, a rotação da Terra precisa ser levada em consideração. Isso confere a um observador uma velocidade angularde 2 π dividido pelo período sideral da rotação da Terra, 86162,4 segundos. Então. A equação de tempo adequada então produz

De um ponto de vista não relativístico, deveria ser igual ao resultado anterior. Este exemplo demonstra como a equação de tempo adequada é usada, embora a Terra gire e, portanto, não seja esfericamente simétrica, conforme assumido pela solução de Schwarzschild. Para descrever os efeitos da rotação com mais precisão, a métrica de Kerr pode ser usada.

Veja também

Notas de rodapé

Referências