Propriedade de Baire - Property of Baire

Um subconjunto de um espaço topológico tem a propriedade de Baire ( propriedade de Baire , em homenagem a René-Louis Baire ), ou é chamado de conjunto quase aberto , se difere de um conjunto aberto por um conjunto escasso ;

Definições

Um subconjunto de um espaço topológico é chamado quase aberto e é dito ter a propriedade de Baire ou a propriedade de Baire se houver um conjunto aberto tal que seja um subconjunto insuficiente , onde denota a diferença simétrica . Além disso, tem a propriedade Baire no sentido restrito se para cada subconjunto da interseção tiver a propriedade Baire relativa a .

Propriedades

A família de conjuntos com a propriedade de Baire forma uma σ-álgebra . Ou seja, o complemento de um conjunto quase aberto é quase aberto, e qualquer união contável ou interseção de conjuntos quase abertos é novamente quase aberto. Como todo conjunto aberto está quase aberto (o conjunto vazio é escasso), segue-se que todo conjunto do Borel está quase aberto.

Se um subconjunto de um espaço polonês tiver a propriedade de Baire, seu jogo Banach-Mazur correspondente será determinado . O inverso não é válido; entretanto, se cada jogo em uma determinada classe de pontos adequada for determinado, então cada conjunto em terá a propriedade de Baire. Portanto, segue-se da determinação projetiva , que por sua vez decorre de cardeais suficientemente grandes , que todo conjunto projetivo (em um espaço polonês) tem a propriedade de Baire.

Decorre do axioma da escolha que existem conjuntos de reais sem a propriedade de Baire. Em particular, o conjunto Vitali não é propriedade da Baire. Já as versões mais fracas de escolha são suficientes: o teorema ideal primo booleano implica que existe um ultrafiltro não principal no conjunto dos números naturais ; cada um desses ultrafiltros induz, por meio de representações binárias de reais, um conjunto de reais sem a propriedade de Baire.

Veja também

Referências

links externos