Variedade pseudo-Riemanniana - Pseudo-Riemannian manifold

Relatividade geral
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introdução História Formulação matemática Testes
Conceitos fundamentais Princípio de equivalência Relatividade especial Linha mundial Variedade pseudo-riemanniana
Fenômenos Problema Kepler Lente gravitacional Ondas gravitacionais Arrasto de quadro Efeito geodésico Horizonte de eventos Singularidade Buraco negro Espaço-tempo Diagramas de espaço-tempo Espaço-tempo de Minkowski Ponte Einstein-Rosen
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Cientistas Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen andador Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Novo homem Yau Thorne outras
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Em geometria diferencial , uma variedade pseudo-Riemanniana , também chamada de variedade semirriemanniana , é uma variedade diferenciável com um tensor métrico que está em toda parte não degenerado . Esta é uma generalização de uma variedade Riemanniana na qual o requisito de definição positiva é relaxado.

Todo espaço tangente de uma variedade pseudo-Riemanniana é um espaço vetorial pseudo-Euclidiano .

Um caso especial usado na relatividade geral é uma variedade Lorentziana quadridimensional para modelar o espaço-tempo , onde os vetores tangentes podem ser classificados como semelhantes ao tempo, nulos e semelhantes ao espaço .

Introdução

Manifolds

Na geometria diferencial , uma variedade diferenciável é um espaço localmente semelhante a um espaço euclidiano . Em um espaço euclidiano n- dimensional, qualquer ponto pode ser especificado por n números reais. Essas são chamadas de coordenadas do ponto.

Uma variedade diferenciável n- dimensional é uma generalização do espaço euclidiano n- dimensional. Em um manifold, só pode ser possível definir as coordenadas localmente . Isso é obtido definindo patches de coordenadas : subconjuntos da variedade que podem ser mapeados no espaço euclidiano n- dimensional.

Consulte Manifold , manifold diferenciável , patch de coordenada para obter mais detalhes.

Espaços tangentes e tensores métricos

Associado a cada ponto em uma variedade diferenciável dimensional está um espaço tangente (denotado ). Este é um espaço vetorial dimensional cujos elementos podem ser considerados como classes de equivalência de curvas que passam pelo ponto . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle T_ {p} M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$

Um tensor métrico é um mapa não degenerado , suave, simétrico e bilinear que atribui um número real a pares de vetores tangentes em cada espaço tangente da variedade. Denotando o tensor métrico , podemos expressar isso como ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g: T_ {p} M \ times T_ {p} M \ to \ mathbb {R}.}$

O mapa é simétrico e bilinear, portanto, se forem vetores tangentes em um ponto da variedade, então temos ${\ displaystyle X, Y, Z \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle M}$

• ${\ displaystyle \, g (X, Y) = g (Y, X)}$
• ${\ displaystyle \, g (aX + Y, Z) = ag (X, Z) + g (Y, Z)}$

para qualquer número real . ${\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}$

Isso é não-degenerados significa que não há non-zero de tal forma que para todos . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X \ in T_ {p} M}$${\ displaystyle \, g (X, Y) = 0}$${\ displaystyle Y \ in T_ {p} M}$

Assinaturas métricas

Dado um tensor métrico g em uma variedade real n- dimensional, a forma quadrática q ( x ) = g ( x , x ) associada ao tensor métrico aplicado a cada vetor de qualquer base ortogonal produz n valores reais. Pela lei da inércia de Sylvester , os números de cada valor positivo, negativo e zero produzidos dessa maneira são invariantes do tensor métrico, independente da escolha da base ortogonal. A assinatura ( p , q , r ) do tensor métrico fornece esses números, mostrados na mesma ordem. Um tensor métrico não degenerado tem r = 0 e a assinatura pode ser denotada ( p , q ), onde p + q = n .

Definição

Uma variedade pseudo-Riemanniana é uma variedade diferenciável equipada com um tensor métrico simétrico liso e não degenerado em todos os lugares . ${\ displaystyle (M, g)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g}$

Essa métrica é chamada de métrica pseudo-Riemanniana . Aplicado a um campo vetorial, o valor do campo escalar resultante em qualquer ponto da variedade pode ser positivo, negativo ou zero.

A assinatura de uma métrica pseudo-Riemanniana é ( p ,  q ) , onde p e q são não negativos. A condição de não degenerescência junto com a continuidade implica que p e q permanecem inalterados em toda a variedade (assumindo que ela esteja conectada).

Variedade Lorentziana

Uma variedade Lorentziana é um caso especial importante de uma variedade pseudo-Riemanniana na qual a assinatura da métrica é (1,  n −1) (equivalentemente, ( n −1, 1) ; consulte a Convenção de Sinais ). Essas métricas são chamadas de métricas Lorentzianas . Eles foram nomeados em homenagem ao físico holandês Hendrik Lorentz .

Aplicações em física

Depois das variedades Riemannianas, as variedades Lorentzianas formam a subclasse mais importante das variedades pseudo-Riemannianas. Eles são importantes nas aplicações da relatividade geral .

Uma premissa principal da relatividade geral é que o espaço-tempo pode ser modelado como uma variedade Lorentziana de assinatura quadridimensional (3, 1) ou, equivalentemente, (1, 3) . Ao contrário das variedades Riemannianas com métricas definidas positivas, uma assinatura indefinida permite que os vetores tangentes sejam classificados em semelhantes ao tempo , nulos ou semelhantes ao espaço . Com uma assinatura de ( p , 1) ou (1,  q ) , a variedade também é localmente (e possivelmente global) orientada no tempo (ver Estrutura causal ).

Propriedades de variedades pseudo-Riemannianas

Assim como o espaço euclidiano pode ser considerado a variedade Riemanniana do modelo , o espaço de Minkowski com a métrica plana de Minkowski é a variedade Lorentziana do modelo. Da mesma forma, o espaço do modelo para uma variedade pseudo-Riemanniana de assinatura ( p ,  q ) é com a métrica ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1,1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {p, q}}$

${\ displaystyle g = dx_ {1} ^ {2} + \ cdots + dx_ {p} ^ {2} -dx_ {p + 1} ^ {2} - \ cdots -dx_ {p + q} ^ {2} }$

Alguns teoremas básicos da geometria Riemanniana podem ser generalizados para o caso pseudo-Riemanniano. Em particular, o teorema fundamental da geometria Riemanniana é verdadeiro para variedades pseudo-Riemannianas também. Isso permite falar da conexão Levi-Civita em uma variedade pseudo-Riemanniana junto com o tensor de curvatura associado . Por outro lado, existem muitos teoremas na geometria Riemanniana que não são válidos no caso generalizado. Por exemplo, é não verdade que cada colector suave admite uma métrica pseudo-Riemannianos de uma dada assinatura; existem certas obstruções topológicas . Além disso, uma subvariedade nem sempre herda a estrutura de uma variedade pseudo-Riemanniana; por exemplo, o tensor métrico torna-se zero em qualquer curva semelhante a luz . O toro de Clifton-Pohl fornece um exemplo de uma variedade pseudo-Riemanniana que é compacta, mas não completa, uma combinação de propriedades que o teorema de Hopf-Rinow não permite para variedades Riemannianas.

Veja também

• Condições de causalidade
• Variedade globalmente hiperbólica
• Equação diferencial parcial hiperbólica
• Variedade orientável
• Espaço-tempo

Notas

Referências

• Benn, IM; Tucker, RW (1987), Uma introdução a Spinors and Geometry with Applications in Physics (publicado pela primeira vez na edição de 1987), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3
• Bispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980 ed.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Chen, Bang-Yen (2011), Pseudo-Riemannian Geometry, [delta] -invariants and Applications , World Scientific Publisher, ISBN 978-981-4329-63-7
• O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity , Pure and Applied Mathematics, 103 , Academic Press, ISBN 9780080570570
• Vrănceanu, G .; Roşca, R. (1976), Introdução à Relatividade e Geometria Pseudo-Riemanniana , Bucareste: Editura Academiei Republicii Socialiste România.

links externos

• Mídia relacionada às variedades Lorentzianas no Wikimedia Commons