Operador pseudo-diferencial - Pseudo-differential operator
Em análise matemática, um operador pseudo-diferencial é uma extensão do conceito de operador diferencial . Operadores pseudo-diferenciais são usados extensivamente na teoria das equações diferenciais parciais e na teoria quântica de campos .
História
O estudo dos operadores pseudo-diferenciais começou em meados dos anos 1960 com o trabalho de Kohn , Nirenberg , Hörmander , Unterberger e Bokobza.
Eles desempenharam um papel influente na segunda prova do teorema do índice Atiyah-Singer via teoria K. Atiyah e Singer agradeceram a Hörmander pela ajuda na compreensão da teoria dos operadores Pseudo-diferenciais.
Motivação
Operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes
Considere um operador diferencial linear com coeficientes constantes,
que atua em funções suaves com suporte compacto em R n . Este operador pode ser escrito como uma composição de uma transformada de Fourier , uma multiplicação simples pela função polinomial (chamada de símbolo )
e uma transformada inversa de Fourier, na forma:
-
( 1 )
Aqui, é um índice múltiplo , são números complexos e
é uma derivada parcial iterada, onde ∂ j significa diferenciação em relação à j -ésima variável. Apresentamos as constantes para facilitar o cálculo das transformadas de Fourier.
- Derivação da fórmula ( 1 )
A transformada de Fourier de uma função suave u , compactamente suportada em R n , é
e a fórmula de inversão de Fourier dá
Aplicando P ( D ) a esta representação de u e usando
obtém-se a fórmula ( 1 ).
Representação de soluções para equações diferenciais parciais
Para resolver a equação diferencial parcial
nós (formalmente) aplicamos a transformada de Fourier em ambos os lados e obtemos a equação algébrica
Se o símbolo P (ξ) nunca é zero quando ξ ∈ R n , então é possível dividir por P (ξ):
Pela fórmula de inversão de Fourier, uma solução é
Aqui, presume-se que:
- P ( D ) é um operador diferencial linear com coeficientes constantes ,
- seu símbolo P (ξ) nunca é zero,
- tanto u quanto ƒ têm uma transformada de Fourier bem definida.
A última suposição pode ser enfraquecida usando a teoria das distribuições . As duas primeiras suposições podem ser enfraquecidas da seguinte forma.
Na última fórmula, escreva a transformada de Fourier de ƒ para obter
Isso é semelhante à fórmula ( 1 ), exceto que 1 / P (ξ) não é uma função polinomial, mas uma função de um tipo mais geral.
Definição de operadores pseudo-diferenciais
Aqui, vemos os operadores pseudo-diferenciais como uma generalização dos operadores diferenciais. Estendemos a fórmula (1) como segue. Um operador pseudo-diferencial P ( x , D ) em R n é um operador cujo valor na função u (x) é a função de x :
-
( 2 )
onde é a transformada de Fourier de u e o símbolo P ( x , ξ) no integrando pertence a uma certa classe de símbolo . Por exemplo, se P ( x , ξ) é uma função infinitamente diferenciável em R n × R n com a propriedade
para todo x , ξ ∈ R n , todos os multiíndices α, β, algumas constantes C α, β e algum número real m , então P pertence à classe de símbolos de Hörmander . O operador correspondente P ( x , D ) é chamado de operador pseudo-diferencial de ordem m e pertence à classe
Propriedades
Operadores diferenciais lineares de ordem m com coeficientes limitados suaves são operadores pseudo-diferenciais de ordem m . A composição PQ de dois operadores diferenciais pseudo- P , Q é novamente um operador pseudo-diferencial e o símbolo de PQ pode ser calculada utilizando os símbolos de P e Q . O adjunto e o transposto de um operador pseudo-diferencial é um operador pseudo-diferencial.
Se um operador diferencial de ordem m é (uniformemente) elíptico (de ordem m ) e invertível, então seu inverso é um operador pseudo-diferencial de ordem - m , e seu símbolo pode ser calculado. Isso significa que é possível resolver equações diferenciais elípticas lineares mais ou menos explicitamente usando a teoria dos operadores pseudo-diferenciais.
Os operadores diferenciais são locais no sentido de que só é necessário o valor de uma função na vizinhança de um ponto para determinar o efeito do operador. Operadores pseudo -diferenciais são pseudo-locais , o que significa informalmente que quando aplicados a uma distribuição eles não criam uma singularidade em pontos onde a distribuição já era suave.
Assim como um operador diferencial pode ser expresso em termos de D = −id / d x na forma
para um polinômio p em D (que é chamado de símbolo ), um operador pseudo-diferencial tem um símbolo em uma classe de funções mais geral. Freqüentemente, pode-se reduzir um problema de análise de operadores pseudo-diferenciais a uma sequência de problemas algébricos envolvendo seus símbolos, e essa é a essência da análise microlocal .
Kernel do operador pseudo-diferencial
Operadores pseudo-diferenciais podem ser representados por kernels . A singularidade do kernel na diagonal depende do grau do operador correspondente. De fato, se o símbolo satisfaz as desigualdades diferenciais acima com m ≤ 0, pode-se mostrar que o kernel é um kernel integral singular .
Veja também
- Álgebra diferencial para a definição de operadores pseudo-diferenciais no contexto de álgebras diferenciais e anéis diferenciais.
- transformada de Fourier
- Operador integral de Fourier
- Operador integral oscilatório
- Teorema fundamental de Sato
- Cálculo operacional
Notas de rodapé
Referências
- Stein, Elias (1993), Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals , Princeton University Press.
- Atiyah, Michael F .; Singer, Isadore M. (1968), "The Index of Elliptic Operators I", Annals of Mathematics , 87 (3): 484-530, doi : 10.2307 / 1970715 , JSTOR 1970715
Leitura adicional
- Michael E. Taylor , Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981. ISBN 0-691-08282-0
- MA Shubin, Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer-Verlag 2001. ISBN 3-540-41195-X
- Francois Treves , Introdução aos Operadores Pseudo Diferenciais e Integrais de Fourier, (Série Universitária em Matemática), Plenum Publ. Co. 1981. ISBN 0-306-40404-4
- FG Friedlander e M. Joshi, Introdução à Teoria das Distribuições, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
- Hörmander, Lars (1987). A Análise de Operadores Lineares Diferenciais Parciais III: Operadores Pseudo-Diferenciais . Springer. ISBN 3-540-49937-7.
links externos
- Palestras sobre operadores pseudo-diferenciais por Mark S. Joshi em arxiv.org.
- "Operador pseudo-diferencial" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]