Pseudogrupo - Pseudogroup

Em matemática , um pseudogrupo é um conjunto de difeomorfismos entre conjuntos abertos de um espaço, satisfazendo propriedades de grupo e de feixe. É uma generalização do conceito de grupo , oriundo, porém, da abordagem geométrica de Sophus Lie para investigar simetrias de equações diferenciais, e não de álgebra abstrata (como quasigrupo , por exemplo). A teoria moderna dos pseudogrupos foi desenvolvida por Élie Cartan no início do século XX.

Definição

Um pseudogrupo impõe várias condições a conjuntos de homeomorfismos (respectivamente, difeomorfismos ) definidos em conjuntos abertos U de um determinado espaço euclidiano ou, mais geralmente, de um espaço topológico fixo (respectivamente, variedade lisa ). Uma vez que dois Homeomorfismos h  : L → V e g  : V → W componha a um homeomorphism de L a W , uma pergunta que o pseudogroup é fechada sob composição e inversão. No entanto, ao contrário daqueles para um grupo, os axiomas que definem um pseudogrupo não são puramente algébricos; os requisitos adicionais estão relacionados à possibilidade de restringir e remendar homeomorfismos (semelhante ao axioma de colagem para seções de um feixe).


Mais precisamente, um pseudogrupo em um espaço topológico S é uma coleção Γ de homeomorfismos entre subconjuntos abertos de S satisfazendo as seguintes propriedades.

  • Para cada conjunto aberto U em S , o mapa de identidade em U está em Γ.
  • Se f está em Γ, então também está f −1 .
  • Se f está em Γ, então a restrição de f a um subconjunto aberto arbitrário de seu domínio está em Γ.
  • Se U é aberto em S , U é a união dos conjuntos abertos { U i }, f é um homeomorfismo de U para um subconjunto aberto de S , e a restrição de f para U i está em Γ para todo i , então f está em Γ.
  • Se f  : L → V e F '  : L ' → V ' são em Γ, e o cruzamento V ∩ L ' é não vazio , então o seguinte restrito composição é em Γ:

Da mesma forma, um pseudogrupo em uma variedade suave X é definido como uma coleção Γ de difeomorfismos entre subconjuntos abertos de X que satisfazem propriedades análogas (onde substituímos homeomorfismos por difeomorfismos).


Diz-se que dois pontos em X estão na mesma órbita se um elemento de Γ envia um para o outro. As órbitas de um pseudogrupo formam claramente uma partição de X ; um pseudogrupo é denominado transitivo se tiver apenas uma órbita.

Exemplos

Uma classe difundida de exemplos é fornecida por pseudogrupos que preservam uma dada estrutura geométrica. Por exemplo, se ( X , g ) é uma variedade Riemanniana , temos o pseudogrupo de suas isometrias locais ; se ( X , ω ) é uma variedade simplética , temos o pseudogrupo de seus simplectomorfismos locais ; etc. Esses pseudogrupos devem ser pensados ​​como o conjunto das simetrias locais dessas estruturas.

Pseudogrupos de simetrias e estruturas geométricas

Frequentemente, manifolds com estruturas adicionais podem ser definidos usando os pseudogrupos de simetrias de um modelo local fixo. Mais precisamente, dado um pseudogrupo Γ, um Γ-atlas em um espaço topológico M consiste em um atlas padrão em M tal que as mudanças de coordenadas (isto é, os mapas de transição) pertencem a Γ. Uma classe equivalente de y-atlas também é chamado um Γ-estrutura em H .

Em particular, quando Γ é o pseudogrupo de todos os difeomorfismos de R n definidos localmente , recupera-se a noção padrão de um atlas liso e uma estrutura lisa . De forma mais geral, pode-se definir os seguintes objetos como estruturas Γ em um espaço topológico M :

Mais geralmente, qualquer estrutura G integrável e qualquer variedade ( G , X ) são casos especiais de estruturas Γ, para pseudogrupos Γ adequados.

Pseudogrupos e teoria de Lie

Em geral, os pseudogrupos foram estudados como uma possível teoria de grupos de Lie de dimensão infinita . O conceito de grupo de Lie local , ou seja, um pseudogrupo de funções definidas em vizinhanças da origem de um espaço euclidiano E , está na verdade mais próximo do conceito original de grupo de Lie de Lie, no caso em que as transformações envolvidas dependem de um número finito de parâmetros , do que a definição contemporânea via variedades . Uma das realizações de Cartan foi esclarecer os pontos envolvidos, incluindo o ponto de que um grupo de Lie local sempre dá origem a um grupo global , no sentido atual (um análogo do terceiro teorema de Lie , nas álgebras de Lie determinando um grupo). O grupo formal é mais uma abordagem para a especificação de grupos de Lie, infinitesimalmente. Sabe-se, entretanto, que grupos topológicos locais não têm necessariamente contrapartes globais.

Exemplos de pseudogroups infinitas-dimensional são abundantes, começando com o pseudogroup de todos os Difeomorfismos de E . O interesse é principalmente em sub-pseudogrupos dos difeomorfismos e, portanto, com objetos que possuem uma álgebra de Lie análogo a campos vetoriais . Os métodos propostos por Lie e por Cartan para estudar esses objetos tornaram-se mais práticos com o progresso da álgebra computacional .

Na década de 1950, a teoria de Cartan foi reformulada por Shiing-Shen Chern , e uma teoria geral de deformação para pseudogrupos foi desenvolvida por Kunihiko Kodaira e DC Spencer . Na década de 1960, a álgebra homológica foi aplicada às questões básicas do PDE envolvidas, de sobredeterminação; entretanto, isso revelou que a álgebra da teoria é potencialmente muito pesada. Na mesma década, o interesse pela física teórica da teoria de Lie de dimensão infinita apareceu pela primeira vez, na forma da álgebra atual .

Intuitivamente, um pseudogrupo de Lie deve ser um pseudogrupo que "se origina" de um sistema de PDEs. Existem muitas noções semelhantes, mas não equivalentes, na literatura; o "certo" depende da aplicação que se tem em mente. No entanto, todas essas várias abordagens envolvem os feixes de jato (de dimensão finita ou infinita) de Γ, que devem ser um grupóide de Lie . Em particular, um pseudogrupo de Lie é chamado de ordem finita k se puder ser "reconstruído" a partir do espaço de seus k- jatos .

Referências

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