Quadratura (matemática) - Quadrature (mathematics)

Para outros usos, consulte Quadratura (desambiguação) .

Em matemática , quadratura é um termo histórico que significa o processo de determinação de área . Este termo ainda é usado hoje em dia no contexto de equações diferenciais , onde "resolver uma equação por quadratura" ou "redução à quadratura" significa expressar sua solução em termos de integrais .

Os problemas de quadratura serviram como uma das principais fontes de problemas no desenvolvimento do cálculo e introduzem tópicos importantes na análise matemática .

História

O luna de Hipócrates foi a primeira figura curva a ter sua área exata calculada matematicamente.

Os matemáticos gregos entendiam a determinação de uma área de uma figura como o processo de construção geométrica de um quadrado com a mesma área ( quadratura ), daí o nome de quadratura para esse processo. Os geômetras gregos nem sempre tiveram sucesso (ver quadratura do círculo ), mas realizaram quadraturas de algumas figuras cujos lados não eram simplesmente segmentos de linha, como as lunas de Hipócrates e a quadratura da parábola . Por uma certa tradição grega, essas construções tinham de ser executadas apenas com compasso e régua , embora nem todos os matemáticos gregos aderissem a essa máxima.

Para uma quadratura de um rectângulo com os lados um e b é necessário para a construção de um quadrado, com o lado (a média geométrica de um e b ). Para este efeito, é possível utilizar o seguinte: se um desenha o círculo com diâmetro feitas de juntar segmentos de linha de comprimentos de um e b , em seguida, a altura ( BH no diagrama) do segmento de linha traçada perpendicularmente ao diâmetro, a partir da ponto de sua conexão ao ponto onde cruza o círculo, é igual à média geométrica de a e b . Uma construção geométrica semelhante resolve os problemas de quadratura de um paralelogramo e de um triângulo.

Arquimedes provou que a área de um segmento parabólico é 4/3 da área de um triângulo inscrito.

Problemas de quadratura para figuras curvilíneas são muito mais difíceis. A quadratura do círculo com compasso e régua foi provada no século 19 como impossível. No entanto, para algumas figuras, uma quadratura pode ser executada. As quadraturas da superfície de uma esfera e um segmento de parábola descobertos por Arquimedes tornaram-se a maior conquista de análise na Antiguidade.

  • A área da superfície de uma esfera é igual a quatro vezes a área do círculo formado por um grande círculo desta esfera.
  • A área de um segmento de uma parábola determinada por um corte em linha reta é 4/3 da área de um triângulo inscrito neste segmento.

Para a comprovação desses resultados, Arquimedes utilizou o método da exaustão atribuído a Eudoxo .

Na Europa medieval, quadratura significava o cálculo da área por qualquer método. Na maioria das vezes, o método dos indivisíveis era usado; era menos rigoroso do que as construções geométricas dos gregos, mas era mais simples e mais poderoso. Com sua ajuda, Galileo Galilei e Gilles de Roberval encontraram a área de um arco ciclóide , Grégoire de Saint-Vincent investigou a área sob uma hipérbole ( Opus Geometricum , 1647), e Alphonse Antonio de Sarasa , aluno e comentarista de Saint-Vincent, observou a relação desta área para logaritmos .

John Wallis algebrised este método; ele escreveu em seu Arithmetica Infinitorum (1656) algumas séries que são equivalentes ao que agora é chamado de integral definida , e calculou seus valores. Isaac Barrow e James Gregory fizeram mais progressos: quadraturas para algumas curvas e espirais algébricas . Christiaan Huygens realizou com sucesso uma quadratura da área de superfície de alguns sólidos de revolução .

A quadratura da hipérbole de Saint-Vincent e de Sarasa proporcionou uma nova função , o logaritmo natural , de importância crítica. Com a invenção do cálculo integral, surgiu um método universal para cálculo de área. Em resposta, o termo quadratura tornou-se tradicional e, em vez disso, a frase moderna localizando a área é mais comumente usada para o que é tecnicamente o cálculo de uma integral definida univariada .

Veja também

Notas

Referências