Quadrilátero -Quadrilateral

Quadrilátero
Alguns tipos de quadriláteros
Arestas e vértices	4
Símbolo Schläfli	{4} (para quadrado)
Área	vários métodos; ver abaixo
Ângulo interno ( graus )	90° (para quadrado e retângulo)

Em geometria, um quadrilátero é um polígono de quatro lados , com quatro arestas (lados) e quatro cantos (vértices). A palavra é derivada das palavras latinas quadri , uma variante de quatro, e latus , que significa "lado". Outro nome para isso é tetragon , derivado do grego "tetra" que significa "quatro" e "gon" que significa "canto" ou "ângulo", em analogia com, por exemplo, pentágono . "Gon" sendo "ângulo" também está na raiz de chamá-lo de quadrângulo , 4-ângulo, em analogia ao triângulo. Um quadrilátero com vértices , , e às vezes é denotado como . ${\estilo de exibição A}$${\estilo de exibição B}$${\estilo de exibição C}$${\estilo de exibição D}$${\ estilo de exibição \ quadrado ABCD}$

Os quadriláteros podem ser simples (não se auto-intersectam) ou complexos (que se auto-intersectam ou cruzados). Quadriláteros simples são convexos ou côncavos .

Os ângulos internos de um quadrilátero simples (e plano) ABCD somam 360 graus de arco , ou seja,

${\displaystyle \ângulo A+\ângulo B+\ângulo C+\ângulo D=360^{\circ }.}$

Este é um caso especial da fórmula da soma do ângulo interno n -gon: ( n − 2) × 180°.

Todos os quadriláteros não auto-cruzados ladrilham o plano , por rotação repetida em torno dos pontos médios de suas arestas.

Quadriláteros simples

Qualquer quadrilátero que não se auto-intersecciona é um quadrilátero simples.

Quadriláteros convexos

Em um quadrilátero convexo, todos os ângulos internos são menores que 180°, e as duas diagonais estão dentro do quadrilátero.

• Quadrilátero irregular ( inglês britânico ) ou trapézio ( inglês norte-americano ): nenhum lado é paralelo. (Em inglês britânico, isso já foi chamado de trapezoid . Para mais informações, consulte Trapezoid § Trapezium vs Trapezoid )
• Trapézio (Reino Unido) ou trapézio (EUA): pelo menos um par de lados opostos são paralelos . Trapézios (Reino Unido) e trapézios (EUA) incluem paralelogramos.
• Trapézio isósceles (Reino Unido) ou trapézio isósceles (EUA): um par de lados opostos são paralelos e os ângulos da base são iguais em medida. Definições alternativas são um quadrilátero com um eixo de simetria dividindo um par de lados opostos, ou um trapézio com diagonais de igual comprimento.
• Paralelogramo : quadrilátero com dois pares de lados paralelos. As condições equivalentes são que os lados opostos tenham o mesmo comprimento; que os ângulos opostos são iguais; ou que as diagonais se bissetam. Os paralelogramos incluem losangos (incluindo aqueles retângulos chamados quadrados) e rombóides (incluindo aqueles retângulos chamados oblongos). Em outras palavras, os paralelogramos incluem todos os losangos e todos os rombóides e, portanto, também incluem todos os retângulos.
• Losango , losango: todos os quatro lados são de igual comprimento (equilátero). Uma condição equivalente é que as diagonais se bissetem perpendicularmente. Informalmente: "um quadrado empurrado" (mas incluindo estritamente um quadrado também).
• Rombóide : um paralelogramo em que os lados adjacentes são de comprimentos desiguais, e alguns ângulos são oblíquos (equiv., não tendo ângulos retos). Informalmente: "um oblongo empurrado". Nem todas as referências concordam, algumas definem um losango como um paralelogramo que não é um losango.
• Retângulo : todos os quatro ângulos são retos (equiangulares). Uma condição equivalente é que as diagonais se bissetem e sejam iguais em comprimento. Retângulos incluem quadrados e oblongos. Informalmente: "uma caixa ou oblongo" (incluindo um quadrado).
• Quadrado (quadrilátero regular): todos os quatro lados são de igual comprimento (equilátero), e todos os quatro ângulos são retos. Uma condição equivalente é que os lados opostos sejam paralelos (um quadrado é um paralelogramo), e que as diagonais se bissetem perpendicularmente e tenham o mesmo comprimento. Um quadrilátero é um quadrado se e somente se for um losango e um retângulo (ou seja, quatro lados iguais e quatro ângulos iguais).
• Oblongo : mais longo que largo, ou mais largo que comprido (ou seja, um retângulo que não é um quadrado).
• Pipa : dois pares de lados adjacentes são de igual comprimento. Isso implica que uma diagonal divide a pipa em triângulos congruentes e, portanto, os ângulos entre os dois pares de lados iguais são iguais em medida. Isso também implica que as diagonais são perpendiculares. As pipas incluem losangos.

• Quadrilátero tangencial : os quatro lados são tangentes a um círculo inscrito. Um quadrilátero convexo é tangencial se e somente se os lados opostos têm somas iguais.
• Trapézio tangencial : um trapézio onde os quatro lados são tangentes a um círculo inscrito .
• Quadrilátero cíclico : os quatro vértices estão em um círculo circunscrito . Um quadrilátero convexo é cíclico se e somente se os ângulos opostos somam 180°.
• Pipa direita : uma pipa com dois ângulos retos opostos. É um tipo de quadrilátero cíclico.
• Quadrilátero harmônico : os produtos dos comprimentos dos lados opostos são iguais. É um tipo de quadrilátero cíclico.
• Quadrilátero bicêntrico : é tangencial e cíclico.
• Quadrilátero ortodiagonal : as diagonais se cruzam em ângulos retos .
• Quadrilátero equidiagonal : as diagonais têm o mesmo comprimento.
• Quadrilátero ex-tangencial : as quatro extensões dos lados são tangentes a um excírculo .
• Um quadrilátero eqüílico tem dois lados opostos iguais que, quando estendidos, se encontram em 60°.
• Um quadrilátero Watt é um quadrilátero com um par de lados opostos de igual comprimento.
• Um quadrilátero quádrico é um quadrilátero convexo cujos quatro vértices estão todos no perímetro de um quadrado.
• Um quadrilátero diametral é um quadrilátero cíclico que tem um de seus lados como diâmetro do círculo circunscrito.
• Um quadrilátero de Hjelmslev é um quadrilátero com dois ângulos retos em vértices opostos.

Quadriláteros côncavos

Em um quadrilátero côncavo, um ângulo interno é maior que 180° e uma das duas diagonais está fora do quadrilátero.

• Um dardo (ou ponta de flecha) é um quadrilátero côncavo com simetria bilateral como uma pipa, mas onde um ângulo interno é reflexo. Veja Pipa .

Quadriláteros complexos

Um quadrilátero de auto-interseção é chamado de quadrilátero cruzado , quadrilátero cruzado, quadrilátero de borboleta ou quadrilátero de gravata borboleta . Em um quadrilátero cruzado, os quatro ângulos "interiores" de cada lado do cruzamento (dois agudos e dois reflexos , todos à esquerda ou todos à direita conforme a figura é traçada) somam 720°.

• Trapézio cruzado (EUA) ou trapézio (Commonwealth): um quadrilátero cruzado em que um par de lados não adjacentes é paralelo (como um trapézio )
• Antiparalelogramo : um quadrilátero cruzado em que cada par de lados não adjacentes têm comprimentos iguais (como um paralelogramo )
• Retângulo cruzado : um antiparalelogramo cujos lados são dois lados opostos e as duas diagonais de um retângulo , portanto, tendo um par de lados opostos paralelos
• Quadrado cruzado : um caso especial de um retângulo cruzado onde dois dos lados se cruzam em ângulos retos

Segmentos de linha especiais

As duas diagonais de um quadrilátero convexo são os segmentos de linha que conectam vértices opostos.

As duas bimedianas de um quadrilátero convexo são os segmentos de linha que conectam os pontos médios de lados opostos. Eles se cruzam no "centroide do vértice" do quadrilátero (ver § Pontos e linhas notáveis ​​em um quadrilátero convexo abaixo).

As quatro maltitudes de um quadrilátero convexo são as perpendiculares a um lado – passando pelo ponto médio do lado oposto.

Área de um quadrilátero convexo

Existem várias fórmulas gerais para a área K de um quadrilátero convexo ABCD com lados a = AB , b = BC , c = CD e d = DA .

Fórmulas trigonométricas

A área pode ser expressa em termos trigonométricos como

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}\sin \theta ,}$

onde os comprimentos das diagonais são peq e o ângulo entre eles é θ . No caso de um quadrilátero ortodiagonal (por exemplo, losango, quadrado e pipa), esta fórmula se reduz a uma vez que θ é 90° . ${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$

A área também pode ser expressa em termos de bimedianas como

${\displaystyle K=2mn\sin \varphi ,}$

onde os comprimentos das bimedianas são m e n e o ângulo entre elas é φ .

A fórmula de Bretschneider expressa a área em termos dos lados e dois ângulos opostos:

${\displaystyle {\begin{alinhado}K&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C )]}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {A+C}{2}} \right)\right]}}\end{alinhado}}}$

onde os lados em seqüência são a , b , c , d , onde s é o semiperímetro, e A e C são dois (na verdade, quaisquer dois) ângulos opostos. Isso se reduz à fórmula de Brahmagupta para a área de um quadrilátero cíclico - quando A + C = 180° .

Outra fórmula de área em termos de lados e ângulos, com o ângulo C entre os lados b e c , e A entre os lados a e d , é

${\displaystyle K={\frac {ad}{2}}\sin {A}+{\frac {bc}{2}}\sin {C}.}$

No caso de um quadrilátero cíclico, a última fórmula torna-se${\displaystyle K={\frac {ad+bc}{2}}\sin {A}.}$

Em um paralelogramo, onde ambos os pares de lados e ângulos opostos são iguais, esta fórmula se reduz a${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternativamente, podemos escrever a área em termos dos lados e do ângulo de interseção θ das diagonais, desde que θ não seja 90° :

${\displaystyle K={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right |.}$

No caso de um paralelogramo, a última fórmula torna-se${\displaystyle K={\frac {|\tan \theta |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.}$

Outra fórmula de área incluindo os lados a , b , c , d é

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})- 4x^{2})}}{4}}\sin {\varphi }}$

onde x é a distância entre os pontos médios das diagonais, e φ é o ângulo entre as bimedianas .

A última fórmula de área trigonométrica incluindo os lados a , b , c , d e o ângulo α (entre a e b ) é:

${\displaystyle K={\frac {ab}{2}}\sin {\alpha }+{\frac {\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{ 2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}}{4}},}$

que também pode ser usado para a área de um quadrilátero côncavo (tendo a parte côncava oposta ao ângulo α ), apenas mudando o primeiro sinal + para - .

Fórmulas não trigonométricas

As duas fórmulas a seguir expressam a área em termos dos lados a , b , c e d , do semiperímetro s e das diagonais p , q :

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {ac+bd+pq}{4}}(ac+bd-pq)}},}$

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\ certo)^{2}}}{4}}.}$

A primeira se reduz à fórmula de Brahmagupta no caso do quadrilátero cíclico, desde então pq = ac + bd .

A área também pode ser expressa em termos das bimedianas m , n e das diagonais p , q :

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(m+n+p)(m+np)(m+n+q)(m+nq)}}{2}},}$

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.}$

De fato, quaisquer três dos quatro valores m , n , p e q são suficientes para a determinação da área, pois em qualquer quadrilátero os quatro valores estão relacionados por As expressões correspondentes são: ${\estilo de exibição p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(mn)^{2}]}}{2 }},}$

se os comprimentos de duas bimedianas e uma diagonal são dados, e

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(pq)^{2}]}}{4 }},}$

se os comprimentos de duas diagonais e uma bimediana são dados.

Fórmulas vetoriais

A área de um quadrilátero ABCD pode ser calculada usando vetores . Sejam os vetores AC e BD as diagonais de A a C e de B a D . A área do quadrilátero é então

${\displaystyle K={\frac {|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |}{2}},}$

que é metade da magnitude do produto vetorial dos vetores AC e BD . No espaço euclidiano bidimensional, expressando o vetor AC como um vetor livre no espaço cartesiano igual a ( x ₁ , y ₁ ) e BD como ( x ₂ , y ₂ ) , isso pode ser reescrito como:

${\displaystyle K={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}.}$

Diagonais

Propriedades das diagonais em quadriláteros

Na tabela a seguir, está listado se as diagonais em alguns dos quadriláteros mais básicos se bissetam, se suas diagonais são perpendiculares e se suas diagonais têm o mesmo comprimento. A lista se aplica aos casos mais gerais e exclui subconjuntos nomeados.

Quadrilátero	Bissecção de diagonais	Diagonais perpendiculares	Diagonais iguais
trapézio	Não	Veja a nota 1	Não
trapézio isósceles	Não	Veja a nota 1	sim
Paralelogramo	sim	Não	Não
Pipa	Veja a nota 2	sim	Veja a nota 2
Retângulo	sim	Não	sim
Losango	sim	sim	Não
Quadrado	sim	sim	sim

Nota 1: Os trapézios e trapézios isósceles mais gerais não têm diagonais perpendiculares, mas há um número infinito de trapézios e trapézios isósceles (não semelhantes) que têm diagonais perpendiculares e não são qualquer outro quadrilátero nomeado.

Nota 2: Em uma pipa, uma diagonal corta a outra. A pipa mais geral tem diagonais desiguais, mas há um número infinito de pipas (não semelhantes) nas quais as diagonais são iguais em comprimento (e as pipas não são nenhum outro quadrilátero nomeado).

Comprimentos das diagonais

Os comprimentos das diagonais em um quadrilátero convexo ABCD podem ser calculados usando a lei dos cossenos em cada triângulo formado por uma diagonal e dois lados do quadrilátero. Por isso

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos { D}}}}$

e

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos { C}}}.}$

Outras fórmulas mais simétricas para os comprimentos das diagonais são

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

e

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Generalizações da lei do paralelogramo e do teorema de Ptolomeu

Em qualquer quadrilátero convexo ABCD , a soma dos quadrados dos quatro lados é igual à soma dos quadrados das duas diagonais mais quatro vezes o quadrado do segmento de linha que liga os pontos médios das diagonais. Por isso

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

onde x é a distância entre os pontos médios das diagonais. Isso às vezes é conhecido como teorema do quadrilátero de Euler e é uma generalização da lei do paralelogramo .

O matemático alemão Carl Anton Bretschneider derivou em 1842 a seguinte generalização do teorema de Ptolomeu , referente ao produto das diagonais em um quadrilátero convexo

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Esta relação pode ser considerada uma lei dos cossenos para um quadrilátero. Em um quadrilátero cíclico , onde A + C = 180°, reduz-se a pq = ac + bd . Como cos ( A + C ) ≥ −1, também dá uma prova da desigualdade de Ptolomeu.

Outras relações métricas

Se X e Y são os pés das normais de B e D à diagonal AC = p em um quadrilátero convexo ABCD com lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , então

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

Em um quadrilátero convexo ABCD com lados a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , e onde as diagonais se cruzam em E ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+cbd)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

onde e = AE , f = BE , g = CE , eh = DE .

A forma e o tamanho de um quadrilátero convexo são totalmente determinados pelos comprimentos de seus lados em sequência e de uma diagonal entre dois vértices especificados. As duas diagonais p, q e os quatro comprimentos dos lados a, b, c, d de um quadrilátero são relacionados pelo determinante de Cayley-Menger , como segue:

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{ 2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

Bissetrizes de ângulo

As bissetrizes internas de um quadrilátero convexo formam um quadrilátero cíclico (ou seja, os quatro pontos de interseção de bissetrizes adjacentes são concíclicos ) ou são concorrentes . Neste último caso, o quadrilátero é um quadrilátero tangencial .

No quadrilátero ABCD , se as bissetrizes de A e C se encontram na diagonal BD , então as bissetrizes de B e D se encontram na diagonal AC .

Bimedianos

As bimedianas de um quadrilátero são os segmentos de linha que ligam os pontos médios dos lados opostos. A interseção das bimedianas é o centroide dos vértices do quadrilátero.

Os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero (convexo, côncavo ou cruzado) são os vértices de um paralelogramo chamado paralelogramo de Varignon . Possui as seguintes propriedades:

• Cada par de lados opostos do paralelogramo Varignon são paralelos a uma diagonal no quadrilátero original.
• Um lado do paralelogramo Varignon tem metade do comprimento da diagonal do quadrilátero original ao qual ele é paralelo.
• A área do paralelogramo Varignon é igual a metade da área do quadrilátero original. Isso é verdade em quadriláteros convexos, côncavos e cruzados, desde que a área deste último seja definida como a diferença das áreas dos dois triângulos que o compõem.
• O perímetro do paralelogramo Varignon é igual à soma das diagonais do quadrilátero original.
• As diagonais do paralelogramo Varignon são as bimedianas do quadrilátero original.

As duas bimedianas em um quadrilátero e o segmento de linha que une os pontos médios das diagonais nesse quadrilátero são concorrentes e são todos bissectados por seu ponto de interseção.

Em um quadrilátero convexo com lados a , b , c e d , o comprimento da bimediana que liga os pontos médios dos lados a e c é

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+ q^{2}}}}$

onde p e q são o comprimento das diagonais. O comprimento da bimediana que liga os pontos médios dos lados b e d é

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q ^{2}}}.}$

Portanto

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Isso também é um corolário da lei do paralelogramo aplicada no paralelogramo de Varignon.

Os comprimentos das bimedianas também podem ser expressos em termos de dois lados opostos e da distância x entre os pontos médios das diagonais. Isso é possível ao usar o teorema do quadrilátero de Euler nas fórmulas acima. De onde

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

e

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Observe que os dois lados opostos nessas fórmulas não são os dois que a bimediana conecta.

Em um quadrilátero convexo, há a seguinte conexão dupla entre as bimedianas e as diagonais:

• As duas bimedianas têm comprimento igual se e somente se as duas diagonais são perpendiculares .
• As duas bimedianas são perpendiculares se e somente se as duas diagonais têm o mesmo comprimento.

Identidades trigonométricas

Os quatro ângulos de um quadrilátero simples ABCD satisfazem as seguintes identidades:

${\ displaystyle \ sin {A}+\ sin {B}+\ sin {C}+\ sin {D}=4\ sin {\frac {A+B}{2}}\ sin {\frac {A+ C}{2}}\sin {\frac {A+D}{2}}}$

e

${\displaystyle {\frac {\tan {A}\tan {B}-\tan {C}\tan {D}}{\tan {A}\tan {C}-\tan {B}\tan {D }}}={\frac {\tan {(A+C)}}{\tan {(A+B)}}}.}$

Além disso,

${\displaystyle {\frac {\tan {A}+\tan {B}+\tan {C}+\tan {D}}{\cot {A}+\cot {B}+\cot {C}+ \cot {D}}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

Nas duas últimas fórmulas, nenhum ângulo pode ser um ângulo reto , pois tan 90° não está definido.

Seja , , , os lados de um quadrilátero não cruzado, é o semiperímetro, e e são ângulos opostos, então ${\ estilo de exibição a}$${\estilo de exibição b}$${\estilo de exibição c}$${\estilo de exibição d}$${\displaystyle s}$${\estilo de exibição A}$${\estilo de exibição C}$

${\displaystyle ad\sin ^{2}{\frac {A}{2}}+bc\cos ^{2}{\frac {C}{2}}=(sa)(sd)}$

e

${\displaystyle bc\sin ^{2}{\frac {C}{2}}+ad\cos ^{2}{\frac {A}{2}}=(sb)(sc)}$.

Podemos usar essas identidades para derivar a Fórmula de Bretschneider .

Desigualdades

Área

Se um quadrilátero convexo tem os lados consecutivos a , b , c , d e as diagonais p , q , então sua área K satisfaz

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$com igualdade apenas para um retângulo .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$com igualdade apenas para um quadrado .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$com igualdade somente se as diagonais forem perpendiculares e iguais.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$com igualdade apenas para um retângulo.

Da fórmula de Bretschneider segue diretamente que a área de um quadrilátero satisfaz

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}$

com igualdade se e somente se o quadrilátero é cíclico ou degenerado tal que um lado é igual à soma dos outros três (ele foi colapsado em um segmento de linha , então a área é zero).

A área de qualquer quadrilátero também satisfaz a desigualdade

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Denotando o perímetro como L , temos

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

com igualdade apenas no caso de um quadrado.

A área de um quadrilátero convexo também satisfaz

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

para comprimentos diagonais p e q , com igualdade se e somente se as diagonais são perpendiculares.

Sejam a , b , c , d os comprimentos dos lados de um quadrilátero convexo ABCD com área K e diagonais AC = p , BD = q . Então

${\displaystyle K\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac- bd}{8}}}$com igualdade apenas para um quadrado.

Sejam a , b , c , d os comprimentos dos lados de um quadrilátero convexo ABCD com área K , então vale a seguinte desigualdade:

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{ \sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$com igualdade apenas para um quadrado.

Diagonais e bimedianas

Um corolário do teorema do quadrilátero de Euler é a desigualdade

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

onde a igualdade vale se e somente se o quadrilátero é um paralelogramo .

Euler também generalizou o teorema de Ptolomeu , que é uma igualdade em um quadrilátero cíclico , em uma desigualdade para um quadrilátero convexo. Diz que

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

onde há igualdade se e somente se o quadrilátero é cíclico. Isso é freqüentemente chamado de desigualdade de Ptolomeu .

Em qualquer quadrilátero convexo as bimedianas m, n e as diagonais p, q estão relacionadas pela desigualdade

${\estilo de exibição pq\leq m^{2}+n^{2},}$

com igualdade valendo se e somente se as diagonais são iguais. Isso segue diretamente da identidade quadrilátero${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

Laterais

Os lados a , b , c e d de qualquer quadrilátero satisfazem

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}}$

e

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.}$

Propriedades máximas e mínimas

Entre todos os quadriláteros com um determinado perímetro , o de maior área é o quadrado . Isso é chamado de teorema isoperimétrico para quadriláteros . É uma consequência direta da desigualdade de área

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

onde K é a área de um quadrilátero convexo com perímetro L . A igualdade vale se e somente se o quadrilátero for um quadrado. O teorema dual afirma que de todos os quadriláteros com uma dada área, o quadrado tem o menor perímetro.

O quadrilátero com comprimentos de lado dados que tem a área máxima é o quadrilátero cíclico .

De todos os quadriláteros convexos com diagonais dadas, o quadrilátero ortodiagonal tem a maior área. Esta é uma consequência direta do fato de que a área de um quadrilátero convexo satisfaz

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

onde θ é o ângulo entre as diagonais p e q . A igualdade vale se e somente se θ = 90°.

Se P é um ponto interior de um quadrilátero convexo ABCD , então

${\estilo de exibição AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

Desta desigualdade segue-se que o ponto dentro de um quadrilátero que minimiza a soma das distâncias aos vértices é a intersecção das diagonais. Portanto, esse ponto é o ponto de Fermat de um quadrilátero convexo.

Pontos e linhas notáveis ​​em um quadrilátero convexo

O centro de um quadrilátero pode ser definido de várias maneiras diferentes. O "centróide do vértice" vem de considerar o quadrilátero como vazio, mas com massas iguais em seus vértices. O "centroide lateral" vem de considerar os lados como tendo massa constante por unidade de comprimento. O centro usual, chamado apenas centróide (centro de área) vem de considerar a superfície do quadrilátero como tendo densidade constante. Esses três pontos geralmente não são todos o mesmo ponto.

O "centroide do vértice" é a interseção das duas bimedianas . Como em qualquer polígono, as coordenadas xey do centróide do vértice são as médias aritméticas das coordenadas xey dos vértices .

O "centroide de área" do quadrilátero ABCD pode ser construído da seguinte maneira. Sejam G _a , G _b , G _c , G _d os centróides dos triângulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Então o "centroide de área" é a interseção das linhas G _a G _c e G _b G _d .

Em um quadrilátero convexo geral ABCD , não há analogias naturais com o circuncentro e ortocentro de um triângulo . Mas dois desses pontos podem ser construídos da seguinte maneira. Sejam O _a , O _b , O _c , O _d os circuncentros dos triângulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente; e denotar por H _a , H _b , H _c , H _d os ortocentros nos mesmos triângulos. Então a interseção das linhas O _a O _c e O _b O _d é chamada de quasicircumcenter , e a interseção das linhas H _a H _c e H _b H _d é chamada de quasiorthocenter do quadrilátero convexo. Esses pontos podem ser usados ​​para definir uma linha de Euler de um quadrilátero. Em um quadrilátero convexo, o quasiortocentro H , o "centroide de área" G e o quasicircumcentro O são colineares nesta ordem, e HG = 2 GO .

Também pode ser definido um centro de ponto quasinino E como a interseção das linhas E _a E _c e E _b E _d , onde E _a , E _b , E _c , E _d são os centros de nove pontos dos triângulos BCD , ACD , ABD , ABC respectivamente. Então E é o ponto médio de OH .

Outra linha notável em um quadrilátero convexo não-paralelogramo é a linha de Newton , que conecta os pontos médios das diagonais, sendo o segmento que conecta esses pontos dividido ao meio pelo centróide do vértice. Mais uma linha interessante (em certo sentido dupla à de Newton ) é a linha que liga o ponto de intersecção das diagonais com o centróide do vértice. A linha é notável pelo fato de conter o centróide (área). O centróide do vértice divide o segmento que liga a interseção das diagonais e o centróide (área) na razão 3:1.

Para qualquer quadrilátero ABCD com pontos P e Q as interseções de AD e BC e AB e CD , respectivamente, os círculos (PAB), (PCD), (QAD) e (QBC) passam por um ponto comum M , chamado de Miquel ponto.

Para um quadrilátero convexo ABCD em que E é o ponto de intersecção das diagonais e F é o ponto de intersecção das extensões dos lados BC e AD , seja ω um círculo passando por E e F que encontra CB internamente em M e DA internamente em N. _ Deixe CA encontrar ω novamente em L e DB encontre ω novamente em K. Então vale: as retas NK e ML se cruzam no ponto P que está localizado no lado AB ; as retas NL e KM se cruzam no ponto Q que está localizado no lado CD . Os pontos P e Q são chamados de “pontos de Pascal” formados pelo círculo ω nos lados AB e CD .

Outras propriedades dos quadriláteros convexos

• Sejam desenhados quadrados exteriores em todos os lados de um quadrilátero. Os segmentos que ligam os centros de quadrados opostos são (a) iguais em comprimento e (b) perpendiculares . Assim, esses centros são os vértices de um quadrilátero ortodiagonal . Isso é chamado de teorema de Van Aubel .
• Para qualquer quadrilátero simples com comprimentos de arestas dados, existe um quadrilátero cíclico com os mesmos comprimentos de arestas.
• Os quatro triângulos menores formados pelas diagonais e pelos lados de um quadrilátero convexo têm a propriedade de que o produto das áreas de dois triângulos opostos é igual ao produto das áreas dos outros dois triângulos.

Taxonomia

Uma taxonomia de quadriláteros, usando um diagrama de Hasse .

Uma taxonomia hierárquica de quadriláteros é ilustrada pela figura à direita. As classes mais baixas são casos especiais de classes mais altas às quais estão conectadas. Observe que "trapézio" aqui se refere à definição norte-americana (o equivalente britânico é um trapézio). Definições inclusivas são usadas por toda parte.

Quadriláteros inclinados

Um quadrilátero não-planar é chamado de quadrilátero enviesado . Fórmulas para calcular seus ângulos diedros a partir dos comprimentos das bordas e o ângulo entre duas bordas adjacentes foram derivadas para trabalhar nas propriedades de moléculas como o ciclobutano que contêm um anel "enrugado" de quatro átomos. Historicamente, o termo quadrilátero gauche também foi usado para significar um quadrilátero enviesado. Um quadrilátero inclinado junto com suas diagonais formam um tetraedro (possivelmente não regular) e, inversamente, todo quadrilátero inclinado vem de um tetraedro onde um par de arestas opostas é removido.

Veja também

• Quadrilátero completo
• Construção da bissetriz perpendicular de um quadrilátero
• Quadrilátero Saccheri
• Tipos de malha § Quadrilátero
• Quadrilátero (geografia)

Referências

links externos

• "Quadrângulo, completo" , Enciclopédia de Matemática , EMS Press , 2001 [1994]
• Quadriláteros Formados por Bissetrizes Perpendiculares , Colinearidade Projetiva e Classificação Interativa de Quadriláteros a Partir do Nó
• Definições e exemplos de quadriláteros e Definição e propriedades de tetrágonos de Mathopenref
• Uma Árvore Quadrilátero Hierárquica (dinâmica) em Esboços de Geometria Dinâmica
• Uma classificação estendida de quadriláteros em Dynamic Math Learning Homepage
• O papel e a função de uma classificação hierárquica de quadriláteros por Michael de Villiers