Função quantil - Quantile function

O probit é a função quantil da distribuição normal .

Em probabilidade e estatística , a função quantil , associada a uma distribuição de probabilidade de uma variável aleatória , especifica o valor da variável aleatória de forma que a probabilidade da variável ser menor ou igual a esse valor é igual à probabilidade dada. Intuitivamente, a função quantil associa a um intervalo em e abaixo de uma entrada de probabilidade a probabilidade de que uma variável aleatória seja realizada nesse intervalo para alguma distribuição de probabilidade. Também é chamada de função de percentil , função de ponto percentual ou função de distribuição cumulativa inversa .

Definição

Com referência a uma função de distribuição contínua e estritamente monotônica, por exemplo, a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória X , a função de quantil Q retorna um valor limite x abaixo do qual retiradas aleatórias do cdf dado cairiam p por cento do tempo. ${\ displaystyle F_ {X} \ dois pontos R \ a [0,1]}$

Em termos da função de distribuição F , a função de quantil Q retorna o valor x tal que

${\ displaystyle F_ {X} (x): = \ Pr (X \ leq x) = p. \,}$

A função de distribuição cumulativa (mostrada como F (x) ) fornece os valores p como uma função dos valores q . A função quantil faz o oposto: dá os valores q como uma função dos valores p .

Outra forma de expressar a função quantílica, que se estende a funções de distribuição mais gerais (do que apenas as contínuas e estritamente monotônicas) é

${\ displaystyle Q (p) \, = \, \ inf \ left \ {x \ in \ mathbb {R}: p \ leq F (x) \ right \}}$

para uma probabilidade 0 <  p  <1. Aqui capturamos o fato de que a função quantil retorna o valor mínimo de x dentre todos aqueles valores cujo valor de cdf excede p , que é equivalente à declaração de probabilidade anterior no caso especial em que a distribuição é contínuo. Observe que a função mínima pode ser substituída pela função mínima, uma vez que a função de distribuição é contínua à direita e aumenta fracamente monotonicamente.

O quantil é a função única que satisfaz as desigualdades de Galois

${\ displaystyle Q (p) \ leq x}$ se e apenas se ${\ displaystyle p \ leq F (x)}$

Se a função F é contínua e aumenta estritamente monotonicamente, então as desigualdades podem ser substituídas por igualdades, e temos:

${\ displaystyle Q = F ^ {- 1}}$

Em geral, mesmo que a função de distribuição F possa falhar em possuir um inverso à esquerda ou à direita , a função de quantil Q se comporta como um "inverso quase certo à esquerda" para a função de distribuição, no sentido de que

${\ displaystyle Q (F (X)) = X}$ quase com certeza.

Exemplo simples

Por exemplo, a função de distribuição cumulativa de Exponencial ( λ ) (ou seja, intensidade λ e valor esperado ( média ) 1 / λ ) é

${\ displaystyle F (x; \ lambda) = {\ begin {cases} 1-e ^ {- \ lambda x} & x \ geq 0, \\ 0 & x <0. \ end {cases}}}$

A função de quantil para Exponencial ( λ ) é derivada encontrando o valor de Q para o qual : ${\ displaystyle 1-e ^ {- \ lambda Q} = p}$

${\ displaystyle Q (p; \ lambda) = {\ frac {- \ ln (1-p)} {\ lambda}}, \!}$

para 0 ≤  p  <1. Os quartis são, portanto:

primeiro quartil (p = 1/4)

${\ displaystyle - \ ln (3/4) / \ lambda \,}$

mediana (p = 2/4)

${\ displaystyle - \ ln (1/2) / \ lambda \,}$

terceiro quartil (p = 3/4)

${\ displaystyle - \ ln (1/4) / \ lambda. \,}$

Formulários

As funções de quantis são usadas em aplicações estatísticas e métodos de Monte Carlo .

A função quantil é uma forma de prescrever uma distribuição de probabilidade e é uma alternativa à função de densidade de probabilidade (pdf) ou função de massa de probabilidade , a função de distribuição cumulativa (cdf) e a função característica . A função quantil, Q , de uma distribuição de probabilidade é a inversa da função de distribuição cumulativa F . A derivada da função de quantil, ou seja, a função de densidade de quantil , é outra forma de prescrever uma distribuição de probabilidade. É o recíproco da fdp composta com a função quantil.

Para aplicações estatísticas, os usuários precisam saber os principais pontos percentuais de uma determinada distribuição. Por exemplo, eles exigem a mediana e os quartis de 25% e 75% como no exemplo acima ou níveis de 5%, 95%, 2,5%, 97,5% para outras aplicações, como avaliar a significância estatística de uma observação cuja distribuição é conhecida; veja a entrada do quantil . Antes da popularização dos computadores, não era incomum que os livros tivessem apêndices com tabelas estatísticas que amostram a função quantílica. Aplicações estatísticas de funções quantílicas são amplamente discutidas por Gilchrist.

As simulações de Monte-Carlo empregam funções de quantis para produzir números aleatórios ou pseudo -aleatórios não uniformes para uso em diversos tipos de cálculos de simulação. Uma amostra de uma dada distribuição pode ser obtida, em princípio, aplicando sua função de quantil a uma amostra de uma distribuição uniforme. As demandas de métodos de simulação, por exemplo, em finanças computacionais modernas , estão focando cada vez mais atenção em métodos baseados em funções de quantis, pois eles funcionam bem com técnicas multivariadas baseadas em métodos de cópula ou quase-Monte-Carlo e métodos de Monte Carlo em finanças .

Cálculo

A avaliação de funções quantílicas frequentemente envolve métodos numéricos , como a distribuição exponencial acima, que é uma das poucas distribuições onde uma expressão de forma fechada pode ser encontrada (outras incluem o uniforme , o Weibull , o Tukey lambda (que inclui o logístico ) e logístico ). Quando o próprio cdf tem uma expressão de forma fechada, pode-se sempre usar um algoritmo numérico de localização da raiz , como o método de bissecção para inverter o cdf. Outros algoritmos para avaliar funções de quantis são fornecidos na série de livros Receitas Numéricas . Algoritmos para distribuições comuns são incorporados a muitos pacotes de software estatístico .

As funções quantílicas também podem ser caracterizadas como soluções de equações diferenciais não lineares ordinárias e parciais . As equações diferenciais ordinárias para os casos das distribuições normal , Student , beta e gama foram fornecidas e resolvidas.

Distribuição normal

A distribuição normal é talvez o caso mais importante. Como a distribuição normal é uma família de escala de localização , sua função de quantil para parâmetros arbitrários pode ser derivada de uma simples transformação da função de quantil da distribuição normal padrão, conhecida como função probit . Infelizmente, essa função não tem representação de forma fechada usando funções algébricas básicas; como resultado, geralmente são utilizadas representações aproximadas. Aproximações polinomiais e racionais compostas completas foram fornecidas por Wichura e Acklam. Aproximações racionais não compostas foram desenvolvidas por Shaw.

Equação diferencial ordinária para o quantil normal

Uma equação diferencial ordinária não linear para o quantil normal, w ( p ), pode ser fornecida. Isto é

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} w} {dp ^ {2}}} = w \ left ({\ frac {dw} {dp}} \ right) ^ {2}}$

com as condições centrais (iniciais)

${\ displaystyle w \ left (1/2 \ right) = 0, \,}$

${\ displaystyle w '\ left (1/2 \ right) = {\ sqrt {2 \ pi}}. \,}$

Esta equação pode ser resolvida por vários métodos, incluindo a abordagem clássica de séries de potências. A partir disso, soluções de alta precisão arbitrária podem ser desenvolvidas (ver Steinbrecher e Shaw, 2008).

Student t -Distribuição

Este tem sido historicamente um dos casos mais intratáveis, pois a presença de um parâmetro, ν, os graus de liberdade, torna o uso de aproximações racionais e outras difíceis. Existem fórmulas simples quando ν = 1, 2, 4 e o problema pode ser reduzido à solução de um polinômio quando ν é par. Em outros casos, as funções de quantis podem ser desenvolvidas como séries de potências. Os casos simples são os seguintes:

ν = 1 (distribuição de Cauchy)

${\ displaystyle Q (p) = \ tan (\ pi (p-1/2)) \!}$

ν = 2

${\ displaystyle Q (p) = 2 (p-1/2) {\ sqrt {\ frac {2} {\ alpha}}} \!}$

ν = 4

${\ displaystyle Q (p) = \ operatorname {sign} (p-1/2) \, 2 \, {\ sqrt {q-1}} \!}$

Onde

${\ displaystyle q = {\ frac {\ cos \ left ({\ frac {1} {3}} \ arccos \ left ({\ sqrt {\ alpha}} \, \ right) \ right)} {\ sqrt { \ alpha}}} \!}$

e

${\ displaystyle \ alpha = 4p (1-p). \!}$

Acima, a função de "sinal" é +1 para argumentos positivos, -1 para argumentos negativos e zero em zero. Não deve ser confundida com a função trigonométrica do seno.

Misturas de quantis

Analogamente às misturas de densidades , as distribuições podem ser definidas como misturas de quantis

${\ displaystyle Q (p) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {i} Q_ {i} (p)}$,

onde , são funções de quantis e , são os parâmetros do modelo. Os parâmetros devem ser selecionados para que seja uma função de quantil. Duas misturas de quatro quantis paramétricos, a mistura de quantis polinomial normal e a mistura de quantis polinomial de Cauchy, são apresentadas por Karvanen. ${\ displaystyle Q_ {i} (p)}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, m}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, m}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle Q (p)}$

Equações diferenciais não lineares para funções de quantis

A equação diferencial ordinária não linear dada para distribuição normal é um caso especial daquela disponível para qualquer função quantil cuja segunda derivada exista. Em geral, a equação para um quantil, Q ( p ), pode ser fornecida. Isto é

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} Q} {dp ^ {2}}} = H (Q) \ left ({\ frac {dQ} {dp}} \ right) ^ {2}}$

aumentada por condições de contorno adequadas, onde

${\ displaystyle H (x) = - {\ frac {f '(x)} {f (x)}}}$

e ƒ ( x ) é a função de densidade de probabilidade. As formas desta equação, e sua análise clássica por séries e soluções assintóticas, para os casos das distribuições normal, Student, gama e beta foram elucidadas por Steinbrecher e Shaw (2008). Essas soluções fornecem benchmarks precisos e, no caso do aluno, séries adequadas para uso ao vivo de Monte Carlo.

Veja também

• Amostragem de transformação inversa
• Ponto percentual
• Quantil
• Distribuição de tamanho de classificação

Referências

Leitura adicional

• Abernathy, Roger W. e Smith, Robert P. (1993) * "Aplicando expansão em série à distribuição beta inversa para encontrar percentis da distribuição F" , ACM Trans. Matemática. Softw. , 9 (4), 478-480 doi : 10.1145 / 168173.168387
• Refinamento do Quantil Normal
• Novos métodos para gerenciar a distribuição T de "alunos"
• Algoritmo ACM 396: Quantis t de Student