Circuito quântico - Quantum circuit

Circuito que realiza o teletransporte de um qubit. Este circuito consiste em portas quânticas e medições. A medição é um fenômeno puramente quântico que não ocorre nos circuitos clássicos .

Na teoria da informação quântica , um circuito quântico é um modelo para computação quântica , semelhante aos circuitos clássicos , em que uma computação é uma sequência de portas quânticas , medições , inicializações de qubits para valores conhecidos e possivelmente outras ações. O conjunto mínimo de ações que um circuito precisa ser capaz de realizar nos qubits para permitir a computação quântica é conhecido como critério de DiVincenzo .

Os circuitos são escritos de forma que o eixo horizontal seja o tempo. O circuito começa no lado esquerdo e termina no lado direito. As linhas horizontais são qubits , as linhas duplas representam bits clássicos . Os itens que estão conectados a essas linhas são operações realizadas nos qubits, como medições ou portas. Essas linhas definem a sequência de eventos e geralmente não são cabos físicos.

A representação gráfica dos elementos do circuito quântico é descrita usando uma variante da notação gráfica de Penrose . Richard Feynman usou uma versão inicial da notação do circuito quântico em 1986.

Portas lógicas clássicas reversíveis

A maioria das portas lógicas elementares de um computador clássico não são reversíveis. Assim, por exemplo, para uma porta AND nem sempre é possível recuperar os dois bits de entrada do bit de saída; por exemplo, se o bit de saída é 0, não podemos dizer se os bits de entrada são 01 ou 10 ou 00.

No entanto, portas reversíveis em computadores clássicos são facilmente construídas para cadeias de bits de qualquer comprimento; além disso, estes são de fato de interesse prático, uma vez que portões irreversíveis devem sempre aumentar a entropia física . Uma porta reversível é uma função reversível em dados de n bits que retorna dados de n bits, onde um dado de n bits é uma sequência de bits x ₁ , x ₂ , ..., x _n de comprimento n . O conjunto de dados de n bits é o espaço {0,1} ⁿ , que consiste em 2 ⁿ strings de 0's e 1's.

Mais precisamente: uma porta reversível de n bits é um mapeamento bijetivo f do conjunto {0,1} ⁿ de dados de n bits sobre si mesmo. Um exemplo de tal porta reversível f é um mapeamento que aplica uma permutação fixa às suas entradas. Por razões de engenharia prática, normalmente estudamos portas apenas para pequenos valores de n , por exemplo, n = 1, n = 2 ou n = 3. Essas portas podem ser facilmente descritas por tabelas.

Portas lógicas quânticas

As portas quânticas são transformações unitárias reversíveis em pelo menos um qubit. Múltiplos qubits juntos são chamados de registradores quânticos . Para definir portas quânticas , primeiro precisamos especificar a substituição quântica de um datum de n bits. A versão quantizada do clássico espaço de n bits {0,1} ⁿ é o espaço de Hilbert

${\ displaystyle H _ {\ operatorname {QB} (n)} = \ ell ^ {2} (\ {0,1 \} ^ {n}).}$

Este é por definição o espaço de funções de valor complexo em {0,1} ⁿ e é naturalmente um espaço de produto interno . Este espaço também pode ser considerado como consistindo em superposições lineares de cadeias de bits clássicas. Observe que H _{QB ( n )} é um espaço vetorial sobre os números complexos de dimensão 2 ⁿ . Os elementos deste espaço são chamados de n- qubits.

Usando a notação de Dirac ket , se x ₁ , x ₂ , ..., x _n é uma sequência de bits clássica, então

${\ displaystyle | x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n} \ rangle \ quad}$

é um n- qubit especial correspondente à função que mapeia esta seqüência de bits clássica para 1 e mapeia todas as outras seqüências de bits para 0; esses 2 ⁿ n- qubits especiais são chamados de estados de base computacional . Todos os n- qubits são combinações lineares complexas desses estados de base computacional.

As portas lógicas quânticas, em contraste com as portas lógicas clássicas, são sempre reversíveis. Requer-se um tipo especial de função reversível, a saber, um mapeamento unitário , ou seja, uma transformação linear de um espaço de produto interno complexo que preserva o produto interno hermitiano . Uma porta quântica n- qubit (reversível) é um mapeamento unitário U do espaço H _{QB ( n )} de n- qubits para si mesmo.

Normalmente, estamos interessados ​​apenas em portas para pequenos valores de n .

Uma porta lógica clássica reversível de n bits dá origem a uma porta quântica reversível de n bits da seguinte forma: a cada porta lógica n- bits reversível f corresponde a uma porta quântica W _f definida da seguinte forma:

${\ displaystyle W_ {f} (| x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n} \ rangle) = | f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n} ) \ rangle.}$

Observe que W _f permuta os estados da base computacional.

De particular importância é a porta NOT controlada (também chamada de porta CNOT ) W _CNOT definida em um 2 qubit quantizado. Outros exemplos de portas lógicas quânticas derivadas das clássicas são a porta de Toffoli e a porta de Fredkin .

No entanto, a estrutura do espaço de Hilbert dos qubits permite muitas portas quânticas que não são induzidas pelas clássicas. Por exemplo, uma mudança de fase relativa é uma porta de 1 qubit dada pela multiplicação pela operação de mudança de fase:

${\ displaystyle P (\ varphi) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e ^ {i \ varphi} \ end {bmatrix}},}$

tão

${\ displaystyle P (\ varphi) | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ quad P (\ varphi) | 1 \ rangle = e ^ {i \ varphi} | 1 \ rangle.}$

Circuitos lógicos reversíveis

Novamente, consideramos primeiro a computação clássica reversível . Conceitualmente, não há diferença entre um circuito reversível de n bits e uma porta lógica reversível de n bits: qualquer um deles é apenas uma função invertível no espaço de dados de n bits. No entanto, conforme mencionado na seção anterior, por razões de engenharia, gostaríamos de ter um pequeno número de portas reversíveis simples, que podem ser colocadas juntas para montar qualquer circuito reversível.

Para explicar esse processo de montagem, suponha que temos uma porta reversível de n bits f e uma porta reversível de m bits g . Colocá-los juntos significa produzir um novo circuito conectando algum conjunto de k saídas de f a algum conjunto de k entradas de g como na figura abaixo. Nessa figura, n = 5, k = 3 e m = 7. O circuito resultante também é reversível e opera em n + m - k bits.

Iremos nos referir a este esquema como um conjunto clássico (este conceito corresponde a uma definição técnica no artigo pioneiro de Kitaev citado abaixo). Ao compor essas máquinas reversíveis, é importante garantir que as máquinas intermediárias também sejam reversíveis. Essa condição garante que o "lixo" intermediário não seja criado (o efeito físico líquido seria o aumento da entropia, que é uma das motivações para fazer este exercício).

Observe que cada linha horizontal na imagem acima representa 0 ou 1, não essas probabilidades. Uma vez que os cálculos quânticos são reversíveis, em cada 'etapa' o número de linhas deve ser o mesmo número de linhas de entrada. Além disso, cada combinação de entrada deve ser mapeada para uma única combinação em cada 'etapa'. Isso significa que cada combinação intermediária em um circuito quântico é uma função bijetiva da entrada.

Agora é possível mostrar que o portão Toffoli é um portão universal . Isso significa que dado qualquer circuito n- bits clássico reversível h , podemos construir um conjunto clássico de portas de Toffoli da maneira acima para produzir um circuito ( n + m ) -bits f tal que

${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}, \ underbrace {0, \ dots, 0}) = (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}, \ underbrace {0, \ ldots, 0})}$

onde há m entradas zeradas não reforçadas e

${\ displaystyle (y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) = h (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$.

Observe que o resultado final sempre tem uma string de m zeros como bits de ancilla . Nenhum "lixo" é produzido e, portanto, esse cálculo é, de fato, aquele que, em um sentido físico, não gera entropia. Esta questão é cuidadosamente discutida no artigo de Kitaev.

De maneira mais geral, qualquer função f (bijetiva ou não) pode ser simulada por um circuito de portas de Toffoli. Obviamente, se o mapeamento falhar em ser injetivo , em algum ponto da simulação (por exemplo, como a última etapa) algum "lixo" terá que ser produzido.

Para circuitos quânticos, uma composição semelhante de portas qubit pode ser definida. Ou seja, associado a qualquer assemblage clássico como acima, podemos produzir um circuito quântico reversível quando no lugar de f temos uma porta U de n- qubit e no lugar de g temos uma porta W de m- qubit . Veja a ilustração abaixo:

O fato de que as portas de conexão desta forma dão origem a um mapeamento unitário no espaço n + m - k qubit é fácil de verificar. Em um computador quântico real, a conexão física entre as portas é um grande desafio de engenharia, já que é um dos locais onde pode ocorrer a decoerência .

Existem também teoremas de universalidade para certos conjuntos de portas bem conhecidas; tal teorema de universalidade existe, por exemplo, para o par que consiste na porta de fase única qubit U _θ mencionada acima (para um valor adequado de θ), junto com a porta CNOT de 2 qubit W _CNOT . No entanto, o teorema da universalidade para o caso quântico é um pouco mais fraco do que o do caso clássico; afirma apenas que qualquer circuito n- qubit reversível pode ser aproximado arbitrariamente bem por circuitos montados a partir dessas duas portas elementares. Observe que há incontáveis portas de fase qubit simples, uma para cada ângulo possível θ, portanto, nem todas podem ser representadas por um circuito finito construído a partir de { U _θ , W _CNOT }.

Cálculos quânticos

Até agora não mostramos como os circuitos quânticos são usados ​​para realizar cálculos. Uma vez que muitos problemas numéricos importantes reduzir a computação de uma transformação unitária U em um espaço finito-dimensional (o célebre discreta transformada de Fourier sendo um excelente exemplo), pode-se esperar que algum circuito quântico poderia ser projetado para realizar a transformação U . Em princípio, basta preparar um estado n qubit ψ como uma superposição apropriada de estados de base computacional para a entrada e medir a saída U ψ. Infelizmente, existem dois problemas com isso:

• Não se pode medir a fase de ψ em nenhum estado de base computacional, portanto não há como ler a resposta completa. Esta é a natureza da medição na mecânica quântica .
• Não há como preparar com eficiência o estado de entrada ψ.

Isso não impede que os circuitos quânticos da transformada discreta de Fourier sejam usados ​​como etapas intermediárias em outros circuitos quânticos, mas o uso é mais sutil. Na verdade, os cálculos quânticos são probabilísticos .

Agora fornecemos um modelo matemático de como os circuitos quânticos podem simular cálculos probabilísticos, mas clássicos. Considere um circuito r- qubit U com espaço de registro H _{QB ( r )} . U é, portanto, um mapa unitário

${\ displaystyle H _ {\ operatorname {QB} (r)} \ rightarrow H _ {\ operatorname {QB} (r)}.}$

A fim de associar este circuito a um mapeamento clássico em bitstrings, especificamos

• Um registro de entrada X = {0,1} ^m de bits m (clássicos).
• Um registro de saída Y = {0,1} ⁿ de n bits (clássicos).

O conteúdo x = x ₁ , ..., x _m do registro de entrada clássico é usado para inicializar o registro qubit de alguma forma. Idealmente, isso seria feito com o estado de base computacional

${\ displaystyle | {\ vec {x}}, 0 \ rangle = | x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {m}, \ underbrace {0, \ dots, 0} \ rangle,}$

onde há entradas zeradas r - m underbraced. No entanto, essa inicialização perfeita é completamente irreal. Vamos supor, portanto, que a inicialização é um estado misto dado por algum operador de densidade S que está próximo da entrada idealizada em alguma métrica apropriada, por exemplo

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} \ left ({\ big |} | {\ vec {x}}, 0 \ rangle \ langle {\ vec {x}}, 0 | -S {\ big |} \ right) \ leq \ delta.}$

Do mesmo modo, o espaço de registo de saída está relacionada com o registo qbit, por um Y valorizado observável Uma . Observe que os observáveis ​​na mecânica quântica são geralmente definidos em termos de medidas de projeção avaliadas em R ; se a variável passa a ser discreta, a medida de valor de projeção se reduz a uma família {E _λ } indexada em algum parâmetro λ variando sobre um conjunto contável. Da mesma forma, um Y valorizado observável, pode ser associado com uma família de projecções ortogonais emparelhadas {E _y } indexados por elementos de Y . de tal modo que

${\ displaystyle I = \ sum _ {y \ in Y} \ operatorname {E} _ {y}.}$

Dado um estado misto S , corresponde a uma medida de probabilidade em Y dada por

${\ displaystyle \ operatorname {Pr} \ {y \} = \ operatorname {Tr} (S \ operatorname {E} _ {y}).}$

A função F : X → Y é calculada por um circuito U : H _{QB ( r )} → H _{QB ( r )} dentro de ε se e somente se para todas as cadeias de bits x de comprimento m

${\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {x}}, 0 {\ big |} U ^ {*} \ operatorname {E} _ {F (x)} U {\ big |} {\ vec {x} }, 0 \ right \ rangle = \ left \ langle \ operatorname {E} _ {F (x)} U (| {\ vec {x}}, 0 \ rangle) {\ big |} U (| {\ vec {x}}, 0 \ rangle) \ right \ rangle \ geq 1- \ epsilon.}$

Agora

${\ displaystyle \ left | \ operatorname {Tr} (SU ^ {*} \ operatorname {E} _ {F (x)} U) - \ left \ langle {\ vec {x}}, 0 {\ big |} U ^ {*} \ operatorname {E} _ {F (x)} U {\ big |} {\ vec {x}}, 0 \ right \ rangle \ right | \ leq \ operatorname {Tr} ({\ big |} | {\ vec {x}}, 0 \ rangle \ langle {\ vec {x}}, 0 | -S {\ big |}) \ | U ^ {*} \ operatorname {E} _ {F ( x)} U \ | \ leq \ delta}$

de modo a

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (SU ^ {*} \ operatorname {E} _ {F (x)} U) \ geq 1- \ epsilon - \ delta.}$

Teorema . Se ε + δ <1/2, então a distribuição de probabilidade

${\ displaystyle \ operatorname {Pr} \ {y \} = \ operatorname {Tr} (SU ^ {*} \ operatorname {E} _ {y} U)}$

em Y pode ser usado para determinar F ( x ) com uma probabilidade de erro arbitrariamente pequena por amostragem majoritária, para um tamanho de amostra suficientemente grande. Especificamente, pegue k amostras independentes da distribuição de probabilidade Pr em Y e escolha um valor com o qual mais da metade das amostras concordem. A probabilidade de que o valor F ( x ) seja amostrado mais de k / 2 vezes é de pelo menos

${\ displaystyle 1-e ^ {- 2 \ gamma ^ {2} k},}$

onde γ = 1/2 - ε - δ.

Isso segue aplicando o limite de Chernoff .

Veja também

• Notação de índice abstrato
• Diagramas de momento angular (mecânica quântica)
• Complexidade do circuito e BQP
• O estado do produto Matrix usa a notação gráfica Penrose
• Spin Networks
• Diagrama de rastreamento

Referências

• Biham, Eli ; Brassard, Gilles ; Kenigsberg, Dan; Mor, Tal (2004), "Quantum computing without entanglement", Theoretical Computer Science , 320 (1): 15–33, arXiv : quant-ph / 0306182 , doi : 10.1016 / j.tcs.2004.03.041 , MR  2060181.
• Freedman, Michael H .; Kitaev, Alexei ; Larsen, Michael J .; Wang, Zhenghan (2003), "Topological quantum computation", Bulletin of the American Mathematical Society , 40 (1): 31–38, arXiv : quant-ph / 0101025 , doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00964-3 , MR  1943131.
• Hirvensalo, Mika (2001), Quantum Computing , Natural Computing Series, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-66783-0, MR  1931238.
• Kitaev, A. Yu. (1997), "Computações quânticas: algoritmos e correção de erros", Uspekhi Mat. Nauk (em russo), 52 (6 (318)): 53-112, Bibcode : 1997RuMaS..52.1191K , doi : 10.1070 / RM1997v052n06ABEH002155 , MR  1611329.
• Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2000), Quantum Computation and Quantum Information , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-63235-8, MR  1796805.

links externos

• Q-circuit é um pacote macro para desenhar diagramas de circuitos quânticos em LaTeX.
• Quantum Circuit Simulator (Davy Wybiral) um editor e simulador de diagrama de circuito quântico baseado em navegador.
• Quantum Computing Playground um ambiente de script quântico baseado em navegador.
• Quirk - Quantum Circuit Toy um editor e simulador de diagramas de circuitos quânticos baseado em navegador.