Lógica quântica - Quantum logic

Na mecânica quântica , a lógica quântica é um conjunto de regras para raciocinar sobre proposições que leva os princípios da teoria quântica em consideração. Essa área de pesquisa e seu nome tiveram origem em um artigo de 1936 de Garrett Birkhoff e John von Neumann , que tentavam conciliar a aparente inconsistência da lógica clássica com os fatos relativos à medição de variáveis ​​complementares na mecânica quântica, como posição e momento .

A lógica quântica pode ser formulada como uma versão modificada da lógica proposicional ou como uma lógica de muitos valores não comutativa e não associativa .

A lógica quântica foi proposta como a lógica correta para inferência proposicional em geral, mais notavelmente pelo filósofo Hilary Putnam , pelo menos em um ponto de sua carreira. Essa tese foi um ingrediente importante no artigo de Putnam de 1968 " Is Logic Empirical? ", No qual ele analisou o status epistemológico das regras da lógica proposicional. Putnam atribui ao físico David Finkelstein a ideia de que anomalias associadas a medidas quânticas se originam com anomalias na própria lógica da física . No entanto, essa ideia já existia há algum tempo e foi revivida vários anos antes pelo trabalho de George Mackey sobre representações de grupo e simetria.

A visão mais comum sobre a lógica quântica, no entanto, é que ela fornece um formalismo para relacionar observáveis , filtros de preparação do sistema e estados . Nesta visão, a abordagem da lógica quântica se assemelha mais de perto à abordagem C * -algébrica da mecânica quântica. As semelhanças do formalismo da lógica quântica com um sistema de lógica dedutiva podem então ser consideradas mais uma curiosidade do que um fato de importância filosófica fundamental. Uma abordagem mais moderna da estrutura da lógica quântica é assumir que ela é um diagrama - no sentido da teoria das categorias - da lógica clássica (ver David Edwards).

A necessidade da lógica quântica para descrever a mecânica quântica tem sido questionada. Abordagens lógicas alternativas para lidar com a aparente natureza paradoxal da mecânica quântica incluem o uso de álgebras booleanas parciais como introduzidas no formalismo para o teorema de Kochen-Specker e exploradas em trabalhos sobre contextualidade quântica .

Diferenças com a lógica clássica

A lógica quântica tem algumas propriedades que a distinguem claramente da lógica clássica , mais notavelmente, a falha da lei distributiva da lógica proposicional :

p e ( q ou r ) = ( p e q ) ou ( p e r ),

onde os símbolos p , q e r são variáveis ​​proposicionais. Para ilustrar por que a lei distributiva falha, considere uma partícula se movendo em uma linha e (usando algum sistema de unidades onde a constante de Planck reduzida é 1) deixe

p = "a partícula tem momento no intervalo [0, +1/6]"
q = "a partícula está no intervalo [-1, 1]"
r = "a partícula está no intervalo [1, 3]"

Podemos observar que:

p e ( q ou r ) = verdadeiro

em outras palavras, que o momento da partícula está entre 0 e +1/6, e sua posição está entre -1 e +3. Por outro lado, as proposições " p e q " e " p e r " são falsas, uma vez que afirmam restrições mais rígidas sobre os valores simultâneos de posição e momento do que o permitido pelo princípio da incerteza (cada uma delas tem incerteza 1/3, que é inferior ao mínimo permitido de 1/2). Então,

( p e q ) ou ( p e r ) = falso

Assim, a lei distributiva falha.

História e conexão com a teoria da rede

Em seu clássico tratado de 1932, Fundamentos matemáticos da mecânica quântica , John von Neumann observou que as projeções em um espaço de Hilbert podem ser vistas como proposições sobre observáveis ​​físicos. O conjunto de princípios para manipular essas proposições quânticas foi chamado de lógica quântica por von Neumann e Birkhoff em seu artigo de 1936. George Mackey , em seu livro de 1963 (também chamado de Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica ), tentou fornecer um conjunto de axiomas para esse sistema proposicional como uma rede ortocomplementada . Mackey via os elementos desse conjunto como possíveis perguntas do tipo sim ou não que um observador poderia fazer sobre o estado de um sistema físico, perguntas que seriam resolvidas por meio de alguma medição. Além disso, Mackey definiu um observável físico em termos dessas questões básicas. O sistema de axiomas de Mackey é um tanto insatisfatório, entretanto, uma vez que assume que o conjunto parcialmente ordenado é realmente dado como a rede de subespaço fechado ortocomplementada de um espaço de Hilbert separável . Constantin Piron , Günther Ludwig e outros tentaram dar axiomatizações que não requerem tais relações explícitas com a rede de subespaços.

Os axiomas de uma rede ortocomplementada são mais comumente declarados como equações algébricas relativas ao poset e suas operações. Um conjunto de axiomas usando, em vez disso, disjunção (denotada como ) e negação (denotada como ) é a seguinte:

  • é comutativo e associativo .
  • Existe um elemento máximo , e para qualquer um .
  • .

Uma rede ortomodular satisfaz os axiomas acima e, adicionalmente, o seguinte:

  • A lei ortomodular: se então .

Formulações alternativas incluem cálculos sequenciais e sistemas de tableaux .

O restante deste artigo assume que o leitor está familiarizado com a teoria espectral de operadores auto-adjuntos em um espaço de Hilbert. No entanto, as ideias principais podem ser entendidas usando o teorema espectral de dimensão finita .

A lógica quântica como a lógica dos observáveis

Uma semântica da lógica quântica é que a lógica quântica é a lógica dos observáveis booleanos na mecânica quântica, onde um p observável está associado ao conjunto de estados quânticos para os quais p (quando medido) é verdadeiro com probabilidade 1 (isso caracteriza completamente o observável) . De lá,

  • ¬p é o complemento ortogonal de p (uma vez que para esses estados, a probabilidade de observar p , P ( p ) = 0),
  • pq é a interseção de p e q , e
  • pq = ¬ (¬ p ∧¬ q ) refere-se a estados que são uma superposição de p e q .

Assim, as expressões na lógica quântica descrevem observáveis ​​usando uma sintaxe que se assemelha à lógica clássica. No entanto, ao contrário da lógica clássica, a lei distributiva a ∧ ( bc ) = ( ab ) ∨ ( ac ) falha ao lidar com observáveis ​​não comutáveis, como posição e momento. Isso ocorre porque a medição afeta o sistema, e a medição para saber se uma disjunção é mantida não mede qual das disjunções é verdadeira.

Por exemplo, considere uma partícula unidimensional simples com a posição denotada por xe momento por p , e defina os observáveis:

  • a - | p | ≤ 1 (em algumas unidades)
  • b - x <0
  • c - x ≥ 0

Agora, a posição e o momento são transformadas de Fourier uma da outra, e a transformada de Fourier de uma função não nula integrável ao quadrado com um suporte compacto é inteira e, portanto, não tem zeros não isolados. Portanto, não há função de onda que seja normalizável no espaço de momento e desapareça precisamente em x ≥ 0. Assim, abe similarmente ac são falsos, então ( ab ) ∨ ( ac ) é falso. No entanto, a ∧ ( bc ) é igual a a e pode ser verdadeiro.

Para entender mais, sejam p 1 e p 2 os momentos para a restrição da função de onda da partícula a x <0 e x ≥ 0 respectivamente (com a função de onda zero fora da restrição). Seja a restrição de | p | para momentos que são (em valor absoluto)> 1.

( ab ) ∨ ( ac ) corresponde a estados com e (isso vale mesmo se definirmos p de forma diferente de modo a tornar tais estados possíveis; também, ab corresponde a e ). Como um operador , e diferente de zero e pode interferir para produzir zero . Essa interferência é a chave para a riqueza da lógica quântica e da mecânica quântica.

A estrutura proposicional de um sistema clássico

As chamadas formulações hamiltonianas da mecânica clássica têm três ingredientes: estados , observáveis e dinâmica . No caso mais simples de uma única partícula se movendo em R 3 , o espaço de estado é o espaço de posição-momento R 6 . Notaremos apenas aqui que um observável é alguma função de valor real f no espaço de estados. Exemplos de observáveis ​​são a posição, o momento ou a energia de uma partícula. Para sistemas clássicos, o valor f ( x ), que é o valor de f para algum estado particular do sistema x , é obtido por um processo de medição de f . As proposições relativas a um sistema clássico são geradas a partir de afirmações básicas do formulário

"A medição de f produz um valor no intervalo [ a , b ] para alguns números reais a , b ."

Segue facilmente desta caracterização de proposições em sistemas clássicos que a lógica correspondente é idêntica àquela de alguma álgebra booleana de subconjuntos do espaço de estados. Por lógica, neste contexto, entendemos as regras que relacionam operações de conjunto e relações de ordenação, como as leis de Morgan . Essas são análogas às regras que relacionam as conjuntivas booleanas e a implicação material na lógica proposicional clássica. Por razões técnicas, também assumiremos que a álgebra de subconjuntos do espaço de estados é a de todos os conjuntos de Borel . O conjunto de proposições é ordenado pela ordem natural dos conjuntos e possui uma operação de complementação. Em termos de observáveis, o complemento da proposição { fa } é { f < a }.

Resumimos essas observações como segue: O sistema de proposição de um sistema clássico é uma rede com uma operação de ortocomplementação distinta : As operações de rede de encontro e junção são, respectivamente, interseção de conjuntos e união de conjuntos. A operação de ortocomplementação é definida como complemento. Além disso, esta rede é sequencialmente completa , no sentido de que qualquer sequência { E i } i de elementos da rede tem um limite superior mínimo, especificamente a união teórica do conjunto:

A estrutura proposicional de um sistema mecânico quântico

No espaço de Hilbert formulação de mecânica quântica como apresentadas por von Neumann, um observável físico é representado por algumas (possivelmente ilimitada) densamente definido autoadjunto operador Uma no espaço de Hilbert H . Um tem uma decomposição espectral, que é um valor de projecção medida E definido nas subconjuntos Borel de R . Em particular, para qualquer função Borel limitada f em R , a seguinte extensão de f para operadores pode ser feita:

No caso de f ser a função indicadora de um intervalo [ a , b ], o operador f ( A ) é uma projeção auto-adjunta e pode ser interpretado como o análogo quântico da proposição clássica

  • A medição de A produz um valor no intervalo [ a , b ].

Isso sugere a seguinte substituição da mecânica quântica para a rede ortocomplementada de proposições na mecânica clássica. Este é essencialmente o Axioma VII de Mackey :

  • A rede ortocomplementada Q de proposições de um sistema de mecânica quântica é a rede de subespaços fechados de um espaço de Hilbert complexo H onde a ortocomplementação de V é o complemento ortogonal V .

Q também é sequencialmente completo: qualquer sequência disjunta de pares { V i } i de elementos de Q tem um limite superior mínimo. Aqui, a disjunção de W 1 e W 2 significa que W 2 é um subespaço de W 1 . O menor limite superior de { V i } i é a soma direta interna fechada.

Doravante identificamos elementos de Q com projeções auto-adjuntas no espaço H de Hilbert .

A estrutura de Q imediatamente aponta para uma diferença com a estrutura de ordem parcial de um sistema de proposição clássico. No caso clássico, dada uma proposição p , as equações

tem exatamente uma solução, a saber, o complemento teórico de conjuntos de p . Nessas equações, I refere-se à proposição atômica que é identicamente verdadeira e 0 à proposição atômica que é identicamente falsa. No caso da rede de projeções, há infinitas soluções para as equações acima (qualquer complemento algébrico fechado de p resolve; não precisa ser o ortocomplemento).

Tendo feito essas observações preliminares, mudamos tudo e tentamos definir observáveis ​​dentro da estrutura da rede de projeção e, usando esta definição, estabelecer a correspondência entre operadores auto-adjuntos e observáveis: Um observável de Mackey é um homomorfismo contável aditivo da rede ortocomplementada do Borel subconjuntos de R a Q . Dizer que o mapeamento φ é um homomorfismo aditivo contável significa que para qualquer sequência { S i } i de subconjuntos de Borel disjuntos em pares de R , {φ ( S i )} i são projeções ortogonais em pares e

Efectivamente, em seguida, um observável Mackey é uma medida espectral em R .

Teorema . Existe uma correspondência entre bijective observáveis Mackey e operadores de auto-adjuntas densamente definidos em H .

Este é o conteúdo do teorema espectral conforme declarado em termos de medidas espectrais .

Estrutura estatística

Imagine um laboratório forense que possui alguns aparelhos para medir a velocidade de uma bala disparada de uma arma. Sob condições cuidadosamente controladas de temperatura, umidade, pressão e assim por diante, a mesma arma é disparada repetidamente e as medições de velocidade são feitas. Isso produz alguma distribuição de velocidades. Embora não obtenhamos exatamente o mesmo valor para cada medição individual, para cada grupo de medições, esperaríamos que o experimento levasse à mesma distribuição de velocidades. Em particular, podemos esperar atribuir distribuições de probabilidade a proposições como { a ≤ velocidade ≤ b }. Isso leva naturalmente a propor que sob condições controladas de preparação, a medição de um sistema clássico pode ser descrita por uma medida de probabilidade no espaço de estados. Essa mesma estrutura estatística também está presente na mecânica quântica.

Uma medida de probabilidade quântica é uma função P definida em Q com valores em [0,1] tais que P (0) = 0, P (I) = 1 e se { E i } i é uma sequência de elementos ortogonais em pares de Q então

O seguinte teorema altamente não trivial é devido a Andrew Gleason :

Teorema . Suponha que Q seja um espaço de Hilbert separável de dimensão complexa de pelo menos 3. Então, para qualquer medida de probabilidade quântica P em Q existe um operador de classe de traço único S tal que

para qualquer autoadjunto projecção E em Q .

O operador S é necessariamente não negativo (ou seja, todos os autovalores são não negativos) e do traço 1. Esse operador costuma ser chamado de operador de densidade .

Os físicos comumente consideram um operador de densidade como sendo representado por uma matriz de densidade (possivelmente infinita) em relação a alguma base ortonormal.

Para obter mais informações sobre estatísticas de sistemas quânticos, consulte mecânica estatística quântica .

Automorfismos

Um automorfismo de Q é um mapeamento bijetivo α: QQ que preserva a estrutura ortocomplementada de Q , ou seja

para qualquer sequência { E i } i de projeções auto-adjuntas ortogonais par a par. Observe que esta propriedade implica monotonicidade de α. Se P é uma medida de probabilidade quântico em Q , então E → α ( E ) é também uma medida de probabilidade quântico em Q . Pelo teorema de Gleason que caracteriza as medidas de probabilidade quântica citadas acima, qualquer automorfismo α induz um mapeamento α * nos operadores de densidade pela seguinte fórmula:

O mapeamento α * é bijetivo e preserva combinações convexas de operadores de densidade. Isso significa

sempre que 1 = R 1 + R 2 e R 1 , r 2 são números reais não-negativos. Agora usamos um teorema de Richard V. Kadison :

Teorema . Suponha que β seja um mapa bijetivo de operadores de densidade para operadores de densidade que preserva a convexidade. Então, há um operador U no espaço de Hilbert que é linear ou linear-conjugado, preserva o produto interno e é tal que

para cada operador densidade S . No primeiro caso, dizemos que U é unitário, no segundo caso U é anti-unitário.

Observação . Esta nota foi incluída apenas para fins de precisão técnica e não deve preocupar a maioria dos leitores. O resultado citado acima não é afirmado diretamente no artigo de Kadison, mas pode ser reduzido a ele observando primeiro que β se estende a um mapa de preservação de traços positivos nos operadores da classe de traços, então aplicando dualidade e finalmente aplicando um resultado do trabalho de Kadison.

O operador U não é totalmente único; se r é um escalar complexo de módulo 1, então r U será unitário ou anti-unitário se U for e implementará o mesmo automorfismo. Na verdade, essa é a única ambigüidade possível.

Segue-se que os automorfismos de Q estão em correspondência bijetiva a operadores unitários ou anti-unitários, multiplicação de módulo por escalares de módulo 1. Além disso, podemos considerar os automorfismos de duas maneiras equivalentes: operando em estados (representados como operadores de densidade) ou operando em Q .

Dinâmica não relativística

Em sistemas físicos não relativísticos, não há ambigüidade em se referir à evolução do tempo, uma vez que existe um parâmetro de tempo global. Além disso, um sistema quântico isolado evolui de forma determinística : se o sistema está em um estado S no tempo t então no tempo s  >  t , o sistema está em um estado F s , t ( S ). Além disso, assumimos

  • A dependência é reversível: os operadores F s , t são bijetivos.
  • A dependência é homogênea: F s , t = F s  -  t , 0 .
  • A dependência preserva a convexidade: Ou seja, cada F s , t ( S ) preserva a convexidade.
  • A dependência é fracamente contínua: o mapeamento RR dada por t → Tr (F s , t ( S ) E ) é contínua para cada E em Q .

Pelo teorema de Kadison, existe uma família de 1 parâmetro de operadores unitários ou anti-unitários { U t } t tal que

Na verdade,

Teorema . Sob as suposições acima, existe um grupo de 1 parâmetro fortemente contínuo de operadores unitários { U t } t tal que a equação acima é válida.

Observe que resulta facilmente da exclusividade do teorema de Kadison que

onde σ (t, s) tem módulo 1. Agora, o quadrado de um anti-unitário é um unitário, de modo que todos os U t são unitários. O restante do argumento mostra que σ (t, s) pode ser escolhido para ser 1 (modificando cada U t por um escalar de módulo 1.)

Estados puros

Uma combinação convexa de estados estatísticos S 1 e S 2 é um estado da forma S = p 1 S 1 + p 2 S 2 onde p 1 , p 2 são não negativos ep 1 + p 2 = 1. Considerando o estado estatístico do sistema conforme especificado pelas condições de laboratório usadas para sua preparação, a combinação convexa S pode ser considerada como o estado formado da seguinte maneira: lance uma moeda tendenciosa com probabilidades de resultado p 1 , p 2 e dependendo do resultado escolha o sistema preparado para S 1 ou S 2

Os operadores de densidade formam um conjunto convexo. O conjunto convexo de operadores de densidade tem pontos extremos ; esses são os operadores de densidade dados por uma projeção em um espaço unidimensional. Para ver que qualquer ponto extremo é tal projeção, observe que pelo teorema espectral S pode ser representado por uma matriz diagonal; uma vez que S é não negativo, todas as entradas são não negativas e como S tem traço 1, as entradas diagonais devem somar 1. Agora, se acontecer que a matriz diagonal tenha mais de uma entrada diferente de zero, é claro que nós pode expressá-lo como uma combinação convexa de outros operadores de densidade.

Os pontos extremos do conjunto de operadores de densidade são chamados de estados puros . Se S é a projeção no espaço unidimensional gerado por um vetor ψ da norma 1, então

para qualquer E em Q . No jargão da física, se

onde ψ tem a norma 1, então

Assim estados puros podem ser identificados com raios no espaço de Hilbert H .

O processo de medição

Considere-se um sistema de mecânica quântica com estrutura de Q que é em algum estado estatística dada por um operador densidade S . Isso significa essencialmente um conjunto de sistemas especificados por um processo de preparação de laboratório repetível. O resultado de um conjunto de medições destina-se a determinar o valor verdadeiro de proposição E , é apenas como no caso clássico, uma distribuição de probabilidade de verdade valores de T e F . Diga as probabilidades são p para o t e q = 1 -  p para  F . Pela seção anterior p = Tr ( S  E ) eq = Tr ( S  ( I  -  E )).

Talvez a diferença mais fundamental entre os sistemas clássicos e quânticos seja a seguinte: independentemente de qual processo é usado para determinar E imediatamente após a medição, o sistema estará em um dos dois estados estatísticos:

  • Se o resultado da medição for T
  • Se o resultado da medição for F

(Deixamos ao leitor o tratamento dos casos degenerados nos quais os denominadores podem ser 0.) Agora formamos a combinação convexa desses dois conjuntos usando as frequências relativas p e q . Obtemos assim o resultado de que o processo de medição aplicado a um conjunto estatístico no estado S produz outro conjunto no estado estatístico:

Vemos que um conjunto puro se torna um conjunto misto após a medição. A medição, conforme descrito acima, é um caso especial de operações quânticas .

Limitações

A lógica quântica derivada da lógica proposicional fornece uma base satisfatória para uma teoria dos processos quânticos reversíveis. Exemplos de tais processos são as transformações de covariância que relacionam dois quadros de referência, como a mudança de parâmetro de tempo ou as transformações da relatividade especial. A lógica quântica também fornece uma compreensão satisfatória das matrizes de densidade. A lógica quântica pode ser estendida para dar conta de alguns tipos de processos de medição correspondentes a responder perguntas sim-não sobre o estado de um sistema quântico. No entanto, para tipos mais gerais de operações de medição (ou seja, operações quânticas), uma teoria mais completa dos processos de filtragem é necessária. Essa teoria de filtragem quântica foi desenvolvida no final dos anos 1970 e 1980 por Belavkin (ver também Bouten et al.). Uma abordagem semelhante é fornecida pelo formalismo de histórias consistentes . Por outro lado, as lógicas quânticas derivadas da lógica de muitos valores estendem sua gama de aplicabilidade a processos quânticos irreversíveis ou sistemas quânticos "abertos".

Em qualquer caso, esses formalismos da lógica quântica devem ser generalizados para lidar com a super-geometria (que é necessária para lidar com campos de Fermi) e a geometria não comutativa (que é necessária na teoria das cordas e na teoria da gravidade quântica). Ambas as teorias usam uma álgebra parcial com uma "integral" ou "traço". Os elementos da álgebra parcial não são observáveis; em vez disso, o "traço" produz "funções verdes", que geram amplitudes de espalhamento. Obtém-se assim uma teoria da matriz S local (ver D. Edwards).

Em 2004, Prakash Panangaden descreveu como capturar a cinemática da evolução causal quântica usando o System BV, uma lógica de inferência profunda originalmente desenvolvida para uso na teoria da prova estrutural . Alessio Guglielmi , Lutz Straßburger e Richard Blute também trabalharam nessa área.

Crítica

A abordagem da lógica quântica foi geralmente vista como malsucedida. Está longe de ser evidente que a lógica quântica é aplicável a valores verdade (em oposição a posições de troca), e se tal aplicação deve ser feita, deve ser feita dentro da estrutura de suporte da lógica usual de dois valores. O eminente filósofo da ciência Tim Maudlin escreve, “o cavalo da lógica quântica foi tão espancado, chicoteado e esmurrado, e está tão completamente morto que ... a questão não é se o cavalo se levantará novamente, é: como no mundo este cavalo chegou aqui em primeiro lugar? A história da lógica quântica não é a história de uma ideia promissora que deu errado, mas sim a história da busca incessante de uma ideia ruim. ” Toda a estrutura matemática complexa da mecânica quântica é perfeitamente bem descrita e clara e compreendida usando a lógica clássica . Embora existam obstáculos interpretativos com a mecânica quântica que precisam ser enfrentados, nenhum desses obstáculos pode ser resolvido, ou mesmo atenuado, descartando a lógica clássica.

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

  • S. Auyang, How is Quantum Field Theory possible? , Oxford University Press, 1995.
  • F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz e D. Sternheimer, Deformation theory and quantization I, II , Ann. Phys. (NY), 111 (1978) pp. 61–110, 111–151.
  • G. Birkhoff e J. von Neumann, * The Logic of Quantum Mechanics , Annals of Mathematics, Vol. 37, pp. 823–843,1936.
  • D. Cohen, An Introduction to Hilbert Space and Quantum Logic , Springer-Verlag, 1989. Esta é uma introdução completa, mas elementar e bem ilustrada, adequada para alunos de graduação avançados.
  • ML Dalla Chiara . R. Giuntini, G. Sergioli, "Probabilidade em computação quântica e em lógica computacional quântica". Mathematical Structures in Computer Sciences, ISSN  0960-1295 , Vol.24, Issue 3, Cambridge University Press (2014).
  • David Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , Synthese, Volume 42, Número 1 / setembro, 1979, pp. 1-70.
  • D. Edwards, The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Férmions, Gauge Fields e Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories , International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7 (1981).
  • D. Finkelstein , Matter, Space and Logic , Boston Studies in the Philosophy of Science Vol. V, 1969
  • A. Gleason , Measures on the Closed Subespaaces of a Hilbert Space , Journal of Mathematics and Mechanics, 1957.
  • R. Kadison , Isometries of Operator Algebras , Annals of Mathematics, Vol. 54, pp. 325-338, 1951
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  • G. Mackey , Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica , WA Benjamin, 1963 (reimpressão de brochura por Dover 2004).
  • J. von Neumann, Fundamentos matemáticos da mecânica quântica , Princeton University Press, 1955. Reimpresso em brochura.
  • R. Omnès, Understanding Quantum Mechanics , Princeton University Press, 1999. Uma discussão extraordinariamente lúcida de algumas questões lógicas e filosóficas da mecânica quântica, com atenção cuidadosa à história do assunto. Também discute histórias consistentes.
  • N. Papanikolaou, Reasoning Formally About Quantum Systems: An Overview , ACM SIGACT News, 36 (3), pp. 51-66, 2005.
  • C. Piron , Foundations of Quantum Physics , WA Benjamin, 1976.
  • H. Putnam , Is Logic Empirical? , Boston Studies in the Philosophy of Science Vol. V, 1969
  • H. Weyl , The Theory of Groups and Quantum Mechanics , Dover Publications, 1950.

links externos