Informação mútua quântica - Quantum mutual information

Na teoria da informação quântica , a informação mútua quântica , ou informação mútua de von Neumann , segundo John von Neumann , é uma medida de correlação entre subsistemas de estado quântico. É o análogo da mecânica quântica da informação mútua de Shannon .

Motivação

Para simplificar, será assumido que todos os objetos no artigo são de dimensão finita.

A definição de entropia mútua quântica é motivada pelo caso clássico. Para uma distribuição de probabilidade de duas variáveis p ( x , y ), as duas distribuições marginais são

${\ displaystyle p (x) = \ sum _ {y} p (x, y), \ qquad p (y) = \ sum _ {x} p (x, y).}$

A informação mútua clássica I ( X : Y ) é definida por

${\ displaystyle I (X: Y) = S (p (x)) + S (p (y)) - S (p (x, y))}$

onde S ( q ) denota a entropia de Shannon da distribuição de probabilidade q .

Pode-se calcular diretamente

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} S (p (x)) + S (p (y)) & = - \ left (\ sum _ {x} p_ {x} \ log p (x) + \ sum _ {y} p_ {y} \ log p (y) \ right) \\ & = - \ left (\ sum _ {x} \ left (\ sum _ {y '} p (x, y') \ log \ soma _ {y '} p (x, y') \ direita) + \ sum _ {y} \ esquerda (\ sum _ {x '} p (x', y) \ log \ sum _ {x '} p (x ', y) \ right) \ right) \\ & = - \ left (\ sum _ {x, y} p (x, y) \ left (\ log \ sum _ {y'} p (x, y ') + \ log \ sum _ {x'} p (x ', y) \ direita) \ direita) \\ & = - \ sum _ {x, y} p (x, y) \ log p (x ) p (y) \ end {alinhado}}}$

Portanto, a informação mútua é

${\ displaystyle I (X: Y) = \ sum _ {x, y} p (x, y) \ log {\ frac {p (x, y)} {p (x) p (y)}}.}$

Mas esta é precisamente a entropia relativa entre p ( x , y ) e p ( x ) p ( y ). Em outras palavras, se assumirmos as duas variáveis x e y para ser não correlacionadas, informação mútua é a discrepância na incerteza resultante desta suposição (possivelmente errados).

Segue da propriedade da entropia relativa que I ( X : Y ) ≥ 0 e a igualdade se mantém se e somente se p ( x , y ) = p ( x ) p ( y ).

Definição

A contraparte da mecânica quântica das distribuições de probabilidade clássicas é modelada com matrizes de densidade .

Considere um sistema quântico que pode ser dividido em duas partes, A e B, de forma que medições independentes possam ser feitas em qualquer uma das partes. O espaço de estado de todo o sistema quântico é então o produto tensorial dos espaços para as duas partes .

${\ displaystyle H_ {AB}: = H_ {A} \ otimes H_ {B}.}$

Seja ρ ^AB uma matriz de densidade atuando nos estados de H _AB . A entropia de von Neumann de uma matriz de densidade S ( ρ ), é a analogia mecânica quântica da entropia de Shannon.

${\ displaystyle S (\ rho) = - \ operatorname {Tr} \ rho \ log \ rho.}$

Para uma distribuição de probabilidade p ( x , y ), as distribuições marginais são obtidas integrando as variáveis x ou y . A operação correspondente para matrizes de densidade é o traço parcial . Assim, pode-se atribuir a ρ um estado no subsistema A por

${\ displaystyle \ rho ^ {A} = \ operatorname {Tr} _ {B} \; \ rho ^ {AB}}$

Tr onde _B é traço parcial em relação ao sistema B . Este é o estado reduzido de ρ ^AB no sistema Uma . A entropia de von Neumann reduzida de ρ ^AB em relação ao sistema A é

${\ displaystyle \; S (\ rho ^ {A}).}$

S ( ρ ^B ) é definido da mesma maneira.

Agora pode ser visto que a definição de informação mútua quântica, correspondendo à definição clássica, deve ser a seguinte.

${\ displaystyle \; I (A \!: \! B): = S (\ rho ^ {A}) + S (\ rho ^ {B}) - S (\ rho ^ {AB}).}$

A informação mútua quântica pode ser interpretada da mesma forma que no caso clássico: pode ser mostrado que

${\ displaystyle I (A \!: \! B) = S (\ rho ^ {AB} \ | \ rho ^ {A} \ otimes \ rho ^ {B})}$

onde denota entropia relativa quântica . ${\ displaystyle S (\ cdot \ | \ cdot)}$

Propriedades

Quando o estado é puro (e , portanto , a informação mútua é duas vezes a entropia de emaranhamento do estado: ${\ displaystyle \ rho ^ {AB}}$${\ displaystyle S (\ rho ^ {AB}) = 0}$

${\ displaystyle I (A \!: \! B) = S (\ rho ^ {A}) + S (\ rho ^ {B}) - S (\ rho ^ {AB}) = S (\ rho ^ { A}) + S (\ rho ^ {B}) = 2S (\ rho ^ {A})}$

Uma informação mútua quântica positiva não é necessariamente indicativa de emaranhamento, entretanto. Uma mistura clássica de estados separáveis sempre terá emaranhamento zero, mas pode ter QMI diferente de zero, como

${\ displaystyle \ rho ^ {AB} = {\ frac {1} {2}} \ left (| 00 \ rangle \ langle 00 | + | 11 \ rangle \ langle 11 | \ right)}$

${\ displaystyle I (A \!: \! B) = S (\ rho ^ {A}) + S (\ rho ^ {B}) - S (\ rho ^ {AB}) = S \ left ({\ frac {1} {2}} (| 0 \ rangle \ langle 0 | + | 1 \ rangle \ langle 1 |) \ right) + S \ left ({\ frac {1} {2}} (| 0 \ rangle \ langle 0 | + | 1 \ rangle \ langle 1 |) \ right) + S \ left ({\ frac {1} {2}} (| 00 \ rangle \ langle 00 | + | 11 \ rangle \ langle 11 | ) \ direita) = 1 + 1-1 = 1}$

Nesse caso, o estado é apenas um estado classicamente correlacionado .