Sistema de numeração quaternário - Quaternary numeral system
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Um quaternário / k w ə t ɜr n ər i / sistema de numeração é de base - 4 . Ele usa os dígitos 0, 1, 2 e 3 para representar qualquer número real . A conversão do binário é direta.
Quatro é o maior número dentro da faixa de subitização e um dos dois números que é um quadrado e um número altamente composto (o outro sendo 36), tornando o quaternário uma escolha conveniente para uma base nesta escala. Apesar de ser duas vezes maior, sua economia básica é igual à da binária. No entanto, ele não se sai melhor na localização de números primos (a menor base melhor sendo a base primorial seis, senário ).
O quaternário compartilha com todos os sistemas numéricos de raiz fixa muitas propriedades, como a habilidade de representar qualquer número real com uma representação canônica (quase única) e as características das representações de números racionais e números irracionais . Veja decimal e binário para uma discussão dessas propriedades.
Relação com outros sistemas de números posicionais
Decimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Binário | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Quaternário | 0 | 1 | 2 | 3 | 10 | 11 | 12 | 13 | 20 | 21 | 22 | 23 | 30 | 31 | 32 | 33 |
Octal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
Hexadecimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | UMA | B | C | D | E | F |
Decimal | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
Binário | 10.000 | 10001 | 10010 | 10011 | 10100 | 10101 | 10110 | 10111 | 11000 | 11001 | 11010 | 11011 | 11100 | 11101 | 11110 | 11111 |
Quaternário | 100 | 101 | 102 | 103 | 110 | 111 | 112 | 113 | 120 | 121 | 122 | 123 | 130 | 131 | 132 | 133 |
Octal | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 |
Hexadecimal | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E | 1F |
Decimal | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 |
Binário | 100000 | 100001 | 100010 | 100011 | 100100 | 100101 | 100110 | 100111 | 101000 | 101001 | 101010 | 101011 | 101100 | 101101 | 101110 | 101111 |
Quaternário | 200 | 201 | 202 | 203 | 210 | 211 | 212 | 213 | 220 | 221 | 222 | 223 | 230 | 231 | 232 | 233 |
Octal | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 |
Hexadecimal | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 2A | 2B | 2C | 2D | 2E | 2F |
Decimal | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 |
Binário | 110000 | 110001 | 110010 | 110011 | 110100 | 110101 | 110110 | 110111 | 111000 | 111001 | 111010 | 111011 | 111100 | 111101 | 111110 | 111111 |
Quaternário | 300 | 301 | 302 | 303 | 310 | 311 | 312 | 313 | 320 | 321 | 322 | 323 | 330 | 331 | 332 | 333 |
Octal | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 |
Hexadecimal | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 3A | 3B | 3C | 3D | 3E | 3F |
Decimal | 64 | |||||||||||||||
Binário | 1000000 | |||||||||||||||
Quaternário | 1000 | |||||||||||||||
Octal | 100 | |||||||||||||||
Hexadecimal | 40 |
Relação com binário e hexadecimal
+ | 1 | 2 | 3 |
1 | 2 | 3 | 10 |
2 | 3 | 10 | 11 |
3 | 10 | 11 | 12 |
Tal como acontece com os sistemas numéricos octal e hexadecimal , o quaternário tem uma relação especial com o sistema numeral binário . Cada raiz 4, 8 e 16 é uma potência de 2, então a conversão de e para binário é implementada combinando cada dígito com 2, 3 ou 4 dígitos binários, ou bits . Por exemplo, na base 4,
- 230210 4 = 10 11 00 10 01 00 2 .
Como 16 é uma potência de 4, a conversão entre essas bases pode ser implementada combinando cada dígito hexadecimal com 2 dígitos quaternários. No exemplo acima,
- 23 02 10 4 = B24 16
Embora octal e hexadecimal sejam amplamente usados em computação e programação de computadores na discussão e análise de aritmética e lógica binárias, o quaternário não tem o mesmo status.
Embora o quaternário tenha uso prático limitado, pode ser útil se alguma vez for necessário realizar aritmética hexadecimal sem uma calculadora. Cada dígito hexadecimal pode ser transformado em um par de dígitos quaternários e, em seguida, a aritmética pode ser realizada com relativa facilidade antes de converter o resultado final de volta para hexadecimal. O quaternário é conveniente para esse propósito, uma vez que os números têm apenas metade do comprimento do dígito em comparação com o binário, embora ainda tenham tabelas de multiplicação e adição muito simples com apenas três elementos não triviais únicos.
× | 1 | 2 | 3 |
1 | 1 | 2 | 3 |
2 | 2 | 10 | 12 |
3 | 3 | 12 | 21 |
Por analogia com byte e nybble , um dígito quaternário às vezes é chamado de migalha .
Frações
Devido a ter apenas fatores de dois, muitas frações quaternárias têm dígitos repetidos, embora estes tendam a ser bastante simples:
Base decimal Fatores primos da base: 2 , 5 Fatores primos de um abaixo da base: 3 Fatores primos de um acima da base: 11 Outros fatores primos: 7 13 17 19 23 29 31 |
Base quaternária factores primos da base: 2 factores primos de um abaixo da base: 3 factores primos de um acima da base: 11 Outros factores primos: 13 23 31 101 103 113 131 133 |
||||
Fração |
Fatores principais do denominador |
Representação posicional | Representação posicional |
Fatores principais do denominador |
Fração |
1/2 | 2 | 0,5 | 0,2 | 2 | 1/2 |
1/3 | 3 | 0. 3333 ... = 0. 3 | 0. 1111 ... = 0. 1 | 3 | 1/3 |
1/4 | 2 | 0,25 | 0,1 | 2 | 1/10 |
1/5 | 5 | 0,2 | 0. 03 | 11 | 1/11 |
1/6 | 2 , 3 | 0,1 6 | 0,0 2 | 2 , 3 | 1/12 |
1/7 | 7 | 0. 142857 | 0. 021 | 13 | 13/01 |
1/8 | 2 | 0,125 | 0,02 | 2 | 1/20 |
1/9 | 3 | 0. 1 | 0. 013 | 3 | 21/01 |
1/10 | 2 , 5 | 0,1 | 0,0 12 | 2 , 11 | 22/01 |
1/11 | 11 | 0. 09 | 0. 01131 | 23 | 23/01 |
1/12 | 2 , 3 | 0,08 3 | 0,0 1 | 2 , 3 | 1/30 |
13/01 | 13 | 0. 076923 | 0. 010323 | 31 | 1/31 |
14/01 | 2 , 7 | 0,0 714285 | 0,0 102 | 2 , 13 | 1/32 |
15/1 | 3 , 5 | 0,0 6 | 0. 01 | 3 , 11 | 1/33 |
1/16 | 2 | 0,0625 | 0,01 | 2 | 1/100 |
1/17 | 17 | 0. 0588235294117647 | 0. 0033 | 101 | 1/101 |
1/18 | 2 , 3 | 0,0 5 | 0,0 032 | 2 , 3 | 1/102 |
1/19 | 19 | 0. 052631578947368421 | 0. 003113211 | 103 | 1/103 |
1/20 | 2 , 5 | 0,05 | 0,0 03 | 2 , 11 | 1/110 |
21/01 | 3 , 7 | 0. 047619 | 0. 003 | 3 , 13 | 1/111 |
22/01 | 2 , 11 | 0,0 45 | 0,0 02322 | 2 , 23 | 1/112 |
23/01 | 23 | 0. 0434782608695652173913 | 0. 00230201121 | 113 | 1/113 |
24/01 | 2 , 3 | 0,041 6 | 0,00 2 | 2 , 3 | 1/120 |
25/01 | 5 | 0,04 | 0. 0022033113 | 11 | 1/121 |
26/1 | 2 , 13 | 0,0 384615 | 0,0 021312 | 2 , 31 | 1/122 |
1/27 | 3 | 0. 037 | 0. 002113231 | 3 | 1/123 |
28/01 | 2 , 7 | 0,03 571428 | 0,0 021 | 2 , 13 | 1/130 |
29/1 | 29 | 0. 0344827586206896551724137931 | 0. 00203103313023 | 131 | 1/131 |
1/30 | 2 , 3 , 5 | 0,0 3 | 0,0 02 | 2 , 3 , 11 | 1/132 |
1/31 | 31 | 0. 032258064516129 | 0. 00201 | 133 | 1/133 |
1/32 | 2 | 0,03125 | 0,002 | 2 | 1/200 |
1/33 | 3 , 11 | 0. 03 | 0. 00133 | 3 , 23 | 1/201 |
1/34 | 2 , 17 | 0,0 2941176470588235 | 0,0 0132 | 2 , 101 | 1/202 |
1/35 | 5 , 7 | 0,0 285714 | 0. 001311 | 11 , 13 | 1/203 |
1/36 | 2 , 3 | 0,02 7 | 0,0 013 | 2 , 3 | 1/210 |
Ocorrência em línguas humanas
Muitas ou todas as línguas Chumashan usavam originalmente um sistema de contagem de base 4, no qual os nomes dos números eram estruturados de acordo com múltiplos de 4 e 16 (não 10). Existe uma lista remanescente de palavras numéricas da língua Ventureño até 32 escritas por um padre espanhol ca. 1819.
Os numerais de Kharosthi têm um sistema de contagem de base parcial 4, de 1 ao decimal 10.
Curvas de Hilbert
Os números quaternários são usados na representação de curvas de Hilbert 2D . Aqui, o sistema quaternário. Cada dígito agora indica em qual dos respectivos 4 sub-quadrantes o número será projetado.llamas # (0, & $ 1, bonecos Bllioues 1 $$ 3/4/7/9/24 15 € milhões> {= ₩₩₩ ₩₩ ¡¤ £
Genética
Os paralelos podem ser traçados entre os numerais quaternários e a maneira como o código genético é representado pelo DNA . Os quatro nucleotídeos de DNA em ordem alfabética , abreviados A , C , G e T , podem ser considerados para representar os dígitos quaternários em ordem numérica 0, 1, 2 e 3. Com esta codificação, os pares de dígitos complementares 0↔3, e 1↔2 (binários 00↔11 e 01↔10) correspondem à complementação dos pares de bases : A↔T e C↔G e podem ser armazenados como dados na sequência de DNA. Por exemplo, a sequência de nucleotídeos GATTACA pode ser representada pelo número quaternário 2033010 (= decimal 9156 ou binário 10 00 11 11 00 01 00). O genoma humano tem 3,2 bilhões de pares de bases de comprimento.
Em 2016, Silva e Ganegoda propuseram que o DNA fosse usado para fins de armazenamento, criptografia e esteganografia . Em 2020, Ralph Baric foi capaz de se gabar em uma entrevista que ele poderia "assinar" sequências de RNA com um marcador inconfundível de sua autoria, enquanto outros observaram que "DNA utilizado como um dispositivo de memória orgânica junto com armazenamento de big data e análise de DNA tem pavimentou o caminho para a computação de DNA para resolver problemas computacionais. " Na verdade, Scheiber argumentou em Changing the Global Approach to Medicine, Volume 2: Medical Vector Therapy, que "o núcleo de uma célula biologicamente ativa possui indiscutivelmente o poder de processamento mais sofisticado e bem organizado do mundo", e mais tarde naquela década Moderna foi capaz para falar do RNA que servia ao "sistema operacional" da montagem celular humana.
Em 2021, os cientistas relataram a capacidade de fabricar a partir de DNA estruturas semelhantes a cestas do tamanho de um angstrom .
Transmissão de dados
Códigos de linha quaternários têm sido usados para transmissão, desde a invenção do telégrafo até o código 2B1Q usado em circuitos ISDN modernos .
O padrão GDDR6X, desenvolvido pela Nvidia e Micron usa bits quaternários para transmitir dados
Informática
Alguns computadores têm usado aritmética de ponto flutuante quaternário, incluindo o Illinois ILLIAC II (1962) e os sistemas de pesquisa de local de alta resolução do Digital Field System DFS IV e DFS V.
Veja também
- Conversão entre bases
- Sequência Moser – de Bruijn , os números que têm apenas 0 ou 1 como seus dígitos de base 4
Referências
links externos
- Conversão de base quaternária , inclui parte fracionária, de Math Is Fun
- Base42 propõe símbolos únicos para dígitos quaternários e hexadecimais