Quaternion - Quaternion

Tábua de multiplicação de quatérnio
1 eu j k
1 1 eu j k
eu eu -1 k - j
j j - k -1 eu
k k j - eu -1
Gráfico Cayley Q8 mostrando os 6 ciclos de multiplicação por i , j e k . (No arquivo SVG , passe o mouse ou clique em um ciclo para destacá-lo.)

Em matemática , o sistema numérico do quatérnio estende os números complexos . Os quatérnios foram descritos pela primeira vez pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1843 e aplicados à mecânica no espaço tridimensional . Hamilton definiu um quatérnio como o quociente de duas linhas dirigidas em um espaço tridimensional, ou, equivalentemente, como o quociente de dois vetores . A multiplicação de quatérnions é não comutativa .

Quaternions são geralmente representados na forma

onde a , b , c e d são números reais ; e i , j e k são os quatérnios básicos .

Quaternions são usados ​​em matemática pura , mas também têm usos práticos em matemática aplicada , particularmente para cálculos envolvendo rotações tridimensionais , como em computação gráfica tridimensional , visão computacional e análise de textura cristalográfica . Podem ser utilizados em conjunto com outros métodos de rotação, como ângulos de Euler e matrizes de rotação , ou como alternativa, dependendo da aplicação.

Na linguagem matemática moderna , os quatérnios formam uma álgebra de divisão normativa associativa quadridimensional sobre os números reais e, portanto, também um domínio . A álgebra de quatérnions é freqüentemente denotada por H (para Hamilton ), ou em negrito por quadro negro , também pode ser dada pelas classificações de álgebra de Clifford. Na verdade, foi a primeira álgebra de divisão não comutativa a ser descoberta.

De acordo com o teorema de Frobenius , a álgebra é um dos apenas dois anéis de divisão de dimensão finita contendo um subanel próprio isomórfico aos números reais; o outro sendo os números complexos. Esses anéis também são álgebras de Hurwitz euclidianas , das quais os quatérnios são a maior álgebra associativa . Estender ainda mais os quatérnions produz as octonions não associativas , que é a última divisão de álgebra normada sobre os números reais. (Os sedenions , a extensão das octonions, têm zero divisores e, portanto, não podem ser uma álgebra de divisão normatizada.)

Os quatérnios unitários podem ser pensados ​​como uma escolha de uma estrutura de grupo na 3-esfera S 3 que dá o grupo Spin (3) , que é isomorfo a SU (2) e também à cobertura universal de SO (3) .

Representação gráfica de produtos de unidades de quatérnio como rotações de 90 ° nos planos do espaço 4-dimensional medido por dois de {1, i , j , k }. O fator esquerdo pode ser visto como sendo girado pelo fator certo para chegar ao produto. Visualmente i   j = - ( j   i ) .
  • Em azul :
    • 1  i = i    ( plano 1 / i )
    • i j = k    (plano i / k )
  • Em vermelho :
    • 1  j = j    ( plano 1 / j )
    • j i = - k    (plano j / k )

História

Placa do quaternion na ponte Brougham (Broom) , Dublin , que diz:

Aqui, enquanto ele passava
em 16 de outubro de 1843,
Sir William Rowan Hamilton
em um lampejo de gênio descobriu
a fórmula fundamental para a
multiplicação do quatérnio
i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1
e cortou-a em uma pedra desta ponte

Os quatérnios foram introduzidos por Hamilton em 1843. Os precursores importantes deste trabalho incluíram a identidade de quatro quadrados de Euler (1748) e a parametrização de rotações gerais de Olinde Rodrigues por quatro parâmetros (1840), mas nenhum desses escritores tratou as rotações de quatro parâmetros como um álgebra. Carl Friedrich Gauss também descobriu quatérnios em 1819, mas este trabalho não foi publicado até 1900.

Hamilton sabia que os números complexos podiam ser interpretados como pontos em um plano e estava procurando uma maneira de fazer o mesmo com pontos no espaço tridimensional . Os pontos no espaço podem ser representados por suas coordenadas, que são triplos de números, e por muitos anos ele soube somar e subtrair triplos de números. No entanto, por muito tempo, ele estava preso ao problema da multiplicação e da divisão. Ele não conseguia descobrir como calcular o quociente das coordenadas de dois pontos no espaço. Na verdade, Ferdinand Georg Frobenius provou mais tarde em 1877 que para uma álgebra de divisão sobre os números reais ser finito-dimensional e associativa, ela não pode ser tridimensional, e existem apenas três dessas álgebras de divisão: (números complexos) e (quatérnios ) que têm dimensões 1, 2 e 4, respectivamente.

O grande avanço nos quatérnios finalmente veio na segunda-feira, 16 de outubro de 1843, em Dublin , quando Hamilton estava a caminho da Royal Irish Academy, onde presidiria uma reunião do conselho. Enquanto caminhava ao longo da trilha do Canal Real com sua esposa, os conceitos por trás dos quatérnios estavam tomando forma em sua mente. Quando a resposta lhe ocorreu, Hamilton não resistiu ao impulso de criar a fórmula para os quatérnios,

na pedra da ponte Brougham enquanto ele parava nela. Embora a escultura tenha desaparecido desde 1989, tem havido uma peregrinação anual desde 1989 chamada Caminhada de Hamilton para cientistas e matemáticos que caminham do Observatório Dunsink à ponte do Canal Real em memória da descoberta de Hamilton.

No dia seguinte, Hamilton escreveu uma carta a seu amigo e colega matemático John T. Graves, descrevendo a linha de pensamento que o levou à descoberta. Esta carta foi posteriormente publicada em uma carta para a London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science ; Hamilton afirma:

E aqui me ocorreu a noção de que devemos admitir, em certo sentido, uma quarta dimensão do espaço com o propósito de calcular com triplos ... Um circuito elétrico pareceu se fechar, e uma faísca brilhou.

Com essas regras de multiplicação , Hamilton chamou um quádruplo de quatérnio e dedicou a maior parte do resto de sua vida a estudá-los e ensiná-los. O tratamento de Hamilton é mais geométrico do que a abordagem moderna, que enfatiza as propriedades algébricas dos quatérnios . Ele fundou uma escola de "quaternionistas" e tentou popularizar os quaternions em vários livros. O último e mais longo de seus livros, Elements of Quaternions , tinha 800 páginas; foi editado por seu filho e publicado logo após sua morte.

Após a morte de Hamilton, o físico matemático escocês Peter Tait tornou-se o principal expoente dos quatérnios. Naquela época, os quatérnios eram um tópico de exame obrigatório em Dublin. Tópicos em física e geometria que agora seriam descritos usando vetores, como cinemática no espaço e as equações de Maxwell , foram descritos inteiramente em termos de quatérnios. Havia até uma associação de pesquisa profissional, a Quaternion Society , dedicada ao estudo de quatérnios e outros sistemas numéricos hipercomplexos .

A partir de meados da década de 1880, os quatérnios começaram a ser deslocados pela análise vetorial , desenvolvida por Josiah Willard Gibbs , Oliver Heaviside e Hermann von Helmholtz . A análise vetorial descreveu os mesmos fenômenos que os quatérnios, portanto, emprestou algumas ideias e terminologia liberalmente da literatura sobre quatérnios. No entanto, a análise vetorial era conceitualmente mais simples e notacionalmente mais limpa e, eventualmente, os quatérnios foram relegados a um papel menor na matemática e na física . Um efeito colateral dessa transição é que o trabalho de Hamilton é difícil de compreender para muitos leitores modernos. As definições originais de Hamilton não são familiares e seu estilo de escrita era prolixo e difícil de seguir.

No entanto, os quatérnios tiveram um renascimento desde o final do século 20, principalmente devido à sua utilidade na descrição de rotações espaciais . As representações de rotações por quatérnions são mais compactas e mais rápidas de calcular do que as representações por matrizes . Além disso, ao contrário dos ângulos de Euler, eles não são suscetíveis a " travamento do cardan ". Por essa razão, os quatérnios são usados ​​em computação gráfica , visão computacional , robótica , teoria de controle , processamento de sinais , controle de atitude , física , bioinformática , dinâmica molecular , simulações de computador e mecânica orbital . Por exemplo, é comum que os sistemas de controle de atitude das espaçonaves sejam comandados em termos de quatérnios. Os quaternions receberam outro impulso da teoria dos números por causa de suas relações com as formas quadráticas .

Quaternions em física

O ensaio de 1984 de PR Girard, O grupo de quatérnios e a física moderna, discute alguns papéis dos quatérnios na física. O ensaio mostra como vários grupos de covariância física, nomeadamente SO (3) , o grupo de Lorentz, o grupo da teoria geral da relatividade, a álgebra de Clifford SU (2) e o grupo conformado, podem ser facilmente relacionados ao grupo de quatérnio na álgebra moderna . Girard começou discutindo as representações de grupos e representando alguns grupos espaciais de cristalografia . Ele procedeu à cinemática do movimento do corpo rígido . Em seguida, ele usou quaternions complexos ( biquaternions ) para representar o grupo Lorentz da relatividade especial, incluindo a precessão de Thomas . Ele citou cinco autores, começando com Ludwik Silberstein , que usou uma função potencial de uma variável de quatérnio para expressar as equações de Maxwell em uma única equação diferencial . Com relação à relatividade geral, ele expressou o vetor Runge-Lenz . Ele mencionou os biquaternions de Clifford ( split-biquaternions ) como uma instância da álgebra de Clifford. Finalmente, invocando o recíproco de um biquatérnio, Girard descreveu mapas conformados no espaço - tempo . Entre as cinquenta referências, Girard incluiu Alexander Macfarlane e seu Bulletin of the Quaternion Society . Em 1999, ele mostrou como as equações da relatividade geral de Einstein poderiam ser formuladas dentro de uma álgebra de Clifford que está diretamente ligada a quatérnios.

A descoberta de 1924 de que na mecânica quântica o spin de um elétron e de outras partículas de matéria (conhecidas como spinors ) pode ser descrito usando quatérnios aumentou seu interesse; os quatérnios ajudaram a entender como as rotações dos elétrons em 360 ° podem ser discernidas daquelas em 720 ° (o " truque da placa "). A partir de 2018, seu uso não ultrapassou os grupos de rotação .

Definição

Um quaternion é uma expressão da forma

onde a , b , c , d são números reais e i , j , k são símbolos que podem ser interpretados como vetores unitários apontando ao longo dos três eixos espaciais. Na prática, se um de a , b , c , d for 0, o termo correspondente é omitido; se a , b , c , d são todos zero, o quaternion é o quaternion zero , denotado por 0; se um de b , c , d for igual a 1, o termo correspondente será escrito simplesmente i , j ou k .

Hamilton descreve um quaternion , consistindo em uma parte escalar e uma parte vetorial. O quatérnio é chamado de parte do vetor (às vezes, parte imaginária ) de q , e a é a parte escalar (às vezes, parte real ) de q . Um quatérnio que é igual a sua parte real (ou seja, sua parte do vetor é zero) é chamado de quatérnio escalar ou real e é identificado com o número real correspondente. Ou seja, os números reais estão embutidos nos quatérnios. (Mais apropriadamente, o campo de números reais é isomórfico a um subconjunto dos quatérnios. O campo de números complexos também é isomórfico a três subconjuntos de quatérnios.) Um quatérnio igual à sua parte vetorial é chamado quatérnio vetorial .

O conjunto de quatérnions é feita uma 4-dimensional de espaço vectorial sobre os números reais, com como uma base , através da adição componente a componente

e a multiplicação escalar componente a componente

Uma estrutura de grupo multiplicativa, chamada de produto de Hamilton , denotada por justaposição, pode ser definida nos quatérnios da seguinte maneira:

  • O quatérnio 1 real é o elemento de identidade .
  • Os quatérnios reais comutam com todos os outros quatérnios, ou seja, aq = qa para cada quatérnio qe todo quatérnio real a . Na terminologia algébrica, isso quer dizer que o campo dos quatérnions reais é o centro dessa álgebra de quatérnios.
  • O produto é primeiro dado para os elementos básicos (veja a próxima subseção), e então estendido a todos os quatérnios usando a propriedade distributiva e a propriedade central dos quatérnios reais. O produto de Hamilton não é comutativo , mas associativo , portanto, os quatérnios formam uma álgebra associativa sobre os números reais.
  • Além disso, cada quatérnio diferente de zero tem um inverso em relação ao produto de Hamilton:

Assim, os quatérnions formam uma álgebra de divisão.

Multiplicação de elementos básicos

Tabela de multiplicação
× 1 eu j k
1 1 eu j k
eu eu -1 k - j
j j - k -1 eu
k k j - eu -1
A não comutatividade é enfatizada por quadrados coloridos

A multiplicação com 1 dos elementos de base i , j e k é definida pelo fato de que 1 é uma identidade multiplicativa , ou seja,

Os outros produtos dos elementos básicos são definidos a partir das regras do produto para e

e

Em seguida, as outras regras de produto são obtidas substituindo por e aplicando a associatividade e a anticomutatividade de e (isto é, ), que dá

Centro

O centro de um anel não comutativo é o subanel dos elementos c tais que cx = xc para cada x . O centro da álgebra de quatérnions é o subcampo dos quatérnios reais. Na verdade, faz parte da definição que os quatérnios reais pertençam ao centro. Por outro lado, se q = a + b i + c j + d k pertence ao centro, então

e c = d = 0 . Um cálculo semelhante com j em vez de i mostra que também b = 0 . Assim, q = a é um quatérnio real .

Os quatérnions formam uma álgebra de divisão. Isso significa que a não comutatividade da multiplicação é a única propriedade que torna os quatérnions diferentes de um campo . Essa não comutatividade tem algumas consequências inesperadas, entre elas que uma equação polinomial sobre os quatérnios pode ter soluções mais distintas do que o grau do polinômio. Por exemplo, a equação z 2 + 1 = 0 , tem infinitamente muitas soluções quatérnio, que são os quatérnions z = b i + c j + d k tal que b 2 + C 2 + d 2 = 1 . Assim, essas "raízes de -1" formam uma esfera unitária no espaço tridimensional dos quatérnios vetoriais.

Produto Hamilton

Para dois elementos a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k e a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k , seu produto, chamado de produto de Hamilton ( a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k ) ( a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k ), é determinado pelos produtos dos elementos de base e pela lei distributiva . A lei distributiva possibilita a expansão do produto de forma que seja uma soma de produtos de elementos básicos. Isso dá a seguinte expressão:

Agora, os elementos básicos podem ser multiplicados usando as regras fornecidas acima para obter:

O produto de dois quatérnios de rotação será equivalente à rotação a 2 + b 2 i + c 2 j + d 2 k seguida pela rotação a 1 + b 1 i + c 1 j + d 1 k .

Partes escalares e vetoriais

Um quaternion da forma a + 0 i + 0 j + 0 k , onde a é um número real, é chamado escalar , e um quaternion da forma 0 + b i + c j + d k , onde b , c , e d são números reais, e pelo menos um de b , c ou d é diferente de zero, é chamado de quaternion vetorial . Se um + b i + c j + d k é qualquer Quatérnion, em seguida, um é chamado a sua parte escalar e b i + c j + d k é chamado sua parte vector . Embora cada quatérnion possa ser visto como um vetor em um espaço vetorial quadridimensional, é comum referir-se à parte do vetor como vetores em um espaço tridimensional. Com esta convenção, um vetor é o mesmo que um elemento do espaço vetorial

Hamilton também chamou quatérnions vetoriais quatérnions direitos e números reais (considerados como quatérnions com parte vetorial zero) quaternions escalares .

Se um quaternion é dividido em uma parte escalar e uma parte vetorial, isto é,

então as fórmulas para adição e multiplicação são

onde " " e " " denotam respectivamente o produto escalar e o produto vetorial .

Conjugação, a norma e recíproca

A conjugação de quatérnions é análoga à conjugação de números complexos e à transposição (também conhecida como reversão) de elementos de álgebras de Clifford. Para defini-lo, deixe ser um quatérnio. O conjugado de q é o quaternion . É denotado por q * , q t , ou q . Conjugação é uma involução , o que significa que é seu próprio inverso , portanto, conjugar um elemento duas vezes retorna o elemento original. O conjugado de um produto de dois quatérnios é o produto dos conjugados na ordem inversa . Ou seja, se p e q são quatérnions, então ( pq ) = q p , não p q .

A conjugação de um quatérnio, em total contraste com o ambiente complexo, pode ser expressa com a multiplicação e adição de quatérnios:

A conjugação pode ser usada para extrair as partes escalares e vetoriais de um quaternion. A parte escalar de p é 1/2( p + p ) , e a parte do vetor de p é1/2( p - p ) .

A raiz quadrada do produto de um quatérnio com seu conjugado é chamada de norma e é denotada como || q || (Hamilton chamou essa quantidade de tensor de q , mas isso entra em conflito com o significado moderno de " tensor "). Nas fórmulas, isso é expresso da seguinte forma:

Este é sempre um número real não negativo, e é o mesmo que a norma euclidiana em considerado como o espaço vetorial . Multiplicar um quaternion por um número real escala sua norma pelo valor absoluto do número. Ou seja, se α é real, então

Este é um caso especial do fato de a norma ser multiplicativa , o que significa que

para quaisquer dois quatérnions p e q . A multiplicatividade é uma consequência da fórmula do conjugado de um produto. Alternativamente, segue-se da identidade

(onde i denota a unidade imaginária usual ) e, portanto, da propriedade multiplicativa de determinantes de matrizes quadradas.

Esta norma permite definir a distância d ( p , q ) entre p e q como a norma de sua diferença:

Isso cria um espaço métrico . A adição e a multiplicação são contínuas na topologia métrica . Na verdade, para qualquer escalar, positiva a que detém

A continuidade segue de levar a a zero no limite. Continuidade para multiplicação é semelhante.

Unidade de quatérnio

Um quaternion unitário é um quaternion de norma um. Dividir um quatérnio diferente de zero q por sua norma produz uma unidade de quatérnio U q chamada de versor de q :

Cada quaternion tem uma decomposição polar .

O uso da conjugação e da norma permite definir a recíproca de um quatérnio diferente de zero. O produto de um quaternion com seu recíproco deve ser igual a 1, e as considerações acima implicam que o produto de e é 1 (para qualquer ordem de multiplicação). Portanto, o recíproco de q é definido como

Isso torna possível dividir dois quatérnions p e q de duas maneiras diferentes (quando q é diferente de zero). Ou seja, seu quociente pode ser p q −1 ou q −1 p  ; em geral, esses produtos são diferentes, dependendo da ordem de multiplicação, exceto no caso especial em que p e q são múltiplos escalares um do outro (que inclui o caso em que p = 0 ). Portanto, a notaçãop/qé ambíguo porque não especifica se q se divide à esquerda ou à direita (se  q −1 multiplica p à sua esquerda ou à direita).

Propriedades algébricas

Gráfico de Cayley da Q 8 . As setas vermelhas representam a multiplicação à direita por i , e as setas verdes representam a multiplicação à direita por j .

O conjunto de todos os quatérnions é um espaço vetorial sobre os números reais com dimensão  4. A multiplicação dos quatérnios é associativa e se distribui pela adição do vetor, mas com exceção do subconjunto escalar, não é comutativa. Portanto, os quatérnions são uma álgebra associativa não comutativa sobre os números reais. Embora contenha cópias dos números complexos, não é uma álgebra associativa sobre os números complexos.

Como é possível dividir quatérnios, eles formam uma álgebra de divisão. Esta é uma estrutura semelhante a um campo, exceto pela não comutatividade da multiplicação. As álgebras de divisão associativa de dimensão finita sobre os números reais são muito raras. O Frobenius teorema afirma que existem exatamente três: , , e . A norma faz com que os quaternions em uma álgebra normed e álgebras de divisão normados sobre os números reais também são muito raros: o teorema de Hurwitz diz que existem apenas quatro: , , , e (os octoniones). Os quatérnions são também um exemplo de álgebra de composição e de álgebra de Banach unital .

Gráfico tridimensional de Q 8 . Setas vermelhas, verdes e azuis representam a multiplicação por i , j e k , respectivamente. Multiplicação por números negativos são omitidos para maior clareza.

Como o produto de quaisquer dois vetores de base é mais ou menos outro vetor de base, o conjunto {± 1, ± i , ± j , ± k } forma um grupo sob multiplicação. Este grupo não abeliano é denominado grupo quaternion e é denotado Q 8 . O anel de grupo real de Q 8 é um anel que também é um espaço vetorial de oito dimensões sobre Ele tem um vetor de base para cada elemento de Os quatérnions são isomórficos ao anel quociente de pelo ideal gerado pelos elementos 1 + (−1 ) , i + (- i ) , j + (- j ) e k + (- k ) . Aqui, o primeiro termo em cada uma das diferenças é um dos elementos básicos 1, i , j e k , e o segundo termo é um dos elementos básicos −1, - i , - j e - k , não os inversos aditivos de 1, i , j e k .

Quatérnions e a geometria espacial

A parte do vetor de um quatérnio pode ser interpretada como um vetor de coordenadas , portanto, as operações algébricas dos quatérnios refletem a geometria das operações, como o ponto do vetor e os produtos cruzados podem ser definidos em termos de quatérnios, e isso torna possível a aplicação técnicas de quatérnio onde quer que surjam vetores espaciais. Uma aplicação útil dos quatérnios tem sido interpolar as orientações dos quadros-chave na computação gráfica.

Para o restante desta seção, i , j e k denotarão os três vetores de base imaginários de e uma base para Substituir i por - i , j por - j e k por - k envia um vetor para seu inverso aditivo , assim, o inverso aditivo de um vetor é o mesmo que seu conjugado como um quatérnio. Por esse motivo, a conjugação é às vezes chamada de inverso espacial .

Para dois quatérnions de vetor p = b 1 i + c 1 j + d 1 k e q = b 2 i + c 2 j + d 2 k seu produto escalar , por analogia aos vetores em é

Também pode ser expresso de uma maneira livre de componentes como

Isso é igual às partes escalares dos produtos pq , qp , p q e q p . Observe que suas partes vetoriais são diferentes.

O produto vetorial de p e q em relação à orientação determinada pela base ordenada i , j e k é

(Lembre-se de que a orientação é necessária para determinar o sinal.) Isso é igual à parte do vetor do produto pq (como quatérnions), bem como à parte do vetor de - q p . Também tem a fórmula

Para o comutador , [ p , q ] = pq - qp , de dois quatérnios vetoriais obtém-se

Em geral, sejam p e q quatérnions e escreva

onde p s e q s são as partes escalares, e p v e q v são as partes do vector de p e q . Então temos a fórmula

Isso mostra que a não comutatividade da multiplicação de quatérnios vem da multiplicação de quatérnios vetoriais. Também mostra que dois quatérnions comutam se e somente se suas partes do vetor são colineares. Hamilton mostrou que este produto calcula o terceiro vértice de um triângulo esférico a partir de dois vértices dados e seus comprimentos de arco associados, que também é uma álgebra de pontos na geometria elíptica .

Os quatérnios unitários podem ser identificados com rotações em e foram chamados de versores por Hamilton. Consulte também Quatérnions e rotação espacial para obter mais informações sobre a modelagem de rotações tridimensionais usando quatérnios.

Veja Hanson (2005) para visualização de quatérnios.

Representações matriciais

Assim como os números complexos podem ser representados como matrizes , os quatérnios também. Existem pelo menos duas maneiras de representar quatérnions como matrizes , de modo que a adição e a multiplicação de quatérnios correspondam à adição e multiplicação de matrizes . Uma é usar matrizes complexas 2 × 2 e a outra é usar matrizes reais 4 × 4 . Em cada caso, a representação dada faz parte de uma família de representações linearmente relacionadas. Na terminologia da álgebra abstrata , esses são homomorfismos injetivos dos anéis da matriz M (2, ℂ) e M (4, ℝ) , respectivamente.

Usando matrizes complexas 2 × 2, o quaternion a + bi + cj + dk pode ser representado como

Observe que o "i" dos números complexos é diferente do "i" dos quatérnios.

Esta representação possui as seguintes propriedades:

  • Restringir quaisquer dois de b , c e d a zero produz uma representação de números complexos. Por exemplo, definir c = d = 0 produz uma representação de matriz complexa diagonal de números complexos e definir b = d = 0 produz uma representação de matriz real.
  • A norma de um quatérnio (a raiz quadrada do produto com seu conjugado, como acontece com os números complexos) é a raiz quadrada do determinante da matriz correspondente.
  • O conjugado de um quaternion corresponde ao conjugado transposto da matriz.
  • Por restrição, esta representação produz um isomorfismo entre o subgrupo de quatérnios unitários e sua imagem SU (2) . Topologicamente, os quatérnions unitários são a 3-esfera, então o espaço subjacente de SU (2) também é uma 3-esfera. O grupo SU (2) é importante para descrever o spin na mecânica quântica ; veja as matrizes de Pauli .
  • Existe uma forte relação entre as unidades de quatérnio e as matrizes de Pauli. Obtenha as oito matrizes de unidade de quatérnio tomando a , b , c e d , defina três delas em zero e a quarta em 1 ou -1. Multiplicar quaisquer duas matrizes de Pauli sempre resulta em uma matriz de unidade de quatérnio, todas elas exceto para −1. Obtém-se −1 via i 2 = j 2 = k 2 = ijk = −1; por exemplo, a última igualdade é

Usando matrizes reais 4 × 4, esse mesmo quaternion pode ser escrito como

No entanto, a representação de quatérnions em M (4, ℝ) não é única. Por exemplo, o mesmo quaternion também pode ser representado como

Existem 48 representações matriciais distintas desta forma em que uma das matrizes representa a parte escalar e as outras três são todas assimétricas. Mais precisamente, existem 48 conjuntos de quádruplos de matrizes com essas restrições de simetria, de modo que uma função enviando 1, i , j e k para as matrizes no quádruplo é um homomorfismo, ou seja, envia somas e produtos de quatérnios a somas e produtos de matrizes. Nesta representação, o conjugado de um quatérnio corresponde à transposta da matriz. A quarta potência da norma de um quatérnio é o determinante da matriz correspondente. Tal como acontece com a representação complexa 2 × 2 acima, os números complexos podem novamente ser produzidos restringindo os coeficientes de forma adequada; por exemplo, como matrizes diagonais de bloco com dois blocos 2 × 2, definindo c = d = 0 .

Cada representação de matriz 4 × 4 de quatérnios corresponde a uma tabela de multiplicação de quatérnios unitários. Por exemplo, a última representação da matriz dada acima corresponde à tabuada

× uma d - b - c
uma uma d −b −c
−d −d uma c −b
b b - c uma - d
c c b d uma

que é isomórfico - através - para

× 1 k - eu - j
1 1 k - eu - j
- k - k 1 j - eu
eu eu - j 1 - k
j j eu k 1

Restringir qualquer tabela de multiplicação para ter a identidade na primeira linha e coluna e para os sinais dos cabeçalhos das linhas serem opostos aos dos cabeçalhos das colunas, então há 3 opções possíveis para a segunda coluna (ignorando o sinal), 2 possíveis escolhas para a terceira coluna (ignorando o sinal), e 1 possível escolha para a quarta coluna (ignorando o sinal); isso perfaz 6 possibilidades. Então, a segunda coluna pode ser escolhida para ser positiva ou negativa, a terceira coluna pode ser escolhida para ser positiva ou negativa e a quarta coluna pode ser escolhida para ser positiva ou negativa, dando 8 possibilidades para o sinal. Multiplicando as possibilidades para as posições das letras e seus sinais resulta em 48. Em seguida, substituindo 1 por a , i por b , j por c e k por d e removendo os cabeçalhos de linha e coluna produz uma representação de matriz de a + b i + c j + d k .

Teorema de quatro quadrados de Lagrange

Os quatérnios também são usados ​​em uma das provas do teorema dos quatro quadrados de Lagrange na teoria dos números , que afirma que todo inteiro não negativo é a soma de quatro quadrados inteiros. Além de ser um teorema elegante por si só, o teorema dos quatro quadrados de Lagrange tem aplicações úteis em áreas da matemática fora da teoria dos números, como a teoria do projeto combinatório. A prova baseada em quatérnions usa quatérnions de Hurwitz, um subanel do anel de todos os quatérnios para o qual existe um análogo do algoritmo euclidiano .

Quaternions como pares de números complexos

Os quaternions podem ser representados como pares de números complexos. Dessa perspectiva, os quatérnios são o resultado da aplicação da construção Cayley-Dickson aos números complexos. Esta é uma generalização da construção dos números complexos como pares de números reais.

Let Ser um espaço vetorial bidimensional sobre os números complexos. Escolha uma base que consiste em dois elementos 1 e j . Um vetor em pode ser escrito em termos dos elementos de base 1 e j como

Se definirmos j 2 = −1 e i j = - j i , então podemos multiplicar dois vetores usando a lei distributiva. Usar k como uma notação abreviada para o produto i j leva às mesmas regras de multiplicação dos quatérnios usuais. Portanto, o vetor acima de números complexos corresponde ao quaternion a + bi + c j + d k . Se escrevermos os elementos de pares ordenados e quatérnions como quádruplos, a correspondência será

Raízes quadradas

Raízes quadradas de -1

Nos números complexos, existem apenas dois números, i e - i , cujo quadrado é −1. Em há um número infinito de raízes quadradas de um menos: a solução Quatérnion para a raiz quadrada de -1, é a unidade de esfera no Para ver esta, deixe q = um + b i + c j + d k ser um Quatérnion, e assumir que seu quadrado é -1. Em termos de a , b , c e d , isso significa

Para satisfazer as últimas três equações, a = 0 ou b , c e d são todos 0. O último é impossível porque a é um número real e a primeira equação implicaria que a 2 = −1 . Portanto, a = 0 e b 2 + c 2 + d 2 = 1 . Em outras palavras: Um quatérnio eleva-se ao quadrado para -1 se e somente se for um quatérnio vetorial com norma 1. Por definição, o conjunto de todos esses vetores forma a esfera unitária.

Somente quatérnions reais negativos têm infinitas raízes quadradas. Todos os outros têm apenas dois (ou um no caso de 0).

Como uma união de planos complexos

Cada par de raízes quadradas de -1 cria uma cópia distinta dos números complexos dentro dos quatérnios. Se q 2 = −1 , então a cópia é determinada pela função

Este é um injetivo homomorphism anel da que define um campo isomorfismo dos para a sua imagem . As imagens dos embeddings correspondentes a q e - q são idênticas.

Cada quatérnio não real gera uma subálgebra dos quatérnios que é isomórfica e, portanto, um subespaço planar de q escrita como a soma de sua parte escalar e sua parte vetorial:

Decompor a parte do vetor ainda mais como o produto de sua norma e seu versor :

(Note-se que este não é o mesmo que .) O versor da parte vector de q , , é um versor direita com -1 como seu quadrado. Uma verificação direta mostra que

define um homomorfismo injetivo de álgebras normadas de dentro dos quatérnios. Sob esse homomorfismo, q é a imagem do número complexo .

Assim como a união das imagens de todos esses homomorfismos, isso permite ver os quatérnios como uma união de planos complexos que se cruzam na linha real . Cada um desses planos complexos contém exatamente um par de pontos antípodas da esfera de raízes quadradas de menos um.

Subanéis comutativos

A relação dos quatérnios entre si dentro dos subplanos complexos de também pode ser identificada e expressa em termos de subanéis comutativos . Especificamente, uma vez que dois quatérnions p e q comutam (ou seja, pq = qp ) apenas se estiverem no mesmo subplano complexo de , o perfil de como uma união de planos complexos surge quando se busca encontrar todos os subanéis comutativos do anel de quatérnio .

Raízes quadradas de quatérnios arbitrários

Qualquer quaternion (representado aqui na representação vetorial escalar) tem pelo menos uma raiz quadrada que resolve a equação . Olhando para as partes escalares e vetoriais nesta equação separadamente, obtém-se duas equações, que, quando resolvidas, fornecem as soluções

onde está a norma de e é a norma de . Para qualquer quatérnio escalar , esta equação fornece as raízes quadradas corretas se for interpretada como um vetor unitário arbitrário.

Portanto, quatérnions não-zero, não escalares ou quatérnions escalares positivos têm exatamente duas raízes, enquanto 0 tem exatamente uma raiz (0), e os quatérnions escalares negativos têm infinitas raízes, que são os quatérnions vetoriais localizados em , ou seja, onde a parte escalar é zero e a parte vetorial está localizada na 2-esfera com raio .

Funções de uma variável de quatérnio

Os conjuntos Julia e Mandelbrot podem ser estendidos aos Quaternions, mas eles devem usar seções transversais para serem renderizados visualmente em 3 dimensões. Este conjunto Julia é seccionado no plano xy .

Como as funções de uma variável complexa , as funções de uma variável de quatérnio sugerem modelos físicos úteis. Por exemplo, os campos elétricos e magnéticos originais descritos por Maxwell eram funções de uma variável de quatérnio. Exemplos de outras funções incluem a extensão do conjunto de Mandelbrot e conjuntos de Julia em um espaço de 4 dimensões.

Funções exponencial, logaritmo e de potência

Dado um quatérnio,

o exponencial é calculado como

e o logaritmo é

Segue-se que a decomposição polar de um quatérnio pode ser escrita

onde o ângulo

e o vetor unitário é definido por:

Qualquer quatérnio unitário pode ser expresso na forma polar como:

.

A potência de um quatérnio elevado a um expoente x arbitrário (real) é dada por:

Norma geodésica

A distância geodésica d g ( p , q ) entre os quatérnions unitários p e q é definida como:

e eleva-se o valor absoluto de metade do ângulo subtendido por p e q ao longo de um grande arco do S 3 esfera. Este ângulo também pode ser calculado a partir do produto escalar do quatérnio sem o logaritmo como:

Grupos de rotação tridimensional e quadridimensional

A palavra " conjugação ", além do significado dado acima, também pode significar tomar um elemento a para r a r −1 onde r é algum quatérnio diferente de zero. Todos os elementos que são conjugados a um determinado elemento (neste sentido da palavra conjugado) têm a mesma parte real e a mesma norma da parte do vetor. (Assim, o conjugado no outro sentido é um dos conjugados neste sentido.)

Assim, o grupo multiplicativo de quatérnions diferentes de zero atua por conjugação na cópia de quatérnions com parte real igual a zero. Conjugação por um quatérnio unitário (um quatérnio de valor absoluto 1) com parte real cos ( φ ) é uma rotação por um ângulo 2 φ , o eixo de rotação sendo a direção da parte do vetor. As vantagens dos quatérnios são:

O conjunto de todos os quatérnios unitários ( versores ) forma uma 3-esfera S 3 e um grupo (um grupo de Lie ) sob multiplicação, duplamente cobrindo o grupo SO (3, ℝ) de matrizes ortogonais reais 3 × 3  do determinante  1 desde duas unidades os quatérnios correspondem a todas as rotações sob a correspondência acima. Veja o truque da placa .

A imagem de um subgrupo de versores é um grupo de pontos e, inversamente, a pré-imagem de um grupo de pontos é um subgrupo de versores. A pré-imagem de um grupo de pontos finitos é chamada pelo mesmo nome, com o prefixo binário . Por exemplo, a pré-imagem do grupo icosaédrico é o grupo binário icosaédrico .

O grupo dos versores é isomórfico a SU (2) , o grupo de matrizes 2 × 2 unitárias complexas do determinante  1.

Seja A o conjunto de quatérnions da forma a + b i + c j + d k onde a, b, c e d são todos inteiros ou todos meio-inteiros . O conjunto A é um anel (na verdade, um domínio ) e uma rede e é chamado de anel dos quatérnios de Hurwitz. Existem 24 quatérnios de unidade neste anel, e eles são os vértices de uma célula 24 regular com o símbolo Schläfli {3,4,3}. Eles correspondem à dupla capa do grupo de simetria rotacional do tetraedro regular . Da mesma forma, os vértices de uma célula 600 regular com o símbolo Schläfli {3,3,5 } podem ser tomados como os icosianos unitários , correspondendo à cobertura dupla do grupo de simetria rotacional do icosaedro regular . A cobertura dupla do grupo de simetria rotacional do octaedro regular corresponde aos quatérnios que representam os vértices da célula 288 disfenoidal .

Álgebras de quaternion

Os quatérnions podem ser generalizados em outras álgebras chamadas álgebras de quaternion . Tome F para ser qualquer campo com característica diferente de 2, e um e b ser elementos de F ; uma álgebra associativa unitária de quatro-dimensional pode ser definida ao longo do F com base 1, i , j , e ij , onde i 2 = um , J 2 = b e ij = - ji (assim (ij) 2 = - ab ).

As álgebras de quaternion são isomórficas à álgebra de matrizes 2 × 2  sobre F ou formam álgebras de divisão sobre F , dependendo da escolha de a e b .

Quaternions como a parte par de Cl 3,0 (ℝ)

A utilidade dos quatérnions para cálculos geométricos pode ser generalizada para outras dimensões identificando os quatérnions como a parte par da álgebra de Clifford. Esta é uma álgebra multivetorial associativa construída a partir dos elementos básicos fundamentais σ 1 , σ 2 , σ 3 usando as regras do produto

Se esses elementos de base fundamentais são tomados para representar vetores no espaço 3D, então verifica-se que a reflexão de um vetor r em um plano perpendicular a um vetor unitário w pode ser escrita:

Duas reflexões fazem uma rotação por um ângulo duas vezes o ângulo entre os dois planos de reflexão, então

corresponde a uma rotação de 180 ° no plano contendo σ 1 e σ 2 . Isso é muito semelhante à fórmula do quatérnio correspondente,

Na verdade, os dois são idênticos, se fizermos a identificação

e é fácil confirmar que isso preserva as relações de Hamilton

Nesta imagem, os chamados "quatérnions vetoriais" (isto é, quatérnios imaginários puros) correspondem não a vetores, mas a bivetores - quantidades com magnitude e orientações associadas a planos 2D particulares em  vez de direções 1D  . A relação com os números complexos também fica mais clara: em 2D, com duas direções vetoriais σ 1 e σ 2 , há apenas um elemento de base bivetor σ 1 σ 2 , portanto, apenas um imaginário. Mas em 3D, com três direções vetoriais, existem três elementos de base bivetora σ 1 σ 2 , σ 2 σ 3 , σ 3 σ 1 , então três imaginários.

Esse raciocínio se estende ainda mais. Na álgebra de Clifford, existem seis elementos de base bivetora, uma vez que com quatro direções vetoriais básicas diferentes, seis pares diferentes e, portanto, seis planos linearmente independentes diferentes podem ser definidos. Rotações em tais espaços usando essas generalizações de quatérnios, chamadas de rotores , podem ser muito úteis para aplicações envolvendo coordenadas homogêneas . Mas é apenas em 3D que o número de bivetores de base é igual ao número de vetores de base, e cada bivetor pode ser identificado como um pseudovetor .

Existem várias vantagens em colocar quatérnios neste cenário mais amplo:

  • Os rotores são uma parte natural da álgebra geométrica e facilmente entendidos como a codificação de uma reflexão dupla.
  • Na álgebra geométrica, um rotor e os objetos sobre os quais atua vivem no mesmo espaço. Isso elimina a necessidade de alterar representações e codificar novas estruturas de dados e métodos, o que é tradicionalmente necessário ao aumentar a álgebra linear com quatérnios.
  • Os rotores são universalmente aplicáveis ​​a qualquer elemento da álgebra, não apenas vetores e outros quatérnios, mas também linhas, planos, círculos, esferas, raios e assim por diante.
  • No modelo conforme da geometria euclidiana, os rotores permitem a codificação da rotação, translação e escalonamento em um único elemento da álgebra, atuando universalmente em qualquer elemento. Em particular, isso significa que os rotores podem representar rotações em torno de um eixo arbitrário, enquanto os quatérnios são limitados a um eixo através da origem.
  • As transformações codificadas por rotor tornam a interpolação particularmente direta.
  • Os rotores são transportados naturalmente para espaços pseudo-euclidianos , por exemplo, o espaço de Minkowski da relatividade especial . Em tais espaços, os rotores podem ser usados ​​para representar eficientemente os impulsos de Lorentz e para interpretar fórmulas envolvendo as matrizes gama .

Para obter mais detalhes sobre os usos geométricos das álgebras de Clifford, consulte Álgebra geométrica .

Grupo Brauer

Os quatérnios são "essencialmente" a única álgebra central simples (não trivial) (CSA) sobre os números reais, no sentido de que cada CSA sobre os números reais é equivalente a Brauer aos números reais ou aos quatérnios. Explicitamente, o grupo Brauer dos números reais é composto por duas classes, representadas pelos números reais e pelos quatérnios, onde o grupo Brauer é o conjunto de todos os CSAs, até a relação de equivalência de um CSA ser um anel matricial sobre outro. Pelo teorema de Artin-Wedderburn (especificamente, a parte de Wedderburn), CSAs são todas álgebras de matriz sobre uma álgebra de divisão e, portanto, os quatérnions são a única álgebra de divisão não trivial sobre os números reais.

CSAs - anéis sobre um campo, que são álgebras simples (não têm ideais bilaterais não triviais, assim como os campos) cujo centro é exatamente o campo - são um análogo não comutativo de campos de extensão e são mais restritivos do que extensões de anel gerais . O fato de os quatérnions serem os únicos CSA não triviais sobre os números reais (até a equivalência) pode ser comparado com o fato de que os números complexos são a única extensão de campo não trivial dos números reais.

Citações

Considero-o uma deselegância ou imperfeição nos quaterniões, ou melhor, no estado a que se desenvolveu até agora, sempre que se torna ou parece necessário recorrer a x, y, z, etc.

-  William Rowan Hamilton

Diz-se que o tempo tem apenas uma dimensão e o espaço três dimensões. ... O quaternion matemático participa de ambos os elementos; em linguagem técnica, pode-se dizer "tempo mais espaço" ou "espaço mais tempo": e, nesse sentido, tem, ou pelo menos envolve uma referência a, quatro dimensões. E como o Um do Tempo, do Espaço os Três, pode estar cingido na Cadeia de Símbolos .

-  William Rowan Hamilton

Quaternions vieram de Hamilton depois que seu trabalho realmente bom havia sido feito; e, embora lindamente engenhosos, têm sido um mal absoluto para aqueles que os tocaram de alguma forma, incluindo Clerk Maxwell .

Mais tarde, percebi que, no que diz respeito à análise vetorial que solicitei, o quaternion não só não era necessário, mas era um mal positivo de magnitude não desprezível; e que, ao evitar o estabelecimento da análise vetorial, tornou-se bastante simples e seu funcionamento também simplificado, e que poderia ser convenientemente harmonizado com o trabalho cartesiano comum.

-  Oliver Heaviside (1893)

Nem matrizes, nem quatérnions e vetores comuns foram banidos desses dez capítulos [adicionais]. Pois, apesar do poder incontestável do cálculo tensorial moderno, essas linguagens matemáticas mais antigas continuam, em minha opinião, a oferecer vantagens evidentes no campo restrito da relatividade especial. Além disso, na ciência, bem como na vida cotidiana, o domínio de mais de uma língua também é precioso, pois amplia nossos pontos de vista, conduz à crítica e protege contra a hipostasia [base fraca] da matéria expressa por palavras ou símbolos matemáticos.

-  Ludwik Silberstein (1924)

... os quatérnios parecem exalar um ar de decadência do século XIX, como uma espécie bastante malsucedida na luta pela vida das idéias matemáticas. Os matemáticos, reconhecidamente, ainda mantêm um lugar caloroso em seus corações pelas notáveis ​​propriedades algébricas dos quatérnios, mas, infelizmente, esse entusiasmo significa pouco para o cientista físico obstinado.

-  Simon L. Altmann (1986)

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

Livros e publicações

Links e monografias

links externos