Transferência radiativa - Radiative transfer

A transferência radiativa é o fenômeno físico de transferência de energia na forma de radiação eletromagnética. A propagação da radiação através de um meio é afetada pelos processos de absorção , emissão e espalhamento . A equação de transferência radiativa descreve essas interações matematicamente. Equações de transferência radiativa têm aplicação em uma ampla variedade de assuntos, incluindo óptica, astrofísica, ciência atmosférica e sensoriamento remoto. Soluções analíticas para a equação de transferência radiativa (RTE) existem para casos simples, mas para meios mais realistas, com efeitos complexos de espalhamento múltiplo, métodos numéricos são necessários. O presente artigo é amplamente focado na condição de equilíbrio radiativo .

Definições

A quantidade fundamental que descreve um campo de radiação é chamada de radiância espectral em termos radiométricos (em outros campos é freqüentemente chamada de intensidade específica ). Para um elemento de área muito pequena no campo de radiação, pode haver radiação eletromagnética passando em ambos os sentidos em todas as direções espaciais através dele. Em termos radiométricos, a passagem pode ser completamente caracterizada pela quantidade de energia irradiada em cada um dos dois sentidos em cada direção espacial, por unidade de tempo, por unidade de área de superfície de passagem de origem, por unidade de ângulo sólido de recepção à distância, por intervalo de comprimento de onda unitário sendo considerado (a polarização será ignorada por enquanto).

Em termos de brilho espectral, , a energia que flui através de um elemento de área da área localizada na em tempo no ângulo sólido sobre a direcção no intervalo de frequência para seja ${\ displaystyle I _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle da \,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ displaystyle dt \,}$ ${\ displaystyle d \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$ ${\ displaystyle \ nu \,}$ ${\ displaystyle \ nu + d \ nu \,}$

{\ displaystyle dE _ {\ nu} = I _ {\ nu} (\ mathbf {r}, {\ hat {\ mathbf {n}}}, t) \ cos \ theta \ d \ nu \, da \, d \ Omega \, dt}

onde é o ângulo que o vetor de direção da unidade faz com uma normal para o elemento de área. As unidades da radiância espectral são consideradas energia / tempo / área / ângulo sólido / frequência. Em unidades MKS, isso seria W · m ⁻² · sr ⁻¹ · Hz ⁻¹ (watts por metro quadrado-steradian-hertz). ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {n}}}}$

A equação da transferência radiativa

A equação da transferência radiativa diz simplesmente que, à medida que um feixe de radiação viaja, ele perde energia para absorção, ganha energia por processos de emissão e redistribui energia por espalhamento. A forma diferencial da equação para transferência radiativa é:

{\ displaystyle {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} I _ {\ nu} + {\ hat {\ Omega}} \ cdot \ nabla I _ {\ nu} + (k _ {\ nu, s} + k _ {\ nu, a}) I _ {\ nu} = j _ {\ nu} + {\ frac {1} {4 \ pi}} k _ {\ nu, s} \ int _ {\ Omega} I _ {\ nu} d \ Omega}

onde é a velocidade da luz, é o coeficiente de emissão, é a opacidade de espalhamento, é a opacidade de absorção e o termo representa a radiação espalhada de outras direções em uma superfície. ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle j _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle k _ {\ nu, s}}$ ${\ displaystyle k _ {\ nu, a}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi}} k _ {\ nu, s} \ int _ {\ Omega} I _ {\ nu} d \ Omega}$

Soluções para a equação de transferência radiativa

Soluções para a equação de transferência radiativa formam um enorme corpo de trabalho. As diferenças, no entanto, são essencialmente devidas às várias formas dos coeficientes de emissão e absorção. Se o espalhamento for ignorado, uma solução geral de estado estacionário em termos de coeficientes de emissão e absorção pode ser escrita:

{\ displaystyle I _ {\ nu} (s) = I _ {\ nu} (s_ {0}) e ^ {- \ tau _ {\ nu} (s_ {0}, s)} + \ int _ {s_ { 0}} ^ {s} j _ {\ nu} (s ') e ^ {- \ tau _ {\ nu} (s', s)} \, ds '}

onde é a profundidade óptica do meio entre as posições e : ${\ displaystyle \ tau _ {\ nu} (s_ {1}, s_ {2})}$ ${\ displaystyle s_ {1}}$ ${\ displaystyle s_ {2}}$

{\ displaystyle \ tau _ {\ nu} (s_ {1}, s_ {2}) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {s_ {1}} ^ {s_ { 2}} \ alpha _ {\ nu} (s) \, ds}

Equilíbrio termodinâmico local

Uma simplificação particularmente útil da equação de transferência radiativa ocorre sob as condições de equilíbrio termodinâmico local (LTE). É importante notar que o equilíbrio local pode se aplicar apenas a um determinado subconjunto de partículas no sistema. Por exemplo, o LTE é geralmente aplicado apenas a partículas massivas. Em um gás irradiante, os fótons emitidos e absorvidos pelo gás não precisam estar em equilíbrio termodinâmico uns com os outros ou com as partículas massivas do gás para que o LTE exista.

Nesta situação, o meio de absorção / emissão consiste em partículas massivas que estão localmente em equilíbrio umas com as outras e, portanto, têm uma temperatura definível ( Lei Zero da Termodinâmica ). O campo de radiação não está, porém, em equilíbrio e está sendo inteiramente impulsionado pela presença de partículas massivas. Para um meio em LTE, o coeficiente de emissão e o coeficiente de absorção são funções apenas de temperatura e densidade e estão relacionados por:

{\ displaystyle {\ frac {j _ {\ nu}} {\ alpha _ {\ nu}}} = B _ {\ nu} (T)}

onde está o corpo negro radiação espectral à temperatura T . A solução para a equação de transferência radiativa é então: ${\ displaystyle B _ {\ nu} (T)}$

{\ displaystyle I _ {\ nu} (s) = I _ {\ nu} (s_ {0}) e ^ {- \ tau _ {\ nu} (s_ {0}, s)} + \ int _ {s_ { 0}} ^ {s} B _ {\ nu} (T (s ')) \ alpha _ {\ nu} (s') e ^ {- \ tau _ {\ nu} (s ', s)} \, ds '}

Conhecer o perfil de temperatura e o perfil de densidade do meio é suficiente para calcular uma solução para a equação de transferência radiativa.

A aproximação de Eddington

A aproximação de Eddington é um caso especial da aproximação de duas correntes . Ele pode ser usado para obter a radiância espectral em um meio "plano-paralelo" (no qual as propriedades variam apenas na direção perpendicular) com espalhamento isotrópico independente da frequência. Ele assume que a intensidade é uma função linear de , ou seja, ${\ displaystyle \ mu = \ cos \ theta}$

{\ displaystyle I _ {\ nu} (\ mu, z) = a (z) + \ mu b (z)}

onde é a direção normal para o meio tipo placa. Observe que expressar integrais angulares em termos de simplifica as coisas porque aparece no Jacobiano de integrais em coordenadas esféricas . ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle d \ mu = - \ sin \ theta d \ theta}$

Extraindo os primeiros momentos da radiância espectral em relação aos rendimentos ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle J _ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} I _ {\ nu} d \ mu = a}

{\ displaystyle H _ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu I _ {\ nu} d \ mu = {\ frac {b} {3} }}

{\ displaystyle K _ {\ nu} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ mu ^ {2} I _ {\ nu} d \ mu = {\ frac {a } {3}}}

Portanto, a aproximação de Eddington é equivalente à configuração . Versões de ordem superior da aproximação de Eddington também existem e consistem em relações lineares mais complicadas dos momentos de intensidade. Esta equação extra pode ser usada como uma relação de fechamento para o sistema truncado de momentos. ${\ displaystyle K _ {\ nu} = 1 / 3J _ {\ nu}}$

Observe que os dois primeiros momentos têm significados físicos simples. é a intensidade isotrópica em um ponto e é o fluxo através desse ponto na direção. ${\ displaystyle J _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle H _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle z}$

A transferência radiativa através de um meio de dispersão isotropicamente em equilíbrio termodinâmico local é dada por

{\ displaystyle \ mu {\ frac {dI _ {\ nu}} {dz}} = - \ alpha _ {\ nu} (I _ {\ nu} -B _ {\ nu}) + \ sigma _ {\ nu} ( J _ {\ nu} -I _ {\ nu})}

A integração em todos os ângulos rende

{\ displaystyle {\ frac {dH _ {\ nu}} {dz}} = \ alpha _ {\ nu} (B _ {\ nu} -J _ {\ nu})}

Pré-multiplicar por e, em seguida, integrar em todos os ângulos dá ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle {\ frac {dK _ {\ nu}} {dz}} = - (\ alpha _ {\ nu} + \ sigma _ {\ nu}) H _ {\ nu}}

Substituir na relação de fechamento e diferenciar em relação a permite que as duas equações acima sejam combinadas para formar a equação de difusão radiativa ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} J _ {\ nu}} {dz ^ {2}}} = 3 \ alpha _ {\ nu} (\ alpha _ {\ nu} + \ sigma _ {\ nu }) (J _ {\ nu} -B _ {\ nu})}

Esta equação mostra como a profundidade óptica efetiva em sistemas dominados por espalhamento pode ser significativamente diferente daquela dada pela opacidade de espalhamento se a opacidade de absorção for pequena.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Ivan Hubeny; Dimitri Mihalas (2015). Theory of Stellar Atmospheres, An Introduction to Astrophysical Non-Equitative Quantitative Spectroscopic Analysis . Princeton University Press . p. 944. ISBN 9780691163291 .
Subrahmanyan Chandrasekhar (1960). Transferência radiativa . Dover Publications Inc. p. 393 . ISBN 978-0-486-60590-6 .
Jacqueline Lenoble (1985). Transferência radiativa em atmosferas de dispersão e absorção: procedimentos computacionais padrão . A. Publicação Deepak. p. 583. ISBN 978-0-12-451451-5 .
Grant Petty (2006). Um Primeiro Curso em Radiação Atmosférica (2ª Ed.) . Publicação Sundog (Madison, Wisconsin). ISBN 978-0-9729033-1-8 . Link externo em |title= ( ajuda )
Dimitri Mihalas ; Barbara Weibel-Mihalas (1984). Fundamentos da Hidrodinâmica da Radiação . Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-40925-2 .
George B. Rybicki; Alan P. Lightman (1985). Radiative Processes in Astrophysics . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-82759-7 .
GE Thomas e K. Stamnes (1999). Transferência radiativa na atmosfera e no oceano . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-40124-1 .
C. Bohren (2006). Fundamentos da radiação atmosférica: uma introdução com 400 problemas . John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40503-9 .
RT Pierrehumbert (2010). Princípios do clima planetário . Cambridge University Press . ISBN 9780521865562 .

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