Variável aleatória - Random variable

Em probabilidade e estatística , uma variável aleatória , quantidade aleatória , variável aleatória ou variável estocástica é descrita informalmente como uma variável cujos valores dependem dos resultados de um fenômeno aleatório . O tratamento matemático formal de variáveis ​​aleatórias é um tópico da teoria das probabilidades . Nesse contexto, uma variável aleatória é entendida como uma função mensurável definida em um espaço de probabilidade que mapeia desde o espaço amostral até os números reais .

Este gráfico mostra como a variável aleatória é uma função de todos os resultados possíveis para valores reais. Ele também mostra como a variável aleatória é usada para definir funções de massa de probabilidade.

Os valores possíveis de uma variável aleatória podem representar os resultados possíveis de um experimento ainda a ser realizado ou os resultados possíveis de um experimento anterior cujo valor já existente é incerto (por exemplo, devido a medições imprecisas ou incerteza quântica ). Eles também podem representar conceitualmente os resultados de um processo "objetivamente" aleatório (como lançar um dado) ou a aleatoriedade "subjetiva" que resulta do conhecimento incompleto de uma quantidade. O significado das probabilidades atribuídas aos valores potenciais de uma variável aleatória não faz parte da teoria da probabilidade em si, mas está relacionado a argumentos filosóficos sobre a interpretação da probabilidade . A matemática funciona da mesma, independentemente da interpretação particular em uso.

Como uma função, uma variável aleatória deve ser mensurável , o que permite que as probabilidades sejam atribuídas a conjuntos de seus valores potenciais. É comum que os resultados dependam de algumas variáveis ​​físicas que não são previsíveis. Por exemplo, ao jogar uma moeda justa, o resultado final de cara ou coroa depende das condições físicas incertas, então o resultado que está sendo observado é incerto. A moeda pode ficar presa em uma rachadura no chão, mas essa possibilidade está excluída.

O domínio de uma variável aleatória é denominado espaço amostral, definido como o conjunto de resultados possíveis de um evento não determinístico. Por exemplo, no caso de uma moeda ao ar, apenas dois resultados possíveis são possíveis: cara ou coroa.

Uma variável aleatória tem uma distribuição de probabilidade , que especifica a probabilidade de subconjuntos do Borel em seu intervalo. Variáveis ​​aleatórias podem ser discretas , isto é, tomando qualquer um de uma lista finita ou contável de valores especificada (tendo um intervalo contável), dotadas de uma função de massa de probabilidade que é característica da distribuição de probabilidade da variável aleatória; ou contínua , tomando qualquer valor numérico em um intervalo ou coleção de intervalos (tendo um intervalo incontável ), por meio de uma função de densidade de probabilidade que é característica da distribuição de probabilidade da variável aleatória; ou uma mistura de ambos.

Duas variáveis ​​aleatórias com a mesma distribuição de probabilidade ainda podem diferir em termos de suas associações com, ou independência de, outras variáveis ​​aleatórias. As realizações de uma variável aleatória, ou seja, os resultados da escolha aleatória de valores de acordo com a função de distribuição de probabilidade da variável, são chamadas de variáveis ​​aleatórias .

Embora a ideia tenha sido originalmente introduzida por Christiaan Huygens , a primeira pessoa a pensar sistematicamente em termos de variáveis ​​aleatórias foi Pafnuty Chebyshev .

Definição

Uma variável aleatória é uma função mensurável de um conjunto de resultados possíveis para um espaço mensurável . A definição axiomática técnica requer um espaço amostral de um triplo de probabilidade (veja a definição teórica da medida ). Uma variável aleatória é frequentemente denotada pelo capital letras romanas , como , , , .

A probabilidade que assume um valor em um conjunto mensurável é escrita como

Estojo padrão

Em muitos casos, tem valor real , ou seja . Em alguns contextos, o termo elemento aleatório (ver extensões ) é usado para denotar uma variável aleatória que não tem este formato.

Quando a imagem (ou intervalo) de é contável , a variável aleatória é chamada de variável aleatória discreta e sua distribuição é uma distribuição de probabilidade discreta , ou seja, pode ser descrita por uma função de massa de probabilidade que atribui uma probabilidade a cada valor na imagem de . Se a imagem for incontavelmente infinita (geralmente um intervalo ), então é chamada de variável aleatória contínua . No caso especial de ser absolutamente contínuo , sua distribuição pode ser descrita por uma função de densidade de probabilidade , que atribui probabilidades a intervalos; em particular, cada ponto individual deve necessariamente ter probabilidade zero para uma variável aleatória absolutamente contínua. Nem todas as variáveis ​​aleatórias contínuas são absolutamente contínuas, uma distribuição de mistura é um contra-exemplo; tais variáveis ​​aleatórias não podem ser descritas por uma densidade de probabilidade ou uma função de massa de probabilidade.

Qualquer variável aleatória pode ser descrita por sua função de distribuição cumulativa , que descreve a probabilidade de a variável aleatória ser menor ou igual a um certo valor.

Extensões

O termo "variável aleatória" em estatísticas é tradicionalmente limitado ao caso de valor real ( ). Nesse caso, a estrutura dos números reais permite definir grandezas como o valor esperado e a variância de uma variável aleatória, sua função de distribuição cumulativa e os momentos de sua distribuição.

No entanto, a definição acima é válida para qualquer espaço mensurável de valores. Assim, pode-se considerar elementos aleatórios de outros conjuntos , como valores booleanos aleatórios , valores categóricos , números complexos , vetores , matrizes , sequências , árvores , conjuntos , formas , variedades e funções . Pode-se então referir-se especificamente a uma variável aleatória do tipo , ou uma variável aleatória avaliada .

Este conceito mais geral de um elemento aleatório é particularmente útil em disciplinas como teoria dos gráficos , aprendizado de máquina , processamento de linguagem natural e outros campos em matemática discreta e ciência da computação , onde frequentemente se está interessado em modelar a variação aleatória de dados não numéricos estruturas . Em alguns casos, é conveniente representar cada elemento de , usando um ou mais números reais. Nesse caso, um elemento aleatório pode ser opcionalmente representado como um vetor de variáveis ​​aleatórias de valor real (todas definidas no mesmo espaço de probabilidade subjacente , o que permite que as diferentes variáveis ​​aleatórias covariem ). Por exemplo:

  • Uma palavra aleatória pode ser representada como um número inteiro aleatório que serve como um índice no vocabulário de palavras possíveis. Alternativamente, pode ser representada como um vector indicador aleatória, cujo comprimento é igual ao tamanho do vocabulário, onde os únicos valores de probabilidade positiva são , , e a posição do 1 indica a palavra.
  • Uma frase aleatória de determinado comprimento pode ser representada como um vetor de palavras aleatórias.
  • Um grafo aleatório em determinados vértices pode ser representado como uma matriz de variáveis ​​aleatórias, cujos valores especificam a matriz de adjacência do grafo aleatório.
  • Uma função aleatória pode ser representada como uma coleção de variáveis ​​aleatórias , fornecendo os valores da função nos vários pontos no domínio da função. O são variáveis aleatórias de valor real comuns, desde que a função é real-valorizadas. Por exemplo, um processo estocástico é uma função aleatória do tempo, um vetor aleatório é uma função aleatória de algum conjunto de índices como , e um campo aleatório é uma função aleatória em qualquer conjunto (normalmente tempo, espaço ou um conjunto discreto).

Funções de distribuição

Se uma variável aleatória definida no espaço de probabilidade é fornecida, podemos fazer perguntas como "Qual a probabilidade de o valor de ser igual a 2?". Isso é o mesmo que a probabilidade do evento, que geralmente é escrito como ou abreviadamente.

O registro de todas essas probabilidades de faixas de output de uma variável aleatória de valor real produz a distribuição de probabilidade de . A distribuição de probabilidade "esquece" o espaço de probabilidade particular usado para definir e apenas registra as probabilidades de vários valores de . Tal distribuição de probabilidade pode sempre ser capturada por sua função de distribuição cumulativa

e às vezes também usando uma função densidade de probabilidade , . Na medida teórica termos, usamos a variável aleatória para "push-forward" a medida em que uma medida no . O espaço de probabilidade subjacente é um dispositivo técnico usado para garantir a existência de variáveis ​​aleatórias, às vezes para construí-las, e para definir noções como correlação e dependência ou independência com base em uma distribuição conjunta de duas ou mais variáveis ​​aleatórias no mesmo espaço de probabilidade. Na prática, muitas vezes descartamos o espaço por completo e apenas colocamos uma medida que atribui a medida 1 a toda a linha real, ou seja, trabalhamos com distribuições de probabilidade em vez de variáveis ​​aleatórias. Consulte o artigo sobre funções de quantis para um desenvolvimento mais completo.

Exemplos

Variável aleatória discreta

Em um experimento, uma pessoa pode ser escolhida aleatoriamente e uma variável aleatória pode ser a altura da pessoa. Matematicamente, a variável aleatória é interpretada como uma função que mapeia a pessoa até a altura dela. Associada à variável aleatória está uma distribuição de probabilidade que permite o cálculo da probabilidade de a altura estar em qualquer subconjunto de valores possíveis, como a probabilidade de a altura estar entre 180 e 190 cm ou a probabilidade de a altura ser menor de 150 ou mais de 200 cm.

Outra variável aleatória pode ser o número de filhos da pessoa; esta é uma variável aleatória discreta com valores inteiros não negativos. Ele permite o cálculo de probabilidades para valores inteiros individuais - a função de massa de probabilidade (PMF) - ou para conjuntos de valores, incluindo conjuntos infinitos. Por exemplo, o evento de interesse pode ser "um número par de filhos". Para conjuntos de eventos finitos e infinitos, suas probabilidades podem ser encontradas somando os PMFs dos elementos; ou seja, a probabilidade de um número par de filhos é a soma infinita .

Em exemplos como esses, o espaço amostral é frequentemente suprimido, uma vez que é matematicamente difícil de descrever, e os valores possíveis das variáveis ​​aleatórias são então tratados como um espaço amostral. Mas quando duas variáveis ​​aleatórias são medidas no mesmo espaço amostral de resultados, como a altura e o número de crianças sendo computadas nas mesmas pessoas aleatórias, é mais fácil rastrear sua relação se for reconhecido que tanto a altura quanto o número de crianças vêm da mesma pessoa aleatória, por exemplo, para que questões sobre se tais variáveis ​​aleatórias são correlacionadas ou não podem ser colocadas.

Se são conjuntos contáveis ​​de números reais, e , então é uma função de distribuição discreta. Aqui para , para . Tomando por exemplo uma enumeração de todos os números racionais como , obtém-se uma função de distribuição discreta que não é uma função degrau ou constante por partes.

Sorteio

Os resultados possíveis para um lançamento de moeda podem ser descritos pelo espaço amostral . Podemos introduzir uma variável aleatória de valor real que modela um pagamento de $ 1 para uma aposta bem-sucedida em caras da seguinte maneira:

Se a moeda for uma moeda justa , Y tem uma função de massa de probabilidade dada por:

Rolar os dados

Se o espaço amostral é o conjunto de números possíveis lançados em dois dados, e a variável aleatória de interesse é a soma S dos números nos dois dados, então S é uma variável aleatória discreta cuja distribuição é descrita pela função de massa de probabilidade plotada como a altura das colunas da imagem aqui.

Uma variável aleatória também pode ser usada para descrever o processo de lançamento de dados e os resultados possíveis. A representação mais óbvia para o caso de dois dados é tomar o conjunto de pares de números n 1 e n 2 de {1, 2, 3, 4, 5, 6} (representando os números nos dois dados) como a amostra espaço. O número total obtido (a soma dos números em cada par) é então uma variável aleatória X dada pela função que mapeia o par para a soma:

e (se os dados forem honestos ) tem uma função de massa de probabilidade ƒ X dada por:

Variável aleatória contínua

Formalmente, uma variável aleatória contínua é uma variável aleatória cuja função de distribuição cumulativa é contínua em todos os lugares. Não há " lacunas ", que corresponderiam a números com probabilidade finita de ocorrer . Em vez disso, variáveis ​​aleatórias contínuas quase nunca assumem um valor prescrito exato c (formalmente, ) , mas há uma probabilidade positiva de que seu valor estará em intervalos particulares que podem ser arbitrariamente pequenos . Variáveis ​​aleatórias contínuas geralmente admitem funções de densidade de probabilidade (PDF), que caracterizam seu CDF e medidas de probabilidade ; tais distribuições também são chamadas de absolutamente contínuas ; mas algumas distribuições contínuas são singulares , ou misturas de uma parte absolutamente contínua e uma parte singular.

Um exemplo de variável aleatória contínua seria aquela baseada em um botão giratório que pode escolher uma direção horizontal. Então, os valores obtidos pela variável aleatória são direções. Poderíamos representar essas direções por Norte, Oeste, Leste, Sul, Sudeste, etc. No entanto, é comumente mais conveniente mapear o espaço amostral para uma variável aleatória que assume valores que são números reais. Isso pode ser feito, por exemplo, mapeando uma direção para um rumo em graus no sentido horário a partir do Norte. A variável aleatória então assume valores que são números reais do intervalo [0, 360), com todas as partes do intervalo sendo "igualmente prováveis". Neste caso, X = o ângulo girado. Qualquer número real tem probabilidade zero de ser selecionado, mas uma probabilidade positiva pode ser atribuída a qualquer intervalo de valores. Por exemplo, a probabilidade de escolher um número em [0, 180] é 12 . Em vez de falar de uma função de massa de probabilidade, dizemos que a densidade de probabilidade de X é 1/360. A probabilidade de um subconjunto de [0, 360) pode ser calculada multiplicando a medida do conjunto por 1/360. Em geral, a probabilidade de um conjunto para uma determinada variável aleatória contínua pode ser calculada integrando a densidade sobre o conjunto fornecido.

Mais formalmente, dado qualquer intervalo , uma variável aleatória é chamada de " variável aleatória uniforme contínua " (CURV) se a probabilidade de que ela tenha um valor em um subintervalo depende apenas do comprimento do subintervalo. Isso implica que a probabilidade de queda em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento do subintervalo, ou seja, se acdb , tem-se

onde a última igualdade resulta do axioma de probabilidade da unitariedade . A função de densidade de probabilidade de um CURV é dada pela função indicadora de seu intervalo de suporte normalizado pelo comprimento do intervalo:

De particular interesse é a distribuição uniforme no intervalo da unidade . Amostras de qualquer distribuição de probabilidade desejada podem ser geradas calculando a função de quantil de em um número gerado aleatoriamente distribuído uniformemente no intervalo de unidade. Isso explora as propriedades das funções de distribuição cumulativa , que são uma estrutura unificadora para todas as variáveis ​​aleatórias.

Tipo misto

Uma variável aleatória mista é uma variável aleatória cuja função de distribuição cumulativa não é constante por partes (uma variável aleatória discreta) nem contínua em todos os lugares . Pode ser realizado como a soma de uma variável aleatória discreta e uma variável aleatória contínua; nesse caso, o CDF será a média ponderada dos CDFs das variáveis ​​componentes.

Um exemplo de variável aleatória de tipo misto seria baseado em um experimento em que uma moeda é jogada e o botão giratório é girado apenas se o resultado do lançamento da moeda for cara. Se o resultado for coroa, X = −1; caso contrário, X = o valor do spinner como no exemplo anterior. Há uma probabilidade de 12 de que essa variável aleatória tenha o valor −1. Outros intervalos de valores teriam metade das probabilidades do último exemplo.

Mais geralmente, cada distribuição de probabilidade na linha real é uma mistura de parte discreta, parte singular e uma parte absolutamente contínua; veja o teorema da decomposição de Lebesgue § Refinamento . A parte discreta está concentrada em um conjunto contável, mas esse conjunto pode ser denso (como o conjunto de todos os números racionais).

Definição teórica da medida

A definição mais formal e axiomática de uma variável aleatória envolve a teoria da medida . Variáveis ​​aleatórias contínuas são definidas em termos de conjuntos de números, junto com funções que mapeiam tais conjuntos para probabilidades. Por causa de várias dificuldades (por exemplo, o paradoxo de Banach-Tarski ) que surgem se tais conjuntos são insuficientemente restritos, é necessário introduzir o que é chamado de álgebra sigma para restringir os conjuntos possíveis sobre os quais as probabilidades podem ser definidas. Normalmente, um determinado sigma-álgebra é usado, o Borel σ-álgebra , que permite que as probabilidades sejam definidas sobre quaisquer conjuntos que podem ser derivados diretamente de intervalos contínuos de números ou por um número finito ou infinito contável de uniões e / ou interseções de tais intervalos.

A definição teórica da medida é a seguinte.

Let Ser um

espaço de probabilidade e um espaço mensurável . Então, uma variável aleatória avaliada é uma função mensurável , o que significa que, para cada subconjunto , sua pré - imagem é mensurável; , onde . Essa definição nos permite medir qualquer subconjunto no espaço alvo, olhando para sua pré-imagem, que por suposição é mensurável.

Em termos mais intuitivos, um membro de é um resultado possível, um membro de é um subconjunto mensurável de resultados possíveis, a função dá a probabilidade de cada subconjunto mensurável, representa o conjunto de valores que a variável aleatória pode assumir (como o conjunto de números reais), e um membro de é um subconjunto "bem comportado" (mensurável) de (aqueles para os quais a probabilidade pode ser determinada). A variável aleatória é então uma função de qualquer resultado para uma quantidade, de modo que os resultados que levam a qualquer subconjunto útil de quantidades para a variável aleatória têm uma probabilidade bem definida.

Quando é um

espaço topológico , então a escolha mais comum para a σ-álgebra é a σ-álgebra de Borel , que é a σ-álgebra gerada pela coleção de todos os conjuntos abertos em . Nesse caso, a variável aleatória avaliada é chamada de variável aleatória avaliada . Além disso, quando o espaço é a linha real , essa variável aleatória de valor real é chamada simplesmente de variável aleatória .

Variáveis ​​aleatórias de valor real

Neste caso, o espaço de observação é o conjunto de números reais. Lembre-se, é o espaço de probabilidade. Para um espaço de observação real, a função é uma variável aleatória de valor real se

Esta definição é um caso especial do anterior porque o conjunto gera a σ-álgebra de Borel no conjunto de números reais e é suficiente para verificar a mensurabilidade em qualquer conjunto gerador. Aqui podemos provar a mensurabilidade neste grupo gerador usando o fato de que .

Momentos

A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória é frequentemente caracterizada por um pequeno número de parâmetros, que também têm uma interpretação prática. Por exemplo, muitas vezes é suficiente saber qual é o seu "valor médio". Isso é capturado pelo conceito matemático de valor esperado de uma variável aleatória, denotada e também chamada de

primeiro momento . Em geral, não é igual a . Uma vez que o "valor médio" é conhecido, pode-se perguntar a que distância estão os valores de tipicamente, uma questão que é respondida pela variância e desvio padrão de uma variável aleatória. pode ser visto intuitivamente como uma média obtida de uma população infinita, cujos membros são avaliações particulares de .

Matematicamente, isso é conhecido como o problema (generalizado)

dos momentos : para uma determinada classe de variáveis ​​aleatórias , encontre uma coleção de funções de modo que os valores esperados caracterizem completamente a distribuição da variável aleatória .

Os momentos só podem ser definidos para funções de valor real de variáveis ​​aleatórias (ou de valor complexo, etc.). Se a própria variável aleatória tem valor real, então momentos da própria variável podem ser tomados, que são equivalentes aos momentos da função de identidade da variável aleatória. No entanto, mesmo para variáveis ​​aleatórias de valor não real, os momentos podem ser tomados de funções de valor real dessas variáveis. Por exemplo, para um

categórica variável aleatória X que pode assumir os nominais valores "vermelho", "azul" ou "verde", a função real pode ser construído; este usa o colchete Iverson , e tem o valor 1 se tiver o valor "verde", 0 caso contrário. Então, o valor esperado e outros momentos desta função podem ser determinados.

Funções de variáveis ​​aleatórias

Uma nova variável aleatória Y pode ser definida aplicando uma função real

mensurável do Borel aos resultados de uma variável aleatória de valor real . Ou seja ,. A função de distribuição cumulativa de é então

Se a função é invertível (ou seja, existe, onde é a

função inversa ) e está aumentando ou diminuindo , então a relação anterior pode ser estendida para obter

Com as mesmas hipóteses de invertibilidade de , assumindo também

diferenciabilidade , a relação entre as funções de densidade de probabilidade pode ser encontrada diferenciando ambos os lados da expressão acima em relação a , a fim de obter

Se não houver invertibilidade de, mas cada uma admite no máximo um número contável de raízes (ou seja, um número finito ou infinito contável de tal que ), então a relação anterior entre as

funções de densidade de probabilidade pode ser generalizada com

onde , de acordo com o

teorema da função inversa . As fórmulas para densidades não precisam ser crescentes.

Na abordagem axiomática da teoria da medida da probabilidade, se uma variável aleatória está ligada e uma

função mensurável de Borel , então também é uma variável aleatória ligada , uma vez que a composição das funções mensuráveis ​​também é mensurável . (No entanto, isso não é necessariamente verdadeiro se Lebesgue for mensurável .) O mesmo procedimento que permitiu ir de um espaço de probabilidade a pode ser usado para obter a distribuição de .

Exemplo 1

Let Ser uma

variável aleatória contínua de valor real e let .

Se , então , então

Se então

tão

Exemplo 2

Suponha que seja uma variável aleatória com uma distribuição cumulativa

onde é um parâmetro fixo. Considere a variável aleatória então,

A última expressão pode ser calculada em termos de distribuição cumulativa de modo

que é a função de distribuição cumulativa (CDF) de uma distribuição exponencial .

Exemplo 3

Suponha que seja uma variável aleatória com uma

distribuição normal padrão , cuja densidade é

Considere a variável aleatória. Podemos encontrar a densidade usando a fórmula acima para uma mudança de variáveis:

Nesse caso, a mudança não é monotônica , porque todo valor de tem dois valores correspondentes de (um positivo e um negativo). No entanto, por causa da simetria, ambas as metades se transformarão de forma idêntica, ou seja,

A transformação inversa é

e sua derivada é

Então,

Esta é uma distribuição qui-quadrada com um grau de liberdade .

Exemplo 4

Suponha que seja uma variável aleatória com uma

distribuição normal , cuja densidade é

Considere a variável aleatória. Podemos encontrar a densidade usando a fórmula acima para uma mudança de variáveis:

Nesse caso, a mudança não é monotônica , porque todo valor de tem dois valores correspondentes de (um positivo e um negativo). Diferentemente do exemplo anterior, neste caso porém, não há simetria e temos que computar os dois termos distintos:

A transformação inversa é

e sua derivada é

Então,

Esta é uma distribuição qui-quadrada não central com um grau de liberdade .

Algumas propriedades

  • A distribuição de probabilidade da soma de duas variáveis ​​aleatórias independentes é a convolução de cada uma de suas distribuições.
  • As distribuições de probabilidade não são um espaço vetorial - elas não são fechadas em combinações lineares , uma vez que não preservam a não negatividade ou a integral total 1 - mas são fechadas em combinação convexa , formando assim um subconjunto convexo do espaço de funções (ou medidas )

Equivalência de variáveis ​​aleatórias

Existem vários sentidos diferentes nos quais as variáveis ​​aleatórias podem ser consideradas equivalentes. Duas variáveis ​​aleatórias podem ser iguais, quase certamente iguais ou iguais em distribuição.

Em ordem crescente de força, a definição precisa dessas noções de equivalência é dada abaixo.

Igualdade na distribuição

Se o espaço amostral for um subconjunto da linha real, as variáveis ​​aleatórias X e Y são iguais na distribuição (denotadas ) se tiverem as mesmas funções de distribuição:

Para serem iguais em distribuição, as variáveis ​​aleatórias não precisam ser definidas no mesmo espaço de probabilidade. Duas variáveis ​​aleatórias com funções geradoras de momentos iguais têm a mesma distribuição. Isso fornece, por exemplo, um método útil para verificar a igualdade de certas funções de variáveis ​​aleatórias independentes e distribuídas de

forma idêntica (IID) . No entanto, a função de geração de momento existe apenas para distribuições que possuem uma transformada de Laplace definida .

Igualdade quase certa

Duas variáveis ​​aleatórias X e Y são

quase certamente iguais (denotadas ) se, e somente se, a probabilidade de que sejam diferentes for zero :

Para todos os efeitos práticos da teoria da probabilidade, essa noção de equivalência é tão forte quanto a igualdade real. Está associado à seguinte distância:

onde "ess sup" representa o supremo essencial no sentido da teoria da

medida .

Igualdade

Finalmente, as duas variáveis ​​aleatórias X e Y são iguais se forem iguais como funções em seu espaço mensurável:

Essa noção é normalmente a menos útil na teoria da probabilidade porque, na prática e na teoria, o espaço de

medida subjacente do experimento raramente é explicitamente caracterizado ou mesmo caracterizável.

Convergência

Um tema significativo na estatística matemática consiste na obtenção de resultados de convergência para certas sequências de variáveis ​​aleatórias; por exemplo, a lei dos grandes números e o teorema do limite central .

Existem vários sentidos nos quais uma sequência de variáveis ​​aleatórias pode convergir para uma variável aleatória . Isso é explicado no artigo sobre

convergência de variáveis ​​aleatórias .

Veja também

Referências

Citações inline

Literatura

links externos