Retângulo - Rectangle

Retângulo
Retângulo
	Retângulo
Modelo	quadrilátero , trapézio , paralelogramo , ortotopo
Arestas e vértices	4
Símbolo Schläfli	{} × {}
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	Diédrico (D 2 ), [2], (* 22), ordem 4
Polígono duplo	losango
Propriedades	convexo , isogonal , cíclico Os ângulos opostos e os lados são congruentes

Na geometria plana euclidiana , um retângulo é um quadrilátero com quatro ângulos retos . Também pode ser definido como: um quadrilátero equiangular, pois equiangular significa que todos os seus ângulos são iguais (360 ° / 4 = 90 °); ou um paralelogramo contendo um ângulo reto. Um retângulo com quatro lados de igual comprimento é um quadrado . O termo oblongo é ocasionalmente usado para se referir a um retângulo não quadrado . Um retângulo com vértices ABCD seria denotado como ABCD .

A palavra retângulo vem do latim rectangulus , que é uma combinação de rectus (como adjetivo, direito, próprio) e angulus ( ângulo ).

Um retângulo cruzado é um quadrilátero cruzado (auto-intersecção) que consiste em dois lados opostos de um retângulo junto com as duas diagonais (portanto, apenas dois lados são paralelos). É um caso especial de um antiparalelogramo , e seus ângulos não são retos e nem todos iguais, embora ângulos opostos sejam iguais. Outras geometrias, como esférica , elíptica e hiperbólica , têm os chamados retângulos com lados opostos de comprimento igual e ângulos iguais que não são ângulos retos.

Os retângulos estão envolvidos em muitos problemas de ladrilho , como ladrilhar o plano por retângulos ou ladrilhar um retângulo por polígonos .

Caracterizações

Um quadrilátero convexo é um retângulo se e somente se for qualquer um dos seguintes:

um paralelogramo com pelo menos um ângulo reto
um paralelogramo com diagonais de igual comprimento
um paralelogramo ABCD onde os triângulos ABD e DCA são congruentes
um quadrilátero equiangular
um quadrilátero com quatro ângulos retos
um quadrilátero onde as duas diagonais são iguais em comprimento e se dividem ao meio
um quadrilátero convexo com lados sucessivos a , b , c , d cuja área é . ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {4}} (a + c) (b + d)}$
um quadrilátero convexo com lados sucessivos a , b , c , d cuja área é ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {(a ^ {2} + c ^ {2}) (b ^ {2} + d ^ {2})}}.}$

Classificação

Um retângulo é um caso especial de paralelogramo e trapézio . Um quadrado é um caso especial de um retângulo.

Hierarquia tradicional

Um retângulo é um caso especial de paralelogramo no qual cada par de lados adjacentes é perpendicular .

Um paralelogramo é um caso especial de trapézio (conhecido como trapézio na América do Norte) em que ambos os pares de lados opostos são paralelos e iguais em comprimento .

Um trapézio é um quadrilátero convexo que tem pelo menos um par de lados opostos paralelos .

Um quadrilátero convexo é

Simples : a fronteira não se cruza.
Em forma de estrela : todo o interior é visível a partir de um único ponto, sem cruzar nenhuma aresta.

Hierarquia alternativa

De Villiers define um retângulo mais geralmente como qualquer quadrilátero com eixos de simetria em cada par de lados opostos. Esta definição inclui retângulos retos e retângulos cruzados. Cada um tem um eixo de simetria paralelo e equidistante de um par de lados opostos, e outro que é a bissetriz perpendicular desses lados, mas, no caso do retângulo cruzado, o primeiro eixo não é um eixo de simetria para nenhum dos lados que divide ao meio.

Quadriláteros com dois eixos de simetria, cada um através de um par de lados opostos, pertencem à classe maior de quadriláteros com pelo menos um eixo de simetria através de um par de lados opostos. Esses quadriláteros compreendem trapézios isósceles e trapézios isósceles cruzados (quadriláteros cruzados com o mesmo arranjo de vértices que trapézios isósceles).

Propriedades

Simetria

Um retângulo é cíclico : todos os cantos ficam em um único círculo .

É equiangular : todos os ângulos de seus cantos são iguais (cada um com 90 graus ).

É isogonal ou transitivo de vértice : todos os cantos estão dentro da mesma órbita de simetria .

Possui duas linhas de simetria refletiva e simetria rotacional de ordem 2 (até 180 °).

Dualidade retângulo-losango

O polígono duplo de um retângulo é um losango , conforme mostrado na tabela abaixo.

Retângulo	Losango
Todos os ângulos são iguais.	Todos os lados são iguais.
Os lados alternativos são iguais.	Os ângulos alternados são iguais.
Seu centro é equidistante de seus vértices , portanto, tem um círculo circunflexo .	Seu centro é equidistante de seus lados , portanto, ele tem um círculo interno .
Dois eixos de simetria cortam lados opostos .	Dois eixos de simetria dividem ângulos opostos .
As diagonais são iguais em comprimento .	As diagonais se cruzam em ângulos iguais .

A figura formada pela união, em ordem, dos pontos médios das laterais de um retângulo é um losango e vice-versa.

Diversos

Um retângulo é retilíneo : seus lados se encontram em ângulos retos.

Um retângulo no plano pode ser definido por cinco graus independentes de liberdade consistindo, por exemplo, em três para a posição (compreendendo dois de translação e um de rotação ), um para a forma ( relação de aspecto ) e um para o tamanho geral (área) .

Dois retângulos, nenhum dos quais caberá dentro do outro, são considerados incomparáveis .

Fórmulas

A fórmula para o perímetro de um retângulo

A área de um retângulo é o produto do comprimento e largura.

Se um retângulo tem comprimento e largura ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle w}$

tem área , ${\ displaystyle A = \ ell w \,}$
tem perímetro , ${\ displaystyle P = 2 \ ell + 2w = 2 (\ ell + w) \,}$
cada diagonal tem comprimento , ${\ displaystyle d = {\ sqrt {\ ell ^ {2} + w ^ {2}}}}$
e quando , o retângulo é um quadrado . ${\ displaystyle \ ell = w \,}$

Teoremas

O teorema isoperimétrico para retângulos afirma que, entre todos os retângulos de um determinado perímetro , o quadrado tem a maior área .

Os pontos médios dos lados de qualquer quadrilátero com diagonais perpendiculares formam um retângulo.

Um paralelogramo com diagonais iguais é um retângulo.

O teorema japonês para quadriláteros cíclicos afirma que os incentivos dos quatro triângulos determinados pelos vértices de um quadrilátero cíclico tomados três de cada vez formam um retângulo.

O teorema da bandeira britânica afirma que com vértices denotados A , B , C e D , para qualquer ponto P no mesmo plano de um retângulo:

{\ displaystyle \ displaystyle (AP) ^ {2} + (CP) ^ {2} = (BP) ^ {2} + (DP) ^ {2}.}

Para cada corpo convexo C no plano, podemos inscrever um retângulo r em C de modo que uma cópia homotética R de r seja circunscrita em torno de C e a razão de homotetia positiva seja no máximo 2 e . ${\ displaystyle 0.5 {\ text {× Area}} (R) \ leq {\ text {Area}} (C) \ leq 2 {\ text {× Area}} (r)}$

Retângulos cruzados

Um quadrilátero cruzado (auto-intersecção) consiste em dois lados opostos de um quadrilátero sem auto-intersecção junto com as duas diagonais. Da mesma forma, um retângulo cruzado é um quadrilátero cruzado que consiste em dois lados opostos de um retângulo junto com as duas diagonais. Ele tem o mesmo arranjo de vértices do retângulo. Ele aparece como dois triângulos idênticos com um vértice comum, mas a interseção geométrica não é considerada um vértice.

Um quadrilátero cruzado às vezes é comparado a uma gravata borboleta ou borboleta , às vezes chamado de "oito angular". Uma armação de arame retangular tridimensional que é torcida pode assumir a forma de uma gravata borboleta.

O interior de um retângulo cruzado pode ter uma densidade de polígono de ± 1 em cada triângulo, dependendo da orientação do enrolamento no sentido horário ou anti-horário.

Um retângulo cruzado pode ser considerado equiangular se as curvas à direita e à esquerda forem permitidas. Como acontece com qualquer quadrilátero cruzado , a soma de seus ângulos internos é 720 °, permitindo que os ângulos internos apareçam do lado de fora e excedam 180 °.

Um retângulo e um retângulo cruzado são quadriláteros com as seguintes propriedades em comum:

Os lados opostos são iguais em comprimento.
As duas diagonais são iguais em comprimento.
Possui duas linhas de simetria refletiva e simetria rotacional de ordem 2 (até 180 °).

Outros retângulos

Um retângulo de sela tem 4 vértices não planares, alternados de vértices de um cubóide , com um interior de superfície mínimo exclusivo definido como uma combinação linear dos quatro vértices, criando uma superfície de sela. Este exemplo mostra 4 arestas azuis do retângulo e duas diagonais verdes , todas diagonais das faces retangulares cubóides.

Na geometria esférica , um retângulo esférico é uma figura cujas quatro arestas são grandes arcos de círculo que se encontram em ângulos iguais maiores que 90 °. Os arcos opostos são iguais em comprimento. A superfície de uma esfera na geometria sólida euclidiana é uma superfície não euclidiana no sentido de geometria elíptica. A geometria esférica é a forma mais simples de geometria elíptica.

Na geometria elíptica , um retângulo elíptico é uma figura no plano elíptico cujas quatro arestas são arcos elípticos que se encontram em ângulos iguais maiores que 90 °. Os arcos opostos são iguais em comprimento.

Na geometria hiperbólica , um retângulo hiperbólico é uma figura no plano hiperbólico cujas quatro arestas são arcos hiperbólicos que se encontram em ângulos iguais menores que 90 °. Os arcos opostos são iguais em comprimento.

Tesselações

O retângulo é usado em muitos padrões de mosaico periódicos , em alvenaria , por exemplo, estas ladrilhos:

Bond empilhado	Laço de execução	Cestaria	Cestaria	Padrão em espinha

Retângulos quadrados, perfeitos e outros retângulos lado a lado

Um retângulo perfeito de ordem 9

Um retângulo ladrilhado por quadrados, retângulos ou triângulos é considerado um retângulo "quadrado", "retângulo" ou "triangulado" (ou "triangular"), respectivamente. O retângulo de ladrilhos é perfeito se os ladrilhos forem semelhantes e em número finito e não houver dois ladrilhos do mesmo tamanho. Se dois desses ladrilhos tiverem o mesmo tamanho, o ladrilho é imperfeito . Em um perfeito (ou imperfeita) triangulado retângulo os triângulos deve ser triângulos retângulos . Um banco de dados de todos os retângulos perfeitos conhecidos, quadrados perfeitos e formas relacionadas pode ser encontrado em squaring.net . O menor número de quadrados necessários para um revestimento perfeito de um retângulo é 9 e o menor número necessário para um cultivo perfeito de um quadrado é 21, encontrado em 1978 por pesquisa no computador.

Um retângulo tem lados comensuráveis se, e somente se, for ajustável por um número finito de quadrados desiguais. O mesmo é verdadeiro se os ladrilhos forem triângulos retângulos isósceles desiguais .

Os revestimentos de retângulos por outros ladrilhos que mais chamaram a atenção são os de poliominós congruentes não retangulares , permitindo todas as rotações e reflexos. Existem também telhas por polibolos congruentes .

Unicode

   U+25AC ▬ BLACK RECTANGLE
   U+25AD ▭ WHITE RECTANGLE
   U+25AE ▮ BLACK VERTICAL RECTANGLE
   U+25AF ▯ WHITE VERTICAL RECTANGLE

Languages

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