Estimativa Bayesiana Recursiva - Recursive Bayesian estimation

Na teoria da probabilidade , estatística e aprendizado de máquina , a estimativa bayesiana recursiva , também conhecida como filtro Bayes , é uma abordagem probabilística geral para estimar uma função de densidade de probabilidade desconhecida ( PDF ) recursivamente ao longo do tempo usando medições de entrada e um modelo de processo matemático. O processo depende muito de conceitos e modelos matemáticos teorizados em um estudo de probabilidades anteriores e posteriores, conhecido como estatística bayesiana .

Na robótica

Um filtro Bayes é um algoritmo usado em ciência da computação para calcular as probabilidades de várias crenças para permitir que um robô inferir sua posição e orientação. Essencialmente, os filtros Bayes permitem que os robôs atualizem continuamente sua posição mais provável dentro de um sistema de coordenadas, com base nos dados de sensor adquiridos mais recentemente. Este é um algoritmo recursivo. Consiste em duas partes: previsão e inovação. Se as variáveis ​​são normalmente distribuídas e as transições são lineares, o filtro de Bayes torna-se igual ao filtro de Kalman .

Em um exemplo simples, um robô se movendo em uma grade pode ter vários sensores diferentes que fornecem informações sobre seus arredores. O robô pode partir com a certeza de que está na posição (0,0). No entanto, à medida que se move cada vez mais longe de sua posição original, o robô tem cada vez menos certeza sobre sua posição; usando um filtro Bayes, uma probabilidade pode ser atribuída à crença do robô sobre sua posição atual, e essa probabilidade pode ser continuamente atualizada a partir de informações adicionais do sensor.

Modelo

O estado verdadeiro é considerado um processo de Markov não observado e as medições são as observações de um modelo de Markov Oculto (HMM). A figura a seguir apresenta uma Rede Bayesiana de um HMM. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle z}$

Por causa da suposição de Markov, a probabilidade do estado verdadeiro atual dado o imediatamente anterior é condicionalmente independente dos outros estados anteriores.

${\ displaystyle p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k-1}, {\ textbf {x}} _ {k-2}, \ dots, {\ textbf {x}} _ {0}) = p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k-1})}$

Da mesma forma, a medição no k- ésimo passo de tempo depende apenas do estado atual, portanto, é condicionalmente independente de todos os outros estados dado o estado atual.

${\ displaystyle p ({\ textbf {z}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k}, {\ textbf {x}} _ {k-1}, \ dots, {\ textbf { x}} _ {0}) = p ({\ textbf {z}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k})}$

Usando essas suposições, a distribuição de probabilidade sobre todos os estados do HMM pode ser escrita simplesmente como:

${\ displaystyle p ({\ textbf {x}} _ {0}, \ dots, {\ textbf {x}} _ {k}, {\ textbf {z}} _ {1}, \ dots, {\ textbf {z}} _ {k}) = p ({\ textbf {x}} _ {0}) \ prod _ {i = 1} ^ {k} p ({\ textbf {z}} _ {i} | {\ textbf {x}} _ {i}) p ({\ textbf {x}} _ {i} | {\ textbf {x}} _ {i-1}).}$

No entanto, ao usar o filtro de Kalman para estimar o estado x , a distribuição de probabilidade de interesse é associada aos estados atuais condicionados nas medições até o intervalo de tempo atual. (Isso é conseguido marginalizando os estados anteriores e dividindo pela probabilidade do conjunto de medição.)

Isso leva às etapas de previsão e atualização do filtro de Kalman escrito probabilisticamente. A distribuição de probabilidade associada ao estado previsto é a soma (integral) dos produtos da distribuição de probabilidade associada à transição do ( k - 1) -ésimo intervalo de tempo para o k- ésimo e a distribuição de probabilidade associada ao estado anterior, acima de tudo possível . ${\ displaystyle x_ {k-1}}$

${\ displaystyle p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {z}} _ {1: k-1}) = \ int p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k-1}) p ({\ textbf {x}} _ {k-1} | {\ textbf {z}} _ {1: k-1}) \, d { \ textbf {x}} _ {k-1}}$

A distribuição de probabilidade de atualização é proporcional ao produto da probabilidade de medição e o estado previsto.

${\ displaystyle p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {z}} _ {1: k}) = {\ frac {p ({\ textbf {z}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k}) p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {z}} _ {1: k-1})} {p ({\ textbf { z}} _ {k} | {\ textbf {z}} _ {1: k-1})}} \ propto p ({\ textbf {z}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k}) p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {z}} _ {1: k-1})}$

O denominador

${\ displaystyle p ({\ textbf {z}} _ {k} | {\ textbf {z}} _ {1: k-1}) = \ int p ({\ textbf {z}} _ {k} | {\ textbf {x}} _ {k}) p ({\ textbf {x}} _ {k} | {\ textbf {z}} _ {1: k-1}) d {\ textbf {x}} _ {k}}$

é constante em relação a , portanto, sempre podemos substituí-lo por um coeficiente , o que geralmente pode ser ignorado na prática. O numerador pode ser calculado e então simplesmente normalizado, já que sua integral deve ser unitária. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ alpha}$

Formulários

• Filtro de Kalman , um filtro Bayesiano recursivo para distribuições normais multivariadas
• Filtro de partículas , uma técnica sequencial baseada em Monte Carlo (SMC), que modela o PDF usando um conjunto de pontos discretos
• Estimadores baseados em grade , que subdividem o PDF em uma grade discreta determinística

Filtragem Bayesiana Sequencial

A filtragem bayesiana sequencial é a extensão da estimativa bayesiana para o caso em que o valor observado muda com o tempo. É um método para estimar o valor real de uma variável observada que evolui com o tempo.

O método é denominado:

filtrando

ao estimar o valor atual dado as observações anteriores e atuais,

alisamento

ao estimar os valores anteriores dados as observações anteriores e atuais, e

predição

ao estimar um valor futuro provável, dadas as observações passadas e atuais.

A noção de filtragem sequencial Bayesiana é amplamente utilizada em controle e robótica .

links externos

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• Burkhart, Michael C. (2019). "Capítulo 1. Uma Visão Geral da Filtragem Bayesiana". Uma Abordagem Discriminativa à Filtragem Bayesiana com Aplicações à Decodificação Neural Humana . Providence, RI, EUA: Brown University. doi : 10.26300 / nhfp-xv22 .
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