Reflexão (matemática) - Reflection (mathematics)

Uma reflexão através de um eixo (do objeto vermelho para o verde) seguida por uma reflexão (verde para azul) através de um segundo eixo paralelo ao primeiro resulta em um movimento total que é uma translação - por uma quantidade igual a duas vezes o distância entre os dois eixos.

Em matemática , um reflexo (também escrito reflexão ) é um mapeamento de um espaço euclidiano para si mesmo que é uma isometria com um hiperplano como um conjunto de pontos fixos ; este conjunto é denominado eixo (na dimensão 2) ou plano (na dimensão 3) de reflexão. A imagem de uma figura por um reflexo é sua imagem espelhada no eixo ou plano de reflexão. Por exemplo, a imagem espelhada da pequena letra latina p para um reflexo em relação a um eixo vertical seria semelhante a q . Sua imagem por reflexão em um eixo horizontal seria semelhante a b . Uma reflexão é uma involução : quando aplicada duas vezes em sucessão, cada ponto retorna à sua localização original e cada objeto geométrico é restaurado ao seu estado original.

O termo reflexão é algumas vezes usado para uma classe maior de mapeamentos de um espaço euclidiano para ele mesmo, ou seja, as isometrias de não identidade que são involuções. Essas isometrias têm um conjunto de pontos fixos (o "espelho") que é um subespaço afim , mas é possivelmente menor do que um hiperplano. Por exemplo, uma reflexão através de um ponto é uma isometria involutiva com apenas um ponto fixo; a imagem da letra p abaixo dela seria semelhante a um d . Essa operação também é conhecida como inversão central ( Coxeter 1969 , § 7.2) e exibe o espaço euclidiano como um espaço simétrico . Em um espaço vetorial euclidiano , a reflexão no ponto situado na origem é igual à negação vetorial. Outros exemplos incluem reflexos em uma linha no espaço tridimensional. Normalmente, no entanto, o uso não qualificado do termo "reflexão" significa reflexão em um hiperplano .

Uma figura que não muda ao passar por uma reflexão é considerada como tendo simetria reflexiva .

Alguns matemáticos usam " flip " como sinônimo de "reflexão".

Construção

O ponto

Q

é o reflexo do ponto

P

através da linha

AB

.

Em uma geometria plana (ou, respectivamente, tridimensional), para encontrar a reflexão de um ponto, solte uma perpendicular do ponto à linha (plano) usada para reflexão e estenda-a na mesma distância do outro lado. Para encontrar o reflexo de uma figura, reflita cada ponto na figura.

Para refletir o ponto $P$ através da linha $AB$ usando bússola e régua , proceda da seguinte forma (veja a figura):

Passo 1 (vermelho): construir um círculo com o centro no $P$ e algumas raio fixo $r$ para criar pontos $A '$ e $B'$ na linha $AB$ , que vai ser equidistante de $P$ .
Passo 2 (verde): construa círculos centrados em $A '$ e $B '$ com raio $r$ . $P$ e $Q$ serão os pontos de intersecção desses dois círculos.

O ponto $Q$ é então o reflexo do ponto $P$ através da linha $AB$ .

Propriedades

Uma reflexão através de um eixo seguida por uma reflexão em um segundo eixo não paralelo ao primeiro resulta em um movimento total que é uma rotação em torno do ponto de intersecção dos eixos, por um ângulo duas vezes o ângulo entre os eixos.

A matriz para uma reflexão é ortogonal com determinante −1 e autovalores −1, 1, 1, ..., 1. O produto de duas dessas matrizes é uma matriz ortogonal especial que representa uma rotação. Cada rotação é o resultado de refletir em um número par de reflexos em hiperplanos através da origem, e cada rotação imprópria é o resultado de refletir em um número ímpar. Assim, as reflexões geram o grupo ortogonal , e esse resultado é conhecido como teorema de Cartan-Dieudonné .

Da mesma forma, o grupo euclidiano , que consiste em todas as isometrias do espaço euclidiano, é gerado por reflexos em hiperplanos afins. Em geral, um grupo gerado por reflexos em hiperplanos afins é conhecido como grupo de reflexão . Os grupos finitos gerados dessa forma são exemplos de grupos de Coxeter .

Reflexo através de uma linha no avião

A reflexão através de uma linha através da origem em duas dimensões pode ser descrita pela seguinte fórmula

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {l} (v) = 2 {\ frac {v \ cdot l} {l \ cdot l}} lv,}

onde denota o vetor sendo refletido, denota qualquer vetor na linha através da qual a reflexão é realizada e denota o produto escalar de com . Observe que a fórmula acima também pode ser escrita como ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle v \ cdot l}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {l} (v) = 2 \ operatorname {Proj} _ {l} (v) -v,}

dizendo que uma reflexão de transversal é igual a 2 vezes a projeção de on , menos o vetor . Os reflexos em uma linha têm os autovalores de 1 e −1. ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle l}$ ${\ displaystyle v}$

Reflexão através de um hiperplano em n dimensões

Dado um vetor no espaço euclidiano , a fórmula para a reflexão no hiperplano através da origem, ortogonal a , é dada por ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {a} (v) = v-2 {\ frac {v \ cdot a} {a \ cdot a}} a,}

onde denota o produto escalar de com . Observe que o segundo termo na equação acima é apenas duas vezes a projeção vetorial de sobre . Pode-se facilmente verificar se ${\ displaystyle v \ cdot a}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle a}$

$Ref a (v) = - v$ , se for paralelo a , e ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle a}$
$Ref a (v) = v$ , se for perpendicular a $a$ . ${\ displaystyle v}$

Usando o produto geométrico , a fórmula é

{\ displaystyle \ operatorname {Ref} _ {a} (v) = - {\ frac {ava} {a ^ {2}}}.}

Uma vez que essas reflexões são isometrias do espaço euclidiano fixando a origem, elas podem ser representadas por matrizes ortogonais . A matriz ortogonal correspondente à reflexão acima é a matriz

{\ displaystyle R = I-2 {\ frac {aa ^ {T}} {a ^ {T} a}},}

onde denota a matriz de identidade e é a transposta de a. Suas entradas são ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle n \ times n}$ ${\ displaystyle a ^ {T}}$