Poliedro regular - Regular polyhedron

Um poliedro regular é um poliedro cujo grupo de simetria atua transitivamente em suas bandeiras . Um poliedro regular é altamente simétrica, sendo todos de ponta-transitivo , vértice-transitivo e face-transitivo . Em contextos clássicos, muitas definições equivalentes diferentes são usadas; um comum é que as faces são polígonos regulares congruentes que são montados da mesma maneira em torno de cada vértice .

Um poliedro regular é identificado pelo seu símbolo Schläfli da forma { n , m }, onde n é o número de lados de cada face e m o número de faces reunidos em cada vértice. Existem 5 poliedros regulares convexos finitos (os sólidos platônicos ) e quatro poliedros estrela regulares (os poliedros de Kepler-Poinsot ), formando nove poliedros regulares ao todo. Além disso, existem cinco compostos regulares dos poliedros regulares.

O poliedro regular

Há cinco convexo poliedros regulares, conhecidos como os sólidos platônicos , quatro regulares poliedros estrela , o poliedro Kepler-Poinsot , e cinco compostos regulares de poliedros regulares:

Sólidos platônicos

Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
Tetraedro {3, 3} Cubo {4, 3} Octaedro {3, 4} Dodecaedro {5, 3} Icosaedro {3, 5}
χ = 2 χ = 2 χ = 2 χ = 2 χ = 2

Poliedro Kepler-Poinsot

SmallStellatedDodecahedron.jpg GreatDodecahedron.jpg GreatStellatedDodecahedron.jpg GreatIcosahedron.jpg
Dodecaedro estrelado pequeno
{5/2, 5}
Grande dodecaedro
{5, 5/2}
Grande dodecaedro estrelado
{5/2, 3}
Grande icosaedro
{3, 5/2}
χ = −6 χ = −6 χ = 2 χ = 2

Compostos regulares

Composto de dois tetrahedra.png Composto de cinco tetrahedra.png Composto de dez tetrahedra.png Composto de cinco cubos.png Composto de cinco octahedra.png
Dois tetraedros
2 {3, 3}
Cinco tetraedros
5 {3, 3}
Dez tetraedros
10 {3, 3}
Cinco cubos
5 {4, 3}
Cinco octaedros
5 {3, 4}
χ = 4 χ = 10 χ = 0 χ = −10 χ = 10

Características

Propriedades equivalentes

A propriedade de ter um arranjo semelhante de faces em torno de cada vértice pode ser substituída por qualquer uma das seguintes condições equivalentes na definição:

Esferas concêntricas

Um poliedro regular convexo tem todas as três esferas relacionadas (outros poliedros não têm pelo menos um tipo) que compartilham seu centro:

Simetria

Os poliedros regulares são os mais simétricos de todos os poliedros. Eles se encontram em apenas três grupos de simetria , que são nomeados após os sólidos platônicos:

  • Tetraédrico
  • Octaédrico (ou cúbico)
  • Icosaédrico (ou dodecaédrico)

Quaisquer formas com simetria icosaédrica ou octaédrica também conterão simetria tetraédrica.

Característica de Euler

Os cinco sólidos platônicos têm uma característica de Euler de 2. Isso simplesmente reflete que a superfície é uma 2-esfera topológica e, portanto, também é verdade, por exemplo, para qualquer poliedro em forma de estrela em relação a algum ponto interno.

Pontos internos

A soma das distâncias de qualquer ponto no interior de um poliedro regular até os lados é independente da localização do ponto (esta é uma extensão do teorema de Viviani ). No entanto, o inverso não é válido, nem mesmo para os tetraedros .

Dualidade do poliedro regular

Em um par duplo de poliedros, os vértices de um poliedro correspondem às faces do outro e vice-versa.

Os poliedros regulares mostram essa dualidade da seguinte forma:

O símbolo Schläfli do dual é apenas o original escrito ao contrário, por exemplo, o dual de {5, 3} é {3, 5}.

História

Pré-história

Pedras esculpidas em formas semelhantes a aglomerados de esferas ou botões foram encontradas na Escócia e podem ter até 4.000 anos. Algumas dessas pedras mostram não apenas as simetrias dos cinco sólidos platônicos, mas também algumas das relações de dualidade entre eles (isto é, que os centros das faces do cubo dão os vértices de um octaedro). Exemplos dessas pedras estão em exibição na sala John Evans do Ashmolean Museum da Oxford University . Por que esses objetos foram feitos, ou como seus criadores obtiveram a inspiração para eles, é um mistério. Há dúvidas quanto à interpretação matemática desses objetos, pois muitos têm formas não platônicas, e talvez apenas um tenha sido considerado um icosaedro verdadeiro, em oposição a uma reinterpretação do icosaedro dual, o dodecaedro.

Também é possível que os etruscos tenham precedido os gregos em sua consciência de pelo menos alguns dos poliedros regulares, como evidenciado pela descoberta perto de Pádua (no norte da Itália ) no final do século 19 de um dodecaedro feito de pedra-sabão , e datando de mais mais de 2.500 anos (Lindemann, 1987).

Gregos

Os primeiros registros escritos conhecidos dos sólidos convexos regulares originaram-se da Grécia Clássica. Quando esses sólidos foram todos descobertos e por quem não se sabe, mas Teeteto (um ateniense ) foi o primeiro a dar uma descrição matemática de todos os cinco (Van der Waerden, 1954), (Euclides, livro XIII). HSM Coxeter (Coxeter, 1948, Seção 1.9) credita Platão (400 aC) por ter feito modelos deles, e menciona que um dos primeiros pitagóricos , Timeu de Locri , usou todos os cinco em uma correspondência entre os poliedros e a natureza do universo como era então percebido - essa correspondência é registrada no diálogo Timeu de Platão . A referência de Euclides a Platão levou à sua descrição comum como os sólidos platônicos .

Pode-se caracterizar a definição grega da seguinte forma:

  • Um polígono regular é uma figura plana ( convexa ) com todas as arestas iguais e todos os cantos iguais.
  • Um poliedro regular é uma figura sólida (convexa) com todas as faces sendo polígonos regulares congruentes, o mesmo número organizado da mesma forma em torno de cada vértice.

Esta definição exclui, por exemplo, a pirâmide quadrada (uma vez que embora todas as faces sejam regulares, a base quadrada não é congruente com os lados triangulares), ou a forma formada pela união de dois tetraedros (visto que embora todas as faces dessa bipirâmide triangular seriam triângulos equiláteros, ou seja, congruentes e regulares, alguns vértices têm 3 triângulos e outros 4).

Este conceito de poliedro regular permaneceria incontestado por quase 2.000 anos.

Poliedros estrela regulares

Polígonos estrelares regulares, como o pentagrama (pentágono estrelado), também eram conhecidos pelos gregos antigos - o pentagrama era usado pelos pitagóricos como seu signo secreto, mas eles não o usavam para construir poliedros. Foi só no início do século 17 que Johannes Kepler percebeu que os pentagramas podiam ser usados ​​como faces de poliedros de estrelas regulares . Alguns desses poliedros estelares podem ter sido descobertos por outros antes da época de Kepler, mas Kepler foi o primeiro a reconhecer que eles poderiam ser considerados "regulares" se removêssemos a restrição de que os poliedros regulares fossem convexos. Duzentos anos depois, Louis Poinsot também permitiu figuras de vértices estelares (circuitos em cada canto), permitindo-lhe descobrir dois novos poliedros estelares regulares junto com a redescoberta de Kepler. Esses quatro são os únicos poliedros estelares regulares e passaram a ser conhecidos como poliedros Kepler-Poinsot . Foi só em meados do século 19, várias décadas após a publicação de Poinsot, que Cayley lhes deu seus nomes modernos em inglês: pequeno dodecaedro estrelado (de Kepler) e grande dodecaedro estrelado , e grande icosaedro e grande dodecaedro (de Poinsot) .

O poliedro Kepler-Poinsot pode ser construído a partir dos sólidos platônicos por um processo denominado estrelamento . O processo recíproco para a estrelação é denominado lapidação (ou lapidação). Cada estrelamento de um poliedro é dual , ou recíproco, para alguma facetação do poliedro dual. Os poliedros estrela regulares também podem ser obtidos facetando os sólidos platônicos. Isso foi feito pela primeira vez por Bertrand na mesma época em que Cayley os nomeou.

No final do século 19, havia, portanto, nove poliedros regulares - cinco convexos e quatro estrelas.

Poliedros regulares na natureza

Cada um dos sólidos platônicos ocorre naturalmente de uma forma ou de outra.

O tetraedro, o cubo e o octaedro ocorrem como cristais . Estes não esgotam de forma alguma o número de formas possíveis de cristais (Smith, 1982, p212), dos quais existem 48. Nem o icosaedro regular nem o dodecaedro regular estão entre eles, mas os cristais podem ter a forma de um piritoedro , que é visualmente quase indistinguível de um dodecaedro regular. Cristais verdadeiramente icosaédricos podem ser formados por materiais quasicristalinos que são muito raros na natureza, mas podem ser produzidos em um laboratório.

Uma descoberta mais recente é de uma série de novos tipos de moléculas de carbono , conhecidas como fulerenos (ver Curl, 1991). Embora C 60 , o fulereno mais facilmente produzido, pareça mais ou menos esférico, algumas das variedades maiores (como C 240 , C 480 e C 960 ) têm a hipótese de assumir a forma de icosaedra ligeiramente arredondada, com alguns nanômetros de diâmetro.

Circogonia icosahedra, uma espécie de Radiolaria .

Os poliedros também aparecem na biologia. No início do século 20, Ernst Haeckel descreveu várias espécies de Radiolaria , alguns de cujos esqueletos têm a forma de vários poliedros regulares (Haeckel, 1904). Os exemplos incluem Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus e Circorrhegma dodecahedra ; as formas dessas criaturas são indicadas por seus nomes. As conchas protéicas externas de muitos vírus formam poliedros regulares. Por exemplo, o HIV está contido em um icosaedro regular.

Nos tempos antigos, os pitagóricos acreditavam que havia uma harmonia entre os poliedros regulares e as órbitas dos planetas . No século 17, Johannes Kepler estudou dados sobre o movimento planetário compilados por Tycho Brahe e por uma década tentou estabelecer o ideal pitagórico encontrando uma correspondência entre os tamanhos dos poliedros e os tamanhos das órbitas dos planetas. Sua busca falhou em seu objetivo original, mas dessa pesquisa vieram as descobertas de Kepler dos sólidos Kepler como politopos regulares, a compreensão de que as órbitas dos planetas não são círculos e as leis do movimento planetário pelas quais ele agora é famoso. No tempo de Kepler, apenas cinco planetas (excluindo a Terra) eram conhecidos, correspondendo perfeitamente ao número de sólidos platônicos. O trabalho de Kepler e a descoberta desde aquela época de Urano e Netuno invalidaram a ideia pitagórica.

Mais ou menos na mesma época que os pitagóricos, Platão descreveu uma teoria da matéria na qual os cinco elementos (terra, ar, fogo, água e espírito) compreendiam cada um minúsculas cópias de um dos cinco sólidos regulares. A matéria foi construída a partir de uma mistura desses poliedros, com cada substância tendo proporções diferentes na mistura. Dois mil anos depois , a teoria atômica de Dalton mostraria que essa ideia estava na linha certa, embora não estivesse diretamente relacionada aos sólidos regulares.

Outras generalizações

O século 20 assistiu a uma sucessão de generalizações da ideia de um poliedro regular, conduzindo a várias novas classes.

Apeirohedra de inclinação regular

Nas primeiras décadas, Coxeter e Petrie permitiram vértices de "sela" com cristas e vales alternados, permitindo-lhes construir três superfícies dobradas infinitas que eles chamaram de poliedros inclinados regulares . Coxeter ofereceu um símbolo Schläfli modificado {l, m | n} para essas figuras, com {l, m} implicando a figura do vértice , com m l -gons regulares ao redor de um vértice. O n define buracos n -gonais . Suas figuras de vértice são polígonos inclinados regulares , vértices em zigue-zague entre dois planos.

Poliedros inclinados regulares infinitos em 3 espaços (parcialmente desenhados)
Mucube.png
{4,6 | 4}
Muoctahedron.png
{6,4 | 4}
Mutetrahedron.png
{6,6 | 3}

Poliedros inclinados regulares

Poliedros de inclinação regulares finitos existem em 4 espaços. Esses poliedros oblíquos regulares finitos no espaço 4 podem ser vistos como um subconjunto das faces de 4 politopos uniformes . Eles têm faces poligonais regulares planas , mas figuras de vértices poligonais com inclinação regular .

Duas soluções duais estão relacionadas às 5 células , duas soluções duais estão relacionadas às 24 células e um conjunto infinito de duoprismas autoduais geram poliedros inclinados regulares como {4, 4 | n}. No limite infinito, eles se aproximam de um duocilindro e se parecem com um toro em suas projeções estereográficas no espaço 3.

Poliedros de inclinação regulares finitos em 4 espaços
Projeções ortogonais do plano de Coxeter Projeção estereográfica
A 4 F 4
4-simplex t03.svg 4-simplex t12.svg T03 F4.svg de 24 células 24 células t12 F4.svg Clifford-torus.gif
{4, 6 | 3} {6, 4 | 3} {4, 8 | 3} {8, 4 | 3} {4, 4 | n}
30 {4} faces
60 arestas
20 vértices
20 {6} faces
60 arestas
30 vértices
288 {4} faces
576 arestas
144 vértices
144 {8} faces
576 arestas
288 vértices
n 2 {4} faces
2 n 2 arestas
n 2 vértices

Poliedros regulares em espaços não euclidianos e outros

Os estudos de espaços não euclidianos ( hiperbólicos e elípticos ) e outros espaços, como os complexos , descobertos no século anterior, levaram à descoberta de mais novos poliedros, como os poliedros complexos, que só podiam assumir uma forma geométrica regular nesses espaços.

Poliedros regulares em espaço hiperbólico

O favo de mel de ladrilhos hexagonais , {6,3,3}, tem ladrilhos hexagonais , {6,3}, facetas com vértices em uma horosfera . Uma dessas facetas é mostrada como visto neste modelo de disco de Poincaré .

No espaço hiperbólico H 3 , os favos de mel regulares paracompactos têm facetas de azulejos euclidianos e figuras de vértices que agem como poliedros finitos. Essas telhas têm um defeito de ângulo que pode ser fechado dobrando para um lado ou para outro. Se o ladrilho for dimensionado corretamente, ele fechará como um limite assintótico em um único ponto ideal . Essas telhas euclidianas estão inscritas em uma horosfera, assim como os poliedros estão inscritos em uma esfera (que contém zero pontos ideais). A sequência se estende quando os tilings hiperbólicos são eles próprios usados ​​como facetas de tesselações hiperbólicas não compactas, como no favo de mel de tiling heptagonal {7,3,3}; eles estão inscritos em uma superfície equidistante (um 2- hiperciclo ), que possui dois pontos ideais.

Ladrilhos regulares do plano projetivo real

Outro grupo de poliedros regulares compreende as telhas do plano projetivo real . Estes incluem o hemicubo , hemi-octaedro , hemi-dodecaedro e hemi-icosaedro . Eles são (globalmente) poliedros projetivos , e são as contrapartes projetivas dos sólidos platônicos . O tetraedro não possui contrapartida projetiva, pois não possui pares de faces paralelas que podem ser identificados, como os outros quatro sólidos platônicos.

Hemicube.svg
Hemicubo
{4,3}
Hemioctahedron.png
Hemi-octaedro
{3,4}
Hemi-Dodecaedro2.PNG
Hemidodecaedro
{3,5}
Hemi-icosahedron.png
Hemi-icosaedro
{5,3}

Eles ocorrem como pares duais da mesma maneira que os sólidos platônicos originais. Suas características de Euler são todas 1.

Poliedros regulares abstratos

A essa altura, os poliedros eram firmemente entendidos como exemplos tridimensionais de politopos mais gerais em qualquer número de dimensões. A segunda metade do século viu o desenvolvimento de ideias algébricas abstratas, como a combinatória poliédrica , culminando na ideia de um politopo abstrato como um conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos. Os elementos de um poliedro abstrato são seu corpo (o elemento máximo), suas faces, arestas, vértices e o politopo nulo ou conjunto vazio. Esses elementos abstratos podem ser mapeados no espaço comum ou realizados como figuras geométricas. Alguns poliedros abstratos têm realizações bem formadas ou fiéis , outros não. Uma bandeira é um conjunto conectado de elementos de cada dimensão - para um poliedro que é o corpo, uma face, uma aresta da face, um vértice da aresta e o politopo nulo. Um politopo abstrato é considerado regular se suas simetrias combinatórias são transitivas em seus sinalizadores - isto é, que qualquer sinalizador pode ser mapeado em qualquer outro sob uma simetria do poliedro. Polopos regulares abstratos permanecem uma área ativa de pesquisa.

Cinco desses poliedros abstratos regulares, que não podem ser realizados fielmente, foram identificados por HSM Coxeter em seu livro Regular Polytopes (1977) e novamente por JM Wills em seu artigo "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). Todos os cinco têm simetria C 2 × S 5 , mas só podem ser realizados com a metade da simetria, ou seja, C 2 × A 5 ou simetria icosaédrica. Eles são todos topologicamente equivalentes aos toroides . Sua construção, ao arranjar n faces ao redor de cada vértice, pode ser repetida indefinidamente como inclinações do plano hiperbólico . Nos diagramas abaixo, as imagens dos ladrilhos hiperbólicos têm cores correspondentes às das imagens dos poliedros.

Poliedro DU36 medial rhombic triacontahedron.png
Triacontaedro rômbico medial
Dodecadodecahedron.png
Dodecadodecaedro
DU41 medial triambic icosahedron.png
Icosaedro triambico medial
Ditrigonal dodecadodecahedron.png
Dodecadodecaedro ditrigonal
Excavated dodecahedron.png
Dodecaedro escavado
Modelo Dual {5,4} 6 {5,4} 6 Dual de {5,6} 4 {5,6} 4 {6,6} 6
( v , e , f ) (24,60,30) (30,60,24) (24,60,20) (20,60,24) (20,60,20)
Figura do vértice {5}, {5/2}
Polígono regular 5.svgPentagrama green.svg
(5,5 / 2) 2
Dodecadodecaedro vertfig.png
{5}, {5/2}
Polígono regular 5.svgPentagrama green.svg
(5,5 / 3) 3
Dodecadodecaedro ditrigonal vertfig.png
Face.png triambico medial de icosaedro
Rostos 30 losangos
Rhombus definition2.svg
12 pentágonos
12 pentagramas
Polígono regular 5.svgPentagrama green.svg
20 hexágonos
Face.png triambico medial de icosaedro
12 pentágonos
12 pentagramas
Polígono regular 5.svgPentagrama green.svg
20 hexagramas
Star hexagon face.png
Revestimento Ladrilho uniforme 45-t0.png
{4, 5}
Ladrilho uniforme 552-t1.png
{5, 4}
Ladrilho uniforme 65-t0.png
{6, 5}
Ladrilho uniforme 553-t1.png
{5, 6}
Mosaico uniforme 66-t2.png
{6, 6}
χ -6 -6 -16 -16 -20

Petrie dual

O dual de Petrie de um poliedro regular é um mapa regular cujos vértices e arestas correspondem aos vértices e arestas do poliedro original e cujas faces são o conjunto de polígonos de Petrie inclinados .

Petriais regulares
Nome Tetraedro petrial
Cubo petrial Octaedro petrial Dodecaedro petrial Icosaedro petrial
Símbolo {3,3} π {4,3} π {3,4} π {5,3} π {3,5} π
( v , e , f ), χ (4,6,3), χ = 1 (8,12,4), χ = 0 (6,12,4), χ = −2 (20,30,6), χ = −4 (12,30,6), χ = −12
Rostos 3 quadrados enviesados
Face of petrial tetrahedron.gif
4 hexágonos enviesados 6 decágonos inclinados
Face of petrial cube.gif Face de petrial octahedron.gif Face of petrial dodecahedron.gif Face de petrial icosahedron.gif
Imagem Tetrahedron 3 petrie polygons.png Cube 4 petrie polygons.png Octahedron 4 petrie polygons.png Petrial dodecahedron.png Petrial icosahedron.png
Animação Petrial tetrahedron.gif Petrial cube.gif Petrial octahedron.gif Petrial dodecahedron.gif Petrial icosahedron.gif

Figuras relacionadas
Hemicube.svg
{4,3} 3 = {4,3} / 2 = {4,3} (2,0)
Mapa regular 6-3 2-0.png
{6,3} 3 = {6,3} (2,0)
Mapa regular 6 4-3 pattern.png
{6,4} 3 = {6,4} (4,0)
{10,3} 5 {10,5} 3

Poliedros esféricos

Os nove poliedros regulares usuais também podem ser representados como ladrilhos esféricos (ladrilhos da esfera ):

Ladrilho uniforme 332-t0-1-.png
Tetraedro
{3,3}
Ladrilho uniforme 432-t0.png
Cubo
{4,3}
Ladrilho uniforme 432-t2.png
Octaedro
{3,4}
Ladrilhos uniformes 532-t0.png
Dodecaedro
{5,3}
Ladrilho uniforme 532-t2.png
Icosaedro
{3,5}
Tiling de dodecaedro estrelado pequeno.png
Dodecaedro estrelado pequeno
{5 / 2,5}
Grande dodecaedro tiling.png
Grande dodecaedro
{5,5 / 2}
Great stellated dodecahedron tiling.png
Grande dodecaedro estrelado
{5 / 2,3}
Grande icosaedro tiling.png
Grande icosaedro
{3,5 / 2}

Poliedros regulares que só podem existir como poliedros esféricos

Para um poliedro regular cujo símbolo Schläfli é { mn }, o número de faces poligonais pode ser encontrado por:

Os sólidos platônicos conhecidos até a antiguidade são as únicas soluções inteiras para m ≥ 3 en ≥ 3. A restrição m ≥ 3 força que as faces poligonais devem ter pelo menos três lados.

Ao considerar o poliedro como um mosaico esférico , essa restrição pode ser relaxada, uma vez que os digons (2-gons) podem ser representados como lunas esféricas, com área diferente de zero . Permitir m = 2 admite uma nova classe infinita de poliedros regulares, que são os hosoedros . Em uma superfície esférica, o poliedro regular {2,  n } é representado como n lunas adjacentes, com ângulos internos de 2 π / n . Todas essas canções compartilham dois vértices comuns.

Um diédro regular , { n , 2} (2-hedro) no espaço euclidiano tridimensional pode ser considerado um prisma degenerado que consiste em dois polígonos (planos) de n lados conectados "costas com costas", de modo que o objeto resultante não tem profundidade, analogamente a como um digon pode ser construído com dois segmentos de linha . No entanto, como uma telha esférica , um diédro pode existir como forma não degenerada, com duas faces de n lados cobrindo a esfera, cada face sendo um hemisfério e vértices ao redor de um grande círculo . É regular se os vértices estiverem igualmente espaçados.

Digonal dihedron.png
Diedro digonal
{2,2}
Trigonal dihedron.png
Trigonal diedro
{3,2}
Tetragonal dihedron.png
Dédro quadrado
{4,2}
Pentagonal dihedron.png
Dédro pentagonal
{5,2}
Hexagonal dihedron.png
Diedro hexagonal
{6,2}
... { n , 2}
Digonal dihedron.png
Hosoedro digonal
{2,2}
Hosohedron.png Trigonal
Hosoedro Trigonal
{2,3}
Hosohedron quadrado esférico.png
Hosoedro quadrado
{2,4}
Hosohedron pentagonal esférico.png
Hosoedro pentagonal
{2,5}
Hexagonal hosohedron.png
Hosoedro hexagonal
{2,6}
... {2, n }

O hosoedro {2, n } é dual ao diedro { n , 2}. Observe que quando n = 2, obtemos o poliedro {2,2}, que é um hosoedro e um diedro. Todos eles têm a característica de Euler 2.

Veja também

Referências

links externos