Regularização (física) - Regularization (physics)

Na física , especialmente na teoria quântica de campos , a regularização é um método de modificação de observáveis que possuem singularidades para torná-los finitos pela introdução de um parâmetro adequado denominado regulador . O regulador, também conhecido como "corte", modela nossa falta de conhecimento sobre física em escalas não observadas (por exemplo, escalas de pequeno tamanho ou grandes níveis de energia). Ele compensa (e requer) a possibilidade de que "nova física" possa ser descoberta nas escalas que a presente teoria é incapaz de modelar, enquanto permite que a teoria atual dê previsões precisas como uma "teoria efetiva" dentro de sua escala de uso pretendida .

É diferente da renormalização , outra técnica para controlar infinitos sem assumir uma nova física, ajustando para feedback de auto-interação.

A regularização foi por muitas décadas controversa até mesmo entre seus inventores, pois combina reivindicações físicas e epistemológicas nas mesmas equações. No entanto, agora é bem compreendido e provou produzir previsões úteis e precisas.

Visão geral

Os procedimentos de regularização lidam com expressões infinitas, divergentes e sem sentido, introduzindo um conceito auxiliar de regulador (por exemplo, a distância mínima no espaço que é útil, caso as divergências surjam de efeitos físicos de curta distância). O resultado físico correto é obtido no limite em que o regulador sai (no nosso exemplo ), mas a virtude do regulador é que, por seu valor finito, o resultado é finito. ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ para 0}$

No entanto, o resultado geralmente inclui termos proporcionais a expressões como que não estão bem definidas no limite . A regularização é o primeiro passo para obter um resultado completamente finito e significativo; na teoria quântica de campos , deve ser geralmente seguido por uma técnica relacionada, mas independente, chamada renormalização . A renormalização é baseada no requisito de que algumas quantidades físicas - expressas por expressões aparentemente divergentes, como - sejam iguais aos valores observados. Essa restrição permite calcular um valor finito para muitas outras quantidades que pareciam divergentes. ${\ displaystyle 1 / \ epsilon}$ ${\ displaystyle \ epsilon \ para 0}$ ${\ displaystyle 1 / \ epsilon}$

A existência de um limite quando ε vai para zero e a independência do resultado final do regulador são fatos não triviais. A razão subjacente para eles reside na universalidade como mostrado por Kenneth Wilson e Leo Kadanoff e a existência de uma transição de fase de segunda ordem . Às vezes, tomar o limite quando ε vai para zero não é possível. Este é o caso quando temos um pólo de Landau e para acoplamentos não renormalizáveis como a interação de Fermi . No entanto, mesmo para esses dois exemplos, se o regulador fornecer apenas resultados razoáveis para e estivermos trabalhando com escalas da ordem de , os reguladores ainda fornecerão aproximações bastante precisas. A razão física pela qual não podemos levar o limite de ε a zero é a existência de uma nova física abaixo de Λ. ${\ displaystyle \ epsilon \ gg 1 / \ Lambda}$ ${\ displaystyle 1 / \ Lambda '}$ ${\ displaystyle 1 / \ Lambda \ ll \ epsilon \ ll 1 / \ Lambda '}$

Nem sempre é possível definir uma regularização de forma que o limite de ε indo para zero seja independente da regularização. Nesse caso, diz-se que a teoria contém uma anomalia . Teorias anômalas foram estudadas em grande detalhe e são freqüentemente baseadas no célebre teorema do índice Atiyah-Singer ou em suas variações (ver, por exemplo, a anomalia quiral ).

Exemplo de física clássica

O problema dos infinitos surgiu pela primeira vez na eletrodinâmica clássica das partículas pontuais no século 19 e no início do século 20.

A massa de uma partícula carregada deve incluir a massa-energia em seu campo eletrostático ( massa eletromagnética ). Suponha que a partícula seja uma casca esférica carregada de raio $r e$ . A massa-energia no campo é

{\ displaystyle m _ {\ mathrm {em}} = \ int {1 \ over 2} E ^ {2} \, dV = \ int _ {r_ {e}} ^ {\ infty} {\ frac {1} { 2}} \ left ({q \ over 4 \ pi r ^ {2}} \ right) ^ {2} 4 \ pi r ^ {2} \, dr = {q ^ {2} \ over 8 \ pi r_ {e}},}

que se torna infinito quando $r e \to 0$ . Isso implica que a partícula pontual teria inércia infinita , tornando-a incapaz de ser acelerada. Incidentalmente, o valor de $r e$ que faz igual à massa de electrões é chamado o raio de electrões clássica , que (a configuração e restaurar factores de $c$ e ) acaba por ser ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {em}}}$ ${\ displaystyle q = e}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$

{\ displaystyle r_ {e} = {e ^ {2} \ over 4 \ pi \ varepsilon _ {0} m _ {\ mathrm {e}} c ^ {2}} = \ alpha {\ hbar \ over m _ {\ mathrm {e}} c} \ approx 2.8 \ times 10 ^ {- 15} \ \ mathrm {m}.}

onde é a constante de estrutura fina , e é o comprimento de onda Compton do elétron. ${\ displaystyle \ alpha \ approx 1/137}$ ${\ displaystyle \ hbar / m _ {\ mathrm {e}} c}$

Regularização: Este processo mostra que a teoria física originalmente usada se decompõe em pequenas escalas. Mostra que o elétron não pode de fato ser uma partícula pontual e que algum tipo de nova física adicional (neste caso, um raio finito) é necessária para explicar os sistemas abaixo de uma certa escala. Este mesmo argumento aparecerá em outros problemas de renormalização: uma teoria é válida em algum domínio, mas pode ser vista em colapso e requer nova física em outras escalas a fim de evitar infinitos. (Outra maneira de evitar o infinito, mas mantendo a natureza pontual da partícula, seria postular uma pequena dimensão adicional sobre a qual a partícula poderia 'se espalhar' em vez de no espaço 3D; esta é uma motivação para a teoria das cordas .)

(Veja também renormalização para uma maneira alternativa de remover infinitos deste problema clássico, assumindo interações próprias em vez da existência de novas físicas desconhecidas.)

Tipos específicos

Tipos específicos de procedimentos de regularização incluem

Regularização realista

Problema conceitual

As previsões perturbativas pela teoria quântica de campos sobre o espalhamento quântico de partículas elementares , implícitas por uma densidade Lagrangiana correspondente , são calculadas usando as regras de Feynman , um método de regularização para contornar divergências ultravioleta de modo a obter resultados finitos para diagramas de Feynman contendo loops e um esquema de renormalização . Método regularização resulta em n-ponto regularizada funções de Green ( propagadores ), e um processo, limitando adequado (um esquema de renormalização) conduz então a perturbativas S-matriz elementos. Estes são independentes do método de regularização particular usado e permitem modelar perturbativamente os processos físicos mensuráveis (seções transversais, amplitudes de probabilidade, larguras de decaimento e tempos de vida de estados excitados). No entanto, até agora nenhuma função regularizada de Green de n pontos conhecida pode ser considerada como sendo baseada em uma teoria fisicamente realista de espalhamento quântico, uma vez que a derivação de cada desconsidera alguns dos princípios básicos da física convencional (por exemplo, por não ser invariante de Lorentz , introduzindo partículas não físicas com uma métrica negativa ou estatísticas erradas, ou espaço-tempo discreto, ou diminuindo a dimensionalidade do espaço-tempo, ou alguma combinação dos mesmos). Assim, os métodos de regularização disponíveis são entendidos como dispositivos técnicos formalistas, desprovidos de qualquer significado físico direto. Além disso, existem dúvidas quanto à renormalização. Para uma história e comentários sobre este problema conceitual aberto com mais de meio século, consulte, por exemplo.

Conjectura de Pauli

Como parece que os vértices das séries de Feynman não regularizadas descrevem adequadamente as interações no espalhamento quântico, assume-se que suas divergências ultravioleta são devidas ao comportamento assintótico de alta energia dos propagadores de Feynman. Portanto, é uma abordagem prudente e conservadora manter os vértices na série de Feynman e modificar apenas os propagadores de Feynman para criar uma série de Feynman regularizada. Este é o raciocínio por trás da regularização covariante de Pauli-Villars formal pela modificação dos propagadores de Feynman por meio de partículas não físicas auxiliares, cf. e representação da realidade física por diagramas de Feynman.

Em 1949, Pauli conjeturou haver uma regularização realista, o que está implícito em uma teoria que respeita todos os princípios estabelecidos pela física contemporânea. Portanto, seus propagadores (i) não precisam ser regularizados e (ii) podem ser considerados como uma regularização dos propagadores usados nas teorias quânticas de campo que podem refletir a física subjacente. Os parâmetros adicionais de tal teoria não precisam ser removidos (ou seja, a teoria não precisa de renormalização) e podem fornecer algumas novas informações sobre a física do espalhamento quântico, embora possam ser experimentalmente desprezíveis. Em contraste, qualquer método de regularização presente introduz coeficientes formais que devem ser eventualmente eliminados por renormalização.

Opiniões

Paul Dirac foi persistente e extremamente crítico sobre os procedimentos de renormalização. Em 1963, ele escreveu: "... na teoria da renormalização, temos uma teoria que desafiou todas as tentativas do matemático para fazê-la soar. Estou inclinado a suspeitar que a teoria da renormalização é algo que não sobreviverá no futuro, ... "Ele observou ainda que" Pode-se distinguir entre dois procedimentos principais para um físico teórico. Um deles é trabalhar a partir da base experimental ... O outro procedimento é trabalhar a partir da base matemática. Um examina e critica a teoria existente. Tenta-se apontar as falhas nele e então tentar removê-las. A dificuldade aqui é remover as falhas sem destruir os grandes sucessos da teoria existente. "

Abdus Salam observou em 1972: "Os infinitos teóricos de campo encontrados pela primeira vez no cálculo do elétron de Lorentz persistiram na eletrodinâmica clássica por setenta e na eletrodinâmica quântica por cerca de trinta e cinco anos. Esses longos anos de frustração deixaram no sujeito uma curiosa afeição por os infinitos e uma crença apaixonada de que eles são uma parte inevitável da natureza; tanto que mesmo a sugestão de uma esperança de que possam ser contornados - e valores finitos para as constantes de renormalização calculados - é considerada irracional. "

No entanto, na opinião de Gerard 't Hooft , “a história nos diz que se toparmos com algum obstáculo, mesmo que pareça uma pura formalidade ou apenas uma complicação técnica, ele deve ser cuidadosamente examinado. A natureza pode estar nos dizendo algo, e devemos descobrir o que é. "

A dificuldade com uma regularização realista é que até agora não há nenhuma, embora nada pudesse ser destruído por sua abordagem de baixo para cima; e não há base experimental para isso.

Regularização realista mínima

Considerando problemas teóricos distintos, Dirac em 1963 sugeriu: "Eu acredito que idéias separadas serão necessárias para resolver esses problemas distintos e que eles serão resolvidos um de cada vez por estágios sucessivos na evolução futura da física. Neste ponto, eu me encontro em discordam da maioria dos físicos. Eles estão inclinados a pensar que uma ideia-mestre será descoberta para resolver todos esses problemas juntos. Acho que é pedir demais esperar que alguém seja capaz de resolver todos esses problemas juntos. Devemos separá-los um de outra, tanto quanto possível e tente abordá-las separadamente. E acredito que o desenvolvimento futuro da física consistirá em resolvê-las uma de cada vez e que, depois que qualquer uma delas for resolvida, ainda haverá um grande mistério sobre como para atacar outros. "

De acordo com Dirac, "a eletrodinâmica quântica é o domínio da física que mais conhecemos e, presumivelmente, terá de ser colocado em ordem antes que possamos esperar fazer algum progresso fundamental com outras teorias de campo, embora estas continuem a se desenvolver no base experimental. "

As duas observações anteriores de Dirac sugerem que devemos começar a procurar uma regularização realista no caso da eletrodinâmica quântica (QED) no espaço-tempo de Minkowski quadridimensional , começando com a densidade Lagrangiana QED original .

A formulação da integral do caminho fornece o caminho mais direto da densidade Lagrangiana para a série de Feynman correspondente em sua forma invariante de Lorentz. A parte do campo livre da densidade Lagrangiana determina os propagadores de Feynman, enquanto o resto determina os vértices. Como os vértices QED são considerados para descrever adequadamente as interações no espalhamento QED, faz sentido modificar apenas a parte do campo livre da densidade Lagrangiana de modo a obter tal série de Feynman regularizada que a fórmula de redução de Lehmann-Symanzik-Zimmermann fornece um S perturbativo -matriz que: (i) é invariante de Lorentz e unitária; (ii) envolve apenas as partículas QED; (iii) depende unicamente dos parâmetros QED e daqueles introduzidos pela modificação dos propagadores de Feynman - para valores particulares desses parâmetros é igual à matriz S perturbativa QED; e (iv) exibe as mesmas simetrias que a matriz S perturbativa QED. Vamos nos referir a essa regularização como regularização realista mínima e começar a pesquisar as partes de campo livre modificadas correspondentes da densidade Lagrangiana QED.

Abordagem teórica do transporte

De acordo com Bjorken e Drell , faria sentido físico contornar as divergências ultravioleta usando uma descrição mais detalhada do que pode ser fornecida por equações diferenciais de campo. E Feynman observou sobre o uso de equações diferenciais: "... para difusão de nêutrons é apenas uma aproximação que é boa quando a distância sobre a qual estamos olhando é grande em comparação com o caminho livre médio. Se olharmos mais de perto, poderíamos ver nêutrons individuais correndo. " E então ele se perguntou: "Será que o mundo real consiste em pequenos X-ons que só podem ser vistos a distâncias muito pequenas? E que em nossas medições estamos sempre observando em uma escala tão grande que não podemos ver esses pequenos X-ons, e é por isso que obtemos as equações diferenciais? ... Elas [portanto] também estão corretas apenas como uma imitação suavizada de um mundo microscópico realmente muito mais complicado? "

Já em 1938, Heisenberg propôs que uma teoria quântica de campo pode fornecer apenas uma descrição idealizada e em grande escala da dinâmica quântica, válida para distâncias maiores do que algum comprimento fundamental , esperado também por Bjorken e Drell em 1965 . A observação anterior de Feynman fornece uma possível razão física para sua existência; ou isso ou é apenas outra maneira de dizer a mesma coisa (há uma unidade fundamental de distância), mas sem nenhuma informação nova.

Dicas de nova física

A necessidade de termos de regularização em qualquer teoria quântica de campo da gravidade quântica é a principal motivação para a física além do modelo padrão . Os infinitos das forças não gravitacionais em QFT podem ser controlados por meio da renormalização apenas, mas a regularização adicional - e, portanto, a nova física - é necessária exclusivamente para a gravidade. Os regularizadores modelam e contornam a decomposição do QFT em pequenas escalas e, portanto, mostram claramente a necessidade de alguma outra teoria entrar em jogo além do QFT nessas escalas. A. Zee (Quantum Field Theory in a Nutshell, 2003) considera que isso é um benefício da estrutura de regularização - as teorias podem funcionar bem em seus domínios pretendidos, mas também contêm informações sobre suas próprias limitações e apontam claramente para onde uma nova física é necessária.

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