Erro de aproximação - Approximation error

Gráfico de (azul) com sua aproximação linear (vermelho) em a = 0. O erro de aproximação é a lacuna entre as curvas e aumenta para valores x além de 0.${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$${\ displaystyle P_ {1} (x) = 1 + x}$

O erro de aproximação em alguns dados é a discrepância entre um valor exato e alguma aproximação a ele. Um erro de aproximação pode ocorrer porque:

1. a medição dos dados não é precisa devido aos instrumentos. (por exemplo, a leitura precisa de um pedaço de papel é de 4,5 cm, mas como a régua não usa decimais, você deve arredondar para 5 cm.) ou
2. aproximações

No campo matemático da análise numérica , a estabilidade numérica de um algoritmo indica como o erro é propagado pelo algoritmo.

Definição formal

É comum distinguir entre o erro relativo e o erro absoluto.

Dado algum valor v e sua aproximação v _aprox , o erro absoluto é

${\ displaystyle \ epsilon = | v-v _ {\ text {approx}} | \,}$

onde as barras verticais denotam o valor absoluto . Se o erro relativo for ${\ displaystyle v \ neq 0,}$

${\ displaystyle \ eta = {\ frac {\ epsilon} {| v |}} = \ left | {\ frac {v-v _ {\ text {approx}}} {v}} \ right | = \ left | 1 - {\ frac {v _ {\ text {approx}}} {v}} \ right |,}$

e a porcentagem de erro é

${\ displaystyle \ delta = 100 \% \ times \ eta = 100 \% \ times {\ frac {\ epsilon} {| v |}} = 100 \% \ times \ left | {\ frac {v-v _ {\ enviar texto {approx}}} {v}} \ right |.}$

Em palavras, o erro absoluto é a magnitude da diferença entre o valor exato e a aproximação. O erro relativo é o erro absoluto dividido pela magnitude do valor exato. O erro percentual é o erro relativo expresso em termos de por 100.

Um limite de erro é um limite superior no tamanho relativo ou absoluto de um erro de aproximação.

Generalizações

Essas definições podem ser estendidas para o caso em que e são vetores n- dimensionais , substituindo o valor absoluto por uma norma n . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle v _ {\ text {approx}}}$

Exemplos

Melhores aproximações racionais para π (círculo verde), e (losango azul), ϕ (oblongo rosa), (√3) / 2 (hexágono cinza), 1 / √2 (octógono vermelho) e 1 / √3 (triângulo laranja) calculados a partir de suas expansões de fração contínuas, plotados como inclinações y / x com erros de seus valores reais (traços pretos)  

• v
• t
• e

Por exemplo, se o valor exato for 50 e a aproximação for 49,9, o erro absoluto será 0,1 e o erro relativo será 0,1 / 50 = 0,002 = 0,2%. Outro exemplo seria se, ao medir um copo de 6 mL, o valor lido fosse 5 mL. A leitura correta sendo 6 mL, isso significa que o erro percentual nessa situação particular é, arredondado, 16,7%.

O erro relativo é freqüentemente usado para comparar aproximações de números de tamanhos amplamente diferentes; por exemplo, aproximar o número 1.000 com um erro absoluto de 3 é, na maioria das aplicações, muito pior do que aproximar o número 1.000.000 com um erro absoluto de 3; no primeiro caso, o erro relativo é 0,003 e no segundo é apenas 0,000003.

Existem duas características de erro relativo que devem ser mantidas em mente. Em primeiro lugar, o erro relativo é indefinido quando o valor verdadeiro é zero conforme aparece no denominador (veja abaixo). Em segundo lugar, o erro relativo só faz sentido quando medido em uma escala de razão (ou seja, uma escala que tem um zero verdadeiro significativo), caso contrário, seria sensível às unidades de medida. Por exemplo, quando um erro absoluto em uma medição de temperatura dada na escala Celsius é 1 ° C, e o valor verdadeiro é 2 ° C, o erro relativo é 0,5 e o erro percentual é 50%. Para este mesmo caso, quando a temperatura é dada na escala Kelvin , o mesmo erro absoluto de 1 K com o mesmo valor verdadeiro de 275,15 K dá um erro relativo de 3,63 × 10 ^{- 3} e um erro percentual de apenas 0,363%. A temperatura Celsius é medida em uma escala de intervalo , enquanto a escala Kelvin tem um zero verdadeiro e, portanto, é uma escala de razão.

Instrumentos

Na maioria dos instrumentos de indicação, a precisão é garantida para uma certa porcentagem da leitura da escala completa. Os limites desses desvios dos valores especificados são conhecidos como erros de limitação ou erros de garantia.

Veja também

• Valor aceito e experimental
• Diferença relativa
• Incerteza
• Análise experimental de incerteza
• Propagação de incerteza
• Erros e resíduos nas estatísticas
• Erro de arredondamento
• Erro de quantização
• Incerteza de medição
• Erro de medição
• Epsilon máquina

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Porcentagem de erro" . MathWorld .