Momento angular relativístico - Relativistic angular momentum

Na física , o momento angular relativístico se refere aos formalismos matemáticos e conceitos físicos que definem o momento angular na relatividade especial (SR) e na relatividade geral (GR). A quantidade relativística é sutilmente diferente da quantidade tridimensional na mecânica clássica .

O momento angular é uma quantidade dinâmica importante derivada da posição e do momento. É uma medida do movimento rotacional de um objeto e da resistência para parar de girar. Além disso, da mesma forma que a conservação do momento corresponde à simetria translacional, a conservação do momento angular corresponde à simetria rotacional - a conexão entre simetrias e leis de conservação é feita pelo teorema de Noether . Embora esses conceitos tenham sido originalmente descobertos na mecânica clássica , eles também são verdadeiros e significativos na relatividade geral e especial. Em termos de álgebra abstrata, a invariância do momento angular, quatro momentos e outras simetrias no espaço-tempo são descritas pelo grupo de Lorentz , ou mais geralmente o grupo de Poincaré .

Quantidades físicas que permanecem separadas na física clássica são naturalmente combinadas em SR e GR, reforçando os postulados da relatividade. Mais notavelmente, as coordenadas de espaço e tempo combinam-se na quatro posições , e a energia e o momento combinam-se no quatro-momento . Os componentes desses quatro vetores dependem do referencial usado e mudam sob as transformações de Lorentz para outros referenciais inerciais ou acelerados .

O momento angular relativístico é menos óbvio. A definição clássica de momento angular é o produto vetorial da posição x com o momento p para obter um pseudovetor x × p ou, alternativamente, como o produto externo para obter um tensor anti-simétrico de segunda ordem xp . Com o que isso combina, se houver alguma coisa? Há outra grandeza vetorial não discutida com frequência - é o momento variável do vetor polar de massa ( não o momento de inércia ) relacionado ao aumento do centro de massa do sistema, e isso se combina com o pseudovetor de momento angular clássico para formar um tensor anti - simétrico de segunda ordem, exatamente da mesma maneira que o vetor polar do campo elétrico se combina com o pseudovetor do campo magnético para formar o tensor anti-simétrico do campo eletromagnético. Para distribuições de massa-energia em rotação (como giroscópios , planetas , estrelas e buracos negros ) em vez de partículas pontuais, o tensor de momento angular é expresso em termos do tensor de tensão-energia do objeto em rotação.

Somente na relatividade especial, no quadro de repouso de um objeto girando, há um momento angular intrínseco análogo ao "spin" na mecânica quântica e na mecânica quântica relativística , embora para um corpo estendido em vez de uma partícula pontual. Na mecânica quântica relativística, as partículas elementares têm spin e esta é uma contribuição adicional para o operador de momento angular orbital , resultando no operador tensor de momento angular total . Em qualquer caso, a adição de "spin" intrínseca ao momento angular orbital de um objeto pode ser expressa em termos do pseudovetor Pauli-Lubanski .

Definições

O momento angular 3 como um bivetor (elemento plano) e vetor axial , de uma partícula de massa m com 3 posições x instantâneas e momento 3 p .

Momento angular orbital 3d

Para referência e plano de fundo, duas formas estreitamente relacionadas de momento angular são fornecidas.

Na mecânica clássica , o momento angular orbital de uma partícula com vetor de posição tridimensional instantâneo x = ( x , y , z ) e vetor de momento p = ( p x , p y , p z ), é definido como o vetor axial

que tem três componentes, que são sistematicamente dados por permutações cíclicas de direções cartesianas (por exemplo, mudar x para y, y para z, z para x, repetir)

Uma definição relacionada é conceber o momento angular orbital como um elemento plano . Isso pode ser alcançado substituindo o produto vetorial pelo produto exterior na linguagem da álgebra exterior , e o momento angular torna-se um tensor antissimétrico de segunda ordem contravariante

ou escrevendo x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x , y , z ) e vetor de momento p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ), o componentes podem ser abreviados compactamente em notação de índice de tensor

onde os índices i e j assumem os valores 1, 2, 3. Por outro lado, os componentes podem ser sistematicamente exibidos totalmente em uma matriz anti-simétrica 3 × 3

Essa quantidade é aditiva e, para um sistema isolado, o momento angular total de um sistema é conservado.

Momento de massa dinâmica

Na mecânica clássica, a quantidade tridimensional para uma partícula de massa m movendo-se com velocidade u

tem as dimensões do momento de massa - comprimento multiplicado pela massa. É igual à massa da partícula ou sistema de partículas multiplicada pela distância da origem do espaço ao centro de massa (COM) na origem do tempo (t = 0), medida no referencial do laboratório . Não existe um símbolo universal, nem mesmo um nome universal, para esta quantidade. Diferentes autores podem denotá-lo por outros símbolos, se houver (por exemplo, μ ), podem designar outros nomes e podem definir N como o negativo do que é usado aqui. A forma acima tem a vantagem de se assemelhar à conhecida transformação Galileana para posição, que por sua vez é a transformação não-relativística boost entre referenciais inerciais.

Este vetor também é aditivo: para um sistema de partículas, a soma do vetor é a resultante

onde a posição e velocidade do centro de massa do sistema e a massa total são respectivamente

, , .

Para um sistema isolado, N é conservado no tempo, o que pode ser visto pela diferenciação em relação ao tempo. O momento angular L é um pseudovetor, mas N é um vetor "comum" (polar) e, portanto, invariante sob inversão.

O N total resultante para um sistema multipartículas tem a visualização física de que, qualquer que seja o movimento complicado de todas as partículas, elas se movem de tal forma que o COM do sistema se move em linha reta. Isso não significa necessariamente que todas as partículas "seguem" o COM, nem que todas as partículas se movem quase na mesma direção simultaneamente, apenas que o movimento de todas as partículas é restringido em relação ao centro de massa.

Na relatividade especial, se a partícula se move com velocidade u em relação à estrutura do laboratório, então

Onde

é o factor de Lorentz e m é a massa (ou seja, a massa em repouso) da partícula. O momento de massa relativístico correspondente em termos de m , u , p , E , no mesmo referencial de laboratório é

Os componentes cartesianos são

Relatividade especial

Transformações de coordenadas para um impulso na direção x

Considere um quadro de coordenadas F ′ que se move com velocidade v = ( v , 0, 0) em relação a outro quadro F, ao longo da direção dos eixos xx ′ coincidentes . As origens dos dois quadros de coordenadas coincidem nos tempos t = t ′ = 0. A massa-energia E = mc 2 e componentes de momento p = ( p x , p y , p z ) de um objeto, bem como as coordenadas de posição x = ( x , y , z ) e o tempo t no quadro F são transformados em E ′ = mc 2 , p ′ = ( p x ′, p y ′, p z ′), x ′ = ( x ′, y ′, Z ′), e t ′ em F ′ de acordo com as transformações de Lorentz

O fator de Lorentz aqui se aplica à velocidade v , a velocidade relativa entre os quadros. Isso não é necessariamente o mesmo que a velocidade u de um objeto.

Para o momento angular 3 orbital L como um pseudovetor, temos

Derivação

Para o componente x

o componente y

e componente z

Nos segundos termos de L y ′ e L z ′, os componentes y e z do produto vetorial v × N podem ser inferidos pelo reconhecimento de permutações cíclicas de v x = v e v y = v z = 0 com os componentes de N ,

Agora, L x é paralelo à velocidade relativa v , e os outros componentes L y e L z são perpendiculares a v . A correspondência paralelo-perpendicular pode ser facilitada pela divisão de todo o pseudovetor de momento angular 3 em componentes paralelos (∥) e perpendiculares (⊥) av , em cada quadro,

Em seguida, as equações dos componentes podem ser coletadas nas equações do pseudovetor

Portanto, os componentes do momento angular ao longo da direção do movimento não mudam, enquanto os componentes perpendiculares mudam. Em contraste com as transformações do espaço e do tempo, o tempo e as coordenadas espaciais mudam ao longo da direção do movimento, enquanto as perpendiculares não.

Essas transformações são verdadeiras para todos os v , não apenas para o movimento ao longo dos eixos xx ′ .

Considerando L como um tensor, obtemos um resultado semelhante

Onde

O aumento do momento de massa dinâmica ao longo da direção x é

Derivação

Para o componente x

o componente y

e componente z

Coletando componentes paralelos e perpendiculares como antes

Novamente, os componentes paralelos à direção do movimento relativo não mudam, aqueles perpendiculares mudam.

Transformações de vetor para um impulso em qualquer direção

Até agora, essas são apenas as decomposições paralelas e perpendiculares dos vetores. As transformações nos vetores completos podem ser construídas a partir deles como segue (em todo aqui L é um pseudovetor para concretude e compatibilidade com álgebra vetorial).

Introduza um vetor unitário na direção de v , dado por n = v / v . As componentes paralelas são dadas pela projeção vetorial de L ou N em n

enquanto o componente perpendicular pela rejeição do vetor de L ou N de n

e as transformações são

ou restabelecendo v = v n ,

Estas são muito semelhantes às transformações de Lorentz do campo elétrico E e do campo magnético B , consulte Eletromagnetismo clássico e relatividade especial .

Alternativamente, a partir das transformações vetoriais de Lorentz de tempo, espaço, energia e momento, para um aumento com a velocidade v ,

inserir estes nas definições

dá as transformações.

Derivação de transformações vetoriais diretamente

O momento angular orbital em cada quadro são

então, pegando o produto cruzado das transformações

Usando a regra de produto triplo

e junto com a definição de N temos

Restabelecendo o vetor unitário n ,

Como na transformação há um produto vetorial à esquerda com n ,

então

4d Momento angular como um bivetor

Na mecânica relativística, o impulso COM e o momento angular orbital de 3 espaços de um objeto em rotação são combinados em um bivetor quadridimensional em termos de quatro posições X e quatro momentos P do objeto

Em componentes

que são seis quantidades independentes ao todo. Uma vez que os componentes de X e P são dependentes do quadro, M também . Três componentes

são aqueles do familiar momento angular orbital clássico de 3 espaços, e os outros três

são o momento de massa relativístico, multiplicado por - c . O tensor é anti-simétrico;

Os componentes do tensor podem ser sistematicamente exibidos como uma matriz

em que a última matriz é uma matriz de bloco formada tratando N como um vetor linha cuja matriz transpõe para o vetor coluna N T e xp como uma matriz 3 × 3 antissimétrica . As linhas são inseridas apenas para mostrar onde estão os blocos.

Novamente, este tensor é aditivo: o momento angular total de um sistema é a soma dos tensores de momento angular para cada constituinte do sistema:

Cada um dos seis componentes forma uma quantidade conservada quando agregado aos componentes correspondentes para outros objetos e campos.

O tensor de momento angular M é de fato um tensor, os componentes mudam de acordo com uma matriz de transformação de Lorentz Λ, conforme ilustrado da maneira usual pela notação de índice de tensor

onde, para um aumento (sem rotações) com velocidade normalizada β = v / c , os elementos da matriz de transformação de Lorentz são

e os componentes covariante β i e contravariante β i de β são os mesmos, uma vez que são apenas parâmetros.

Em outras palavras, pode-se Lorentz transformar as quatro posições e quatro momentos separadamente, e então antissimetrizar esses componentes recém-encontrados para obter o tensor de momento angular no novo referencial.

Transformações de vetor derivadas das transformações de tensor

A transformação dos componentes de impulso são

quanto ao momento angular orbital

As expressões nas entradas de transformação de Lorentz são

ou em forma de vetor, dividindo-se por c

ou restabelecendo β = v / c ,

e

ou convertendo para a forma de pseudovetor

em notação vetorial

ou restabelecendo β = v / c ,

Rotação de corpo rígido

Para uma partícula se movendo em uma curva, o produto vetorial de sua velocidade angular ω (um pseudovetor) e a posição x fornecem sua velocidade tangencial

que não pode exceder a magnitude de c , uma vez que em SR a velocidade de translação de qualquer objeto massivo não pode exceder a velocidade da luz c . Matematicamente, essa restrição é 0 ≤ | u | < c , as barras verticais denotam a magnitude do vetor. Se o ângulo entre ω e x for θ (assumido como diferente de zero, caso contrário, u seria zero correspondendo a nenhum movimento), então | u | = | ω || x | sin  θ e a velocidade angular é restrita por

A velocidade angular máxima de qualquer objeto massivo, portanto, depende do tamanho do objeto. Para um dado | x |, o limite superior mínimo ocorre quando ω e x são perpendiculares, de modo que θ = π / 2 e sin  θ = 1.

Para um corpo rígido em rotação com velocidade angular ω , u é a velocidade tangencial em um ponto x dentro do objeto. Para cada ponto no objeto, existe uma velocidade angular máxima.

A velocidade angular (pseudovetor) está relacionada ao momento angular (pseudovetor) através do momento tensor de inércia I

(o ponto · denota a contração do tensor em um índice). O momento angular relativístico também é limitado pelo tamanho do objeto.

Giro na relatividade especial

Quatro giros

Uma partícula pode ter um momento angular "embutido" independente de seu movimento, denominado spin e denotado s . É um pseudovetor 3d como momento angular orbital L .

O spin tem um momento magnético de spin correspondente , portanto, se a partícula estiver sujeita a interações (como campos eletromagnéticos ou acoplamento spin-órbita ), a direção do vetor de spin da partícula mudará, mas sua magnitude será constante.

A extensão para a relatividade especial é direta. Para algum referencial de laboratório F, seja F ′ o referencial restante da partícula e suponha que a partícula se mova com uma velocidade constante de 3 u . Então F ′ é aumentado com a mesma velocidade e as transformações de Lorentz são aplicadas como de costume; é mais conveniente usar β = u / c . Como um quatro-vetor na relatividade especial, o quatro-spin S geralmente assume a forma usual de um quatro-vetor com um componente semelhante ao tempo s t e componentes espaciais s , no quadro do laboratório

embora no quadro de repouso da partícula, seja definido de forma que o componente semelhante ao tempo seja zero e os componentes espaciais sejam aqueles do vetor de spin real da partícula, na notação aqui s ′, portanto, no quadro da partícula

Equacionar normas leva à relação invariável

então, se a magnitude do spin é dada no referencial de repouso da partícula e no referencial do laboratório de um observador, a magnitude do componente semelhante ao tempo s t também é dada no referencial do laboratório.

Transformações de vetor derivadas das transformações de tensor

Os componentes impulsionados dos quatro giros em relação ao quadro do laboratório são

Aqui γ = γ ( u ). S ′ está no referencial de repouso da partícula, então seu componente semelhante ao tempo é zero, S0 = 0 , não S 0 . Além disso, o primeiro é equivalente ao produto interno da velocidade quatro (dividida por c ) e do spin quatro. Combinar esses fatos leva a

que é um invariante. Então, isso combinado com a transformação no componente semelhante ao tempo leva ao componente percebido no quadro do laboratório;

As relações inversas são

A restrição covariante no spin é ortogonalidade ao vetor velocidade,

Na notação de 3 vetores para explicitação, as transformações são

As relações inversas

são os componentes do quadro de rotação do laboratório, calculados a partir daqueles no quadro de repouso da partícula. Embora o spin da partícula seja constante para uma determinada partícula, parece ser diferente no referencial do laboratório.

O pseudovetor Pauli-Lubanski

O pseudovetor Pauli-Lubanski

aplica-se a partículas massivas e sem massa .

Decomposição spin-orbital

Em geral, o tensor de momento angular total se divide em um componente orbital e um componente de spin ,

Isso se aplica a uma partícula, uma distribuição de massa-energia-momento ou campo.

Momento angular de uma distribuição massa-energia-momento

Momento angular do tensor massa-energia-momento

A seguir está um resumo do MTW . Para simplificar, as coordenadas cartesianas são assumidas. Na relatividade especial e geral, uma distribuição de massa-energia-momento, por exemplo, um fluido ou uma estrela, é descrita pelo tensor tensão-energia T βγ (um campo tensor de segunda ordem dependendo do espaço e do tempo). Uma vez que T 00 é a densidade de energia, T j 0 para j = 1, 2, 3 é o j- ésimo componente do momento 3d do objeto por unidade de volume, e T ij forma componentes do tensor de tensão, incluindo cisalhamento e tensões normais, o orbital densidade de momento angular sobre o vetor de posição 4 X β é dada por um tensor de 3ª ordem

Isso é anti-simétrico em α e β . Na relatividade especial e geral, T é um tensor simétrico, mas em outros contextos (por exemplo, teoria quântica de campos), pode não ser.

Seja Ω uma região do espaço-tempo 4d. O limite é uma hipersuperfície do espaço-tempo 3d ("volume da superfície do espaço-tempo" em oposição a "área da superfície espacial"), denotada por ∂Ω onde "∂" significa "limite". Integrar a densidade do momento angular ao longo de uma hipersuperfície de espaço-tempo 3d produz o tensor de momento angular em torno de X ,

onde dΣ γ é a forma do volume 1 desempenhando o papel de um vetor unitário normal a uma superfície 2d no espaço 3d euclidiano ordinário. A integral é tomada sobre o coordenadas X , não X . O integral dentro de uma superfície semelhante a um espaço de tempo constante é

que coletivamente formam o tensor de momento angular.

Momento angular sobre o centro de massa

Há um momento angular intrínseco no referencial do centro de massa, em outras palavras, o momento angular sobre qualquer evento

na palavra do centro de massa do objeto. Uma vez que T 00 é a densidade de energia do objeto, as coordenadas espaciais do centro de massa são dadas por

Definir Y = X COM obtém a densidade do momento angular orbital em torno do centro de massa do objeto.

Conservação do momento angular

A conservação da energia-momento é dada em forma diferencial pela equação de continuidade

onde ∂ γ é o gradiente quatro . (Em coordenadas não cartesianas e relatividade geral, isso seria substituído pela derivada covariante ). A conservação do momento angular total é dada por outra equação de continuidade

As equações integrais usam o teorema de Gauss no espaço-tempo

Torque na relatividade especial

O torque atuando em uma partícula semelhante a um ponto é definido como a derivada do tensor de momento angular dado acima com relação ao tempo adequado:

ou em componentes tensores:

onde F é a força que actua sobre o 4d partícula no evento X . Tal como acontece com o momento angular, o torque é aditivo, portanto, para um objeto estendido, soma-se ou integra-se sobre a distribuição da massa.

Momento angular como gerador de impulsos e rotações do espaço-tempo

O tensor de momento angular é o gerador de impulsos e rotações para o grupo de Lorentz . Os impulsos de Lorentz podem ser parametrizados por rapidez e um vetor de unidade 3d n apontando na direção do impulso, que se combinam no "vetor de rapidez"

onde β = v / c é a velocidade do movimento relativo dividido pela velocidade da luz. As rotações espaciais podem ser parametrizadas pela representação eixo-ângulo , o ângulo θ e um vetor unitário a apontando na direção do eixo, que se combinam em um "vetor eixo-ângulo"

Cada vetor unitário possui apenas dois componentes independentes, o terceiro é determinado a partir da magnitude da unidade. Ao todo, existem seis parâmetros do grupo Lorentz; três para rotações e três para impulsos. O grupo de Lorentz (homogêneo) é 6-dimensional.

Os geradores de impulso K e os geradores de rotação J podem ser combinados em um gerador para transformações de Lorentz; M o tensor de momento angular antissimétrico, com componentes

e, correspondentemente, os parâmetros de impulso e rotação são coletados em outra matriz quadridimensional anti-simétrica ω , com entradas:

onde a convenção de soma sobre os índices repetidos i, j, k foi usada para evitar sinais de soma desajeitados. A transformação geral de Lorentz é então dada pela matriz exponencial

e a convenção de soma foi aplicada aos índices de matriz repetidos α e β .

A transformação de Lorentz geral Λ é a lei de transformação para quaisquer quatro vetores A = ( A 0 , A 1 , A 2 , A 3 ), dando as componentes deste mesmo vetor 4 em outro referencial inercial

O tensor de momento angular forma 6 dos 10 geradores do grupo de Poincaré , os outros quatro são os componentes do momento quatro para translações do espaço-tempo.

Momento angular na relatividade geral

O momento angular das partículas de teste em um fundo suavemente curvo é mais complicado em GR, mas pode ser generalizado de maneira direta. Se o Lagrangeano é expresso em relação às variáveis ​​angulares como as coordenadas generalizadas , então os momentos angulares são as derivadas funcionais do Lagrangeano com respeito às velocidades angulares . Referidas às coordenadas cartesianas, elas são normalmente fornecidas pelos termos de cisalhamento fora da diagonal da parte semelhante a espaço do tensor tensão-energia . Se o espaço-tempo suportar um campo vetorial Killing tangente a um círculo, então o momento angular em torno do eixo é conservado.

Também se deseja estudar o efeito de uma massa compacta em rotação em seu espaço-tempo circundante. A solução do protótipo é da métrica Kerr , que descreve o espaço-tempo em torno de um buraco negro axialmente simétrico . Obviamente, é impossível traçar um ponto no horizonte de eventos de um buraco negro de Kerr e observá-lo circular. No entanto, a solução suporta uma constante do sistema que atua matematicamente de forma semelhante a um momento angular.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Relatividade especial

Relatividade geral

links externos