Mecânica relativística - Relativistic mechanics

Na física , a mecânica relativística se refere à mecânica compatível com a relatividade especial (SR) e a relatividade geral (GR). Ele fornece uma descrição da mecânica não quântica de um sistema de partículas, ou de um fluido , nos casos em que as velocidades de objetos em movimento são comparáveis ​​à velocidade da luz c . Como resultado, a mecânica clássica é estendida corretamente para partículas viajando em altas velocidades e energias, e fornece uma inclusão consistente do eletromagnetismo com a mecânica das partículas. Isso não era possível na relatividade galileana, onde seria permitido que as partículas e a luz viajassem a qualquer velocidade, inclusive mais rápido que a luz. Os fundamentos da mecânica relativística são os postulados da relatividade especial e da relatividade geral. A unificação da SR com a mecânica quântica é a mecânica quântica relativística , enquanto as tentativas de GR é a gravidade quântica , um problema não resolvido na física .

Tal como acontece com a mecânica clássica, o assunto pode ser dividido em " cinemática "; a descrição do movimento especificando posições , velocidades e acelerações , e " dinâmica "; uma descrição completa considerando energias , momentos e momentos angulares e suas leis de conservação e forças que atuam sobre as partículas ou exercidas por partículas. No entanto, há uma sutileza; o que parece estar "em movimento" e o que está "em repouso" - o que é denominado por " estática " na mecânica clássica - depende do movimento relativo dos observadores que medem em quadros de referência .

Embora algumas definições e conceitos da mecânica clássica sejam transportados para SR, como a força como a derivada do tempo do momento ( segunda lei de Newton ), o trabalho feito por uma partícula como a integral de linha da força exercida na partícula ao longo de um caminho, e poder como o tempo derivado do trabalho realizado, há uma série de modificações significativas nas definições e fórmulas restantes. SR afirma que o movimento é relativo e as leis da física são as mesmas para todos os experimentadores, independentemente de seus referenciais inerciais . Além de modificar as noções de espaço e tempo , SR força a reconsiderar os conceitos de massa , momento e energia, todos construtos importantes na mecânica newtoniana . SR mostra que esses conceitos são todos aspectos diferentes da mesma quantidade física, da mesma forma que mostra que o espaço e o tempo estão inter-relacionados. Consequentemente, outra modificação é o conceito de centro de massa de um sistema, que é simples de definir na mecânica clássica, mas muito menos óbvio na relatividade - ver centro de massa relativístico para detalhes.

As equações tornam-se mais complicadas no formalismo do cálculo vetorial tridimensional mais familiar , devido à não linearidade no fator de Lorentz , que explica com precisão a dependência da velocidade relativística e o limite de velocidade de todas as partículas e campos. No entanto, elas têm uma forma simples e elegante em quatro -dimensional espaço-tempo , que inclui plana espaço Minkowski (SR) e o espaço-tempo curvo (GR), porque vectores tridimensionais derivados de espaço e escalares derivada de tempos pode ser recolhida em quatro vectores , ou tensores quadridimensionais . No entanto, o tensor de momento angular de seis componentes às vezes é chamado de bivetor porque, no ponto de vista 3D, são dois vetores (um deles, o momento angular convencional, sendo um vetor axial ).

Cinemática relativística

A velocidade relativística de quatro, que é o vetor de quatro que representa a velocidade na relatividade, é definida da seguinte forma:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {\ mathbf {X}}}} {d \ tau}} = \ left ({\ frac {cdt} {d \ tau}}, {\ frac {d \ mathbf {x}} {d \ tau}} \ right)}$

Acima, é o tempo adequado do caminho através do espaço - tempo , chamado de linha do mundo, seguido pela velocidade do objeto que o acima representa, e ${\ displaystyle {\ tau}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {X}}} = (ct, \ mathbf {x})}$

é a posição de quatro ; as coordenadas de um evento . Devido à dilatação do tempo , o tempo adequado é o tempo entre dois eventos em um quadro de referência onde ocorrem no mesmo local. O tempo adequado está relacionado ao tempo coordenado t por:

${\ displaystyle {\ frac {d \ tau} {dt}} = {\ frac {1} {\ gamma (\ mathbf {v})}}}$

onde está o fator Lorentz : ${\ displaystyle {\ gamma} (\ mathbf {v})}$

${\ displaystyle \ gamma (\ mathbf {v}) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} / c ^ {2}}}} \, \ rightleftharpoons \, \ gamma (v) = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}.}$

(qualquer uma das versões pode ser citada), assim segue:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = \ gamma (\ mathbf {v}) (c, \ mathbf {v})}$

Os três primeiros termos, exceto o fator de , são a velocidade vista pelo observador em seu próprio referencial. O é determinado pela velocidade entre o referencial do observador e o referencial do objeto, que é o referencial no qual seu próprio tempo é medido. Essa quantidade é invariante sob a transformação de Lorentz, portanto, para verificar o que um observador em um referencial diferente vê, basta multiplicar o vetor de quatro velocidades pela matriz de transformação de Lorentz entre os dois referenciais. ${\ displaystyle {\ gamma (\ mathbf {v})}}$${\ displaystyle {\ gamma (\ mathbf {v})}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

Dinâmica relativística

Massa de repouso e massa relativística

A massa de um objeto medida em seu próprio referencial é chamada de massa de repouso ou massa invariante e às vezes é escrita . Se um objeto se move com velocidade em algum outro referencial, a quantidade é freqüentemente chamada de "massa relativística" do objeto nesse referencial. Alguns autores usam para denotar a massa de repouso, mas por uma questão de clareza, este artigo seguirá a convenção de uso para massa relativística e massa de repouso. ${\ displaystyle m_ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle m = \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m_ {0}}$

Lev Okun sugeriu que o conceito de massa relativística "não tem justificativa racional hoje" e não deveria mais ser ensinado. Outros físicos, incluindo Wolfgang Rindler e TR Sandin, afirmam que o conceito é útil. Veja missa na relatividade especial para mais informações sobre este debate.

Uma partícula cuja massa de repouso é zero é chamada de sem massa . Acredita-se que fótons e grávitons não tenham massa, e os neutrinos quase isso.

Energia relativística e momentum

Existem algumas maneiras (equivalentes) de definir momentum e energia em SR. Um método usa leis de conservação . Para que essas leis permaneçam válidas em RS, elas devem ser verdadeiras em todos os referenciais possíveis. No entanto, se alguém fizer alguns experimentos mentais simples usando as definições newtonianas de momento e energia, verá que essas quantidades não são conservadas em RS. Pode-se resgatar a ideia de conservação fazendo algumas pequenas modificações nas definições para dar conta das velocidades relativísticas . São essas novas definições que são tomadas como as corretas para momentum e energia em RS.

O quatro-momento de um objeto é direto, idêntico em forma ao momento clássico, mas substituindo 3-vetores por 4-vetores:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathbf {P}}} = m_ {0} {\ boldsymbol {\ mathbf {U}}} = (E / c, \ mathbf {p})}$

A energia e o momento de um objeto com massa invariante , movendo-se com velocidade em relação a um determinado referencial, são respectivamente dados por ${\ displaystyle m_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E & = \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} c ^ {2} \\\ mathbf {p} & = \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0 } \ mathbf {v} \ end {alinhado}}}$

O fator vem da definição das quatro velocidades descritas acima. A aparência de pode ser expressa de forma alternativa, o que será explicado na próxima seção. ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$

A energia cinética , é definida como ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle K = (\ gamma -1) m_ {0} c ^ {2} = E-m_ {0} c ^ {2} \ ,,}$

e a velocidade em função da energia cinética é dada por

${\ displaystyle v = c {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {m_ {0} c ^ {2}} {K + m_ {0} c ^ {2}}} \ right) ^ {2} }} = {\ frac {c {\ sqrt {K (K + 2m_ {0} c ^ {2})}}} {K + m_ {0} c ^ {2}}} = {\ frac {c { \ sqrt {(E-m_ {0} c ^ {2}) (E + m_ {0} c ^ {2})}}} {E}} = {\ frac {pc ^ {2}} {E} } \ ,.}$

O momento espacial pode ser escrito como , preservando a forma da mecânica newtoniana com a massa relativística substituída pela massa newtoniana. No entanto, essa substituição falha para algumas quantidades, incluindo força e energia cinética. Além disso, a massa relativística não é invariante sob as transformações de Lorentz, enquanto a massa restante é. Por esta razão, muitas pessoas preferem usar a massa de repouso e explicar explicitamente por meio da velocidade de 4 ou tempo coordenado. ${\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ gamma}$

Uma relação simples entre energia, momento e velocidade pode ser obtida a partir das definições de energia e momento, multiplicando a energia por , multiplicando o momento por e observando que as duas expressões são iguais. Isso produz ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle c ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {p} c ^ {2} = E \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v}}$pode então ser eliminado dividindo esta equação por e elevando ao quadrado, ${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle (pc) ^ {2} = E ^ {2} (v / c) ^ {2}}$

dividindo a definição de energia por e quadrando, ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle E ^ {2} \ left (1- (v / c) ^ {2} \ right) = \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2}}$

e substituindo:

${\ displaystyle E ^ {2} - (pc) ^ {2} = \ left (m_ {0} c ^ {2} \ right) ^ {2}}$

Esta é a relação relativística energia-momento .

Enquanto a energia e o momento dependem do quadro de referência em que são medidos, a quantidade é invariável. Seu valor é multiplicado pela magnitude ao quadrado do vetor de 4 momentos . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle E ^ {2} - (pc) ^ {2}}$${\ displaystyle -c ^ {2}}$

A massa invariante de um sistema pode ser escrita como

${\ displaystyle {m_ {0}} _ {\ text {tot}} = {\ frac {\ sqrt {E _ {\ text {tot}} ^ {2} - (p _ {\ text {tot}} c) ^ {2}}} {c ^ {2}}}}$

Devido à energia cinética e à energia de ligação, essa quantidade é diferente da soma das massas restantes das partículas que compõem o sistema. A massa de repouso não é uma quantidade conservada na relatividade especial, ao contrário da situação na física newtoniana. No entanto, mesmo que um objeto esteja mudando internamente, desde que não troque energia ou momento com seu entorno, sua massa de repouso não mudará e pode ser calculada com o mesmo resultado em qualquer referencial.

Equivalência massa-energia

A equação relativística de energia-momento vale para todas as partículas, mesmo para partículas sem massa para as quais m ₀ = 0. Neste caso:

${\ displaystyle E = pc}$

Quando substituído em Ev  =  c ² p , isso resulta em v  =  c : partículas sem massa (como os fótons ) sempre viajam à velocidade da luz.

Observe que a massa de repouso de um sistema composto geralmente será ligeiramente diferente da soma das massas de repouso de suas partes, uma vez que, em seu referencial de repouso, sua energia cinética aumentará sua massa e sua energia de ligação (negativa) diminuirá sua massa. Em particular, uma hipotética "caixa de luz" teria massa em repouso, embora seja feita de partículas que não têm, já que seus momentos se cancelariam.

Olhando para a fórmula acima para a massa invariante de um sistema, pode-se ver que, quando um único objeto massivo está em repouso ( v = 0 , p = 0 ), há uma massa diferente de zero remanescente: m ₀ = E / c ² . A energia correspondente, que também é a energia total quando uma única partícula está em repouso, é chamada de "energia de repouso". Em sistemas de partículas que são vistos de um referencial inercial em movimento, a energia total aumenta e o mesmo acontece com o momento. No entanto, para partículas individuais a massa de repouso permanece constante, e para sistemas de partículas a massa invariante permanece constante, porque em ambos os casos, a energia e o momento aumentam subtraem um do outro e se cancelam. Assim, a massa invariante dos sistemas de partículas é uma constante calculada para todos os observadores, assim como a massa restante das partículas individuais.

A massa dos sistemas e conservação da massa invariante

Para sistemas de partículas, a equação energia-momento requer a soma dos vetores de momento das partículas:

${\ displaystyle E ^ {2} - \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {p} c ^ {2} = m_ {0} ^ {2} c ^ {4}}$

O referencial inercial no qual os momentos de todas as partículas somam zero é chamado de referencial do centro do momento . Neste referencial especial, a equação relativística energia-momento tem p = 0 e, portanto, dá a massa invariante do sistema apenas como a energia total de todas as partes do sistema, dividida por c ²

${\ displaystyle m_ {0, \, {\ rm {system}}} = \ sum _ {n} E_ {n} / c ^ {2}}$

Esta é a massa invariante de qualquer sistema que é medida em um quadro onde tem momento total zero, como uma garrafa de gás quente em uma escala. Nesse sistema, a massa que a balança pesa é a massa invariante e depende da energia total do sistema. É, portanto, mais do que a soma das massas restantes das moléculas, mas também inclui todas as energias totalizadas no sistema. Como a energia e o momento, a massa invariante dos sistemas isolados não pode ser alterada enquanto o sistema permanecer totalmente fechado (nenhuma massa ou energia permitida para dentro ou para fora), porque a energia relativística total do sistema permanece constante enquanto nada pode entrar ou deixar.

Um aumento na energia de tal sistema que é causado pela translação do sistema para um referencial inercial que não é o referencial do centro do momento , causa um aumento na energia e no momento sem um aumento na massa invariante. E = m ₀ c ² , no entanto, aplica-se apenas a sistemas isolados em sua estrutura de centro de momento, onde o momento é igual a zero.

Tomando essa fórmula ao pé da letra, vemos que, na relatividade, a massa é simplesmente energia com outro nome (e medida em unidades diferentes). Em 1927, Einstein comentou sobre a relatividade especial: "Segundo essa teoria, a massa não é uma magnitude inalterável, mas uma magnitude dependente (e, de fato, idêntica) à quantidade de energia."

Sistemas fechados (isolados)

Em um sistema "totalmente fechado" (isto é, sistema isolado ), a energia total, o momento total e, portanto, a massa invariante total são conservados. A fórmula de Einstein para a mudança na massa se traduz em sua forma mais simples Δ E = Δ mc ² , no entanto, apenas em sistemas não fechados nos quais a energia pode escapar (por exemplo, como calor e luz) e, portanto, a massa invariante é reduzida. A equação de Einstein mostra que tais sistemas devem perder massa, de acordo com a fórmula acima, na proporção da energia que perdem para o ambiente. Inversamente, se pudermos medir as diferenças de massa entre um sistema antes de sofrer uma reação que libera calor e luz, e o sistema após a reação quando o calor e a luz escaparam, pode-se estimar a quantidade de energia que escapa do sistema.

Reações químicas e nucleares

Em ambas as reações nucleares e químicas, essa energia representa a diferença nas energias de ligação dos elétrons nos átomos (para química) ou entre os núcleos nos núcleos (nas reações atômicas). Em ambos os casos, a diferença de massa entre reagentes e produtos (resfriados) mede a massa de calor e luz que escapará da reação e, portanto, (usando a equação) dá a energia equivalente de calor e luz que pode ser emitida se a reação continuar .

Na química, as diferenças de massa associadas à energia emitida estão em torno de ^10-9 da massa molecular. Porém, nas reações nucleares as energias são tão grandes que estão associadas a diferenças de massa, que podem ser estimadas com antecedência, se os produtos e reagentes forem pesados ​​(os átomos podem ser pesados ​​indiretamente usando massas atômicas, que são sempre as mesmas para cada nuclídeo ). Assim, a fórmula de Einstein torna-se importante quando se medem as massas de diferentes núcleos atômicos. Observando a diferença de massas, pode-se prever quais núcleos possuem energia armazenada que pode ser liberada por determinadas reações nucleares , fornecendo informações importantes que foram úteis no desenvolvimento da energia nuclear e, conseqüentemente, da bomba nuclear . Historicamente, por exemplo, Lise Meitner foi capaz de usar as diferenças de massa nos núcleos para estimar que havia energia suficiente disponível para tornar a fissão nuclear um processo favorável. As implicações dessa forma especial da fórmula de Einstein tornaram-na uma das equações mais famosas de toda a ciência.

Centro do quadro de impulso

A equação E  =  m ₀ c ² se aplica apenas a sistemas isolados em seu referencial de centro de momento . Tem sido popularmente mal interpretado como significando que a massa pode ser convertida em energia, após o que a massa desaparece. No entanto, as explicações populares da equação aplicada a sistemas incluem sistemas abertos (não isolados) para os quais o calor e a luz podem escapar, quando de outra forma teriam contribuído para a massa ( massa invariante ) do sistema.

Historicamente, a confusão sobre a massa ser "convertida" em energia foi auxiliada pela confusão entre massa e " matéria ", onde a matéria é definida como partículas de férmions . Nessa definição, a radiação eletromagnética e a energia cinética (ou calor) não são consideradas "matéria". Em algumas situações, a matéria pode de fato ser convertida em formas de energia não-matéria (veja acima), mas em todas essas situações, as formas de energia matéria e não-matéria ainda retêm sua massa original.

Para sistemas isolados (fechados a todas as trocas de massa e energia), a massa nunca desaparece no centro da estrutura do momento, porque a energia não pode desaparecer. Em vez disso, esta equação, no contexto, significa apenas que quando qualquer energia é adicionada ou escapa de um sistema no referencial do centro de momento, o sistema será medido como tendo ganho ou perdido massa, em proporção à energia adicionada ou removido. Assim, em teoria, se uma bomba atômica fosse colocada em uma caixa forte o suficiente para conter sua explosão e detonada em uma escala, a massa desse sistema fechado não mudaria e a escala não se moveria. Somente quando uma "janela" transparente fosse aberta na caixa cheia de plasma super-forte, e a luz e o calor escapassem em um feixe e os componentes da bomba esfriassem, o sistema perderia a massa associada à energia do explosão. Em uma bomba de 21 quilotons, por exemplo, cerca de um grama de luz e calor é criado. Se o calor e a luz escapassem, os restos da bomba perderiam um grama de massa, à medida que esfriasse. Nesse experimento mental, a luz e o calor carregam o grama de massa e, portanto, depositam esse grama de massa nos objetos que os absorvem.

Momento angular

Na mecânica relativística, o momento de massa variável no tempo

${\ displaystyle \ mathbf {N} = m \ left (\ mathbf {x} -t \ mathbf {v} \ right)}$

e momento angular orbital 3

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {x} \ times \ mathbf {p}}$

de uma partícula semelhante a um ponto são combinados em um bivetor quadridimensional em termos da posição X de 4 e do momento P de 4 da partícula:

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {X} \ wedge \ mathbf {P}}$

onde ∧ denota o produto externo . Este tensor é aditivo: o momento angular total de um sistema é a soma dos tensores de momento angular de cada constituinte do sistema. Assim, para uma montagem de partículas discretas, soma-se os tensores de momento angular sobre as partículas, ou integra a densidade do momento angular sobre a extensão de uma distribuição contínua de massa.

Cada um dos seis componentes forma uma quantidade conservada quando agregado aos componentes correspondentes para outros objetos e campos.

Força

Na relatividade especial, a segunda lei de Newton não se mantém na forma F = m a , mas sim se for expressa como

${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}}}$

onde p = γ ( v ) m ₀ v é o momento definido acima e m ₀ é a massa invariante . Assim, a força é dada por

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ { 0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp}}$

Derivação

Começando de ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m_ {0} {\ frac {d (\ gamma (\ mathbf {v}) \, \ mathbf {v})} {dt}} = m_ {0} \ left ({ \ frac {d \ gamma (\ mathbf {v})} {dt}} \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} \direito).}$ Realizar os derivados dá ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0}} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} \ right) \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a}.}$ Se a aceleração for separada na parte paralela à velocidade ( a ∥ ) e na parte perpendicular a ela ( a ⊥ ) , de modo que: ${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ mathbf {a} _ {\ perp} \ ,, \ quad \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ perp} = 0 \ ,, \ quad \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} = \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel} \ ,,}$ um consegue ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0}} {c ^ {2}}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel} \ right) \, \ mathbf {v} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, (\ mathbf {a} _ {\ perp} + \ mathbf { a} _ {\ parallel}) \ ,.}$ Por construção a ∥ e v são paralelos, então ( v · a ∥ ) v é um vetor com magnitude v 2 a ∥ na direção de v (e portanto a ∥ ) que permite a substituição: ${\ displaystyle (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a} _ {\ parallel}) \ mathbf {v} = v ^ {2} \ mathbf {a} _ {\ parallel}}$ então ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {F} & = {\ frac {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} v ^ {2}} {c ^ {2}} } \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, (\ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ mathbf {a} _ {\ perp }) \\ & = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + {\ frac {1 } {\ gamma (\ mathbf {v}) ^ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a } _ {\ perp} \\ & = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + 1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v}) m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp} \\ & = \ gamma (\ mathbf {v}) ^ {3} m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ parallel} + \ gamma (\ mathbf {v} ) m_ {0} \, \ mathbf {a} _ {\ perp} \ end {alinhado}} \,}$

Consequentemente, em alguns textos antigos, γ ( v ) ³ m ₀ é referido como a massa longitudinal , e γ ( v ) m ₀ é referido como a massa transversal , que é numericamente igual à massa relativística . Veja a massa na relatividade especial .

Se inverter isso para calcular a aceleração da força, obtém-se

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {1} {m_ {0} \ gamma (\ mathbf {v})}} \ left (\ mathbf {F} - {\ frac {(\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {F}) \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \ ,.}$

A força descrita nesta seção é a força 3-D clássica, que não é um vetor quádruplo . Essa força 3-D é o conceito apropriado de força, pois é a força que obedece à terceira lei do movimento de Newton . Não deve ser confundida com a chamada força quádrupla, que é meramente a força 3-D na estrutura móvel do objeto transformado como se fosse um quatro vetores. No entanto, a densidade da força 3-D (momento linear transferido por unidade de quatro volumes ) é um vetor quatro ( densidade de peso +1) quando combinada com o negativo da densidade de potência transferida.

Torque

O torque atuando em uma partícula semelhante a um ponto é definido como a derivada do tensor de momento angular dado acima com relação ao tempo adequado:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Gamma}} = {\ frac {d \ mathbf {M}} {d \ tau}} = \ mathbf {X} \ wedge \ mathbf {F}}$

ou em componentes tensores:

${\ displaystyle \ Gamma _ {\ alpha \ beta} = X _ {\ alpha} F _ {\ beta} -X _ {\ beta} F _ {\ alpha}}$

onde F é a força que actua sobre o 4d partícula no evento X . Tal como acontece com o momento angular, o torque é aditivo, portanto, para um objeto estendido, soma-se ou integra-se sobre a distribuição da massa.

Energia cinética

O teorema da energia de trabalho diz que a mudança na energia cinética é igual ao trabalho realizado no corpo. Na relatividade especial:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ Delta K = W = [\ gamma _ {1} - \ gamma _ {0}] m_ {0} c ^ {2}. \ end {alinhado}}}$

Derivação

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Delta K = W & = \ int _ {\ mathbf {x} _ {0}} ^ {\ mathbf {x} _ {1}} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {x} \\ & = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ frac {d} {dt}} (\ gamma m_ {0} \ mathbf {v}) \ cdot \ mathbf {v} dt \\ & = \ left. \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ gamma m_ {0} \ mathbf {v} \ cdot {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} dt \\ & = \ left. \ gamma m_ {0} v ^ {2} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - m_ {0} \ int _ {v_ {0}} ^ {v_ {1}} \ gamma v \, dv \\ & = m_ {0} \ left (\ left. \ gamma v ^ {2} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} - c ^ {2} \ int _ {v_ {0}} ^ {v_ {1}} {\ frac {2v / c ^ {2}} {2 {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}} \, dv \ right) \\ & = \ left.m_ {0} \ left ({\ frac {v ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} + c ^ {2} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}} \ right) \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \\ & = \ esquerda. {\ frac {m_ {0} c ^ {2}} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}} \ direita | _ {t_ {0}} ^ {t_ { 1}} \\ & = \ left. {\ Gamma m_ {0} c ^ {2}} \ right | _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \\ & = \ gamma _ {1} m_ {0} c ^ {2} - \ gamma _ {0} m_ {0} c ^ {2}. \ end {alinhado}}}$

Se no estado inicial o corpo estava em repouso, então v ₀  = 0 e γ ₀ ( v ₀ ) = 1, e no estado final tem velocidade v ₁  =  v , configurando γ ₁ ( v ₁ ) = γ ( v ), a energia cinética é então;

${\ displaystyle K = [\ gamma (v) -1] m_ {0} c ^ {2} \ ,,}$

um resultado que pode ser obtido diretamente subtraindo a energia de repouso m ₀ c ² da energia relativística total γ ( v ) m ₀ c ² .

Limite newtoniano

O fator de Lorentz γ ( v ) pode ser expandido em uma série de Taylor ou série binomial para ( v / c ) ² <1, obtendo:

${\ displaystyle \ gamma = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2n} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ dfrac {2k-1} {2k}} \ right) = 1 + {\ dfrac {1} {2}} \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {2} + {\ dfrac {3} {8}} \ left ({\ dfrac {v} {c} } \ right) ^ {4} + {\ dfrac {5} {16}} \ left ({\ dfrac {v} {c}} \ right) ^ {6} + \ cdots}$

e consequentemente

${\ displaystyle E-m_ {0} c ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {m_ {0} v ^ {4}} {c ^ {2}}} + {\ frac {5} {16}} {\ frac {m_ {0} v ^ {6}} {c ^ {4}}} + \ cdots;}$

${\ displaystyle \ mathbf {p} = m_ {0} \ mathbf {v} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {m_ {0} v ^ {2} \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {m_ {0} v ^ {4} \ mathbf {v}} {c ^ {4}}} + {\ frac {5 } {16}} {\ frac {m_ {0} v ^ {6} \ mathbf {v}} {c ^ {6}}} + \ cdots.}$

Para velocidades muito menores do que a da luz, pode-se desprezar os termos com c ² e maiores no denominador. Essas fórmulas, então, se reduzem às definições padrão de energia cinética e momento newtonianos . É assim que deve ser, pois a relatividade especial deve concordar com a mecânica newtoniana em baixas velocidades.

Veja também

Referências

Notas

• C. Chryssomalakos; H. Hernandez-Coronado; E. Okon (2009). "Centro de massa na relatividade especial e geral e seu papel em uma descrição eficaz do espaço-tempo". J. Phys. Conf. Ser . México. 174 (1): 012026. arXiv : 0901.3349 . Bibcode : 2009JPhCS.174a2026C . doi : 10.1088 / 1742-6596 / 174/1/012026 . S2CID  17734387 .

Leitura adicional

Escopo geral e relatividade especial / geral

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