Equações de onda relativísticas - Relativistic wave equations

Parte de uma série de artigos sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História
Fundo Mecânica clássica Velha teoria quântica Notação de sutiã Hamiltoniano Interferência
Fundamentos Complementaridade Decoerência Emaranhamento Nível de energia Medição Não localidade Número quântico Estado Sobreposição Simetria Tunelamento Incerteza Função de onda  ( recolher )
Experimentos Desigualdade de Bell Davisson – Germer Fenda dupla Elitzur-Vaidman Franck – Hertz Desigualdade de Leggett-Garg Mach – Zehnder Popper Borracha quântica  ( escolha retardada ) gato de Schrodinger Stern – Gerlach Escolha atrasada de Wheeler
Formulações Visão geral Heisenberg Interação Matriz Espaço de fase Schrödinger Soma sobre histórias (integral do caminho)
Equações Dirac Klein – Gordon Pauli Rydberg Schrödinger
Interpretações Visão geral Bayesiano Histórias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variável oculta Muitos mundos Colapso objetivo Lógica quântica Relacional Transacional
Tópicos avançados Mecânica quântica relativística Teoria quântica de campos Ciência da informação quântica Computação quântica Caos quântico Matriz de densidade Teoria de dispersão Mecânica estatística quântica Aprendizado de máquina quântico
Cientistas Aharonov Sino Blackett Bloch Bohm Bohr Nascer Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordânia Kramers Pauli Cordeiro Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Wien Wigner Zeeman Zeilinger
v t e

Teoria quântica de campos
Diagrama de Feynman
História
Fundo Teoria de campo Eletromagnetismo Força fraca Força forte Mecânica quântica Relatividade especial Relatividade geral Teoria de calibre
Simetrias Simetria em mecânica quântica Simetria C Simetria P Simetria T Simetria de translação espacial Simetria de tradução de tempo Simetria de rotação Simetria de Lorentz Simetria de Poincaré Simetria de calibre Quebra de simetria explícita Quebra espontânea de simetria Teoria de Yang-Mills Carga Noether Carga topológica
Ferramentas Anomalia Cruzando Teoria de campo eficaz Valor de expectativa Fantasmas Faddeev-Popov Diagrama de Feynman Teoria de calibre reticulado Fórmula de redução LSZ Função de partição Propagator Quantização Regularização Renormalização Estado de vácuo Teorema de Wick Axiomas de Wightman
Equações Equação de Dirac Equação de Klein-Gordon Equações de Proca Equação de Wheeler-DeWitt Equações de Bargmann-Wigner
Modelo Padrão Eletrodinâmica quântica Interação eletrofraca Cromodinâmica quântica Mecanismo de Higgs
Teorias incompletas Teoria de campo quântico topológico Teoria das cordas Supersimetria Technicolor Teoria de tudo Gravidade quântica
Cientistas CD Anderson PW Anderson Bethe Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Brilho Gell-Mann Bruto Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen 't Hooft Jordânia Kendall Kibble Cordeiro Landau Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Polyakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman ala Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t e

Na física , especificamente na mecânica quântica relativística (RQM) e suas aplicações à física de partículas , as equações de onda relativísticas predizem o comportamento das partículas em altas energias e velocidades comparáveis ​​à velocidade da luz . No contexto da teoria quântica de campos (QFT), as equações determinam a dinâmica dos campos quânticos . As soluções para as equações, universalmente denotadas como ψ ou Ψ ( grego psi ), são referidas como " funções de onda " no contexto de RQM e " campos " no contexto de QFT. As próprias equações são chamadas de "equações de onda" ou "equações de campo", porque têm a forma matemática de uma equação de onda ou são geradas a partir de uma densidade Lagrangiana e das equações de Euler-Lagrange da teoria de campo (ver teoria de campo clássica para fundo).

Na imagem de Schrödinger , a função de onda ou campo é a solução para a equação de Schrödinger ;

${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ psi = {\ hat {H}} \ psi}$

um dos postulados da mecânica quântica . Todas as equações de onda relativísticas podem ser construídas especificando várias formas do operador hamiltoniano Ĥ que descreve o sistema quântico . Alternativamente, a formulação da integral de caminho de Feynman usa um operador Lagrangiano em vez de um Hamiltoniano.

De forma mais geral - o formalismo moderno por trás das equações de onda relativísticas é a teoria do grupo de Lorentz , em que o spin da partícula tem uma correspondência com as representações do grupo de Lorentz .

História

Início da década de 1920: mecânica clássica e quântica

O fracasso da mecânica clássica aplicada a sistemas moleculares , atômicos , nucleares e menores induziu a necessidade de uma nova mecânica: a mecânica quântica . A formulação matemática foi liderada por De Broglie , Bohr , Schrödinger , Pauli e Heisenberg e outros, por volta de meados da década de 1920, e naquela época era análoga à da mecânica clássica. A equação de Schrödinger e a imagem de Heisenberg se assemelham às equações clássicas de movimento no limite de grandes números quânticos e como a constante de Planck reduzida ħ , o quantum de ação , tende a zero. Este é o princípio da correspondência . Neste ponto, a relatividade especial não estava totalmente combinada com a mecânica quântica, então as formulações de Schrödinger e Heisenberg, como originalmente propostas, não poderiam ser usadas em situações onde as partículas viajam perto da velocidade da luz , ou quando o número de cada tipo de partícula mudanças (isso acontece em interações de partículas reais ; as numerosas formas de decaimento de partículas , aniquilação , criação de matéria , produção de pares e assim por diante).

Final da década de 1920: mecânica quântica relativística de spin-0 e spin- 1/2 partículas

Uma descrição de sistemas mecânicos quânticos que pudessem explicar os efeitos relativísticos foi procurada por muitos físicos teóricos; do final da década de 1920 a meados da década de 1940. A primeira base para a mecânica quântica relativística , ou seja, a relatividade especial aplicada com a mecânica quântica em conjunto, foi encontrada por todos aqueles que descobriram o que é freqüentemente chamado de equação de Klein-Gordon :

${\ displaystyle - \ hbar ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}}} + (\ hbar c) ^ {2} \ nabla ^ {2} \ psi = (mc ^ {2}) ^ {2} \ psi \ ,,}$

( 1 )

inserindo o operador de energia e o operador de momento na relação relativística energia-momento :

${\ displaystyle E ^ {2} - (pc) ^ {2} = (mc ^ {2}) ^ {2} \ ,,}$

( 2 )

As soluções para ( 1 ) são campos escalares . A equação KG é indesejável devido à sua previsão de energias negativas e probabilidades , como resultado da natureza quadrática de ( 2 ) - inevitável em uma teoria relativística. Esta equação foi inicialmente proposta por Schrödinger, e ele a descartou por tais motivos, apenas para perceber alguns meses depois que seu limite não relativístico (o que agora é chamado de equação de Schrödinger ) ainda era importante. No entanto, - ( 1 ) é aplicável a bósons spin-0 .

Nem as equações não relativísticas nem relativísticas encontradas por Schrödinger poderiam prever a estrutura fina na série espectral do Hidrogênio . A misteriosa propriedade subjacente era o spin . As primeiras matrizes de spin bidimensionais (mais conhecidas como matrizes de Pauli ) foram introduzidas por Pauli na equação de Pauli ; a equação de Schrödinger com um hamiltoniano não relativístico incluindo um termo extra para partículas em campos magnéticos , mas isso era fenomenológico . Weyl encontrou uma equação relativística em termos das matrizes de Pauli; a equação de Weyl , para spin sem massa1/2fermions. O problema foi resolvido por Dirac no final dos anos 1920, quando ele promoveu a aplicação da equação ( 2 ) ao elétron - por várias manipulações, ele fatorou a equação na forma:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}} - {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} - \ beta mc \ right) \ left ({\ frac {E} {c }} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} + \ beta mc \ right) \ psi = 0 \ ,,}$

( 3A )

e um desses fatores é a equação de Dirac (veja abaixo), ao inserir os operadores de energia e momento. Pela primeira vez, isso introduziu novas matrizes de spin quadridimensionais α e β em uma equação de onda relativística e explicou a estrutura fina do hidrogênio. As soluções para ( 3A ) são campos spinor multicomponentes e cada componente satisfaz ( 1 ). Um resultado notável das soluções de spinor é que metade dos componentes descreve uma partícula enquanto a outra metade descreve uma antipartícula ; neste caso, o elétron e o pósitron . A equação de Dirac agora é conhecida por se aplicar a todos os spin massivos1/2 fermions . No limite não relativístico, a equação de Pauli é recuperada, enquanto o caso sem massa resulta na equação de Weyl.

Embora seja um marco na teoria quântica, a equação de Dirac só é verdadeira para1/2férmions, e ainda prevê soluções de energia negativa, o que causou polêmica na época (em particular - nem todos os físicos se sentiam confortáveis ​​com o " mar de Dirac " de estados de energia negativa).

Décadas de 1930 a 1960: mecânica quântica relativística de partículas de spin superior

O problema natural ficou claro: generalizar a equação de Dirac para partículas com qualquer spin ; ambos férmions e bósons, e nas mesmas equações suas antipartículas (possível por causa do formalismo do spinor introduzido por Dirac em sua equação e, então, desenvolvimentos recentes no cálculo do spinor por van der Waerden em 1929), e idealmente com soluções de energia positiva.

Isso foi introduzido e resolvido por Majorana em 1932, por uma abordagem divergente de Dirac. Majorana considerada uma "raiz" de ( 3A ):

${\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c}} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ cdot \ mathbf {p} - \ beta mc \ right) \ psi = 0 \ ,,}$

( 3B )

onde ψ é um campo de espinor agora com infinitamente muitos componentes, irredutíveis a um número finito de tensores ou espinores, para remover a indeterminação no sinal. As matrizes α e β são matrizes de dimensão infinita, relacionadas a transformações de Lorentz infinitesimais . Ele não exigiu que cada componente de 3B satisfizesse a equação ( 2 ); em vez disso, ele regenerou a equação usando uma ação invariante de Lorentz , via o princípio da menor ação e aplicação da teoria de grupo de Lorentz .

Majorana produziu outras contribuições importantes que não foram publicadas, incluindo equações de onda de várias dimensões (5, 6 e 16). Eles foram antecipados mais tarde (de uma forma mais envolvente) por de Broglie (1934) e Duffin, Kemmer e Petiau (por volta de 1938–1939), ver álgebra de Duffin – Kemmer – Petiau . O formalismo de Dirac-Fierz-Pauli era mais sofisticado do que o de Majorana, pois os espinores eram novas ferramentas matemáticas no início do século XX, embora o artigo de Majorana de 1932 fosse difícil de entender completamente; levou algum tempo para Pauli e Wigner entendê-lo, por volta de 1940.

Dirac em 1936, e Fierz e Pauli em 1939, construíram equações a partir de espinores irredutíveis A e B , simétricos em todos os índices, para uma partícula massiva de spin n + ½ para o inteiro n (ver notação de Van der Waerden para o significado dos índices pontilhados ):

${\ displaystyle p _ {\ gamma {\ dot {\ alpha}}} A _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ alpha}} { \ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = mcB _ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}}}$

( 4A )

${\ displaystyle p ^ {\ gamma {\ dot {\ alpha}}} B _ {\ gamma \ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ beta }} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta}} _ {n}} = mcA _ {\ epsilon _ {1} \ epsilon _ {2} \ cdots \ epsilon _ {n}} ^ {{\ dot {\ alpha}} {\ dot {\ beta}} _ {1} {\ dot {\ beta}} _ {2} \ cdots {\ dot {\ beta} } _ {n}}}$

( 4B )

onde p é o momento como um operador espinor covariante. Para n = 0 , as equações se reduzem às equações de Dirac acopladas e A e B juntas se transformam como o espinor de Dirac original . A eliminação de A ou B mostra que A e B cumprem ( 1 ).

Em 1941, Rarita e Schwinger focaram em partículas de spin 3 ⁄ 2 e derivaram a equação de Rarita – Schwinger , incluindo um Lagrangiano para gerá-la, e mais tarde generalizaram as equações análogas ao spin n + ½ para o inteiro n . Em 1945, Pauli sugeriu o artigo de Majorana de 1932 a Bhabha , que retornou às idéias gerais introduzidas por Majorana em 1932. Bhabha e Lubanski propuseram um conjunto completamente geral de equações substituindo os termos de massa em ( 3A ) e ( 3B ) por uma constante arbitrária , sujeito a um conjunto de condições às quais as funções de onda devem obedecer.

Finalmente, no ano de 1948 (o mesmo ano em que a formulação da integral do caminho de Feynman foi lançada), Bargmann e Wigner formularam a equação geral para partículas massivas que poderiam ter qualquer spin, considerando a equação de Dirac com um espinor de componente finito totalmente simétrico , e usando a teoria dos grupos de Lorentz (como fez Majorana): as equações de Bargmann-Wigner . No início dos anos 1960, uma reformulação das equações de Bargmann-Wigner foi feita por H. Joos e Steven Weinberg , a equação de Joos-Weinberg . Vários teóricos da época fizeram pesquisas adicionais em hamiltonianos relativísticos para partículas de spin mais altas.

1960-presente

A descrição relativística das partículas de spin tem sido um problema difícil na teoria quântica. Ainda é uma área da pesquisa atual porque o problema está apenas parcialmente resolvido; incluir interações nas equações é problemático, e previsões paradoxais (mesmo a partir da equação de Dirac) ainda estão presentes.

Equações lineares

As equações a seguir apresentam soluções que satisfazem o princípio da superposição , ou seja, as funções de onda são aditivas .

Por toda parte, as convenções padrão de notação de índice de tensor e notação de barra de Feynman são usadas, incluindo índices gregos que assumem os valores 1, 2, 3 para os componentes espaciais e 0 para o componente semelhante ao tempo das quantidades indexadas. As funções de onda são denotadas por ψ , e ∂ _μ são os componentes do operador de quatro gradientes .

Nas equações matriciais , as matrizes de Pauli são denotadas por σ ^μ em que μ = 0, 1, 2, 3 , onde σ ⁰ é a matriz identidade 2 × 2 :

${\ displaystyle \ sigma ^ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 e 0 \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

e as outras matrizes têm suas representações usuais. A expressão

${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ equiv \ sigma ^ {0} \ parcial _ {0} + \ sigma ^ {1} \ parcial _ {1} + \ sigma ^ {2 } \ parcial _ {2} + \ sigma ^ {3} \ parcial _ {3}}$

é um operador de matriz 2 × 2 que atua em campos spinor de 2 componentes .

As matrizes gama são denotadas por γ ^μ , em que novamente μ = 0, 1, 2, 3 e há uma série de representações para selecionar. A matriz γ ⁰ não é necessariamente a matriz identidade 4 × 4 . A expressão

${\ displaystyle i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc \ equiv i \ hbar (\ gamma ^ {0} \ partial _ {0} + \ gamma ^ {1} \ partial _ {1} + \ gamma ^ {2} \ partial _ {2} + \ gamma ^ {3} \ partial _ {3}) + mc {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

é um operador de matriz 4 × 4 que atua em campos spinor de 4 componentes .

Observe que termos como escalar " mc " multiplicam uma matriz de identidade da dimensão relevante , os tamanhos comuns são 2 × 2 ou 4 × 4 e, convencionalmente, não são escritos para simplificar.

Número quântico do spin da partícula s	Nome	Equação	Partículas típicas que a equação descreve
0	Equação de Klein-Gordon	${\ displaystyle (\ hbar \ partial _ {\ mu} + imc) (\ hbar \ partial ^ {\ mu} -imc) \ psi = 0}$	Partícula sem massa ou spin-0 massiva (como bósons de Higgs ).
1/2	Equação de Weyl	${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} \ psi = 0}$	Partículas de spin 1/2 sem massa.
	Equação de Dirac	${\ displaystyle \ left (i \ hbar \ partial \! \! \! / - mc \ right) \ psi = 0}$	Partículas massivas de spin 1/2 (como elétrons ).
	Equações de Dirac de dois corpos	${\ displaystyle [(\ gamma _ {1}) _ {\ mu} (p_ {1} - {\ tilde {A}} _ {1}) ^ {\ mu} + m_ {1} + {\ tilde { S}} _ {1}] \ Psi = 0,}$ ${\ displaystyle [(\ gamma _ {2}) _ {\ mu} (p_ {2} - {\ tilde {A}} _ {2}) ^ {\ mu} + m_ {2} + {\ tilde { S}} _ {2}] \ Psi = 0.}$	Partículas massivas de spin 1/2 (como elétrons ).
	Equação de Majorana	${\ displaystyle i \ hbar \ partial \! \! \! / \ psi -mc \ psi _ {c} = 0}$	Partículas de Majorana maciças .
	Equação de Breit	${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} = \ left (\ sum _ {i} {\ hat {H}} _ {D} (i) + \ sum _ { i> j} {\ frac {1} {r_ {ij}}} - \ sum _ {i> j} {\ hat {B}} _ {ij} \ right) \ Psi}$	Duas partículas massivas de spin 1/2 (como elétrons ) interagindo eletromagneticamente de primeira ordem na teoria de perturbação.
1	Equações de Maxwell (em QED usando o medidor Lorenz )	${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} = e {\ overline {\ psi}} \ gamma ^ {\ nu} \ psi}$	Fótons , partículas spin-1 sem massa.
	Equação de Proca	${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} (\ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}) + \ left ({\ frac {mc} { \ hbar}} \ right) ^ {2} A ^ {\ nu} = 0}$	Partícula massiva de spin 1 (como bósons W e Z ).
3/2	Equação de Rarita-Schwinger	${\ displaystyle \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ gamma ^ {5} \ gamma _ {\ nu} \ partial _ {\ rho} \ psi _ {\ sigma} + m \ psi ^ {\ mu} = 0}$	Partículas massivas de spin 3/2.
s	Equações de Bargmann-Wigner	${\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {1} '} \ psi _ {\ alpha' _ { 1} \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2s}} = 0}$ ${\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {2} \ alpha _ {2} '} \ psi _ {\ alpha _ {1 } \ alpha '_ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha _ {2s}} = 0}$ ${\ displaystyle \ qquad \ vdots}$ ${\ displaystyle (-i \ hbar \ gamma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} + mc) _ {\ alpha _ {2s} \ alpha '_ {2s}} \ psi _ {\ alpha _ {1 } \ alpha _ {2} \ alpha _ {3} \ cdots \ alpha '_ {2s}} = 0}$ onde ψ é um espinor de 4 componentes de classificação 2 s .	Partículas livres de spin arbitrário (bósons e férmions).
	Equação de Joos-Weinberg	${\ displaystyle [(i \ hbar) ^ {2s} \ gamma ^ {\ mu _ {1} \ mu _ {2} \ cdots \ mu _ {2s}} \ partial _ {\ mu _ {1}} \ parcial _ {\ mu _ {2}} \ cdots \ parcial _ {\ mu _ {2s}} + (mc) ^ {2s}] \ psi = 0}$	Partículas livres de spin arbitrário (bósons e férmions).

Campos de calibre linear

A equação de Duffin-Kemmer-Petiau é uma equação alternativa para partículas de spin-0 e spin-1:

${\ displaystyle (i \ hbar \ beta ^ {a} \ partial _ {a} -mc) \ psi = 0}$

Construindo RWEs

Usando 4 vetores e a relação energia-momento

Comece com os 4 vetores da relatividade especial (SR) padrão

4 posições ${\ displaystyle X ^ {\ mu} = \ mathbf {X} = (ct, {\ vec {\ mathbf {x}}})}$

4 velocidades ${\ displaystyle U ^ {\ mu} = \ mathbf {U} = \ gamma (c, {\ vec {\ mathbf {u}}})}$

4 momentum ${\ displaystyle P ^ {\ mu} = \ mathbf {P} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {\ mathbf {p}}} \ right)}$

Vetor de 4 ondas ${\ displaystyle K ^ {\ mu} = \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {\ mathbf {k}}} \ right)}$

4-gradiente ${\ displaystyle \ partial ^ {\ mu} = \ mathbf {\ partial} = \ left ({\ frac {\ partial _ {t}} {c}}, - {\ vec {\ mathbf {\ nabla}}} \direito)}$

Observe que cada vetor de 4 está relacionado a outro por um escalar de Lorentz :

${\ displaystyle \ mathbf {U} = {\ frac {d} {d \ tau}} \ mathbf {X}}$, onde é a hora certa${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} = m_ {o} \ mathbf {U}}$, onde está a massa de descanso${\ displaystyle m_ {o}}$

${\ displaystyle \ mathbf {K} = (1 / \ hbar) \ mathbf {P}}$, que é a versão de 4 vetores da relação de Planck-Einstein e a relação de onda de matéria de de Broglie

${\ displaystyle \ mathbf {\ partial} = -i \ mathbf {K}}$, que é a versão de 4 gradientes de ondas planas de valor complexo

Agora, basta aplicar a regra de produto escalar de Lorentz padrão para cada um:

${\ displaystyle \ mathbf {U} \ cdot \ mathbf {U} = (c) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {P} \ cdot \ mathbf {P} = (m_ {o} c) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {K} \ cdot \ mathbf {K} = \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} = \ left ({\ frac {-im_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2} = - \ left ({ \ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}}$

A última equação é uma relação quântica fundamental.

Quando aplicado a um campo escalar de Lorentz , obtém-se a equação de Klein – Gordon, a mais básica das equações de onda relativísticas quânticas. ${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} + \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] \ psi = 0}$: em formato de 4 vetores

${\ displaystyle [\ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ mu} + \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] \ psi = 0}$: em formato tensor

${\ displaystyle [(\ hbar \ partial _ {\ mu} + im_ {o} c) (\ hbar \ partial ^ {\ mu} -im_ {o} c)] \ psi = 0}$: formato tensor fatorado

A equação de Schrödinger é o caso limite de baixa velocidade ( v  <<  c ) da equação de Klein – Gordon .

Quando a relação é aplicada a um campo de quatro vetores em vez de um campo escalar de Lorentz , obtém-se a equação de Proca (no calibre de Lorenz ): ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial} + \ left ({\ frac {m_ {o} c} {\ hbar}} \ right) ^ {2}] A ^ {\ mu } = 0}$

Se o termo de massa de repouso é definido como zero (partículas semelhantes à luz), então isso dá a equação de Maxwell livre (em medidor de Lorenz )

${\ displaystyle [\ mathbf {\ partial} \ cdot \ mathbf {\ partial}] A ^ {\ mu} = 0}$

Representações do grupo Lorentz

Sob uma transformação de Lorentz ortócrona adequada x → Λ x no espaço de Minkowski , todos os estados quânticos de uma partícula ψ ^j _σ de spin j com componente z de spin σ se transformam localmente sob alguma representação D do grupo de Lorentz :

${\ displaystyle \ psi (x) \ rightarrow D (\ Lambda) \ psi (\ Lambda ^ {- 1} x)}$

onde D (Λ) é alguma representação de dimensão finita, ou seja, uma matriz. Aqui, ψ é considerado um vetor coluna contendo componentes com os valores permitidos de σ . Os números quânticos j e σ , bem como outros rótulos, contínuos ou discretos, representando outros números quânticos são suprimidos. Um valor de σ pode ocorrer mais de uma vez dependendo da representação. As representações com vários valores possíveis para j são consideradas a seguir.

As representações irredutíveis são rotuladas por um par de meio-inteiros ou inteiros ( A , B ) . A partir dessas, todas as outras representações podem ser construídas usando uma variedade de métodos padrão, como produtos tensores e somas diretas . Em particular, o próprio espaço-tempo constitui uma representação de 4 vetores (1/2, 1/2) de modo que Λ ∈ D ' ^{(1/2, 1/2)} . Para colocar isso em contexto; Os espinores de Dirac se transformam sob o (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) representação. Em geral, o espaço de representação ( A , B ) possui subespaços que sob o subgrupo de rotações espaciais , SO (3) , se transformam irredutivelmente como objetos de spin j , onde cada valor permitido:

${\ displaystyle j = A + B, A + B-1, ..., | AB |,}$

ocorre exatamente uma vez. Em geral, produtos tensores de representações irredutíveis são redutíveis; eles se decompõem como somas diretas de representações irredutíveis.

As representações D ^{( j , 0)} e D ^{(0, j )} podem cada uma representar separadamente partículas de spin j . Um estado ou campo quântico em tal representação não satisfaria nenhuma equação de campo, exceto a equação de Klein-Gordon.

Equações não lineares

Existem equações que possuem soluções que não satisfazem o princípio da superposição.

Campos de calibre não linear

• Equação de Yang-Mills : descreve um campo de calibre não abeliano
• Equações de Yang-Mills-Higgs : descreve um campo de calibre não abeliano acoplado a uma partícula massiva de spin-0

Spin 2

• Equações de campo de Einstein : descrevem a interação da matéria com o campo gravitacional ( campo de spin 2 sem massa):

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {1 \ over 2} g _ {\ mu \ nu} \, R + g _ {\ mu \ nu} \ Lambda = {8 \ pi G \ over c ^ {4} } T _ {\ mu \ nu}}$

A solução é um campo tensor métrico , em vez de uma função de onda.

Veja também

• Lista de equações em física nuclear e de partículas
• Lista de equações da mecânica quântica
• Transformações de Lorentz
• Descrições matemáticas do campo eletromagnético
  • Quantização do campo eletromagnético
• Acoplamento mínimo
• Teoria de campo escalar
• Status da relatividade especial

Referências

Leitura adicional