Número de Reynolds - Reynolds number

A pluma dessa chama de vela vai de laminar a turbulenta. O número de Reynolds pode ser usado para prever onde essa transição ocorrerá.

Uma rua de vórtice em torno de um cilindro. Isso pode ocorrer em torno de cilindros e esferas, para qualquer fluido, tamanho de cilindro e velocidade de fluido, desde que tenha um número de Reynolds entre cerca de 40 e 1000.

George Stokes apresentou os números de Reynolds.

Osborne Reynolds popularizou o conceito.

O número de Reynolds ( Re ) ajuda a prever padrões de fluxo em diferentes situações de fluxo de fluido. Em números de Reynolds baixos, os fluxos tendem a ser dominados por fluxo laminar (tipo folha) , enquanto em números de Reynolds altos os fluxos tendem a ser turbulentos . A turbulência resulta de diferenças na velocidade e direção do fluido, que às vezes podem se cruzar ou mesmo se mover contra a direção geral do fluxo ( correntes parasitas ). Essas correntes parasitas começam a agitar o fluxo, gastando energia no processo, o que para líquidos aumenta as chances de cavitação . Os números de Reynolds são uma quantidade adimensional importante na mecânica dos fluidos .

O número de Reynolds tem amplas aplicações, que vão desde o fluxo de líquido em um tubo até a passagem de ar pela asa de uma aeronave. É usado para prever a transição de fluxo laminar para turbulento e é usado no dimensionamento de situações de fluxo semelhantes, mas de tamanhos diferentes, como entre um modelo de aeronave em um túnel de vento e a versão em tamanho real. As previsões do início da turbulência e a capacidade de calcular os efeitos de escala podem ser usadas para ajudar a prever o comportamento do fluido em uma escala maior, como no movimento local ou global do ar ou da água e, portanto, os efeitos meteorológicos e climatológicos associados.

O conceito foi introduzido por George Stokes em 1851, mas o número Reynolds foi nomeado por Arnold Sommerfeld em 1908 após Osborne Reynolds (1842-1912), que popularizou seu uso em 1883.

Definição

O número de Reynolds é a razão entre as forças inerciais e as forças viscosas dentro de um fluido que está sujeito a um movimento interno relativo devido a diferentes velocidades do fluido. Uma região onde essas forças mudam o comportamento é conhecida como camada limite , como a superfície limite no interior de um tubo. Um efeito semelhante é criado pela introdução de uma corrente de fluido de alta velocidade em um fluido de baixa velocidade, como os gases quentes emitidos por uma chama no ar. Este movimento relativo gera atrito de fluido, que é um fator no desenvolvimento de fluxo turbulento. Contrariando esse efeito, está a viscosidade do fluido, que tende a inibir a turbulência. O número de Reynolds quantifica a importância relativa desses dois tipos de forças para determinadas condições de fluxo e é um guia para quando um fluxo turbulento ocorrerá em uma situação particular.

Esta capacidade de prever o início do fluxo turbulento é uma ferramenta de projeto importante para equipamentos como sistemas de tubulação ou asas de aeronave, mas o número de Reynolds também é usado no dimensionamento de problemas de dinâmica de fluidos e é usado para determinar a similitude dinâmica entre dois casos diferentes de fluxo de fluido, como entre um modelo de aeronave e sua versão em tamanho real. Essa escala não é linear e a aplicação dos números de Reynolds a ambas as situações permite o desenvolvimento de fatores de escala.

Com relação aos regimes de fluxo laminar e turbulento :

• o fluxo laminar ocorre em números de Reynolds baixos, onde as forças viscosas são dominantes e é caracterizado por um movimento fluido constante e suave;
• o fluxo turbulento ocorre em números de Reynolds altos e é dominado por forças inerciais, que tendem a produzir redemoinhos caóticos , vórtices e outras instabilidades de fluxo.

O número Reynolds é definido como

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {uL} {\ nu}} = {\ frac {\ rho uL} {\ mu}}}$

Onde:

• ρ é a densidade do fluido ( unidades SI : kg / m ³ )
• u é a velocidade do fluxo (m / s)
• L é uma dimensão linear característica (m) (consulte as seções abaixo deste artigo para exemplos)
• μ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa · s ou N · s / m ² ou kg / (m · s))
• ν é a viscosidade cinemática do fluido (m ² / s).

A equação de Brezina

O número de Reynolds pode ser definido para várias situações diferentes em que um fluido está em movimento relativo para uma superfície. Essas definições geralmente incluem as propriedades do fluido de densidade e viscosidade, mais uma velocidade e um comprimento ou dimensão característica (L na equação acima). Esta dimensão é uma questão de convenção - por exemplo, raio e diâmetro são igualmente válidos para descrever esferas ou círculos, mas um é escolhido por convenção. Para aeronaves ou navios, o comprimento ou a largura podem ser usados. Para fluxo em um tubo ou para uma esfera movendo-se em um fluido, o diâmetro interno é geralmente usado hoje. Outras formas, como tubos retangulares ou objetos não esféricos, têm um diâmetro equivalente definido. Para fluidos de densidade variável, como gases compressíveis, ou fluidos de viscosidade variável, como fluidos não newtonianos , aplicam-se regras especiais. A velocidade também pode ser uma questão de convenção em algumas circunstâncias, principalmente em vasos agitados.

Na prática, igualar o número de Reynolds não é, por si só, suficiente para garantir a semelhança. O fluxo de fluido é geralmente caótico e alterações muito pequenas na forma e na rugosidade da superfície das superfícies delimitadoras podem resultar em fluxos muito diferentes. No entanto, os números de Reynolds são um guia muito importante e amplamente usados.

História

Aparelho de Osborne Reynolds de 1883 demonstrando o início do fluxo turbulento. O aparelho ainda está na Universidade de Manchester.

Diagrama do artigo de Reynolds de 1883 mostrando o início do fluxo turbulento.

Osborne Reynolds estudou as condições em que o fluxo de fluido em tubos fazia a transição de fluxo laminar para fluxo turbulento . Em seu artigo de 1883, Reynolds descreveu a transição do fluxo laminar para o turbulento em um experimento clássico no qual examinou o comportamento do fluxo de água sob diferentes velocidades de fluxo usando um pequeno fluxo de água tingida introduzido no centro do fluxo de água limpa em um tubo maior.

O cano maior era de vidro para que pudesse ser observado o comportamento da camada do riacho tingido, e na extremidade desse cano havia uma válvula reguladora de vazão usada para variar a velocidade da água no interior do cano. Quando a velocidade era baixa, a camada tingida permanecia distinta em todo o comprimento do grande tubo. Quando a velocidade era aumentada, a camada se rompia em um determinado ponto e se espalhava por toda a seção transversal do fluido. O ponto em que isso aconteceu foi o ponto de transição do fluxo laminar para o turbulento.

Destes experimentos veio o número de Reynolds adimensional para similaridade dinâmica - a razão entre as forças inerciais e as forças viscosas . Reynolds também propôs o que agora é conhecido como a média de Reynolds de escoamentos turbulentos, onde quantidades como a velocidade são expressas como a soma das componentes média e flutuante. Essa média permite a descrição 'em massa' do fluxo turbulento, por exemplo, usando as equações de Navier-Stokes com a média de Reynolds .

Fluxo em um tubo

Para o fluxo em um cano ou tubo, o número de Reynolds é geralmente definido como

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {uD _ {\ text {H}}} {\ nu}} = {\ frac {\ rho uD _ {\ text {H}}} {\ mu}} = { \ frac {\ rho QD _ {\ text {H}}} {\ mu A}} = {\ frac {WD _ {\ text {H}}} {\ mu A}},}$

Onde

D _H é o diâmetro hidráulico do tubo (o diâmetro interno se o tubo for circular) (m),

Q é a taxa de fluxo volumétrico(m ³ / s),

A é aárea da seção transversal do tubo( A = πD ²/4) (m ² ),

u é a velocidade média do fluido (m / s),

μ (mu) é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa · s = N · s / m ² = kg / (m · s)),

ν (nu) é a viscosidade cinemática ( ν =µ/ρ) (m ² / s),

ρ (rho) é a densidade do fluido (kg / m ³ ),

W é a vazão de massa do fluido (kg / s).

Para formas como quadrados, dutos retangulares ou anulares, onde a altura e a largura são comparáveis, a dimensão característica para situações de fluxo interno é considerada como o diâmetro hidráulico , D _H , definido como

${\ displaystyle D _ {\ text {H}} = {\ frac {4A} {P}},}$

onde A é a área da seção transversal e P é o perímetro molhado . O perímetro molhado para um canal é o perímetro total de todas as paredes do canal que estão em contato com o fluxo. Isso significa que o comprimento do canal exposto ao ar não está incluído no perímetro molhado.

Para um tubo circular, o diâmetro hidráulico é exatamente igual ao diâmetro interno do tubo:

${\ displaystyle D _ {\ text {H}} = D.}$

Para um duto anular, como o canal externo em um trocador de calor tubo em tubo , o diâmetro hidráulico pode ser mostrado algebricamente para reduzir a

${\ displaystyle D _ {\ text {H, anel}} = D _ {\ text {o}} - D _ {\ text {i}},}$

Onde

D _o é o diâmetro externo do tubo externo,

D _i é o diâmetro interno do tubo interno.

Para cálculos envolvendo fluxo em dutos não circulares, o diâmetro hidráulico pode ser substituído pelo diâmetro de um duto circular, com precisão razoável, se a relação de aspecto AR da seção transversal do duto permanecer na faixa 1/4 <AR <4.

Transição laminar-turbulenta

No fluxo da camada limite sobre uma placa plana, os experimentos confirmam que, após um certo comprimento de fluxo, uma camada limite laminar se tornará instável e turbulenta. Essa instabilidade ocorre em diferentes escalas e com diferentes fluidos, geralmente quando Re _x ≈5 × 10 ⁵ , onde x é a distância da borda de ataque da placa plana e a velocidade de fluxo é a velocidade de fluxo livre do fluido fora da camada limite.

Para o fluxo em um tubo de diâmetro D , as observações experimentais mostram que para o fluxo "totalmente desenvolvido", o fluxo laminar ocorre quando Re _D <2300 e o fluxo turbulento ocorre quando Re _D > 2900. Na extremidade inferior desta faixa, uma turbulência contínua. o fluxo se formará, mas apenas a uma distância muito longa da entrada do tubo. O fluxo intermediário começará a fazer a transição de laminar para turbulento e, em seguida, de volta para laminar em intervalos irregulares, chamados de fluxo intermitente. Isso se deve às diferentes velocidades e condições do fluido em diferentes áreas da seção transversal do tubo, dependendo de outros fatores, como rugosidade do tubo e uniformidade de fluxo. O fluxo laminar tende a dominar no centro de movimento rápido do tubo, enquanto o fluxo turbulento de movimento lento domina próximo à parede. Conforme o número de Reynolds aumenta, o fluxo turbulento contínuo se move mais perto da entrada e a intermitência entre aumenta, até que o fluxo se torne totalmente turbulento em Re _D > 2900. Este resultado é generalizado para canais não circulares usando o diâmetro hidráulico , permitindo um número de Reynolds de transição a ser calculado para outras formas de canal.

Esses números de Reynolds de transição também são chamados de números de Reynolds críticos e foram estudados por Osborne Reynolds por volta de 1895. O número de Reynolds crítico é diferente para cada geometria.

Fluxo em um duto largo

Para um fluido se movendo entre duas superfícies paralelas planas - onde a largura é muito maior do que o espaço entre as placas - então a dimensão característica é igual à distância entre as placas. Isso é consistente com o duto anular e as caixas de duto retangular acima, considerados para uma relação de aspecto limitante.

Fluxo em um canal aberto

Para fluxo de líquido com superfície livre, o raio hidráulico deve ser determinado. Esta é a área da seção transversal do canal dividida pelo perímetro molhado. Para um canal semicircular, é um quarto do diâmetro (no caso de fluxo total do tubo). Para um canal retangular, o raio hidráulico é a área da seção transversal dividida pelo perímetro molhado. Alguns textos então usam uma dimensão característica que é quatro vezes o raio hidráulico, escolhida porque dá o mesmo valor de Re para o início da turbulência como no fluxo do tubo, enquanto outros usam o raio hidráulico como a escala de comprimento característica com valores consequentemente diferentes de Re para transição e fluxo turbulento.

Fluxo em torno de aerofólios

Os números de Reynolds são usados ​​no projeto do aerofólio para (entre outras coisas) gerenciar o "efeito de escala" ao computar / comparar características (uma asa minúscula, dimensionada para ser enorme, terá um desempenho diferente). Os dinâmicos fluidos definem o acorde número R de Reynolds assim: R =Vc/ν, onde V é a velocidade de vôo, c é o comprimento da corda e ν é a viscosidade cinemática do fluido em que o aerofólio opera, que é1.460 × 10 ⁻⁵  m ² / s para a atmosfera ao nível do mar . Em alguns estudos especiais, um comprimento característico diferente do acorde pode ser usado; raro é o "número de Reynolds span", que não deve ser confundido com estações spanwise em uma asa, onde o acorde ainda é usado.

Objeto em um fluido

A alta viscosidade do mel resulta em um fluxo perfeitamente laminar quando despejado de um balde, enquanto a baixa tensão superficial permite que ele permaneça como uma folha, mesmo depois de atingir o fluido abaixo. Análogo à turbulência, quando o fluxo encontra resistência, ele diminui e começa a oscilar para frente e para trás, acumulando-se.

O número de Reynolds para um objeto em movimento em um fluido, chamado de número de Reynolds da partícula e frequentemente denotado como Re _p , caracteriza a natureza do fluxo circundante e sua velocidade de queda.

Em fluidos viscosos

Fluxo rasteiro passando por uma esfera em queda: linhas de corrente , força de arrasto F _d e força da gravidade F _g .

Onde a viscosidade é naturalmente alta, como soluções de polímero e fundidos de polímero, o fluxo é normalmente laminar. O número de Reynolds é muito pequeno e a lei de Stokes pode ser usada para medir a viscosidade do fluido. As esferas podem cair através do fluido e atingir a velocidade terminal rapidamente, a partir da qual a viscosidade pode ser determinada.

O fluxo laminar de soluções de polímero é explorado por animais como peixes e golfinhos, que exalam soluções viscosas de sua pele para ajudar o fluxo sobre seus corpos enquanto nadam. Ele tem sido usado em corridas de iates por proprietários que desejam ganhar uma vantagem de velocidade bombeando uma solução de polímero, como polioxietileno de baixo peso molecular em água, sobre a superfície úmida do casco.

É, no entanto, um problema para a mistura de polímeros, porque a turbulência é necessária para distribuir o filler fino (por exemplo) através do material. Invenções como o "misturador de transferência de cavidade" foram desenvolvidas para produzir dobras múltiplas em um fundido móvel de modo a melhorar a eficiência da mistura . O dispositivo pode ser instalado em extrusoras para ajudar na mistura.

Esfera em um fluido

Coeficiente de arrasto C _d para uma esfera em função do número Reynolds Re , obtido em experimentos de laboratório. A linha escura é para uma esfera com uma superfície lisa, enquanto a linha mais clara é para o caso de uma superfície rugosa (por exemplo, com pequenas covinhas). Existe uma gama de velocidades de fluido em que uma bola de golfe de superfície rugosa sofre menos resistência do que uma bola lisa. Os números ao longo da linha indicam vários regimes de fluxo e mudanças associadas no coeficiente de arrasto:

2. fluxo anexado (fluxo de Stokes ) e fluxo constante separado ,
3. fluxo instável separado, tendo uma camada limite de fluxo laminar a montante da separação e produzindo uma rua de vórtice ,
4. fluxo instável separado com uma camada limite laminar no lado a montante, antes da separação do fluxo, com a jusante da esfera uma esteira turbulenta caótica ,
5. escoamento pós-crítico separado, com uma camada limite turbulenta.

Para uma esfera em um fluido, a escala de comprimento característica é o diâmetro da esfera e a velocidade característica é a da esfera em relação ao fluido a alguma distância da esfera, de modo que o movimento da esfera não perturbe essa referência parcela de fluido. A densidade e a viscosidade são as pertencentes ao fluido. Observe que o fluxo puramente laminar só existe até Re = 10 sob esta definição.

Sob a condição de Re baixo , a relação entre força e velocidade de movimento é dada pela lei de Stokes .

Em números de Reynolds mais altos, o arrasto em uma esfera depende da aspereza da superfície. Assim, por exemplo, adicionar covinhas na superfície de uma bola de golfe faz com que a camada limite no lado a montante da bola transite de laminar para turbulento. A camada limite turbulenta é capaz de permanecer presa à superfície da bola por muito mais tempo do que um limite laminar e, assim, cria uma esteira de baixa pressão mais estreita e, portanto, menos arrasto de pressão. A redução do arrasto de pressão faz com que a bola se mova mais longe.

Objeto retangular em um fluido

A equação para um objeto retangular é idêntica à de uma esfera, com o objeto sendo aproximado como um elipsóide e o eixo de comprimento sendo escolhido como a escala de comprimento característica. Essas considerações são importantes em riachos naturais, por exemplo, onde há poucos grãos perfeitamente esféricos. Para grãos em que a medição de cada eixo é impraticável, os diâmetros da peneira são usados ​​como a escala de comprimento de partícula característica. Ambas as aproximações alteram os valores do número de Reynolds crítico.

Velocidade de queda

O número de Reynolds da partícula é importante para determinar a velocidade de queda de uma partícula. Quando o número de Reynolds da partícula indica fluxo laminar, a lei de Stokes pode ser usada para calcular sua velocidade de queda. Quando o número de Reynolds da partícula indica fluxo turbulento, uma lei de arrasto turbulento deve ser construída para modelar a velocidade de sedimentação apropriada.

Cama embalada

Para escoamento de fluido através de um leito, de partículas aproximadamente esféricas de diâmetro D em contato, se o vazio for ε e a velocidade superficial for v _s , o número de Reynolds pode ser definido como

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho v _ {\ text {s}} D} {\ mu}},}$

ou

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho v _ {\ text {s}} D} {\ mu \ varepsilon}},}$

ou

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho v _ {\ text {s}} D} {\ mu (1- \ varepsilon)}}.}$

A escolha da equação depende do sistema envolvido: o primeiro é bem-sucedido em correlacionar os dados para vários tipos de leitos compactados e fluidizados , o segundo número de Reynolds se adequa aos dados da fase líquida, enquanto o terceiro foi considerado bem-sucedido em correlacionar o leito fluidizado dados, sendo apresentados pela primeira vez para o sistema de leito fluidizado líquido.

As condições laminares se aplicam até Re = 10, totalmente turbulento de Re = 2000.

Recipiente agitado

Num vaso cilíndrico agitada por um centro de rotação da pá, hélice ou de turbina, a dimensão característica é o diâmetro do agitador D . A velocidade V é ND onde N é a velocidade de rotação em rad por segundo. Então, o número Reynolds é:

${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho ND ^ {2}} {\ mu}} = {\ frac {\ rho VD} {\ mu}}.}$

O sistema é totalmente turbulento para valores de Re acima10 000 .

Fricção do tubo

O diagrama de Moody , que descreve o fator de atrito de Darcy-Weisbach f como uma função do número de Reynolds e da rugosidade relativa do tubo.

As quedas de pressão vistas para o fluxo totalmente desenvolvido de fluidos através dos tubos podem ser previstas usando o diagrama de Moody que traça o fator de atrito Darcy-Weisbach f contra o número Reynolds Re e rugosidade relativaε/D. O diagrama mostra claramente os regimes de fluxo laminar, de transição e turbulento conforme o número de Reynolds aumenta. A natureza do fluxo do tubo depende fortemente se o fluxo é laminar ou turbulento.

Similaridade de fluxos

Os comportamentos qualitativos do fluxo de fluido em um cilindro dependem em grande parte do número de Reynolds; padrões de fluxo semelhantes geralmente aparecem quando a forma e o número de Reynolds são combinados, embora outros parâmetros, como a rugosidade da superfície, tenham um grande efeito.

Para que dois fluxos sejam semelhantes, eles devem ter a mesma geometria e números de Reynolds e Euler iguais . Ao comparar o comportamento do fluido em pontos correspondentes em um modelo e um fluxo em escala real, o seguinte é válido:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathrm {Re} _ {\ text {m}} & = \ mathrm {Re}, \\\ mathrm {Eu} _ {\ text {m}} & = \ mathrm { Eu}, \ end {alinhado}}}$

onde é o número de Reynolds para o modelo e é o número de Reynolds em escala real e da mesma forma para os números de Euler. ${\ displaystyle \ mathrm {Re} _ {\ text {m}}}$${\ displaystyle \ mathrm {Re}}$

Os números do modelo e do projeto devem estar na mesma proporção, portanto

${\ displaystyle {\ frac {p _ {\ text {m}}} {\ rho _ {\ text {m}} v _ {\ text {m}} ^ {2}}} = {\ frac {p} {\ rho v ^ {2}}}.}$

Isso permite que os engenheiros realizem experimentos com modelos em escala reduzida em canais de água ou túneis de vento e correlacionem os dados aos fluxos reais, economizando custos durante a experimentação e no tempo de laboratório. Observe que a verdadeira similitude dinâmica pode exigir a correspondência de outros números adimensionais também, como o número de Mach usado em fluxos compressíveis ou o número de Froude que governa os fluxos de canal aberto. Alguns fluxos envolvem mais parâmetros adimensionais do que podem ser praticamente satisfeitos com o aparato e fluidos disponíveis, de modo que é forçado a decidir quais parâmetros são mais importantes. Para que a modelagem de fluxo experimental seja útil, é necessária uma boa quantidade de experiência e julgamento do engenheiro.

Um exemplo onde o mero número de Reynolds não é suficiente para a similaridade de fluxos (ou mesmo o regime de fluxo - laminar ou turbulento) são fluxos limitados, ou seja, fluxos que são restritos por paredes ou outros limites. Um exemplo clássico disso é o fluxo Taylor-Couette , onde a proporção adimensional dos raios dos cilindros delimitadores também é importante, e muitas aplicações técnicas onde essas distinções desempenham um papel importante. Os princípios dessas restrições foram desenvolvidos por Maurice Marie Alfred Couette e Geoffrey Ingram Taylor e posteriormente desenvolvidos por Floris Takens e David Ruelle .

Valores típicos do número de Reynolds

• Bactéria ~ 1 × 10 ⁻⁴
• Ciliate ~ 1 × 10 ⁻¹
• Peixe menor ~ 1
• Fluxo sanguíneo no cérebro ~ 1 × 10 ²
• Fluxo sanguíneo na aorta ~ 1 × 10 ³
• Início do fluxo turbulento ~ 2,3 × 10 ³ a 5,0 × 10 ⁴ para o fluxo do tubo até 10 ⁶ para as camadas limites
• Campo típico na Liga Principal de Beisebol ~ 2 × 10 ⁵
• Natação da pessoa ~ 4 × 10 ⁶
• O peixe mais rápido ~ 1 × 10 ⁸
• Baleia azul ~ 4 × 10 ⁸
• Um grande navio ( RMS Queen Elizabeth 2 ) ~ 5 × 10 ⁹
• Ciclone tropical atmosférico ~ 1 x 10 ¹²

As menores escalas de movimento turbulento

Em um fluxo turbulento, há uma gama de escalas do movimento do fluido variável no tempo. O tamanho das maiores escalas de movimento do fluido (às vezes chamados de redemoinhos) é definido pela geometria geral do fluxo. Por exemplo, em uma chaminé industrial, as maiores escalas de movimento do fluido são tão grandes quanto o diâmetro da chaminé. O tamanho das escalas menores é definido pelo número de Reynolds. Conforme o número de Reynolds aumenta, escalas cada vez menores do fluxo são visíveis. Em uma chaminé, a fumaça pode parecer ter muitas perturbações de velocidade muito pequenas ou redemoinhos, além de redemoinhos grandes e volumosos. Nesse sentido, o número de Reynolds é um indicador da amplitude de escalas no fluxo. Quanto mais alto for o número de Reynolds, maior será o intervalo de escalas. Os maiores redemoinhos sempre terão o mesmo tamanho; os menores redemoinhos são determinados pelo número de Reynolds.

Qual é a explicação para esse fenômeno? Um grande número de Reynolds indica que as forças viscosas não são importantes em grandes escalas de fluxo. Com uma forte predominância de forças inerciais sobre forças viscosas, as maiores escalas de movimento do fluido não são amortecidas - não há viscosidade suficiente para dissipar seus movimentos. A energia cinética deve "cascatear" dessas escalas grandes para escalas progressivamente menores até que um nível seja alcançado para o qual a escala é pequena o suficiente para que a viscosidade se torne importante (isto é, as forças viscosas tornam-se da ordem das inerciais). É nessas escalas pequenas que a dissipação de energia pela ação viscosa finalmente ocorre. O número de Reynolds indica em que escala ocorre essa dissipação viscosa.

Em fisiologia

A lei de Poiseuille sobre a circulação sanguínea no corpo depende do fluxo laminar . No fluxo turbulento, a taxa de fluxo é proporcional à raiz quadrada do gradiente de pressão, ao contrário de sua proporcionalidade direta ao gradiente de pressão no fluxo laminar.

Usando a definição do número de Reynolds podemos ver que um grande diâmetro com fluxo rápido, onde a densidade do sangue é alta, tende à turbulência. Mudanças rápidas no diâmetro do vaso podem levar a um fluxo turbulento, por exemplo, quando um vaso mais estreito se alarga para um maior. Além disso, uma protuberância do ateroma pode ser a causa do fluxo turbulento, onde a turbulência audível pode ser detectada com um estetoscópio.

Sistemas complexos

A interpretação do número de Reynolds foi estendida para a área de sistemas complexos arbitrários . Tais como fluxos financeiros, redes não lineares, etc. No último caso, uma viscosidade artificial é reduzida a um mecanismo não linear de distribuição de energia em meios de rede complexos . O número de Reynolds então representa um parâmetro de controle básico que expressa um equilíbrio entre os fluxos de energia injetada e dissipada para o sistema de limite aberto. Foi demonstrado que o regime crítico de Reynolds separa dois tipos de movimento do espaço de fase: acelerador (atrator) e desacelerador. O alto número de Reynolds leva a uma transição de regime caótico apenas no quadro de um modelo de atrator estranho .

Derivação

O número de Reynolds pode ser obtido quando se usa a forma não dimensional das equações incompressíveis de Navier-Stokes para um fluido newtoniano expresso em termos da derivada de Lagrange :

${\ displaystyle \ rho {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = - \ nabla p + \ mu \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} + \ rho \ mathbf {f}.}$

Cada termo na equação acima tem as unidades de uma "força corporal" (força por unidade de volume) com as mesmas dimensões de uma densidade vezes uma aceleração. Cada termo é, portanto, dependente das medidas exatas de um fluxo. Quando se torna a equação não dimensional, isto é, quando a multiplicamos por um fator com unidades inversas da equação de base, obtemos uma forma que não depende diretamente dos tamanhos físicos. Uma maneira possível de obter uma equação não dimensional é multiplicar a equação inteira pelo fator

${\ displaystyle {\ frac {L} {\ rho V ^ {2}}},}$

Onde

V é a velocidade média, v ou v , em relação ao fluido (m / s),

L é o comprimento característico (m),

ρ é a densidade do fluido (kg / m ³ ).

Se agora definirmos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {v} '& = {\ frac {\ mathbf {v}} {V}}, & p' & = p {\ frac {1} {\ rho V ^ {2 }}}, & \ mathbf {f} '& = \ mathbf {f} {\ frac {L} {V ^ {2}}}, & {\ frac {\ partial} {\ partial t'}} & = {\ frac {L} {V}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}}, & \ nabla '& = L \ nabla, \ end {alinhado}}}$

podemos reescrever a equação de Navier-Stokes sem dimensões:

${\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {v} '} {Dt'}} = - \ nabla 'p' + {\ frac {\ mu} {\ rho LV}} \ nabla '^ {2} \ mathbf {v} '+ \ mathbf {f}',}$

onde o termo µ/ρLV = 1/Ré.

Por fim, descartando os primos para facilitar a leitura:

${\ displaystyle {\ frac {D \ mathbf {v}} {Dt}} = - \ nabla p + {\ frac {1} {\ mathrm {Re}}} \ nabla ^ {2} \ mathbf {v} + \ mathbf {f}.}$

Equação de sedimentação universal - coeficiente de arrasto, uma função do número de Reynolds e fator de forma, diagrama 2D

Equação de sedimentação universal - coeficiente de arrasto, uma função do número de Reynolds e fator de forma, diagrama 3D

É por isso que matematicamente todos os fluxos newtonianos incompressíveis com o mesmo número de Reynolds são comparáveis. Observe também que na equação acima, os termos viscosos desaparecem para Re → ∞ . Assim, fluxos com altos números de Reynolds são aproximadamente invíscidos no fluxo livre.

Relação com outros parâmetros adimensionais

Existem muitos números adimensionais na mecânica dos fluidos . O número de Reynolds mede a razão dos efeitos de advecção e difusão em estruturas no campo de velocidade e, portanto, está intimamente relacionado aos números de Péclet , que medem a razão desses efeitos em outros campos transportados pelo fluxo, por exemplo, temperatura e campos magnéticos. Substituição da viscosidade cinemática ν =µ/ρem Re pela difusividade térmica ou magnética resulta, respectivamente, no número Péclet térmico e no número Reynolds magnético . Estes estão, portanto, relacionados a subprodutos de Re com razões de difusividades, a saber, o número de Prandtl e o número de Prandtl magnético .

Veja também

• Teorema do transporte de Reynolds  - generalização 3D da regra integral de Leibniz
• Coeficiente de arrasto  - parâmetro adimensional para quantificar a resistência ao fluido
• Deposição (geologia)  - Processo geológico em que sedimentos, solo e rochas são adicionados a um relevo ou massa de terra
• Instabilidade de Kelvin-Helmholtz

Referências

Notas de rodapé

Citações

Fontes

Leitura adicional

links externos

• O número de Reynolds em sessenta símbolos
• Minibiografia de Reynolds e imagem do aparelho original na Universidade de Manchester.