Rhombus - Rhombus

Losango
Losango
	Dois losangos
Modelo	quadrilátero , trapézio , paralelogramo , pipa
Arestas e vértices	4
Símbolo Schläfli	{} + {} ; {2 α }
Diagrama de Coxeter
Grupo de simetria	Diédrico (D 2 ), [2], (* 22), ordem 4
Área	(metade do produto das diagonais)
Polígono duplo	retângulo
Propriedades	convexo , isotóxico

O losango tem um quadrado como caso especial e é um caso especial de pipa e paralelogramo .

Na geometria euclidiana plana , um losango ( losangos no plural ou losangos ) é um quadrilátero cujos quatro lados têm o mesmo comprimento. Outro nome é quadrilátero equilátero , uma vez que equilátero significa que todos os seus lados têm o mesmo comprimento. O losango é frequentemente chamado de diamante , em homenagem ao naipe de diamantes em cartas de baralho que se assemelha à projeção de um diamante octaédrico , ou losango , embora o primeiro às vezes se refira especificamente a um losango com um ângulo de 60 ° (que alguns autores chamam de calisson após o doce francês - veja também Poliamond ), e o último às vezes se refere especificamente a um losango com um ângulo de 45 °.

Cada losango é simples (não se auto-cruza) e é um caso especial de paralelogramo e pipa . Um losango com ângulos retos é um quadrado .

Etimologia

A palavra "losango" vem do grego antigo : ῥόμβος , romanizado : rombos , significando algo que gira, que deriva do verbo ῥέμβω , romanizado: rhémbō , que significa "girar e girar". A palavra foi usada por Euclides e Arquimedes , que usaram o termo "losango sólido" para um bicone , dois cones circulares direitos compartilhando uma base comum.

A superfície a que nos referimos hoje como losango é uma seção transversal do bicone em um plano que passa pelos vértices dos dois cones.

Caracterizações

Um quadrilátero simples (sem auto-intersecção ) é um losango se e somente se for qualquer um dos seguintes:

um paralelogramo em que uma diagonal corta ao meio um ângulo interno
um paralelogramo em que pelo menos dois lados consecutivos são iguais em comprimento
um paralelogramo em que as diagonais são perpendiculares (um paralelogramo ortogonal )
um quadrilátero com quatro lados de igual comprimento (por definição)
um quadrilátero no qual as diagonais são perpendiculares e se dividem entre si
um quadrilátero em que cada diagonal divide dois ângulos internos opostos
um quadrilátero ABCD possuindo um ponto P em seu plano de modo que os quatro triângulos ABP , BCP , CDP e DAP são todos congruentes
um quadrilátero ABCD em que os incircles nos triângulos ABC , BCD , CDA e DAB têm um ponto comum

Propriedades básicas

Cada losango tem duas diagonais conectando pares de vértices opostos e dois pares de lados paralelos. Usando triângulos congruentes , pode-se provar que o losango é simétrico em cada uma dessas diagonais. Conclui-se que qualquer losango tem as seguintes propriedades:

Os ângulos opostos de um losango têm igual medida.
As duas diagonais de um losango são perpendiculares ; ou seja, um losango é um quadrilátero ortogonal .
Suas diagonais dividem ângulos opostos.

A primeira propriedade implica que todo losango é um paralelogramo . Um losango, portanto, tem todas as propriedades de um paralelogramo : por exemplo, lados opostos são paralelos; ângulos adjacentes são complementares ; as duas diagonais se dividem ; qualquer linha através do ponto médio corta a área; e a soma dos quadrados dos lados é igual à soma dos quadrados das diagonais (a lei do paralelogramo ). Assim, denotando o lado comum como a e as diagonais como p e q , em cada losango

{\ displaystyle \ displaystyle 4a ^ {2} = p ^ {2} + q ^ {2}.}

Nem todo paralelogramo é um losango, embora qualquer paralelogramo com diagonais perpendiculares (a segunda propriedade) seja um losango. Em geral, qualquer quadrilátero com diagonais perpendiculares, uma das quais é uma linha de simetria, é uma pipa . Todo losango é uma pipa e qualquer quadrilátero que seja uma pipa e paralelogramo é um losango.

Um losango é um quadrilátero tangencial . Ou seja, ele tem um círculo inscrito que é tangente a todos os quatro lados.

Um losango. Cada ângulo marcado com um ponto preto é um ângulo reto. A altura h é a distância perpendicular entre quaisquer dois lados não adjacentes, que é igual ao diâmetro do círculo inscrito. As diagonais de comprimentos p e q são os segmentos de linha a tracejado vermelhas.

Diagonais

O comprimento das diagonais p = AC e q = BD pode ser expressa em termos do lado losango um e um vértice do ângulo α quanto

{\ displaystyle p = a {\ sqrt {2 + 2 \ cos {\ alpha}}}}

e

{\ displaystyle q = a {\ sqrt {2-2 \ cos {\ alpha}}}.}

Essas fórmulas são uma consequência direta da lei dos cossenos .

Inradius

O inradius (o raio de um círculo inscrito no losango), denotado por $r$ , pode ser expresso em termos das diagonais $p$ e $q$ como

{\ displaystyle r = {\ frac {p \ cdot q} {2 {\ sqrt {p ^ {2} + q ^ {2}}}}},}

ou em termos de comprimento lateral $a$ e qualquer ângulo de vértice $α$ ou $β$ como

{\ displaystyle r = {\ frac {a \ sin \ alpha} {2}} = {\ frac {a \ sin \ beta} {2}}.}

Área

Como para todos os paralelogramos , a área K de um losango é o produto de sua base e sua altura ( h ). A base é simplesmente qualquer comprimento lateral a :

{\ displaystyle K = a \ cdot h.}

A área também pode ser expressa como a base ao quadrado vezes o seno de qualquer ângulo:

{\ displaystyle K = a ^ {2} \ cdot \ sin \ alpha = a ^ {2} \ cdot \ sin \ beta,}

ou em termos de altura e ângulo do vértice :

{\ displaystyle K = {\ frac {h ^ {2}} {\ sin \ alpha}},}

ou como metade do produto das diagonais p , q :

{\ displaystyle K = {\ frac {p \ cdot q} {2}},}

ou como o semiperímetro vezes o raio do círculo inscrito no losango (radius):

{\ displaystyle K = 2a \ cdot r.}

Outra forma, em comum com os paralelogramos, é considerar dois lados adjacentes como vetores, formando um bivetor , então a área é a magnitude do bivetor (a magnitude do produto vetorial dos dois vetores), que é o determinante dos dois vetores 'coordenadas cartesianas: K = x ₁y ₂ - x ₂y ₁ .

Propriedades duplas

O polígono duplo de um losango é um retângulo :

Um losango tem todos os lados iguais, enquanto um retângulo tem todos os ângulos iguais.
Um losango tem ângulos opostos iguais, enquanto um retângulo tem lados opostos iguais.
Um losango tem um círculo inscrito, enquanto um retângulo tem um círculo circunflexo .
Um losango tem um eixo de simetria em cada par de ângulos de vértice opostos, enquanto um retângulo tem um eixo de simetria em cada par de lados opostos.
As diagonais de um losango se cruzam em ângulos iguais, enquanto as diagonais de um retângulo são iguais em comprimento.
A figura formada pela união dos pontos médios das laterais de um losango é um retângulo e vice-versa.

Equação cartesiana

Os lados de um losango centrado na origem, com diagonais cada uma caindo em um eixo, consistem em todos os pontos ( x, y ) satisfazendo

{\ displaystyle \ left | {\ frac {x} {a}} \ right | \! + \ left | {\ frac {y} {b}} \ right | \! = 1.}

Os vértices estão em e Este é um caso especial da superelipse , com expoente 1. ${\ displaystyle (\ pm a, 0)}$ ${\ displaystyle (0, \ pm b).}$

Outras propriedades

Um dos cinco tipos de rede 2D é a rede rômbica, também chamada de rede retangular centrada .
Losangos idênticos podem lado a lado o plano 2D de três maneiras diferentes, incluindo, para o losango de 60 °, a laje em losango .

Como telhas quadradas topológicas		Como ladrilho em losango de 30-60 graus

Análogos tridimensionais de um losango incluem a bipirâmide e o bicone .
Vários poliedros apresentam faces rômbicas, como o dodecaedro rômbico e o dodecaedro trapezo-rômbico .

Alguns poliedros com todas as faces rômbicas
Poliedros isoédricos		Poliedro não isohédrico
Losangos idênticos	Losango dourado idêntico		Dois tipos de losango	Três tipos de losango

Dodecaedro rômbico	Triacontaedro rômbico	Icosaedro rômbico	Eneacontaedro rômbico	Romboedro

Como as faces de um poliedro

Um romboedro (também chamado de hexaedro rômbico) é uma figura tridimensional como um cubóide (também chamado de paralelepípedo retangular), exceto que seus 3 pares de faces paralelas são até 3 tipos de rombos em vez de retângulos.

O dodecaedro rômbico é um poliedro convexo com 12 rombos congruentes em suas faces .

O triacontaedro rômbico é um poliedro convexo com 30 losangos dourados (losangos cujas diagonais estão na proporção áurea ) como suas faces.

O grande rhombic triacontahedron é um convexo isohedral , isotoxal poliedro com 30 interseção rostos rhombic.

O hexecontahedron rômbico é uma estrelação do triacontahedron rômbico. É não convexo com 60 faces rômbicas douradas com simetria icosaédrica .

O eneacontaedro rômbico é um poliedro composto por 90 faces rômbicas, com três, cinco ou seis rombos que se encontram em cada vértice. Possui 60 losangos largos e 30 estreitos.

O dodecaedro trapezo-rômbico é um poliedro convexo com 6 faces rômbicas e 6 trapezoidais .

O icosaedro rômbico é um poliedro composto por 20 faces rômbicas, das quais três, quatro ou cinco se encontram em cada vértice. Possui 10 faces no eixo polar com 10 faces seguindo o equador.

Veja também

Merkel-Raute
Losango de Michaelis , na anatomia humana
Romboide , um paralelepípedo ou um paralelogramo que não é um losango nem um retângulo
Antena rômbica
Xadrez Rômbico
Bandeira do Departamento de Norte de Santander da Colômbia, contendo quatro estrelas em forma de losango
Superelipse (inclui um losango com cantos arredondados)

Referências

links externos

Paralelogramo e Rhombus - Curso de Animação (Construção, Circunferência, Área)
Definição de Rhombus, Math Open Reference com miniaplicativo interativo.
Área de losango, Math Open Reference - mostra três maneiras diferentes de calcular a área de um losango, com miniaplicativo interativo

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